本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 論文 本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 論文 基于小波變換的腦電信號(hào)去噪方法 燕山大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) 論文 任務(wù)書(shū) 學(xué)院 系級(jí)教學(xué)單位 學(xué) 號(hào) 學(xué)生 姓名 專 業(yè) 班 級(jí) 題目名稱 題目性質(zhì) 1 理工類 工程設(shè)計(jì) 工程技術(shù)實(shí)驗(yàn)研究型 理論研究型 計(jì)算機(jī)軟件型 綜合型 2 管理類 3 外語(yǔ)類 4 藝術(shù)類 題目類型1 畢業(yè)設(shè)計(jì) 2 論文 題 目 題目來(lái)源科研課題 生產(chǎn)實(shí)際 自選題目 主 要 內(nèi) 容 基 本 要 求 參 考 資 料 周 次第 周第 周第 周第 周第 周 應(yīng) 完 成 的 內(nèi) 容 指導(dǎo)教師 職稱 年 月 日 系級(jí)教學(xué)單位審批 年 月 日 表題黑體小三號(hào)字 內(nèi)容五號(hào)字 行距 18 磅 此行文字閱后刪除 摘要 I 摘要 腦電信號(hào) EEG 是腦神經(jīng)細(xì)胞電生理活動(dòng)在大腦皮層或頭皮表面的總 體反映 其中包含了大量的生理和病理信息 并可以用許多特征量來(lái)描述其 特征信號(hào) 通過(guò)腦電分析來(lái)認(rèn)識(shí)腦的活動(dòng)是一種有效的無(wú)創(chuàng)手段 人體腦 電信號(hào)非常微弱 為了提高腦電信號(hào)的性能和檢測(cè)效率 必須對(duì)腦電信號(hào) 進(jìn)行去噪處理 小波理論的形成是數(shù)學(xué)家 物理學(xué)家和工程師們多學(xué)科共同努力的結(jié) 果 現(xiàn)在小波分析正運(yùn)用在眾多自然科學(xué)領(lǐng)域 已經(jīng)成為當(dāng)前最強(qiáng)有力的 分析工具之一 而且還在繼續(xù)蓬勃向前發(fā)展著 研究小波的新理論 新方 法以及新應(yīng)用具有重要的理論意義和實(shí)用價(jià)值 在噪聲中如何準(zhǔn)確地檢測(cè) 到信號(hào)一直是信號(hào)處理領(lǐng)域所關(guān)心的內(nèi)容 小波變換由于具有良好的時(shí)頻 局部化特性 能夠?qū)Ω鞣N時(shí)變信號(hào)進(jìn)行有效的分解 從而較好地將信號(hào)與 噪聲加以分離 獲得滿意的去噪效果 本文對(duì)小波分析在腦電信號(hào)去噪中 的應(yīng)用進(jìn)行了較為深入研究和討論 本文首先介紹了小波基本理論和基于傳統(tǒng)小波分析的信號(hào)去噪原理以 及幾種常用的方法 在幾種方法中 因小波閉值去噪法 原理簡(jiǎn)單易行 效果較好且是本文研究的其他幾種小波分析方法去噪處理的基礎(chǔ) 所以本 文在基于MATLAB實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上選取實(shí)驗(yàn)效果較好的小波函數(shù) 在不同闡值 和闡值函數(shù)的情況下對(duì)這種方法做了較為詳細(xì)地腦電信號(hào)去噪比較研究 小波變換是一種信號(hào)的時(shí)間一尺度分析方法 具有多分辨率分析的特 點(diǎn) 對(duì)信號(hào)具有自適應(yīng)性 本文提出了一種基于正交小波變換的腦電信號(hào) 去噪方法 試驗(yàn)表明 該方法具有很好的有效性 關(guān)鍵詞 腦電信號(hào) 小波變換 去噪 燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 論文 II Abstract The Electroencephalograph EEG is the total reflenction of brain nerve cells through the electric signal record electrode from scalp It contains a great deal of physiology and pathologic information and we can use many characteristics quantity to describe its specificity EEG analysis is an effective noninvasive approach for us to understand the mechanism of brain activity The EEG signal is one of mini voltage In order to improve the performance of EEG and increase the measure efficiency we must eliminate the noise in EEG The theory of the wavelet originates with mathematicians physicists and engineers together and now the wavelet analysis is very popular in many fields of science as one of the most efficient tool to analysis or deal the problem furthermore it will still progress forward in the future To study the new theory methods and applications of wavelets is of great theoretical significance and practical value Estimating the original signals from noise has always been an important part in the field of signal processing Because of it s fine time frequency localization characteristic wavelet transform can effectively discriminate signals from noise and achieves pretty good performance This paper chiefly studying the application of wavelet analysisin EEG signalde noising Firstly this paper introduce the theory of wavelet and principle of signal denoising based on wavelet and then