第四章 線性系統(tǒng)的根軌跡法 2 第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4 1根軌跡法的基本概念 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性及動(dòng)態(tài)性能與系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)在s平面的位置密切相關(guān) 因此可根據(jù)閉環(huán)零極點(diǎn)的分布來間接地研究系統(tǒng)的性能 但當(dāng)特征方程的階數(shù)高于四階時(shí) 求解零極點(diǎn)的過程比較復(fù)雜 如果要研究系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)閉環(huán)特征方程根的影響 那么就需要進(jìn)行大量的反復(fù)計(jì)算 同時(shí)還不能直觀看出影響趨勢(shì) 因此對(duì)于高階系統(tǒng)的求根問題來說 解析法就顯得很不方便 3 第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4 1根軌跡法的基本概念 1948年 W R 伊凡思在他的一篇論文 控制系統(tǒng)的圖解分析 中提出了在復(fù)平面上由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)求取閉環(huán)特征根的方法 這就是根軌跡法 當(dāng)開環(huán)增益或其它參數(shù)改變時(shí) 其全部數(shù)值對(duì)應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)均可在根軌跡圖上簡(jiǎn)便地確定 因此在工程實(shí)踐中得到了廣泛的應(yīng)用 4 第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4 1根軌跡法的基本概念 根軌跡 系統(tǒng)某一參數(shù)在規(guī)定范圍內(nèi)變化時(shí) 閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在s平面上的位置也隨之變化移動(dòng) 一個(gè)根形成一條軌跡 廣義根軌跡 系統(tǒng)的任意一個(gè)參數(shù)變化所形成的根軌跡 常規(guī) 狹義 根軌跡 通常情況 變化參數(shù)為開環(huán)增益K 且其變化取值范圍為0到 5 第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4 1根軌跡法的基本概念 根軌跡法是分析和設(shè)計(jì)線性定?？刂葡到y(tǒng) 求解特征方程的根的圖解方法 使用十分簡(jiǎn)便 特別是對(duì)于多回路系統(tǒng)的研究 應(yīng)用根軌跡法比用其它方法更為方便 借助于根軌跡法 可以方便直觀地分析系統(tǒng)特征根與系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系 6 第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4 1根軌跡法的基本概念 本節(jié)主要介紹根軌跡的基本概念 根軌跡與系統(tǒng)性能之間的關(guān)系 并從閉環(huán)零 極點(diǎn)與開環(huán)零 極點(diǎn)之間的關(guān)系推導(dǎo)出根軌跡方程 然后將向量形式的根軌跡方程轉(zhuǎn)化為常用的相角條件和模值條件形式 最后應(yīng)用這些條件繪制簡(jiǎn)單系統(tǒng)的根軌跡 7 4 1根軌跡法的基本概念1 根軌跡概念 例 設(shè)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示 特征方程 特征根 8 4 1根軌跡法的基本概念1 根軌跡概念 令開環(huán)增益K從零變到無窮 粗實(shí)線為系統(tǒng)的根軌跡 箭頭表示隨著K值的增加 根軌跡的變化趨勢(shì) 而標(biāo)注的數(shù)值為與閉環(huán)極點(diǎn)位置相對(duì)應(yīng)的開環(huán)增益K的數(shù)值 9 4 1根軌跡法的基本概念2 根軌跡與系統(tǒng)性能 1 穩(wěn)定性 當(dāng)開環(huán)增益從零變到無窮時(shí) 如果根軌跡沒有越過虛軸進(jìn)入s右半平面 則系統(tǒng)對(duì)所有的K值都是穩(wěn)定的 如果系統(tǒng)的根軌跡越過虛軸進(jìn)入s右半平面 