第 1 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 2016 年上海市虹口區(qū)高考數(shù)學(xué)三模試卷（文科） 一、填空題（本大題滿分 56 分）本大題共 14 題，只要求在答題紙相應(yīng)題號(hào)的空格內(nèi)直接填寫(xiě)結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)得 4 分，否則一律得零分 . 1設(shè)集合 M=x| 0， N=x|2x 1，則 MN= 2在 ， ，則 3已知復(fù)數(shù) z= （ i 為虛數(shù) 單位）， 表示 z 的共軛復(fù)數(shù)，則 z = 4若等比數(shù)列 公比 q 滿足 |q| 1，且 ， a3+，則 （ a1+ 5若函數(shù) f（ x） =（ x a） |x|（ a R）存在反函數(shù) f 1（ x），則 f（ 1） +f 1（ 4） = 6在數(shù)學(xué)解題中，常會(huì)碰到形如 “ ”的結(jié)構(gòu)，這時(shí)可類比正切的和角公式如：設(shè) a，b 是非零實(shí)數(shù)，且滿足 =則 = 7若一個(gè)球的半徑與它的內(nèi)接圓錐的底面半徑之比為 ，且內(nèi)接圓錐的軸截面為銳角三角形，則該球的體積與它的內(nèi)接圓錐的體積之比等于 8某小區(qū)有排成一排的 8 個(gè)車位，現(xiàn)有 5 輛不同型號(hào)的轎車需要停放，則這 5 輛轎車停入車位后，剩余 3 個(gè)車位連在一起的概率為 （結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示） 9若雙曲線 =1 的一個(gè)焦點(diǎn)到其漸近線的距離為 2 ，則該雙曲線的焦距等于 10若復(fù)數(shù) z 滿足 |z+3|=|z 4i|（ i 為虛數(shù)單位），則 |z|的最小值為 11已知實(shí)數(shù) x， y，滿足 且目 標(biāo)函數(shù) z= x+y 的最大值是 2，則實(shí)數(shù) m 的值為 12過(guò)拋物線 y 的焦點(diǎn) F 的直線與其相交于 A， B 兩點(diǎn)， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)若 |6，則 面積為 13若關(guān)于 x 的方程 2x|x| a|x|=1 有三個(gè)不同實(shí)根，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 14若數(shù)列 足： +（ 1） n（ n N*），則 a1+ 二、選擇題（本大題共 4 題，滿分 20 分）每題有且只有一個(gè)正確答 案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)題號(hào)上，將所選答案的代號(hào)涂黑，選對(duì)得 5 分，否則一律零分 . 15關(guān)于三個(gè)不同平面 ， ， 與直線 l，下列命題中的假命題是（ ） 第 2 頁(yè)（共 18 頁(yè)） A若 ，則 內(nèi)一定存在直線平行于 B若 與 不垂直，則 內(nèi)一定不存在直線垂直于 C若 ， ， =l，則 l D若 ，則 內(nèi)所有直線垂直于 16若函數(shù) y=f（ x）的圖象與函數(shù) y=3x+a 的圖象關(guān)于直線 y= x 對(duì)稱，且 f（ 1） +f（ 3）=3，則實(shí)數(shù) a 等于（ ） A 1 B 1 C 2 D 4 17在銳角 ， B=60， | |=2，則 的取值范圍為（ ） A（ 0， 12） B ， 12） C（ 0， 4 D（ 0， 2 18在平面直角坐標(biāo)系中，定義兩點(diǎn) P（ Q（ 間的 “直角距離 ”為： d（ P，Q） =|現(xiàn)給出下列 4 個(gè)命題： 已知 P（ 1， 2）， Q（ R），則 d（ P， Q）為定值； 已知 P， Q， R 三點(diǎn)不共線，則必有 d（ P， Q） +d（ Q， R） d（ P， R）； 用 |示 P， Q 兩點(diǎn)之間的距離，則 | d（ P， Q）； 若 P， Q 是圓 x2+ 上的任意兩點(diǎn)，則 d（ P， Q）的最大值為 4； 則下列判斷正確的為（ ） A命題 ， 均為真命題 B命題 ， 均為假命題 C命題 ， 均為假命題 D命 題 ， ， 均為真命題 三、解答題（本大題共 5 題，滿分 74 分）解答下列各題必須在答題紙的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟 . 19已知函數(shù) f（ x） = 的圖象過(guò)點(diǎn) 和點(diǎn) （ 1）求函數(shù) f（ x）的最大值與最小值； （ 2）將函數(shù) y=f（ x）的圖象向左平移 （ 0 ）個(gè)單位后，得到函數(shù) y=g（ x）的圖象；已知點(diǎn) P（ 0， 5），若函數(shù) y=g（ x）的圖象上存在 點(diǎn) Q，使得 |3，求函數(shù) y=g（ x）圖象的對(duì)稱中心 20已知函數(shù) f（ x） =2ax+b（ a 0）在區(qū)間 1， 3上的最大值為 5，最小值為 1 （ 1）求 a， b 的值及 f（ x）的解析式； （ 2）設(shè) g（ x） = ，若不等式 g（ 3x） t3x 0 在 x 0， 2上有解，求實(shí)數(shù) t 的取值范圍 21如圖， 接圓 O 的直徑，四邊形 矩形，且 平面 ， （ 1）證明：直線 平面 （ 2）當(dāng)三棱錐 E 體積最大時(shí)，求異面直線 成角的大小 第 3 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 22設(shè)橢圓 C： + =1（ a b 0），定義橢圓 C 的 “相關(guān)圓 ”E 為： x2+若拋物線 x 的焦點(diǎn)與橢圓 C 的右焦點(diǎn)重合，且橢圓 C 的短軸長(zhǎng)與焦距相等 （ 1）求橢圓 C 及其 “相關(guān)圓 ”E 的方程； （ 2）過(guò) “相關(guān)圓 ”E 上任意一點(diǎn) P 作其切線 l，若 l 與橢圓 C 交于 A， B 兩點(diǎn)，求證： O 為坐標(biāo)原點(diǎn)）； （ 3）在（ 2）的條件下，求 積的取值范圍 23設(shè) 數(shù)列 前 n 項(xiàng)和， 1（ 為常數(shù)， n=1， 2， 3， ） （ I）若 a3= 的值； （ 否存在實(shí)數(shù) ，使得數(shù)列 等差數(shù)列？若存在，求出 的值；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由 （ =2 時(shí)，若數(shù)列 足 =an+n=1， 2， 3， ），且 ，令 ，求數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 第 4 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 2016 年上海市虹口區(qū)高考數(shù)學(xué)三模試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、填空題（本大題滿分 56 分）本大題共 14 題，只要求在答題紙相應(yīng)題號(hào)的空格內(nèi)直接填寫(xiě)結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)得 4 分，否則一律得零分 . 1設(shè)集合 M=x| 0， N=x|2x 1，則 MN= 0， 3） 【考點(diǎn)】 交集及其運(yùn)算 【分析】 分別求出 M 與 N 中不等式的解集確定出 M 與 N，找出兩集合的交 集即可 【解答】 解：由 M 中不等式變形得：（ x 3）（ x+1） 0，且 3 x 0， 解得： 1 x 3，即 M= 1， 3）， 由 N 中不等式變形得： 2x 1=20，即 x 0， N=0， +）， 則 MN=0， 3）， 故答案為： 0， 3） 2在 ， ，則 【考點(diǎn)】 三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用 【分析】 由題意得 A 為鈍角，且 ， ，由此由二倍角公式得 【解答】 解： ， ， ， ， 3已知復(fù)數(shù) z= （ i 為虛數(shù)單位）， 表示 z 的共軛復(fù)數(shù)，則 z = 1 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 【分析】 