studying several denoising methods Because threshold denoising has simple algorithm and good denoising result moreover it is the base of other denoising methods discussed in this paper this paper make a comparison study of EEG signal denoising based on MATLAB platform using diferent threshold functions and threshold value but using one wavelet function Wavelet transform is a kind of analytical tool in time scale domain It has the feature of multi resolution analysis and the adaptaion characteristic for signal A noise rejection method with positive join wavelet transform was 燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 論文 III proposed here Experiments show that the proposed method has good efficiency Key words EEG wavelet transform noise rejection IV 摘要摘要 I ABSTRACT II 第第 1 章章 緒論緒論 1 1 1 引言 1 1 2 小波變換的背景 2 1 3 信號(hào)處理的背景 4 1 4 腦電信號(hào)去噪 5 第第 2 章章 小波變換小波變換 6 2 1 時(shí)頻分析方法 6 2 1 1 短時(shí)傅立葉變換 STFT 6 2 1 2 Wigner Ville 分布 8 2 1 3 小波變換的思想 9 2 2 連續(xù)小波基函數(shù) 11 2 3 小波變換 12 2 3 1 連續(xù)小波變換 12 2 3 2 離散小波變換 13 2 3 3 二進(jìn)小波變換 14 2 4 多分辨率分析與離散小波快速算法 14 2 4 1 多分辨率分析 14 2 4 2 離散小波變換的快速算法 16 2 5 MALLAT 的快速算法 17 2 6 本章小結(jié) 18 第第 3 章章 基于小波變換去噪方法的研究基于小波變換去噪方法的研究 19 3 1 經(jīng)典的濾波去噪方法 19 3 2 基于小波變換模極大值去噪方法的研究 20 3 2 1 小波變換模極大值的定義 20 3 2 2 模極大值隨著尺度的變化規(guī)律 21 V 3 2 3 一種新的子波域?yàn)V波算法 24 3 3 小波閾值去噪方法的研究 26 3 3 1 小波閾值去噪處理的方法 26 3 3 2 軟閾值的選擇方法 28 3 3 3 噪聲在小波分解下的特性 29 3 3 4 小波函數(shù)的選擇 30 3 4 利用小波包進(jìn)行信號(hào)消噪處理 34 3 4 1 小波包變換的基本原理 34 3 4 2 小波包的定義 35 3 4 3 運(yùn)用小波包消噪 36 3 5 本章小結(jié) 37 第四章第四章 腦電信號(hào)去噪腦電信號(hào)去噪 37 4 1 腦電信號(hào) 37 4 1 1 腦電信號(hào)背景 37 4 1 2 腦電信號(hào)的特征與采集 38 4 1 3 腦電信號(hào)預(yù)處理 41 4 2 小波去噪的 MATLAB 仿真 44 4 2 1 Matlab 的小波分析 44 4 2 2 Matlab 仿真去噪 45 4 3 本章小結(jié) 49 結(jié)論結(jié)論 49 參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn) 50 致致 謝謝 51 附錄附錄 1 51 附錄附錄 2 51 第 1 章 緒論 1 第 1 章 緒論 1 1 引言 腦電信號(hào)EEG Electroencephalograph 是人體一種基本生理信號(hào) 蘊(yùn)涵 著豐富的生理 心理及病理信息 腦電信號(hào)的分析及處理無(wú)論是在臨床上 對(duì)一些腦疾病的診斷和治療 還是在腦認(rèn)知科學(xué)研究領(lǐng)域都是十分重要的 由于腦電信號(hào)存在非平穩(wěn)性且極易受到各種噪聲干擾 特別是工頻干擾 因此消除原始腦電數(shù)據(jù)中的噪聲 以更好地獲取反映大腦活動(dòng)和狀態(tài)的有 用信息是進(jìn)行腦電分析的一個(gè)重要前提 近年來(lái) 隨著電子技術(shù)的迅猛發(fā)展 信息獲取的手段 精度 速度都 有了很大的提高 特別是在非平穩(wěn)信號(hào)分析理論上的一系列重大進(jìn)展為非 平穩(wěn)信號(hào)提供了新的處理與分析手段 小波分析理論則是這一系列重大進(jìn) 展中的一個(gè) 小波變換對(duì)于信號(hào)的高頻成分使用逐漸尖銳的時(shí)間分辨率以 便移近觀察信號(hào)的快變成分 對(duì)于低頻成分使用逐漸尖銳的頻率分辨率以 便移遠(yuǎn)觀察信號(hào)的慢變成分 整體變化趨勢(shì) 小波這種 既見(jiàn)樹(shù)木又見(jiàn)森 林 的信號(hào)分析表示特征對(duì)分析非平穩(wěn)信號(hào)是非常有效的 利用小波變換的 多分辨率特性 將含有噪聲的腦電信號(hào)進(jìn)行多尺度分解 得到不同頻帶的 子帶信號(hào) 然后對(duì)含有工頻干擾的子帶信號(hào)進(jìn)行處理 以達(dá)到去除工頻干 擾及其它噪聲的目的 與傳統(tǒng)的傅里葉變換相比較 小波變換是一種多尺度信號(hào)分析方法 具有良好的時(shí)頻局部化特性 非常適合分析非平穩(wěn)信號(hào)的瞬態(tài)特性和時(shí)變 特性 這正是分析EEG所需要的 EEG中許多病變都是以瞬態(tài)形式表現(xiàn)的 只有結(jié)合時(shí)間和頻率進(jìn)行處理 才能取得更好效果 但小波分解每次只分 解上次分解的低頻部分 而不分解高頻部分 所以高頻段分辨率較差 而 小波包分解是一種從小波分解延伸出的更細(xì)致的分解和重構(gòu)信號(hào)的方法 它不但分解低頻部分 而且還能二次分解高頻部分 能夠很好地將頻率分 辨率調(diào)整到與腦電節(jié)律特性相一致 因此小波包分解具有更好的濾波特性 若將小波包方法引入腦電信號(hào)分析 不僅可以克服傳統(tǒng)腦電分析的不 足 還可以改進(jìn)Mallat算法分析實(shí)際腦電中的不足 燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 論文 2 小波變換在腦電信號(hào)處理中將具有更廣闊的應(yīng)用前景 有關(guān)資料表明 國(guó)內(nèi)外一些科研人員正從事用小波分析理論進(jìn)行腦電信息處理和提取方面 