此時(shí)根軌跡與虛軸交點(diǎn)處的K值 就是臨界開環(huán)增益 10 4 1根軌跡法的基本概念2 根軌跡與系統(tǒng)性能 2 穩(wěn)態(tài)性能 由開環(huán)系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)處的極點(diǎn)數(shù)可判斷出系統(tǒng)的型別 而此時(shí)的K值就是相應(yīng)的靜態(tài)誤差系數(shù) 如果給定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差要求 則由根軌跡圖可以確定閉環(huán)極點(diǎn)位置的容許范圍 11 4 1根軌跡法的基本概念2 根軌跡與系統(tǒng)性能 3 動(dòng)態(tài)性能 當(dāng)0 K 0 5時(shí) 過阻尼系統(tǒng) 當(dāng)K 0 5時(shí) 臨界阻尼系統(tǒng) 當(dāng)K 0 5時(shí) 欠阻尼系統(tǒng) 12 4 1根軌跡法的基本概念2 根軌跡與系統(tǒng)性能 上述分析表明 根軌跡與系統(tǒng)性能之間有著比較密切的聯(lián)系 對(duì)于高階系統(tǒng)而言 用解析的方法繪制系統(tǒng)的根軌跡圖 顯然是不適用的 希望能有簡(jiǎn)便的圖解方法 可根據(jù)已知的開環(huán)傳遞函數(shù)迅速繪出閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡 為此 需要研究閉環(huán)零 極點(diǎn)與開環(huán)零 極點(diǎn)之間的關(guān)系 13 3 閉環(huán)零 極點(diǎn)與開環(huán)零 極點(diǎn)之間的關(guān)系 一般情況下 前向通路傳遞函數(shù)G s 可表示為 為前向通路增益 為前向通路根軌跡增益 14 3 閉環(huán)零 極點(diǎn)與開環(huán)零 極點(diǎn)之間的關(guān)系 反饋通路傳遞函數(shù)H s 可表示為 為反饋通路根軌跡增益 則系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可表示為 稱為開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益 15 3 閉環(huán)零 極點(diǎn)與開環(huán)零 極點(diǎn)之間的關(guān)系 對(duì)于有m個(gè)開環(huán)零點(diǎn)和n個(gè)開環(huán)極點(diǎn)的系統(tǒng) 必有f l m和q h n 則 16 3 閉環(huán)零 極點(diǎn)與開環(huán)零 極點(diǎn)之間的關(guān)系 結(jié)論 1 閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益等于開環(huán)系統(tǒng)前向通路根軌跡增益 對(duì)單位反饋系統(tǒng)而言 閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益就等于開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益 2 閉環(huán)零點(diǎn)由開環(huán)前向通路零點(diǎn)與反饋通路極點(diǎn)組成 對(duì)于單位反饋系統(tǒng) 閉環(huán)零點(diǎn)就是開環(huán)零點(diǎn) 3 閉環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)零點(diǎn) 開環(huán)極點(diǎn)以及根軌跡增益K 均有關(guān) 17 3 閉環(huán)零 極點(diǎn)與開環(huán)零 極點(diǎn)之間的關(guān)系 根軌跡法的基本任務(wù)在于 如何由已知的開環(huán)零 極點(diǎn)的分布及根軌跡增益 通過圖解的方法找出閉環(huán)極點(diǎn) 18 4 1根軌跡法的基本概念4 根軌跡方程 根軌跡是系統(tǒng)所有閉環(huán)極點(diǎn)的集合 閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為 即 等價(jià)為 上式稱為根軌跡方程 19 4 1根軌跡法的基本概念4 根軌跡方程 由于 模值條件 相角條件 20 4 1根軌跡法的基本概念4 根軌跡方程 根據(jù)相角條件和模值條件 可以完全確定s平面上的根軌跡和根軌跡上對(duì)應(yīng)的K 值 其中 1 