利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn) z，再由 求得 z 【解答】 解： z= = ， z = 故答案為： 1 4若等比數(shù)列 公比 q 滿足 |q| 1，且 ， a3+，則 （ a1+= 16 第 5 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 【考點(diǎn)】 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 【分析】 由等比數(shù)列通項(xiàng)公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公比，由此能求出 （ a1+ 【解答】 解： 等比數(shù)列 公比 q 滿足 |q| 1，且 ， a3+， ， 由 |q| 1，解得 ， a1+， 則 （ a1+= =16 故答案為： 16 5若函數(shù) f（ x） =（ x a） |x|（ a R）存在反函數(shù) f 1（ x），則 f（ 1） +f 1（ 4） = 1 【考點(diǎn)】 反函數(shù) 【分析】 根據(jù) f（ x）存在反函數(shù) f 1（ x），得出 f（ x）是定義域上的單調(diào)函數(shù)，求出 a 的值以及 f（ x）的解析式，即可求出 f（ 1） +f 1（ 4）的值 【解答】 解： 函數(shù) f（ x） =（ x a） |x|= ， 且 f（ x）存在反函數(shù) f 1（ x）， f（ x）是定義域 R 的單調(diào)增函數(shù)， a=0， f（ x） = ， f（ 1） +f 1（ 4） =1+（ 2） = 1 故答案為： 1 6在數(shù)學(xué)解題中，常會(huì)碰到形如 “ ”的結(jié)構(gòu)，這時(shí)可類比正切的和角公式如：設(shè) a，b 是非零實(shí)數(shù)，且滿足 =則 = 【考點(diǎn)】 兩角和與差的正切函數(shù) 第 6 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 【分析】 先把已知條件轉(zhuǎn)化為 =+）利用正切函數(shù)的周期性求出 ，即可求得結(jié)論 【解答】 解：因?yàn)?=+）且 += = ） = = 故答案為： 7若一個(gè)球的半徑與它的內(nèi)接圓錐的底面半徑之比為 ，且內(nèi)接圓錐的軸截面為銳角三角形，則該球的體積與它的內(nèi)接圓錐的體積之比等于 【考點(diǎn)】 旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)） 【分析】 設(shè)球的半徑為 5，圓錐底面半徑為 3，則圓錐的高為 9，代入體積公式計(jì)算即可得出比值 【解答】 解：設(shè)球的半徑為 5，則 圓錐的底面半徑為 3， 球心到圓錐底面的距離為=4 內(nèi)接圓錐的軸截面為銳角三角形， 圓錐的高為 4+5=9 V 球 = ， V 圓錐 = =27 V 球 ： V 圓錐 = 27= 故答案為： 8某小區(qū)有排成一排的 8 個(gè)車位，現(xiàn)有 5 輛不同型號(hào)的轎車需要停放，則這 5 輛轎車停入車位后，剩余 3 個(gè)車位連在一起的概率為 （結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示） 【考點(diǎn)】 古典概型及其概率計(jì)算公式 【分析】 先求出基本事件總數(shù)，再求出這 5 輛轎車停入車位后，剩余 3 個(gè)車位連在一起，包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出這 5 輛轎車停入車位后，剩余 3 個(gè)車位連在一起的概率 【解答】 解：某小區(qū)有排成一排的 8 個(gè)車位，現(xiàn)有 5 輛不同型號(hào)的轎車需要停放， 基本事件總數(shù) n= ， 第 7 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 這 5 輛轎車停入車位后，剩余 3 個(gè)車位連在一起，包含的基本事件個(gè)數(shù) m= ， 這 5 輛轎車停入車位后，剩余 3 個(gè)車位連在一起的概率為： p= = = 故答案為： 9若雙曲線 =1 的一個(gè)焦點(diǎn)到其漸近線的距離為 