的研究工作 1 2 小波變換的背景 雖然小波的發(fā)展歷史不長(zhǎng) 然而小波的思想可以追溯到1910 年Harr 的工作 Harr 首先提出一種緊支結(jié)構(gòu)的小波規(guī)范正交基 Harr 基 由 于Harr 基的不連續(xù)性 而未能得到廣泛的應(yīng)用 1982 年法國(guó)地球物理學(xué) 家J Morlet在分析處理地震信號(hào)時(shí) 首次引入了 小波 Wavelet 的概念 并 應(yīng)用一種無(wú)限支集的非正交小波將信號(hào)分解在時(shí)間與尺度域 對(duì)于大小不 同的尺度成分采用相應(yīng)粗細(xì)的時(shí)域或空域取樣步長(zhǎng) 從而可以聚焦到信號(hào) 的任意細(xì)節(jié) 之后 他與理論物理學(xué)家A Grossmann一起開(kāi)創(chuàng)性的提出了連 續(xù)小波變換的幾何體系 然而 真正的小波熱開(kāi)始于1986 年 法國(guó)著名數(shù) 學(xué)家Y Weyer在知道了J Morlet 和A Grossmann 的工作以后 從理論上對(duì)小 波分析作了一系列研究工作 構(gòu)造了具有一定衰減性質(zhì)的光滑函數(shù) 它的 二進(jìn)伸縮和平移系 2 2 2 jj j k xxkj kZyy 構(gòu)成了空間的規(guī)范正交基 一舉打破了長(zhǎng)期以來(lái)人們認(rèn)為這樣的函數(shù) 2 L R 不能存在的設(shè)想 從而激起了人們對(duì)小波研究的極大熱情 1988 年 I Daubechies完善了由Harr 開(kāi)頭的工作 構(gòu)造了一系列具有 有限支集 即緊支集 的小波正交基 被譽(yù)為Daubechies 基 有機(jī)的將信號(hào)處 理的概念與范函分析理論聯(lián)系了起來(lái) 成為目前小波理論研究的最重要的 文獻(xiàn)之一 Daubechies 基提供的比Harr 基更有效的分析和綜合效果 證明 它們無(wú)可爭(zhēng)辯的成功 1989 年從事信號(hào)處理的S Mallat發(fā)現(xiàn)Crossier Esteban 和Calandde正 交鏡像濾波器 Burt 和Adelson 的金字塔算法 Stromberg 和他的正交小 波基之間有密切關(guān)系 進(jìn)而得出多分辨率分析 他用這一概念建立了小波 理論的統(tǒng)一體系 首次將小波理論與多分辨率分析聯(lián)系起來(lái) 并給出了小 波變換快速分解和重構(gòu)的塔式 后被人們稱為Mallat 算法 Mallat 算法在 第 1 章 緒論 3 小波分析中的地位相當(dāng)于快速傅立葉變換在傅立葉分析中的地位 之后 Mallat 和Daubechies 合作研究發(fā)現(xiàn)尺度函數(shù) 小波函數(shù)與其對(duì)應(yīng)的共軛濾 波器之間有著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系 不僅從尺度函數(shù)和小波函數(shù)可以得到對(duì)應(yīng) 的共軛濾波器組 而且 也可以從一組共軛濾波器出發(fā) 得到他們對(duì)應(yīng)的 尺度函數(shù)和小波函數(shù) 將數(shù)學(xué)上的多分辨分析和數(shù)字信號(hào)處理中的多采樣 濾波器緊密的聯(lián)系起來(lái)了 進(jìn)入九十年代以后 小波理論和方法有了許多新進(jìn)展 1990 年 J Kovacevic M Vetterli提出了雙正交小波理論 根據(jù)這一理論 分析小波 和重構(gòu)小波函數(shù)可以采用兩種不同的函數(shù)系 同年崔錦泰和王建忠將其推 廣為FIR 和IIR 互對(duì)偶的非正交濾波器組形式 從而構(gòu)造了基于樣條函數(shù) 的所謂單正交小波函數(shù) 另外一個(gè)重要的進(jìn)展是R R Coifman 和 M V Wickerhauser提出的 小波包 理論 給出了最佳小波基準(zhǔn)則 其全局的 頻率細(xì)化估計(jì)突破了小波分析等Q 結(jié)構(gòu)和STFT 頻帶等寬的限制 為信號(hào) 自適應(yīng)頻帶劃分提供了可能 目前 美國(guó)聯(lián)邦調(diào)查局 FBI 發(fā)布的基于線性 相位雙正交子波分解的指紋圖像壓縮方法已經(jīng)形成國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)建議 并成功 的應(yīng)用于圖象處理的其他領(lǐng)域 近年來(lái) D L Donoho提出了內(nèi)差小波的概 念 Gernimo Hardin 和Massopust 設(shè)計(jì)了一種具有分形結(jié)構(gòu)的小波函數(shù) 后人將其引申為高維小波函數(shù) 目前 這些已成為小波分析研究的新熱點(diǎn) 經(jīng)過(guò)十幾年的發(fā)展 小波分析不僅在理論和方法上不斷取得突破性進(jìn) 展 而且已經(jīng)深入到非線性逼近 分形與混沌學(xué) 計(jì)算機(jī)圖形學(xué) 數(shù)字通 信 地震勘測(cè) 雷達(dá)成像 圖象處理 計(jì)算機(jī)視覺(jué)與編碼 生物醫(yī)電 時(shí) 變估計(jì)和檢測(cè) 以及語(yǔ)音合成等諸多領(lǐng)域 其涉及面之廣 影響之大 發(fā) 展之迅猛是空前的 目前 小波分析已成為一門多學(xué)科綜合 交叉發(fā)展的 技術(shù)領(lǐng)域 從理論上 我們把小波變換可以分為連續(xù)小波變換 CWT 連續(xù)信號(hào) 離散參數(shù)的小波級(jí)數(shù)變換 WST 以及離散信號(hào)離散參數(shù)的離散小波 包 DWT 變換等 作為一種數(shù)學(xué)工具 每一種小波變換都有一定的適用范圍 實(shí)際應(yīng)用時(shí)一定要結(jié)合小波變換的固有特點(diǎn) 面向更能發(fā)揮小波函數(shù)時(shí)頻 燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 論文 4 局部性特點(diǎn)的問(wèn)題 只有這樣才能得到好的結(jié)果 為此本文將結(jié)合實(shí)際應(yīng) 用問(wèn)題 對(duì)小波變換的理論和方法在實(shí)際中的性能進(jìn)行仔細(xì)的研究 給出 切合實(shí)際的算法 1 3 信號(hào)處理的背景 Fourier 法國(guó)數(shù)學(xué)家 于1822 年提出了Fourier 理論 Fourier 分析方法的應(yīng)用使科學(xué)和技術(shù)領(lǐng)域發(fā)生了極大的變化 目前在 信號(hào)處理方面Fourier 變換是不可缺少的分析工具 但傅里葉變換只是一種 純頻域的分析方法 它在頻域的定位是完全準(zhǔn)確的 即頻域分辨率最高 而在時(shí)域無(wú)任何定位 或分辨能力 即傅里葉變換所反映的是整個(gè)信號(hào)全 