相角條件是s平面上根軌跡所要滿足的充要條件 2 模值條件可確定s平面上的根軌跡各點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的根軌跡增益K 21 例單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 一個(gè)開環(huán)極點(diǎn)P1 0 負(fù)實(shí)軸上點(diǎn)s1 s2 1 j 負(fù)實(shí)軸上的點(diǎn)都是根軌跡上的點(diǎn) 負(fù)實(shí)軸外的點(diǎn)都不是根軌跡上的點(diǎn) 第四章 線性系統(tǒng)的根軌跡法 23 第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4 2根軌跡繪制的基本法則 當(dāng)可變參數(shù)為系統(tǒng)的開環(huán)增益 根軌跡增益K 時(shí) 所繪制的根軌跡為常規(guī)根軌跡 其相角遵循1800 2k 條件 因此稱為1800根軌跡 相應(yīng)的繪制法則也就可以叫做1800根軌跡的繪制法則 24 4 2根軌跡繪制的基本法則1 繪制根軌跡的基本法則 法則1 根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn) 根軌跡起于開環(huán)極點(diǎn) 終于開環(huán)零點(diǎn) 25 證明 設(shè)有m個(gè)零點(diǎn) n個(gè)極點(diǎn)的開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 則由其組成的閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為 式中 起點(diǎn) 特征方程為 26 終點(diǎn) 特征方程為 實(shí)際系統(tǒng)中 有m個(gè)零點(diǎn) n個(gè)極點(diǎn)的開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)一般滿足 因此有n m條根軌跡的終點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處 這是因?yàn)楫?dāng)時(shí) 根據(jù)模值條件有 27 如果把有限數(shù)值的零點(diǎn)稱作有限零點(diǎn) 則把無窮遠(yuǎn)處的零點(diǎn)稱為無限零點(diǎn) 那么根軌跡必終止于開環(huán)零點(diǎn) 在無限零點(diǎn)的意義下 系統(tǒng)的開環(huán)零極點(diǎn)數(shù)目相等 在繪制其它參數(shù)根軌跡時(shí) 可能有m n的情況 則有m n條根軌跡的起點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處 稱為無限極點(diǎn) 此時(shí)系統(tǒng)的開環(huán)零極點(diǎn)數(shù)也是相等的 根軌跡起于開環(huán)極點(diǎn) 終于開環(huán)零點(diǎn) 28 4 2根軌跡繪制的基本法則1 繪制根軌跡的基本法則 法則2 根軌跡的分支數(shù) 對(duì)稱性和連續(xù)性 根軌跡的分支數(shù)與開環(huán)有限零點(diǎn)m和有限極點(diǎn)n中的大者相等 它們是連續(xù)的且對(duì)稱于實(shí)軸 29 證明 根軌跡是開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)在規(guī)定范圍內(nèi)變化時(shí) 閉環(huán)特征方程的根在s平面上的變化軌跡 因此根軌跡的分支數(shù)必與閉環(huán)特征方程根的數(shù)目相一致 閉環(huán)特征方程根的數(shù)目就等于m和n中的大者 所以根軌跡的分支數(shù)必與開環(huán)有限零 極點(diǎn)數(shù)中的大者相同 30 由于根軌跡增益K 是連續(xù)變化的 特征方程的某些系數(shù)也隨之而連續(xù)變化 因而特征根也會(huì)連續(xù)變化 故根軌跡具有連續(xù)性 因?yàn)殚]環(huán)特征方程的系數(shù)為實(shí)數(shù) 閉環(huán)特征方程的根只有實(shí)根和復(fù)根兩種 實(shí)根位于實(shí)軸上 復(fù)根必共軛 而根軌跡是閉環(huán)特征根的集合 因此根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸 31 4 2根軌跡繪制的基本法則1 繪制根軌跡的基本法則 法則3 