2 ，則該雙曲線的焦距等于 6 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 根據(jù)焦點(diǎn)到其漸近線的距離求出 b 的值即可得到結(jié)論 【解答】 解：雙曲線的漸近線為 y= 妨設(shè)為 y= bx+y=0， 焦點(diǎn)坐標(biāo)為 F（ c， 0）， 則焦點(diǎn)到其漸近線的距離 d= = =b=2 ， 則 c= = = =3， 則雙曲線的焦距等于 2c=6， 故答案為： 6 10若復(fù)數(shù) z 滿足 |z+3|=|z 4i|（ i 為虛數(shù)單位），則 |z|的最小值為 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義 【分析】 設(shè) z=a+ a， b R）由 |z+3|=|z 4i|（ i 為虛數(shù)單位），可得= ，化為： 6a+8b 7=0再利用原點(diǎn)到直線的距離公式即可得出 【解答】 解：設(shè) z=a+ a， b R） |z+3|=|z 4i|（ i 為虛數(shù)單位）， = ， 化為： 6a+8b 7=0 |z|= 的最小值為原點(diǎn)（ 0， 0）到直線 l： 6a+8b 7=0 的距離，： = ， 故答案為： 第 8 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 11已知實(shí)數(shù) x， y，滿足 且目標(biāo)函數(shù) z= x+y 的最大值是 2，則實(shí)數(shù) m 的值為 【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃 【分析】 先求出目標(biāo)函數(shù)取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的交點(diǎn) A 的坐標(biāo)，利用 A 也在直線 y=，進(jìn)行求解即可 【解答】 解：先作出可行域， z= x+y 的最大值是 2， 作出 z= x+y=2 的圖象，則直線 z= x+y=2，與區(qū)域相交為 A， 由 得 ， 即 A（ 1， ）， 同時(shí) A 也在 y=， 則 m= ， 故答案為： 12過(guò)拋物線 y 的焦點(diǎn) F 的直線與其相交于 A， B 兩點(diǎn)， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)若 |6，則 面積為 6 【考點(diǎn)】 拋 物線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，運(yùn)用拋物線的定義可得 A 的坐標(biāo)（ 4 ， 4），再由三點(diǎn)共線的條件：斜率相等，可得 B 的坐標(biāo)，由 面積為 |計(jì)算即可得到所求值 【解答】 解：拋物線 y 的焦點(diǎn) F（ 0， 2），準(zhǔn)線為 y= 2， 由拋物線的定義可得 |=6， 第 9 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 解得 ，可設(shè) A（ 4 ， 4）， 設(shè) B（ m， ），由 A， F， B 共線可得， = ， 解得 m=2 （ 4 舍去）， 即有 B（ 2 ， 1）， 則 面積為 | 2| 4 2 |=6 故答案為： 6 13若關(guān)于 x 的方程 2x|x| a|x|=1 有三個(gè)不同實(shí)根，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 （ ，2 ） 【考點(diǎn)】 根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷 【分析】 首先進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再對(duì) x 進(jìn)行分類討論，由二次函數(shù)的圖象以及性質(zhì)得到 a 的范圍 【解答】 解： 方程 2x|x| a|x|=1 有三個(gè)不同實(shí)根， 函數(shù) y=2x|x| a|x| 1 有 3 個(gè)不同的零點(diǎn)， y= ， 對(duì)稱軸為 x= ，與 y 軸交點(diǎn)為（ 0， 1） a 0 