部時(shí)間下的整體頻域特征 而不能提供任何局部時(shí)間段上的頻域信息 只 適用于平穩(wěn)信號(hào)的分析 相反 當(dāng)一個(gè)函數(shù)用 函數(shù) 1 2 0 t x t t t t t t 展開(kāi)的時(shí)候 它在時(shí)間域的定位是完全準(zhǔn)確的 而在頻域卻無(wú)任何定位性 或分辨能力 即 函數(shù)分析所反映的是信號(hào)在全部頻率上的整體時(shí)域特性 而不能提供任何頻率段所對(duì)應(yīng)的時(shí)間信息 實(shí)際中 一些常見(jiàn)的非平穩(wěn)信號(hào)的頻域特性都隨時(shí)間而變換 因此也 可稱為時(shí)變信號(hào) 對(duì)時(shí)變信號(hào)的分析通常需要提取某一時(shí)間段的頻域信息 或某一頻率段所對(duì)應(yīng)的時(shí)間信息 因此 信號(hào)處理人士長(zhǎng)期以來(lái)努力尋求 一種介于傅里葉分析和 分析之間的 并具有一定的時(shí)間和頻率分辨率的 基函數(shù)來(lái)分析時(shí)變信號(hào) 為了研究信號(hào)在局部時(shí)間范圍的特性 1946 年Gabor提出了著名的 Gabor 變換 之后又進(jìn)一步發(fā)展為短時(shí)傅里葉變換 STFT 目前 STFT exp F jf tj t dtww 第 1 章 緒論 5 變換已在許多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用 但由于STFT 的定義決定了其窗函 數(shù)的大小和形狀均與時(shí)間和頻率無(wú)關(guān)而保持固定不變 這對(duì)于分析時(shí)變信 號(hào)來(lái)說(shuō)是不利的 高頻信號(hào)一般持續(xù)時(shí)間短 而低頻信號(hào)持續(xù)時(shí)間長(zhǎng) 因 此 我們期望對(duì)于高頻信號(hào)采用小時(shí)間窗 對(duì)低頻信號(hào)則采用大時(shí)間窗分 析 在進(jìn)行信號(hào)分析時(shí) 這種變時(shí)間窗的要求同STFT 的固定時(shí)窗的特性 是相矛盾的 這些不足之處恰恰是小波變換的特長(zhǎng)之所在 小波變換不僅 繼承和發(fā)展了STFT 的局部化的思想 而且克服了窗口大小不隨頻率變化 缺乏離散正交基的特點(diǎn) 是一種理想的進(jìn)行信號(hào)處理的數(shù)學(xué)工具 但是 需要指出小波理論的思想來(lái)源于Fourier 分析 它不能代替傅立 葉分析 它是傅立葉分析的新發(fā)展 Fourier 分析和小波分析分別適用于不 同的應(yīng)用場(chǎng)合 在實(shí)際應(yīng)用中 將兩者結(jié)合起來(lái)才能取得理想的效果 1 4 腦電信號(hào)去噪 腦電 EEG 中蘊(yùn)涵著豐富的生理 心理及病理信息 腦電信號(hào)的分析 及處理無(wú)論是在臨床上對(duì)一些腦疾病的診斷和治療 還是在腦認(rèn)知科學(xué)研究 領(lǐng)域都是十分重要的 由于腦電信號(hào)存在非平穩(wěn)性且極易受到各種噪聲干 擾 特別是工頻干擾 因此如何消除原始腦電數(shù)據(jù)中的噪聲以更好地獲取 反映大腦活動(dòng)和狀態(tài)的有用信息是進(jìn)行腦電分析的一個(gè)重要前提 幾十年 來(lái) 人們已積累了大量腦電信息處理與提取方面的經(jīng)驗(yàn) 提出了一系列電 腦信息處理理論和方法 但很少有突破性進(jìn)展 近年來(lái) 隨著電子技術(shù)的迅猛發(fā)展 信息獲取的手段 精度 速度都 有了很大的提高 特別是在非平穩(wěn)信號(hào)分析理論上的一系列重大進(jìn)展為非 平穩(wěn)信號(hào)提供了新的處理與分析手段 小波分析理論則是這一系列重大進(jìn) 展中的一個(gè) 小波變換對(duì)于信號(hào)的高頻成分使用逐漸尖銳的時(shí)間分辨率以 便移近觀察信號(hào)的快變成分 對(duì)于低頻成分使用逐漸尖銳的頻率分辨率以 便移遠(yuǎn)觀察信號(hào)的慢變成分 整體變化趨勢(shì) 小波這種 既見(jiàn)樹(shù)木又見(jiàn)森 林 的信號(hào)分析表示特征對(duì)分析非平穩(wěn)信號(hào)是非常有效的 利用小波變換的 多分辨率特性 將含有噪聲的腦電信號(hào)進(jìn)行多尺度分解 得到不同頻帶的 子帶信號(hào) 然后對(duì)含有工頻干擾的子帶信號(hào)進(jìn)行處理 以達(dá)到去除工頻干 燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 論文 6 擾及其它噪聲的目的 隨著小波變換的不斷發(fā)展 國(guó)內(nèi)外許多研究者將小波分析用于生物醫(yī)學(xué) 信號(hào)的提取及去噪處理 小波變換是一種把時(shí)間和頻率兩域結(jié)合起來(lái)的時(shí) 頻分析方法 在時(shí)頻域都具有表征信號(hào)局部特征的能力 小波變換具有以 下幾個(gè)特點(diǎn) 1 多分辨率 多尺度 2 品質(zhì)因素 即相對(duì)帶寬 中心頻率與帶寬之比 恒定 3 選擇適當(dāng)?shù)幕拘〔?可使小波在時(shí) 頻兩域都具有表征信號(hào)局部特征的 能力 利用小波變換的多分辨率特性 將含有噪聲的腦電信號(hào)進(jìn)行多尺度 分解 得到不同頻帶的子帶信號(hào) 然后對(duì)含有工頻干擾的子帶信號(hào)進(jìn)行處 理 以達(dá)到去除工頻干擾的目的 第 2 章 小波變換 2 1 時(shí)頻分析方法 信號(hào)分析的主要目的就是尋求一種簡(jiǎn)單而有效的方法來(lái)描述信號(hào) 以 便讓信號(hào)所包含的主要信息顯示出來(lái) 經(jīng)典的表示方法是采用三角函數(shù)系 和Haar 系 Haar 系中函數(shù)的時(shí)域是完全局部化的 可它在頻域局部性極 差 三角函數(shù)系在頻域里完全局部化 但無(wú)任何時(shí)間 空間 局部性 上述 兩種方法說(shuō)明不可能同時(shí)獲得時(shí)域和頻域局部化最佳 如果頻率分辨率提 高 時(shí)域分辨率將下降 反之亦然 任何能量有限信號(hào)可由其Fourier 變換 來(lái)表示 并且有其明確的物理意義 因而決定了Fourier 分析成為信號(hào)分析 的主要工具 然而 Fourier 變換反映的是信號(hào)整個(gè)時(shí)域?qū)︻l率的貢獻(xiàn) 如 果一個(gè)信號(hào)在某一刻的一個(gè)小的鄰域中發(fā)生了變化 信號(hào)的整個(gè)頻率就會(huì) 受到影響 本質(zhì)上說(shuō)是由于Fourier 變換中的積分和平滑了信號(hào)的突變部分 無(wú)法確定信號(hào)發(fā)生變化的時(shí)間位置和變化的劇烈程度 即不能刻畫(huà)信號(hào)的 局部奇異性 在實(shí)際問(wèn)題處理中 