根軌跡的漸近線 當(dāng)n m時(shí) 有n m條根軌跡分支沿著與實(shí)軸交角 a 交點(diǎn)為 a的一組漸近線趨向無窮遠(yuǎn)處 且有 32 證明 漸近線可以理解為 s 很大時(shí)的根軌跡 故其必對(duì)稱于實(shí)軸 由于 式中 當(dāng) 時(shí)有 近似為 33 由根軌跡方程 得 或 根據(jù)二項(xiàng)式定理將展開 在s值很大時(shí) 34 代入漸近線方程 得 令 有 則 35 解得 式中 進(jìn)而有 0 在s復(fù)平面上 表示一條直線 與實(shí)軸的交 與實(shí)軸的夾角為 點(diǎn)為 36 1 當(dāng)k取不同值時(shí) a有 n m 個(gè)值 而 a不變 2 根軌跡在s 時(shí)的漸近線為 n m 條與實(shí)軸交點(diǎn)為 a 相角為 a的一組射線 說明 37 例 設(shè) 試求出由上面三個(gè)基本法則所確定的數(shù)據(jù)并繪制相應(yīng)圖形 解 由開環(huán)傳遞函數(shù)可得 38 法則1 起點(diǎn) p1 0 p2 4 p3 1 j p4 1 j終點(diǎn) z1 1和三個(gè)無窮遠(yuǎn)零點(diǎn) 法則2 四條分支 法則3 漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)及夾角為 0 1 4 2 3 1 1 0 1 2 3 1 1 漸近線 漸近線 漸近線 漸近線 39 4 2根軌跡繪制的基本法則1 繪制根軌跡的基本法則 法則4 根軌跡在實(shí)軸上的分布 實(shí)軸上的某一區(qū)域 若其右邊開環(huán)實(shí)數(shù)零 極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為奇數(shù) 則該區(qū)域必是根軌跡 40 證明 設(shè)開環(huán)零 極點(diǎn)分布如圖所示 設(shè)是測(cè)試點(diǎn) 則為根軌跡上點(diǎn)的充分必要條件為 即開環(huán)零點(diǎn)到的相角之和減去開環(huán)極點(diǎn)到的相角之和是的奇數(shù)倍 41 注意到 復(fù)共軛極點(diǎn)到的相角之和是 不影響 式的奇偶性 因此 可略去不計(jì) 同理復(fù)共軛零點(diǎn)的情況亦可略去不計(jì) 而測(cè)試點(diǎn)左邊的所有點(diǎn)到的相角均為零 其右邊點(diǎn)到的相角均為 因此 式為的奇數(shù)倍的充要條件是的右邊開環(huán)實(shí)零 極點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和是奇數(shù) 42 例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 試確定實(shí)軸上的根軌跡 2 1 右側(cè)實(shí)零 極點(diǎn)數(shù) 3 6 4 右側(cè)實(shí)零 極點(diǎn)數(shù) 7 43 4 2根軌跡繪制的基本法則1 繪制根軌跡的基本法則 法則5 根軌跡的分離點(diǎn)與分離角 兩條或兩條以上的根軌跡分支在s平面上相遇又立即分開的點(diǎn) 稱為根軌跡的分離點(diǎn) 分離點(diǎn)的坐標(biāo)d是下列方程的解 式中zj為各開環(huán)零點(diǎn)的數(shù)值 pi為各開環(huán)極點(diǎn)的數(shù)值 分離角為 44 分離點(diǎn)的特性 因?yàn)楦壽E是對(duì)稱的 所以根軌跡的分離點(diǎn)或位于實(shí)軸上 或以共軛形式成對(duì)出現(xiàn)在復(fù)平面中 一般情況下 常見的根軌跡分離點(diǎn)是位于實(shí)軸上的兩條根軌跡分支的分離點(diǎn) 如果根軌跡位于實(shí)軸上兩個(gè)相鄰的開環(huán)極點(diǎn)之間 其中一個(gè)可以是無限極點(diǎn) 則在這兩個(gè)極點(diǎn)之間至少存在一個(gè)分離點(diǎn) 同樣 如果根軌跡位于實(shí)軸上兩個(gè)相鄰的開環(huán)零點(diǎn)之間 其中一個(gè)可以是無限零點(diǎn) 則在這兩個(gè)零點(diǎn)之間也至少有一個(gè)分離點(diǎn) 會(huì)合點(diǎn) 45 證明 由根軌跡方程 有 46 閉環(huán)特征方程為 根軌跡在s平面上相遇 說明閉環(huán)特征方程在相遇點(diǎn)處有重根出現(xiàn) 設(shè)重根為d 根據(jù)代數(shù)中重根條件 47 代入 兩端微分 48 得 d即為根軌跡的分離點(diǎn) 49 