第 1 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 2015年貴州省遵義市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 一、本大題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 . 1已知集合 M=x|1 0， N=x| 2 x 1， x Z，則 MN（ ） A 1， 0 B 1 C 1， 0， 1 D 2已知復(fù)數(shù) z= ， 是 z 的共軛復(fù)數(shù)，則 z =（ ） A B C 4 D 1 3已知向量 + =（ 2， 8）， =（ 8， 16），則 與 夾角的余弦值為（ ） A B C D 4函數(shù) f（ x） =2x+）（ 0 ），若將函數(shù) y=f（ x）的圖象向左平移 個(gè)單位后所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù) 的值為（ ） A B C D 5已知一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸，可得這個(gè)幾何體的體積是（ ） A 2 B 4 C 6 D 12 6等比數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 42等差數(shù)列若 ， 則 ） A 15 B 7 C 8 D 16 7已知直線 x 2y 1=0，直線 =0， a， b 1， 2， 3， 4，則直線 直線 有公共點(diǎn)的概率為（ ） A B C D 8某程序框圖如圖所示，若該程序運(yùn)行后輸出的值是 ，則 a 的值為（ ） 第 2 頁(yè)（共 23 頁(yè)） A 13 B 12 C 11 D 10 9已知橢圓 + =1（ a b 0， c 為橢圓的半焦距）的左焦點(diǎn)為 F，右頂點(diǎn)為 A，拋物線 （ a+c） x 與橢圓交于 B， C 兩點(diǎn)，若四邊形 菱形，則橢圓的離心率是（ ） A B C D 10過(guò)平面區(qū)域 內(nèi)一點(diǎn)作圓 O： x2+ 的兩條切線，切點(diǎn)分別為 A、 B，記 ，則當(dāng) 最小時(shí)， 值為（ ） A B C D 11如圖，平面四邊形 ， D=， ，將其沿對(duì)角線 平面 A平面 四面體 A 點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的體積為（ ） A B 3 C D 2 12已知 f（ x）， g（ x）都是定義在 R 上的函數(shù)，并滿足： f（ x） =axg（ x）（ a 0，且 a1）和 f（ x） g（ x） f（ x） g（ x）（ g（ x） 0），且 + = ，當(dāng)數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和大于 62 時(shí)， n 的最小值是（ ） A 9 B 8 C 7 D 6 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分 . 第 3 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 13若 a= 二項(xiàng)式（ a ） 6 的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 14已知正方形 坐標(biāo)分別是（ 1， 0），（ 0， 1），（ 1， 0），（ 0， 1），動(dòng)點(diǎn) M 滿足： ，則動(dòng)點(diǎn) M 所在的軌跡方程為 15設(shè)數(shù)列 足 ， ， ，且數(shù)列 n N*）是等差數(shù)列，則數(shù)列 通項(xiàng)公式為 16定義在 R 上的奇函數(shù) f（ x），對(duì)于 x R，都有 ，且滿足 f（ 4） 2， ，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 三、解答題：本大題共 5 小題，共 70 分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟 . 17在 ，角 A， B， C 的對(duì)邊分別是 a， b， c，若（ 2a c） 1）求角B 的大小， （ 2）若 a=3， 面積為 ，求 的值 18某技術(shù)公司新開發(fā)了 A， B 兩種新產(chǎn)品，其質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)劃分為：指標(biāo)大于或等于82 為正品，小于 82 為次品，現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩種產(chǎn)品各 100 件進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下： 測(cè)試指標(biāo) 70， 76） 76， 82） 82， 88） 88， 94） 94， 100 產(chǎn)品 A 8 12 40 32 8 產(chǎn)品 B 7 18 40 29 6 （ 1）試分別估計(jì)產(chǎn)品 A，產(chǎn)品 B 為正品的概率； （ 2）生產(chǎn)一件產(chǎn)品 A，若是正品可盈利 80 元，次品則虧損 10 元；生產(chǎn)一件產(chǎn)品 B，若是正品可盈利 100 元，次品則虧損 20 元；在（ 1）的前提下記 X 為生產(chǎn)一件產(chǎn)品 A 和一件產(chǎn)品 B 所得的總利潤(rùn)，求隨機(jī)變量 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 19如圖，已知四邊形 為直角梯形， ，平面 平面 D= （ ）證明： 平面 （ ）求平面 平面 成銳二面角的余弦值 20如圖，已知橢圓 C 的方程為 =1（ a b 0），雙曲線 =1 的兩條漸近線為 橢圓 C 的右焦點(diǎn) F 作直線 l，使 l l 與 于點(diǎn) P，設(shè) l 與橢圓 C 的兩個(gè)交點(diǎn)由上至下依次為 A， B （ ）若 夾角為 60，且雙曲線的焦距為 4，求橢圓 C 的方程； 第 4 頁(yè)（共 23 頁(yè)） （ ）求 的最大值 21已知函數(shù) f（ x） = 1， g（ x） = （ ）當(dāng) x 0 時(shí)，判斷函數(shù) f（ x）的單調(diào)性； （ ）當(dāng) a=1 時(shí)，證明：對(duì)任意 x 0，不等式 g（ x） +x+1 恒成立； （ ）若不等式 對(duì)任意的 x 0 恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 請(qǐng)考生在第 22、 23、 24 題中任選一題作答如果多做，則按所做的第一題幾份，作答時(shí)請(qǐng)寫清楚題號(hào) .