卻常常需要刻畫(huà)局部時(shí)間范圍內(nèi)信號(hào)的 頻譜信息 也就是我們常說(shuō)的局部化時(shí) 頻分析 經(jīng)過(guò)人們的共同探索 在時(shí)頻分析方法上取得顯著的成效 其主要方法有 短時(shí)Fourier 變換 W V 分布和小波分析 第 1 章 緒論 7 2 1 1 短時(shí)傅立葉變換 STFT 短時(shí)傅立葉變換亦稱加窗傅立葉變換 它起初是在一九四六年 D Gabor為了對(duì)信號(hào)實(shí)現(xiàn)時(shí)頻局部化分析而提出來(lái)的 其基本思想是 用一 個(gè)有限區(qū)間外恒等于零的光滑函數(shù) 稱之為窗函數(shù) 去截取所要研究的信號(hào) 然后對(duì)其進(jìn)行傅立葉變換 從而可以對(duì)信號(hào)進(jìn)行時(shí)頻局部化分析 它的這 一思想本質(zhì)上是將所研究的信號(hào)分解成一系列短時(shí)信號(hào)的疊加 每一短時(shí) 信號(hào)是通過(guò)窗函數(shù)的不同位置作用所研究信號(hào)而得到 且通過(guò)窗函數(shù)的選 取 每一短時(shí)信號(hào)可以認(rèn)為是平穩(wěn)信號(hào) 可用傅立葉變換進(jìn)行分析 從而 實(shí)現(xiàn)了信號(hào)的時(shí)頻局部化分析 對(duì)信號(hào) 其加窗傅立葉變換定義為 2 f tLR j Fff t g tedt w t wtwtt 其中g(shù) t 為窗函數(shù) 為瞬時(shí)角頻率 直觀上講 如果要求信號(hào)f t 在時(shí)域和頻域上都是局部的 那么f t 與它的 傅立葉變換F 應(yīng)該都具有緊支集 然而我們根據(jù)解析函數(shù)理論可知 不 存在這樣的能量有限信號(hào) 因而僅能在概率分布定義上去劃刻信號(hào)的時(shí)頻 局部性 為此人們引入時(shí) 相平面來(lái)分析信號(hào)的時(shí)頻局部性 式 3 1 表明 隨著參數(shù) 的變化 加窗傅立葉變換F 實(shí)現(xiàn)了 信號(hào)f t 的時(shí)間頻率局部化 但其頻率與所選擇的窗口有關(guān) 而窗的分辨率 可用窗的面積大小來(lái)衡量 面積越小 窗的時(shí) 頻局部化能力越強(qiáng) 然而受 Heisenberg 測(cè)不準(zhǔn)原理影響 窗口不可能任意的小 因而限制了加窗傅立 葉變換的應(yīng)用 測(cè)不準(zhǔn)原理 如果 且為一個(gè)窗函數(shù) 則 2 g tLR 2 GLRw 且等號(hào)成立的充分必要條件是 1 2g GD D 1 22 1 2exp 2 jat g tceatbap 式中 且 0 0ca a bR 測(cè)不準(zhǔn)原理認(rèn)為時(shí)間 頻率局部化是一對(duì)基本矛盾 如果時(shí)域分辨率提 高 頻域分辨率就會(huì)下降 反之亦然 時(shí)域局部化的最佳窗為高斯窗 燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 論文 8 加窗傅立葉變換從純時(shí)域分析和純頻域分析向時(shí) 頻局部化分析大大 邁進(jìn)了一步 實(shí)現(xiàn)信號(hào)的時(shí) 頻局部化分析 然而加窗傅立葉變換存在其 固有的缺點(diǎn) 其一 在加窗傅立葉變換中 窗函數(shù)一旦取定 窗口的大小 就隨之而確定下來(lái) 而與窗口的位置無(wú)關(guān) 因此 加窗傅立葉變換不適于 分析同時(shí)包括低頻和高頻信息的信號(hào) 其二 在具體實(shí)際處理中 常采用 離散加窗傅立葉變換 離散加窗傅立葉變換的局部化特性在整個(gè)時(shí) 相平 面上是均勻分布的 為此在對(duì)頻域?qū)?頻率變化劇烈的信號(hào)進(jìn)行處理時(shí) 要正確獲得信號(hào)的高頻信息 時(shí)間局部化參數(shù)要取得很小 即窗口選的很 小 要取得相當(dāng)多的樣本點(diǎn) 這樣將大大加大計(jì)算的耗時(shí) 并且窗口太小 時(shí) 會(huì)降低低頻信號(hào)的分辨率 不適于低頻信號(hào)的分析 其三 無(wú)論采用 什么樣的方案對(duì)加窗傅立葉變換進(jìn)行離散化 均得不到一組離散正交基 因而不能用快速算法給予實(shí)現(xiàn) 鑒于上述理由 加窗傅立葉變換未能得到 廣泛的應(yīng)用 只適合分析所有特征大致相同的信號(hào) 對(duì)奇異信號(hào)和非平穩(wěn) 信號(hào)不是很有效 因而需求一種新的時(shí)頻分析工具來(lái)適于信號(hào)時(shí) 頻分析 的要求 2 1 2 Wigner Ville 分布 Wigner Ville 分布 簡(jiǎn)稱W V 是一種二次型非線性子時(shí) 頻分析方法對(duì)連續(xù) 時(shí)間數(shù)值函數(shù) 其W V 變換定義為 2 x tLR 11 22 j W tx txtedt w t wtt 如果記 則W t 是 對(duì)的傅立 2 2 x tx txtgttt x tgtt 葉變換 從而有 j x W tted w t wgtw 并且有 3 4 2 W tdtdx tdtww W V 變換是信號(hào)在時(shí) 頻二維空間上的分布 可解釋為信號(hào)在 W tw 時(shí)頻相平面的 能量密度 但W V 變換未必總為正的 為此在解釋W(xué) V變 第 1 章 緒論 9 換的含義過(guò)程中遇到了困難 W V 變換有許多優(yōu)良的性質(zhì) 在時(shí)頻分析中起了很大的積極作用 然 而它是在全實(shí)軸上定義的 不便于實(shí)時(shí)分析處理 實(shí)際問(wèn)題僅能對(duì)短數(shù)據(jù) 進(jìn)行分析處理 為此人們引入了偽W V 變換 相當(dāng)于對(duì)信號(hào)加一個(gè)隨時(shí)間 移動(dòng)的窗函數(shù) W V 變換的優(yōu)良性質(zhì)在許多領(lǐng)域都有人研究 如雷達(dá) 聲 納 地震和圖像處理等方面 但還不很成熟 原因在于W V 變換存在一些 難以克服的問(wèn)題 如交叉問(wèn)題 目前解決交叉項(xiàng)人們提出了許多方法 例 如 時(shí)頻兩軸卷積法 采用原始信號(hào)的解析信號(hào)進(jìn)行分析等 但未能找到 一種比較好的解決交叉項(xiàng)的方法 雖然W V 變換提供了信號(hào)能量在時(shí)間 頻率相平面上的分布 但給出的信息不完整 并且W V 變換與加窗傅立葉 變換一樣 在時(shí)間 頻率相平面上的頻率分辨率是相同的 不隨信號(hào)頻率 的變化而改變 因而在處理非平穩(wěn)信號(hào)和突變信號(hào)時(shí)造成困難 人們尋求 一種新的時(shí)頻分析工具 以滿足信號(hào)時(shí)頻分析的要求 小波變換正是在這 種環(huán)境下產(chǎn)生的一種新的時(shí)頻分析方法 2 1 3 小波變換的思想 小波變換繼承和發(fā)展了Gabor 的加窗傅立葉變化的局部化思想 并克 