當(dāng)l條根軌跡分支進(jìn)入并立即離開分離點(diǎn)時(shí) 分離角可由 2k 1 l來決定 其中k 0 1 2 l 1 分離角定義為根軌跡進(jìn)入分離點(diǎn)的切線方向與離開分離點(diǎn)的切線方向之間的夾角 顯然 當(dāng)l 2時(shí) 分離角必為直角 50 例 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示 繪制其概略根軌跡 解 由法則4 實(shí)軸上區(qū)域 1 0 和 3 2 是根軌跡 由法則2 該系統(tǒng)有3條根軌跡分支 且對(duì)稱于實(shí)軸 51 由法則1 一條根軌跡分支起于開環(huán)極點(diǎn) 0 終止于開環(huán)零點(diǎn) 1 另外兩條根軌跡分支起于開環(huán)極點(diǎn) 2 和 3 終止于無窮遠(yuǎn)處 無限零點(diǎn) 由法則3 兩條終止于無窮遠(yuǎn)處的根軌跡的漸近線與實(shí)軸的交角為90o和270o 交點(diǎn)坐標(biāo)為 52 由法則5 實(shí)軸區(qū)域 3 2 必有一個(gè)根軌跡的分離點(diǎn)d d滿足分離點(diǎn)方程 解得 53 由法則1 2 起點(diǎn)0 2 3 終點(diǎn) 1 共三條根軌跡 其中兩條趨向無窮遠(yuǎn)點(diǎn) 由法則3 趨向無窮遠(yuǎn)點(diǎn)分枝的漸近線與實(shí)軸交點(diǎn) 2 與實(shí)軸的交角為90o和270o 由法則4 實(shí)軸上區(qū)域 1 0 和 3 2 是根軌跡 由法則5 實(shí)軸區(qū)域 2 3 必有一個(gè)根軌跡的分離點(diǎn)d d滿足分離點(diǎn)方程 54 例 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示 繪制其根軌跡 解 55 法則1 起點(diǎn) 終點(diǎn) 2 無窮遠(yuǎn)處 法則2 兩條分支 法則3 n m 1 故只有180o漸近線 它正好與負(fù)實(shí)軸重合 法則4 為實(shí)軸上的根軌跡 法則5 由分離點(diǎn)的坐標(biāo)方程得 或 舍去 56 57 結(jié)論 由兩個(gè)極點(diǎn) 實(shí)數(shù)極點(diǎn)或復(fù)數(shù)極點(diǎn) 和一個(gè)有限零點(diǎn)組成的開環(huán)系統(tǒng) 只要有限零點(diǎn)沒有位于兩個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)之間 當(dāng)K 從零變化到無窮時(shí) 閉環(huán)根軌跡的復(fù)數(shù)部分 是以有限零點(diǎn)為圓心 以有限零點(diǎn)到分離點(diǎn)的距離為半徑的一個(gè)圓 或圓的一部分 特別指出 如果此時(shí)有限極點(diǎn)是共軛的 則半徑為零點(diǎn)到一個(gè)極點(diǎn)的距離 58 4 2根軌跡繪制的基本法則1 繪制根軌跡的基本法則 法則6 根軌跡的起始角與終止角 根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角 稱為起始角 以標(biāo)志 根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角 稱為終止角 以表示 59 證明 設(shè)開環(huán)系統(tǒng)有m個(gè)有限零點(diǎn) n個(gè)有限極點(diǎn) 在無限靠近待求起始角 或終止角 的復(fù)數(shù)極點(diǎn)pi 或復(fù)數(shù)零點(diǎn)zj 的根軌跡上取一點(diǎn)s1 由于s1無限接近pi 或zj 因此除pi 或zj 外 所有開環(huán)零 極點(diǎn)到s1的向量相角都可以用它們到pi 或zj 的向量相角來代替 而pi 或zj 到s1的向量相角即為起始角 或終止角 60 根據(jù)s1滿足的相角條件 有 得到 61 例 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下 繪制其根軌跡 解 1 實(shí)軸上區(qū)域 1 5 0 和 2 5 為根軌跡 2 n m 1 只有一條180o漸近線 3 無分離點(diǎn) 4 起始角與終止角 62 63 64 65 4 2根軌跡繪制的基本法則1 繪制根軌跡的基本法則 法則7 根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 若根軌跡與虛軸相交 則交點(diǎn)上的K 值和 值可用勞斯判據(jù)確定 