時(shí)，不符合條件， a 0， 且 0 a ， 故答案為：（ ， 2 ） 14若數(shù)列 足： +（ 1） n（ n N*），則 a1+2550 【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和 【分析】 +（ 1） n（ n N*），可得： ， a3+， ， a5+， a6， a7+， ， ，可得 a3+=a7+， a4+3， a8+7， 0+11， ，利用分組求和即可得出 【解答】 解： +（ 1） n（ n N*）， ， a3+， ， a5+， ， a7+， ， ， 可得 a3+=a7+， （ a1+=25 a4+3， a8+7， 0+11， ， a2+ 25+8 =2525 則 a1+550 故 答案為： 2550 二、選擇題（本大題共 4 題，滿分 20 分）每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)題號(hào)上，將所選答案的代號(hào)涂黑，選對(duì)得 5 分，否則一律零分 . 第 10 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 15關(guān)于三個(gè)不同平面 ， ， 與直線 l，下列命題中的假命題是（ ） A若 ，則 內(nèi)一定存在直線平行于 B若 與 不垂直，則 內(nèi)一定不存在直線垂直于 C若 ， ， =l，則 l D若 ，則 內(nèi)所有直線垂直于 【考點(diǎn)】 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系 【分析】 根據(jù)空間線面位置關(guān)系的判定和性質(zhì)判斷或距離說(shuō)明 【解答】 解：對(duì)于 A，假設(shè) =a，則 內(nèi)所有平行于 a 的直線都平行 ，故 A 正確； 對(duì)于 B，假設(shè) 內(nèi)存在直線 a 垂直于 ，則 ，與題設(shè)矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，故 B 正確； 對(duì)于 C，設(shè) =c， =d，在 內(nèi)任取一點(diǎn) P，作 c 于點(diǎn) M， d 于點(diǎn) N， 則 ， ，且 可能共線 又 l， l， l， l 又 N=P， ， ， l 故 C 正確 對(duì)于 D，假設(shè) =a，則 內(nèi)所有平行于 a 的直線都平行 ，故 D 錯(cuò)誤 故選： D 16若函數(shù) y=f（ x）的圖象與函數(shù) y=3x+a 的圖象關(guān)于直線 y= x 對(duì)稱，且 f（ 1） +f（ 3）=3，則實(shí)數(shù) a 等于（ ） A 1 B 1 C 2 D 4 【考點(diǎn)】 反函數(shù) 【分析】 設(shè)（ x， y）為函數(shù) y=f（ x）的圖象上的一點(diǎn)，則關(guān)于直線 y= x 對(duì)稱的點(diǎn)為（ y， x）代入函數(shù) y=3x+a 可得： f（ x） =a x）即可得出 【解答】 解：設(shè)（ x， y）為函數(shù) y=f（ x）的圖象上的一點(diǎn)，則關(guān)于直線 y= x 對(duì)稱的點(diǎn)為（ y， x） 代入函數(shù) y=3x+a 可 得： x=3 y+a， y+a= x），即 f（ x） =a x） f（ 1） +f（ 3） =3， a 0+a ，解得 a=2 故選： C 17在銳角 ， B=60， | |=2，則 的取值范圍為（ ） A（ 0， 12） B ， 12） C（ 0， 4 D（ 0， 2 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【分析】 以 B 為原點(diǎn)， 在直線為 x 軸建立坐標(biāo)系，得到 C 的坐標(biāo)，找出三角形為銳角三角形的 A 的位置，得到所求范圍 【解答】 解：以 B 為原點(diǎn)， 在直線為 x 軸建立坐標(biāo)系， B=60， | |=| |=2， 第 11 頁(yè)（共 18 頁(yè)） C（ 1， ）， 設(shè) A（ x， 0） 銳角三角形， A+C=120， 30 A 90， 即 A 在如圖的線段 （不與 D， E 重合）， 1 x 4， 則 =x=（ x ） 2 ， 的范圍為（ 0， 