服了加窗傅立葉變換窗口大小不能隨頻率變化的不足 其基本思想來(lái)源于 可變窗口的伸縮和平移 小波變換利用一個(gè)具有快速衰減性和振蕩性的函數(shù) 成為母子波 然 后將其伸縮和平移得到了一個(gè)函數(shù)族 稱之為小波基函數(shù) 以便在一定的 條件下 任一能量有限信號(hào)可按其函數(shù)族進(jìn)行時(shí) 頻分解 基函數(shù)在時(shí) 頻 相平面上具有可變的時(shí)間 頻率窗 以適應(yīng)不同分辨率的需求 燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 論文 10 圖2 1 小波變換的時(shí)頻平面的劃分 在加窗傅立葉變換中 一旦窗函數(shù)選定 在時(shí)頻相平面中窗口的大小 是固定不變的 不隨時(shí)頻位置 t f 而變化 所以加窗傅立葉變換的時(shí) 頻分 辨率是固定不變的 小波變換的時(shí)頻相平面如圖2 1 所示 窗函數(shù)在時(shí)頻 相平面中隨中心頻率變換而改變 在高頻處時(shí)窗變窄 在低頻處頻窗變窄 因而滿足對(duì)信號(hào)進(jìn)行時(shí) 頻分析的要求 它非常適合于分析突變信號(hào)和不平 穩(wěn)信號(hào) 況且小波變換具有多分辨率分析的特點(diǎn)和帶通濾波器的特性 并 且可用快速算法實(shí)現(xiàn) 因而常用于濾波 降噪 基頻提取等 但對(duì)平穩(wěn)信 號(hào)來(lái)說(shuō) 小波分析的結(jié)果不如傅立葉變換直觀 而且母小波的不唯一性給 實(shí)際應(yīng)用帶來(lái)了困難 小波分析屬于時(shí)頻分析的一種 傳統(tǒng)的信號(hào)分析是建立在傅立葉變換 的基礎(chǔ)之上的 由于傅立葉分析使用的是一種全局的變換 只提供信號(hào)的 頻域信息 而不提供信號(hào)的任何時(shí)域信息 因此無(wú)法表述信號(hào)的時(shí)頻局域 性質(zhì) 而這性質(zhì)恰恰是非平穩(wěn)信號(hào)最根本和最關(guān)鍵的性質(zhì) 第 1 章 緒論 11 2 2 連續(xù)小波基函數(shù) 小波函數(shù)的確切定義為 設(shè)為一平方可積函數(shù) 也即 tf 若其傅立葉變換滿足 2 tLRf 2 R d w w w Y 稱 為依賴于參數(shù)a 的小波基函數(shù) 由于尺度因子a 平移因子 a t t ftt 是取連續(xù)變化的值 因此稱為連續(xù)小波基函數(shù) 它們是由同一母函 a t t f 數(shù)經(jīng)伸縮和平移后得到的一組函數(shù)系列 tf 定義小波母函數(shù)窗口寬度為 窗口中心為 則相應(yīng)可求得 tft D 0 t 連續(xù)小波 的窗口中心為 窗口寬度為 a t t f 0a tat t t a ta t t D D 同樣 設(shè)為的傅立葉變換 其頻域窗口中心為 窗口寬度 wY tf 0 w 為 設(shè)的傅立葉變換為 則有wD a t t f a t t Y 1 2 j a a ea w t t ww Y Y 所以 其頻域窗口中心為 0 1 a a t ww 窗口寬度為 1 a a t wwD D 可見(jiàn) 連續(xù)小波 的時(shí) 頻域窗口中心及寬度均隨尺度a 的變化而伸 a t t f 縮 若我們稱為窗口函數(shù)的窗口面積 由于twD D 燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 論文 12 1 aa ta tt a tt wwwD D DD DD 所以連續(xù)小波基函數(shù)的窗口面積不隨參數(shù)a 而變 這正是海森堡測(cè)不準(zhǔn)t 原理證明的 大小是相互制約的 乘積 且只有當(dāng)twD D1 2twD D 為 tf Gaussian 函數(shù)時(shí) 等式才成立 由此可得到如下幾點(diǎn)結(jié)論 1 尺度的倒數(shù)1 a在一定意義上對(duì)應(yīng)于頻率 即尺度越小 對(duì)應(yīng)頻率越w 高 尺度越大 對(duì)應(yīng)頻率越低 如果我們將尺度理解為時(shí)間窗口的話 則 小尺度信號(hào)為短時(shí)間信號(hào) 大尺度信號(hào)為長(zhǎng)時(shí)間信號(hào) 2 在任何值上 小波的時(shí) 頻窗口的大小和都隨頻率 或者1 a tt DwDw 的變化而變化 這是與STFT 的基的不同之處 3 在任何尺度a 時(shí)間上 窗口面積保持不變 也即時(shí)間 尺度分ttwD D 辨率是相互制約的不可能同時(shí)提的很高 4 由于小波母函數(shù)在頻域具有帶通特性 其伸縮和平移系列就可以看作是 一組帶通濾波器 通常將通帶寬度與中心頻率的比值稱為帶通濾波器的品 質(zhì)因數(shù) 通過(guò)計(jì)算可以發(fā)現(xiàn) 小波基函數(shù)作為帶通濾波器 其品質(zhì)因數(shù)不 隨尺度a 而變化 是一組頻率特性等Q的帶通濾波器組 2 3 小波變換 2 3 1 連續(xù)小波變換 將任意 空間中的函數(shù)f t 在小波基下進(jìn)行展開(kāi) 稱這種展開(kāi)為函數(shù)f 2 LR t 的連續(xù)小波變換 Continue Wavelet Transform 簡(jiǎn)記為CWT 其表達(dá) 式為 1 fa R t WTaf ttf tdt aa t t tff 由CWT的定義可知 小波變換同傅立葉變換一樣 都是一種積分變換 同傅立葉變換相似 稱為小波變換系數(shù) 由于小波基不同于傅立 f WTat 第 1 章 緒論 13 葉基 因此小波變換和傅立葉變換有許多不同之處 其中最重要的是 小 波基具有尺度a 平移 兩個(gè)參數(shù) 因此 將函數(shù)在小波基下展開(kāi)就意味著 將一個(gè)時(shí)間函數(shù)投影到二維的時(shí)間 尺度相平面上 并且 由于小波基本身 所具有的特點(diǎn) 將函數(shù)投影到小波變換域后 有利于提取函數(shù)的某些本質(zhì) 特征 與STFT不同的是 小波變換是一種變分辨率的時(shí)頻聯(lián)合分析方法 當(dāng) 分析低頻 對(duì)應(yīng)大尺度 信號(hào)時(shí) 其時(shí)間窗很大 而當(dāng)分析高頻 對(duì)應(yīng)小尺度 信號(hào)時(shí) 其時(shí)間窗減小 這恰恰符合實(shí)際問(wèn)題中高頻信號(hào)的持續(xù)時(shí)間短 低頻信號(hào)持續(xù)時(shí)間較長(zhǎng)的規(guī)律 2 3 2 離散小波變換 由連續(xù)小波的概念知道 在連續(xù)變化的尺度a及時(shí)間值下 小波基函t 數(shù)具有很大的相關(guān)性 體現(xiàn)在不同點(diǎn)上的CWT系數(shù)滿足重建核方程 at f 因此信號(hào)f t 的連續(xù)小波變換系數(shù) 的信息量是冗余的 雖然在某 f WTat 些情況下 其冗余性是有益的 例如在去噪 進(jìn)行數(shù)據(jù)恢復(fù)及特征提取時(shí) 