也可令閉環(huán)特征方程中的s j 然后分別令其實(shí)部和虛部為零而求得 66 證明 若根軌跡與虛軸相交 則表示閉環(huán)系統(tǒng)存在純虛根 這意味著K 的數(shù)值使閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài) 因此令勞斯表第一列中包含K 的項(xiàng)為零 即可確定根軌跡與虛軸交點(diǎn)上的K 值 此外 因?yàn)橐粚?duì)純虛根是數(shù)值相同但符號(hào)相異的根 所以利用勞斯表中s2行的系數(shù)構(gòu)成輔助方程必可解出純虛根的數(shù)值 這一數(shù)值就是根軌跡與虛軸交點(diǎn)上的 值 67 如果根軌跡與正虛軸 或者負(fù)虛軸 有一個(gè)以上交點(diǎn) 則應(yīng)采用勞斯表中冪大于2的s偶次方行的系數(shù)構(gòu)造輔助方程 確定根軌跡與虛軸交點(diǎn)處參數(shù)的另一種方法 是將s j 代入系統(tǒng)閉環(huán)特征方程 并令方程的實(shí)部和虛部分別為零 即可求得相應(yīng)的K 和 68 例 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 求根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 閉環(huán)特征方程 系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界K 值 K 6 表中s2行元素構(gòu)成輔助方程 根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 勞斯表 69 例 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)求根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 代入系統(tǒng)閉環(huán)特征方程 70 例 設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡 解 1 無開環(huán)零點(diǎn) 開環(huán)極點(diǎn)為 實(shí)軸上的根軌跡為 3 0 71 2 n m 4有4條分支趨向無窮遠(yuǎn)處 漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)與夾角分別為 3 分離點(diǎn) 4 起始角 72 5 根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 應(yīng)用勞斯判據(jù) 由第一列 第四行元素為零 由輔助方程 73 74 例 設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 解 法則1起點(diǎn) 試?yán)L制系統(tǒng)的概略根軌跡 終點(diǎn) 和三個(gè)無窮遠(yuǎn)處 法則4 2 0 3 為實(shí)軸上的根軌跡 法則3根軌跡的漸近線 n 4 m 1 故有三條漸近線 75 法則5實(shí)軸上無相鄰極點(diǎn)或相鄰零點(diǎn)的根軌跡 無分離點(diǎn) 法則6確定起始角 法則7根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 閉環(huán)系統(tǒng)特征方程 令s j 代入系統(tǒng)閉環(huán)特征方程 76 令其實(shí)部和虛部分別為零 有 有 舍 此時(shí) 由閉環(huán)特征方程列勞斯表 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)也可以用勞斯表求得 令s1行首列為零 有 77 w k solve 5 w 3 6 k w 0 w 4 8 w 2 2 k 0 w 05 13 1 2 115 13 1 2 11 5 13 1 2 11 5 13 1 2 11 k 0 13 1 2 1 1 2 13 1 2 1 1 2 13 1 2 1 1 2 13 1 2 1 1 2 78 k solve 6 k 50 k 34 k k 5 13 1 2 11 7 0278 5 13 1 2 11 7 0278 79 以s2行系數(shù)列輔助方程 有 故根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為 此時(shí)開環(huán)增益為 80 81 82 4 2根軌跡繪制的基本法則1 繪制根軌跡的基本法則 法則8 根之和與根之積 