12） 故選： A 18在平面直角坐標(biāo)系中，定義兩點(diǎn) P（ Q（ 間的 “直角距離 ”為： d（ P，Q） =|現(xiàn)給出下列 4 個(gè)命題： 已知 P（ 1， 2）， Q（ R），則 d（ P， Q）為定值； 已知 P， Q， R 三點(diǎn)不共線，則必有 d（ P， Q） +d（ Q， R） d（ P， R）； 用 |示 P， Q 兩點(diǎn)之間的距離，則 | d（ P， Q）； 若 P， Q 是圓 x2+ 上的 任意兩點(diǎn)，則 d（ P， Q）的最大值為 4； 則下列判斷正確的為（ ） A命題 ， 均為真命題 B命題 ， 均為假命題 C命題 ， 均為假命題 D命題 ， ， 均為真命題 【考點(diǎn)】 命題的真假判斷與應(yīng)用 【分析】 先根據(jù)直角距離的定義分別表示出所求的問(wèn)題的表達(dá)式，然后根據(jù)集合中絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行判定即可 【解答】 解： 已知 P（ 1， 2）， Q（ R），則 d（ P， Q） =|1 |2 為定值；故 正確， 已知 P， Q， R 三點(diǎn)不共線 ，設(shè) P（ 1， 0）， Q（ 0， 0）， R（ 0， 1）， 則 d（ P， Q） =|1， d（ Q， R） =|1 d（ P， R） =|1+1=2，此時(shí) d（ P， Q） +d（ Q， R） =d（ P， R）； d（ P， Q） +d（ Q， R） d（ P， R）不成立，故 錯(cuò)誤， 第 12 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 若 |示 P、 Q 兩點(diǎn)間的距離，那么 | ， d（ P， Q）=| 2（ a2+ （ a+b） 2， |即 | d（ P， Q）， 則 | d（ P， Q） = d（ P， Q），故 正確， 若 P， Q 是圓 x2+ 上的任意兩點(diǎn)，當(dāng) P， Q 是直線 y=x 與 x2+ 的交點(diǎn)時(shí)，則 d（ P，Q）的最大， 此時(shí) P（ 1， 1）， Q（ 1， 1）；則 d（ P， Q） =| 1 1|+| 1 1|=2+2=4，則 d（ P， Q）的最大值為 4；故 正確， 故選： D 三、解答題（本大題共 5 題，滿分 74 分）解答下列各題必須在答題紙的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟 . 19已知函數(shù) f（ x） = 的圖象過(guò)點(diǎn) 和點(diǎn) （ 1）求函數(shù) f（ x）的最大值與最小值； （ 2）將函數(shù) y=f（ x）的圖象向左平移 （ 0 ）個(gè)單位后，得到函數(shù) y=g（ x）的圖象；已知點(diǎn) P（ 0， 5），若函數(shù) y=g（ x）的圖象上存在點(diǎn) Q，使得 |3，求函數(shù) y=g（ x）圖象的對(duì)稱中心 【考點(diǎn)】 函數(shù) y=x+）的圖象變換；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象 【分析】 （ 1）利用條件求得 m、 n 的值，可得函數(shù)的解析式，從而求得它的最值 （ 2）根據(jù) g（ x）的解析式，點(diǎn) Q（ 0， 2）在 y=g（ x）的圖象上，求得 的值，再利用正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，得出結(jié)論 【解答】 解：（ 1）易知 f（ x） =由它的圖象 過(guò)點(diǎn) 和點(diǎn)， 可得 ，解得 故 故函數(shù) f（ x）的最大值為 2，最小值為 2 （ 2）由（ 1）可知： 于是，當(dāng)且僅當(dāng) Q（ 0， 2）在 y=g（ x）的圖象上時(shí)滿足條件， 由0 ，得 第 13 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 故 由 ，得 于是，函數(shù) y=g（ x）圖象的對(duì)稱中心為： 20已知函數(shù) f（ x） =2ax+b（ a 0）在區(qū)間 1， 3上的最大值為 5，最小值為 1 （ 1）求 a， b 的值及 f（ x）的解析式； （ 