常采用CWT 以犧牲計(jì)算量 存儲(chǔ)量為代價(jià)來(lái)獲得最好的結(jié)果 但在很多 情況下 我們希望在不丟失原信號(hào)f t 信息的情況下 盡量減小小波變換 系數(shù)的冗余度 減小小波變換系數(shù)冗余度的作法是將小波基函數(shù)的a 限定在一些離t 散點(diǎn)上取值 一種最通常的離散方法就是將尺度按冪級(jí)數(shù)進(jìn)行離散化 即 取 m 為整數(shù) 一般取 0 m m aa 0 1a 0 2a 關(guān)于位移的離散化 當(dāng)時(shí) 通常對(duì)進(jìn)行 0 21a a tt t fft t 均勻離散取值 以覆蓋整個(gè)時(shí)間軸 為了不丟失信息 要求采樣間隔滿t 足Nyquist采樣定理 即采樣頻率大于等于該尺度下頻率通常的2 倍 每當(dāng) m增加1 尺度a 增加一倍 對(duì)應(yīng)的頻帶減小一半 可見(jiàn)采樣率可以降低一 半 也就是采樣間隔可以增大一倍 因此 如果尺度m 0時(shí)的間隔為 t s T 則在尺度為時(shí) 間隔可取為 此時(shí)可表示為2m2m s T a t t f 2 22 m m m n ttnff m nZ 燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 論文 14 任意函數(shù)f t 的離散小波變換為 2 10 fm n R WTm nf tt dtf 2 3 3 二進(jìn)小波變換 對(duì)于尺度及位移均離散變化的小波序列 若取離散柵格的 0 2a 即相當(dāng)于連續(xù)小波只在尺度上進(jìn)行了二進(jìn)制離散 而位移仍取連0tD 續(xù)變化 我們稱這類小波為二進(jìn)小波 表示為 2 11 2 2 2 2 k k k t t t ff 二進(jìn)小波介于連續(xù)小波和離散小波之間 它只是對(duì)尺度參量進(jìn)行了離 散化 而在時(shí)間域上的平移量仍保持連續(xù)變化 因此二進(jìn)小波仍具有連續(xù) 小波變換的時(shí)移共變性 這是它較之離散小波變換所具有的獨(dú)特優(yōu)點(diǎn) 2 4 多分辨率分析與離散小波快速算法 2 4 1 多分辨率分析 多分辨率分析 Multi Resolution Analysis MRA 又稱為多尺度分析 是建立在函數(shù)空間 22 概念上的理論 但其思想的形成來(lái)源于工程 其創(chuàng)建 者S mallat 是在研究圖像處理問(wèn)題時(shí)建立這套理論 當(dāng)時(shí)研究圖像的一種 很普遍的方法是將圖像在不同尺度下分解 并將結(jié)果進(jìn)行比較 以取得有 用的信息 Meyer正交小波基的提出 使得Mallat 想到是否用正交小波基 的多尺度特性將圖像展開(kāi) 以得到圖像不同尺度間的 信息增量 這種想 法導(dǎo)致了多分辨率分析理論的建立 MRA不僅為正交小波基的構(gòu)造提供了 一種簡(jiǎn)單的方法 而且為正交小波變換的快速算法提供了理論依據(jù) 其思 想又同多采樣濾波器組不謀而合 可將小波變換同數(shù)字濾波器的理論結(jié)合 起來(lái) 因此多分辨率分析在正交小波變換理論中具有非常重要的地位 3 4 1 1 尺度函數(shù)和尺度空間 若一個(gè)函數(shù) 它的的整數(shù)平移系 2 tLRf 列滿足 k ttkff kkk k ttk kZffd 2 12 第 1 章 緒論 15 則可定義為尺度函數(shù) scale function tf 定義由在 空間張成的閉子空間為稱為零尺度空間 k tf 2 LR 0 V 2 13 0 k k VspantkZf 則對(duì)于任意 有 0 f tV 2 14 kk k f tatf 同小波函數(shù)相似 假設(shè)尺度函數(shù)在平移的同時(shí)又進(jìn)行了尺度的伸 tf 縮 得到了一個(gè)尺度和位移均可變化的函數(shù)集合 2 15 2 222 j jj j kk ttktfff 則稱每一固定尺度j上的平移系列所張成的空間為尺度為j 的尺度 2 jt f j V 空間 2 j jk k VspantkZf 對(duì)于任意 有 j f tV 2 16 2 222 j jj kkk kk f tatatkff 由此 尺度函數(shù)在不同尺度上其平移系列張成了一系列的尺度空 tf 間 由式 2 15 隨著尺度j的增大 函數(shù)的定義域變大 且實(shí) j j Z V j k tf 際的平移間隔也變大 則它的線性組合式 2 16 不能表示函數(shù) 小于 2 j tD 該尺度 的細(xì)微變化 因此其張成的尺度空間只能包括大尺度的緩變信號(hào) 相反隨著尺度j 的減小 線性組合便能表示函數(shù)的更細(xì)微 小尺度范圍 變化 因此其張成的尺度空間所包含的函數(shù)增多 包括小尺度信號(hào)的大尺度緩變信 號(hào) 尺度空間變大 也即隨著尺度的減小 其尺度空間增大 2 4 1 2 多分辨率分析的概念的引入 若把尺度理解為照相機(jī)的鏡頭的話 當(dāng)尺度由大到小變化時(shí) 就相當(dāng)于將照相機(jī)由遠(yuǎn)及近的接近目標(biāo) 在大尺 度空間里 對(duì)應(yīng)遠(yuǎn)鏡頭下觀察到的目標(biāo) 可觀測(cè)到目標(biāo)的細(xì)微部分 因此 燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 論文 16 隨著尺度由大到小的變化 在各尺度上可以由粗及精的觀察目標(biāo) 這就是 多尺度 即多分辨率 的思想 圖2 2 小波空間和尺度空間的包含關(guān)系 多分辨率分析是指滿足下列性質(zhì)的一系列閉子空間 j VjZ 1 一致單調(diào)性 21012 VVVVV 2 漸近完全性 2 0 jj j Zj Z VY VLR I 3 伸縮規(guī)則性 0 2 j j f tVftVjZ 4 平移不變性 對(duì)所有 0 0 f tVf tnV nZ 5 正交基存在性 存在 使得是的正交基 即 0 Vf n Z tnf 0 V 0 m n R n Vspantttntm dtfffd 小波空間和尺度空間的包含關(guān)系如圖2 2 所示 2 4 2 離散小波變換的快速算法 對(duì)于任意函數(shù) 可以將它分解為細(xì)節(jié)部分和大尺度逼近部 0 f tV 1 W 分 然后將大尺度逼近部分進(jìn)一步分解 如此重復(fù)就可以得到任意尺 1 V 1 V 第 1 章 緒論 17 度 或分辨率 上的逼近部分和細(xì)節(jié)部分 這就是多分辨率分析的框架 設(shè)為函數(shù)向不同尺度空間投影后所得到的j 尺度下的概 j s ft f t j V 貌信號(hào) 2 17 2 jj sj kkj kj k kk ftctctkZ F F 其中稱為尺度展開(kāi)系數(shù) j kj k cf tt F 若將函數(shù)向不同尺度的小波空間投影 則可得到不同尺度下的細(xì) f t j W 節(jié)信號(hào) j d ft 2 18 