系統(tǒng)閉環(huán)特征方程 在n m且n m 1時(shí) 開環(huán)n個(gè)極點(diǎn)之和總等于閉環(huán)特征方程n個(gè)根之和 si為系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的根 83 證明 在n m的一般情況下 系統(tǒng)閉環(huán)特征方程可表示為 當(dāng)時(shí) a1與K 無關(guān) 無論K 為何值 根之和不變 K 增大 一些根軌跡分支向左移動(dòng) 則一定會(huì)相應(yīng)有另外一些根軌跡分支向右移動(dòng) 84 第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4 3廣義根軌跡 在控制系統(tǒng)中 除根軌跡增益K 以外 其它情形下的根軌跡統(tǒng)稱為廣義根軌跡 如系統(tǒng)的參數(shù)根軌跡 開環(huán)傳遞函數(shù)中零點(diǎn)個(gè)數(shù)多于極點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)的根軌跡 以及零度根軌跡等均可列入廣義根軌跡這個(gè)范疇 通常 將負(fù)反饋系統(tǒng)中K 變化時(shí)的根軌跡叫做常規(guī)根軌跡 85 1 參數(shù)根軌跡 以非開環(huán)增益為可變參數(shù)繪制的根軌跡為參數(shù)根軌跡 以區(qū)別以開環(huán)增益K 為可變參數(shù)的常規(guī)根軌跡 繪制參數(shù)根軌跡的法則與繪制常規(guī)根軌跡的完全相同 只要在繪制參數(shù)根軌跡之前 引入等效單位反饋系統(tǒng)和等效傳遞函數(shù)概念 則常規(guī)根軌跡的所有繪制法則 均適用于參數(shù)根軌跡的繪制 86 為此 需要對(duì)閉環(huán)特征方程 做如下等效變換 變成下面形式 A為除K 以外的任意可變參數(shù) P s 和Q s 為兩個(gè)與A無關(guān)的首一多項(xiàng)式 由于上述兩個(gè)式子等效 于是得到等效的單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 利用此式畫出的根軌跡 就是以參數(shù)A為變量的參數(shù)根軌跡 87 關(guān)于等效的概念 此處的等效僅在閉環(huán)極點(diǎn)相同這一點(diǎn)上成立 而閉環(huán)零點(diǎn)未必相同 由于閉環(huán)零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的性能也有影響 所以由閉環(huán)零極點(diǎn)分布來分析和估算系統(tǒng)性能時(shí) 可采用參數(shù)根軌跡上的閉環(huán)極點(diǎn) 但必須采用原來閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn) 這一處理方法和結(jié)論 對(duì)繪制開環(huán)零極點(diǎn)變化時(shí) 同樣適用 88 89 對(duì)于系統(tǒng)II和III具有相同的開環(huán)傳遞函數(shù) 但閉環(huán)傳遞函數(shù)各自為 繪制根軌跡時(shí)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為 盡管有相同的根軌跡 但閉環(huán)系統(tǒng)性能卻不同 這是因?yàn)楦髯缘拈]環(huán)零點(diǎn)不同 90 91 例 計(jì)算等效傳遞函數(shù) 以Ta為變量繪制參數(shù)根軌跡 解 92 同除 得 93 94 例 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 其中開環(huán)增益K可自行選定 分析時(shí)間常數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響 解 閉環(huán)特征方程 95 等效開環(huán)極點(diǎn) 注 若分母多項(xiàng)式為高次時(shí) 無法解析求解等效開環(huán)極點(diǎn) 則運(yùn)用根軌跡法求解 如本例 求解分母特征根的根軌跡方程為 在本例中 K可自行選定 選定不同K值 然后將G1 s 的零 極點(diǎn)畫在s平面上 在令繪制出變化時(shí)的參數(shù)根軌跡 96 97 98 2 附加零點(diǎn)的作用 1 附加適當(dāng)?shù)拈_環(huán)零點(diǎn)可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性 