2）設(shè) g（ x） = ，若不等式 g（ 3x） t3x 0 在 x 0， 2上有解，求實(shí)數(shù) t 的取值范圍 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)的性質(zhì)；根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷 【分析】 （ 1）解關(guān)于 a， b 的方程組，求出 a， b 的值從而求出函數(shù)的解析式即可； （ 2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 t 2 2 +1=2 + 在 x 0， 2上有解，通過(guò)換元法求出 t 的范圍即可 【解答】 解：（ 1）由 f（ x） =a（ x 1） 2+b a（ a 0）及條件，可得 ， 解得 a=1， b=2故 f（ x） =2x+2 （ 2）由（ 1）可得 g（ x） = =x+ 2， 于是題設(shè)條件得 3x+ 2 t3x 0 在 x 0， 2上有解， 即 t 2 2 +1=2 + 在 x 0， 2上有解， 令 =u ， 1， x 0， 2， 則 t 2 + 在 u ， 1上有解 當(dāng) u ， 1時(shí)， 2 + ， 1，于是 t 1， 因此，實(shí)數(shù) t 的取值范圍為（ ， 1 21如圖 ， 接圓 O 的直徑，四邊形 矩形，且 平面 ， （ 1）證明：直線 平面 （ 2）當(dāng)三棱錐 E 體積最大時(shí)，求異面直線 成角的大小 第 14 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 【考點(diǎn)】 異面直線及其所成的角；直線與平面垂直的判定 【分析】 （ 1）由題意推導(dǎo)出 此能證明 平面 （ 2）連接 點(diǎn) C 到 距離為 h，由 ，得到當(dāng) h=2， 即，三棱錐 E 體積最大，由此能求出當(dāng)三棱錐 E 體積最大時(shí)，異面直線 成角的大小 【解答】 （文）（本題滿分 14 分） 本題共 2 個(gè)小題，第 1 小題，第 2 小題 證明：（ 1）由題意，得： 平面 面 又 圓 O 的直徑， 于是由 C=C， 平面 解：（ 2）連接 點(diǎn) C 到 距離為 h， 則 = = ， 故當(dāng) h=2，即 ，三棱錐 E 體積最大 由 ， 異面直線 所成角 而在 ， B=2 故 ， 異面直線 成角的大小為 22設(shè)橢圓 C： + =1（ a b 0），定義橢圓 C 的 “相關(guān)圓 ”E 為： x2+若拋物線 x 的焦點(diǎn)與橢圓 C 的右焦點(diǎn)重合，且橢圓 C 的短軸長(zhǎng)與焦距相等 （ 1）求橢圓 C 及其 “相關(guān)圓 ”E 的方程； （ 2）過(guò) “相關(guān)圓 ”E 上任意一點(diǎn) P 作其切線 l，若 l 與橢圓 C 交于 A， B 兩點(diǎn)，求證： O 為坐標(biāo)原點(diǎn)）； （ 3）在（ 2）的條件下，求 積的取值范圍 【考點(diǎn)】 拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 （ 1）求得拋物線的焦點(diǎn)，可得 c=1，由 a， b， c 的關(guān)系可得 a，進(jìn)而得到橢圓方程和圓 E 的方程； （ 2）討論切線 l 的斜率不存在，求出方程，可得交點(diǎn) A， B，求得向量 坐標(biāo)，可得 90； l 的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合直線和圓相切的條件： d=r，化簡(jiǎn)整理，計(jì)算向量 數(shù)量積，即可得證； 第 15 頁(yè)（共 18 頁(yè)） （ 3）求得 面積，討論直線 l 的斜率，運(yùn)用弦長(zhǎng)公式和基本不等式，求得最值，由不等式的性質(zhì)，即可得到所求范圍 【解答】 解：（ 1）由拋物線 x 的焦點(diǎn)（ 1， 0）與橢圓 C 的右焦點(diǎn)重合， 可得 c=1，又因?yàn)闄E圓 C 的短軸長(zhǎng)與焦距相等，則 b=c=1 a= ， 故橢圓 C 的方程為： +，其 “相關(guān)圓 ”E 的方程為： x2+； （ 2）證明：當(dāng)切線 l 的斜率不存在時(shí)切線方程為 x= ， 與橢圓