2 jj dj kkj kj k kk ftdtdtkZff 其中稱為小波展開(kāi)系數(shù) j kj k df tt F 若將按以下空間組合展開(kāi) 2 f tLR 2 19 2 J jj j LRWV 其中J為任意設(shè)定的尺度 則 2 20 J j kj kj kj k jkk f tdtctf F 當(dāng)時(shí) 上式變?yōu)镴 2 21 j kj k jk f tdtf 即對(duì)應(yīng)于時(shí)的離散小波變換綜合公式 或逆小波變換 時(shí)1AB 1AB 的小波框架為正交小波基 所以常稱式 2 20 2 21 為離散正交小波變換 綜合公式 由此可知 離散正交小波變換同多分辨率分析的思想是一致的 多分 辨率分析理論為正交小波變換提供了數(shù)學(xué)上的理論基礎(chǔ) 2 5 Mallat 的快速算法 Mallat 在Burt 和Adelson 圖象分解和重構(gòu)的拉普拉斯塔形算法的基礎(chǔ) 燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 論文 18 上 基于多分辨率框架理論 提出了塔式多分辨分解與綜合算法 巧妙的 將多分辨分析與小波分析結(jié)合在一起 Mallat 塔式算法在小波分析中的地 位頗似FFT 在經(jīng)典傅立葉變換中的地位 信號(hào)序列的Mallat 塔式分解算法 即序列的離散小波變換算法如 s n 圖2 3 所示 其中表示二次采樣 即刪掉奇次編號(hào)的樣本 如果 2 g n 為共軛鏡像濾波器對(duì) QMF 則實(shí)現(xiàn)正交小波變換 此時(shí)濾波器組是 h n 非線性相位的 如果和為線性相位濾波器 則實(shí)現(xiàn)雙正交小波 g n h n 變換 設(shè) 則Mallat 塔式算法用下列迭代方程表示 0 cns n 1 2 0 1 2 jj k dnck gnkj 2 22 1 2 0 1 2 jj k cnck hnkj 圖2 3 3 階Mallat 塔式算法 序列的離散小波變換 從式 2 22 可以看出 Mallat 塔式算法實(shí)際上是通過(guò)低通和高通濾波 把 信號(hào)分解為低頻和高頻部分 2 6 本章小結(jié) 小波變換是一種信號(hào)的時(shí)間 尺度 時(shí)間 頻率 分析方法 它具有多分辨 率的特點(diǎn) 而且在時(shí)頻兩域都有表征信號(hào)局部特征的能力 是一種時(shí)頻窗 口面積大小固定不變但其形狀可以改變 即時(shí)間窗和頻率窗都可以改變的 時(shí)頻局部化分析方法 在低頻部分有較高的時(shí)間分辨率和較低的頻率分辨 率 很適合于探測(cè)正常信號(hào)中夾帶的順態(tài)反?，F(xiàn)象并展示其成分 因此有 利于把噪聲從正常信號(hào)中分離出來(lái) 達(dá)到去噪聲的目的 在傳統(tǒng)的基于傅立葉變換的信號(hào)處理方法中 要使信號(hào)和噪聲的頻帶 重疊部分盡可能的小 這樣 在頻域就可以通過(guò)時(shí)不變?yōu)V波方法將信號(hào)同 第 1 章 緒論 19 噪聲區(qū)分開(kāi) 而當(dāng)它們的頻域重疊時(shí) 這種方法就無(wú)能為力了 但如果采 用線性小波分析法 是可以通過(guò)選擇不同的基的方法 使得在相位坐標(biāo)系 統(tǒng)內(nèi)的信號(hào)同噪聲的重疊盡可能的小 這樣就可以通過(guò)抑制不需的頻帶的 信號(hào) 而達(dá)到去噪的目的 但對(duì)大多數(shù)信號(hào)來(lái)說(shuō) 合適的基的選擇本身就 是一個(gè)難題 因此這種方法的應(yīng)用受到了限制 第 3 章 基于小波變換去噪方法的研究 3 1 經(jīng)典的濾波去噪方法 對(duì)隨時(shí)間變化的信號(hào) 通常采用兩種最基本的描述形式 即時(shí)域或頻 域形式 時(shí)域描述信號(hào)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化 頻域描述在一定時(shí)間范圍內(nèi)信 號(hào)的頻率分布 信號(hào)的變化率大的部分對(duì)應(yīng)高頻分量 變化率緩慢的部分 則主要含低頻分量 信號(hào)源送出的攜帶著我們希望傳送的有用信息 然而在信號(hào)變換及傳 送過(guò)程中 由于噪聲和干擾的疊加 使信號(hào)的辨認(rèn)產(chǎn)生困難 要恢復(fù)原信 號(hào)攜帶的有用信號(hào) 必須去除信號(hào)中疊加的噪聲或干擾成份 如果噪聲的 頻率高于或低于有用信號(hào) 通常采用濾波方法去除噪聲 也可以通過(guò)使信 號(hào)平滑的方法抑制干擾帶來(lái)的毛刺 經(jīng)典的濾波去噪方法一般都是頻域低通濾波法 經(jīng)常使用的低通濾波 器只要有以下幾種 理想的低通濾波器 巴特沃斯低通濾波器 指數(shù)低通 濾波器 梯形低通濾波器 圖形如圖3 1 所示 圖中F0 為截止頻率 H 為 濾波器的傳遞函數(shù) 當(dāng)用經(jīng)典的濾波法去對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)進(jìn)行去噪時(shí) 可以 想象其結(jié)果必然是在降低噪聲的同時(shí)也展寬了波形 平滑了信號(hào)中的銳變 尖峰成分 損失了這些突變點(diǎn)可能攜帶著重要信息 燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 論文 20 a 理想低通濾波器 b 巴特沃斯低通濾波器 c 指數(shù)低通濾波器 d 梯形低通濾波器 圖3 1 幾種頻域低通濾波器 3 2 基于小波變換模極大值去噪方法的研究 目前利用小波變換消除噪聲的方法很多 但總結(jié)起來(lái) 比較成熟的是 Mallat 提出的一種多尺度小波變換模極大值的去噪方法 3 2 1 小波變換模極大值的定義 定義在尺度s下 若 成立 則稱為 0 xxd 0 Wfs xWfs x 0 x 模極大值點(diǎn) 稱為模極大值 小波變換極大模是由信號(hào)中奇異點(diǎn) 0 Wfs x 和噪聲產(chǎn)生的 根據(jù)理論分析 知道以平滑函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為母小波作小波變換 其 小波變換在各個(gè)尺度下的模極大值對(duì)應(yīng)于信號(hào)突變點(diǎn)的位置 小波分析尺 度越小 平滑函數(shù)的平滑區(qū)域小 小波系數(shù)模極大值點(diǎn)與突變點(diǎn)位置的對(duì) 應(yīng)就越準(zhǔn)確 但是小尺度下小波變換隨噪聲影響非常大 產(chǎn)生許多偽極值 第 1 章 緒論 21 點(diǎn) 往往只憑一個(gè)尺度不能定位突變點(diǎn)的位置 相反 在大尺度下對(duì)噪聲 進(jìn)行了一定的平滑 極值點(diǎn)相對(duì)穩(wěn)定 但由于平滑作用使其定位又產(chǎn)生了 偏差 同時(shí) 只有在適當(dāng)尺度下各突變點(diǎn)引起的小波