設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為 附加的開環(huán)實(shí)數(shù)零點(diǎn) 其值可在s左半平面內(nèi)任意選擇 當(dāng)時(shí) 表明不存在有限零點(diǎn) 令為不同的數(shù)值 對(duì)應(yīng)的根軌跡如下所示 a 無開環(huán)零點(diǎn) b c d 99 開環(huán)無零點(diǎn) 100 2 附加開環(huán)零點(diǎn)的作用 漸近線與實(shí)軸傾角隨著m數(shù)增大而增加 根軌跡向左方向彎曲 漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)隨著zc增大 zc點(diǎn)在實(shí)軸上向右移 而左移 提高了系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性 開環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響 101 增加一個(gè)開環(huán)負(fù)實(shí)數(shù)零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)根軌跡的影響1 改變了實(shí)軸上根軌跡的分布 2 改變了根軌跡漸近線的條數(shù) 與實(shí)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及夾角的大小 3 使系統(tǒng)的根軌跡向左偏移 提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定度 有利于改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能 開環(huán)負(fù)實(shí)零點(diǎn)離虛軸越近 這種改善作用越大 4 開環(huán)零點(diǎn)與極點(diǎn)重合或相近時(shí) 對(duì)根軌跡的影響可以忽略不計(jì) 可抵消有損系統(tǒng)性能的極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生的不利影響 102 2 附加開環(huán)零點(diǎn)的目的 除了改善系統(tǒng)穩(wěn)定性之外 還可以改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能 結(jié)論 只有當(dāng)附加零點(diǎn)相對(duì)原有系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn)的位置選配適當(dāng) 才有可能使系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能同時(shí)得到明顯的改善 103 前面討論的系統(tǒng)根軌跡 其閉環(huán)系統(tǒng)特征方程需要滿足的相角條件是 2k 1 180o 2k 1 k 2 1 0 1 2 這種根軌跡稱作180o根軌跡 有些情況下 根軌跡的幅角滿足的條件不是180o 2k 1 而是2k 0o 360ok 0o 這樣的根軌跡就是零度根軌跡 零度根軌跡的特征方程的表現(xiàn)形式為 3 零度根軌跡 104 其特點(diǎn)是系統(tǒng)閉環(huán)特征方程中右側(cè)為 1時(shí) 左側(cè)s的首一多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)前有 號(hào) 故根軌跡的幅值條件不變 但相角條件改變了 105 零度根軌跡的來源 一是系統(tǒng)在s平面的右半側(cè)有開環(huán)零極點(diǎn) 并且這種系統(tǒng)包含s最高次冪的系數(shù)為負(fù)的因子 這一般由于被控對(duì)象 如飛機(jī) 導(dǎo)彈的本身特性所產(chǎn)生的 或者是在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖變換過程中所產(chǎn)生的 二是控制系統(tǒng)中包含有正反饋內(nèi)回路 這一般是由于某種性能指標(biāo)要求 使得在復(fù)雜的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中 必須包含正反饋內(nèi)回路所致 106 解 閉環(huán)特征方程 故 例 如圖示系統(tǒng) 其中有一開環(huán)零點(diǎn)在s的右半平面上 為常數(shù) 107 解 閉環(huán)