【選修 4何證明選講】 22如圖，四邊形為邊長(zhǎng)為 a 的正方形，以 D 為圓心， 半徑的圓弧與以 直徑的圓 O 交于 C， F，連接 延長(zhǎng)交 點(diǎn) E （ 1）求證： E 是 中點(diǎn)； （ 2）求線段 長(zhǎng) 【選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程】 23選修 4 4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 已知曲線 極坐標(biāo)方程是 =4極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為 x 軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程是： （為參數(shù)） （ ）求曲線 直角坐標(biāo)方程； （ ）設(shè)直線與曲線 于 A， B 兩點(diǎn)，點(diǎn) M 的直角坐標(biāo)為（ 2， 1），若 ，求直線的普通方程 【選修 4等式選講】 24設(shè)不等式 2 |x 1| |x+2| 0 的解集為 M， a、 b M， （ 1）證明： | a+ b| ； 第 5 頁(yè)（共 23 頁(yè)） （ 2）比較 |1 4 2|a b|的大小，并說(shuō)明理由 第 6 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 2015年貴州省遵義市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、本大題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 . 1已知集合 M=x|1 0， N=x| 2 x 1， x Z，則 MN（ ） A 1， 0 B 1 C 1， 0， 1 D 【考點(diǎn)】 交集及其運(yùn)算 【分析】 求出 M 中不等式的解集確定出 M，列舉出 N 中的元素確定出 N，找出 M 與 N 的交集即可 【解答】 解：由 M 中不等式變形得：（ x+1）（ x 1） 0， 解得： 1 x 1，即 M= 1， 1， 由題意得： N= 1， 0， 則 MN= 1， 0， 故選： A 2已知復(fù)數(shù) z= ， 是 z 的共軛復(fù)數(shù)，則 z =（ ） A B C 4 D 1 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 【分析】 由條件利用兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位 i 的冪運(yùn)算性質(zhì)，求得 z 的值，可得 ，從而求得 z 的值 【解答】 解： z= = = = i，則 =i， 則則 z =1， 故選： D 3已知向量 + =（ 2， 8）， =（ 8， 16），則 與 夾角的余弦值為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角 【分析】 利用向量坐標(biāo)關(guān)系，求出 =（ 3， 4）， =（ 5， 12），再利用 解即可 【解答】 解：由向量 ， ， 得 =（ 3， 4）， =（ 5， 12）， 第 7 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 所以 | |=5， | |=13， = 63， 即 與 夾角的余弦值 = 故選： B 4函數(shù) f（ x） =2x+）（ 0 ），若將函數(shù) y=f（ x）的圖象向左平移 個(gè)單位后所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù) 的值為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 正弦函數(shù)的圖象 【分析】 由條件利用 y=x+）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性，求得實(shí)數(shù) 的值 【解答】 解：函數(shù) f（ x） =2x+）（ 0 ），若將函數(shù) y=f（ x）的圖象向左平移 個(gè)單位后所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為 y=（ x+ ） +=2x+ +）為偶函數(shù)， 故 +=，即 =， k Z，結(jié)合所給的選項(xiàng)， 故選： D 5已知一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸，可得這個(gè)幾何體的體積是（ ） A 2 B 4 C 6 D 12 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 【分析】 幾何體為四棱錐，棱錐高為 2，底面為梯形，代入體積公式計(jì)算 【解答】 解：由三視圖可知該幾何體為四棱錐，棱錐的底面是直角梯形，棱錐的高 是 2， V= =4 故選 B 6等比數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 42等差數(shù)列若 ，則 ） A 15 B 7 C 8 D 16 第 8 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 【考點(diǎn)】 等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 【分析】 利用 42等差數(shù)列求出公比即可得到結(jié)論 【解答】 解： 42等差數(shù)列 ， 4a1+ 2 即 4+4q=0， 即 4q+4=0， （ q 2） 2=0， 解得 q=2， ， ， ， ， +2+4+8=15 故選： A 7已知直線 x 2y 1=0，直線 =0， a， b 1， 2， 3， 4，則直線 直線 有公共點(diǎn)的概率為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 幾何概型 【分析】 本題是一個(gè)等可能事件 的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)是 16，利用列舉法寫出滿足條件的事件數(shù)，得到結(jié)果 【解答】 解：直線 斜率 ，直線 斜率 a， b 1， 2， 3， 4的總事件數(shù)為（ 1， 1），（ 1， 2），（ 1， 3），（ 1， 4）， （ 2， 1），（ 2， 2），（ 2， 3），（ 2， 4）， （ 3， 1），（ 3， 2），（ 3， 3），（ 3， 4）， （ 4， 1），（ 4， 2），（ 4， 3），（ 4， 4）共 16 種 若直線 直線 有公共 點(diǎn)，則 k1= b=2a 滿足條件的實(shí)數(shù)對(duì)（ a， b）有（ 1， 2）、（ 2， 4）、共 2 種情形 對(duì)應(yīng)的概率 P= = 故選： C 8某程序框圖如圖所示，若該程序運(yùn)行后輸出的值是 ，則 a 的值為（ ） 第 9 頁(yè)（共 23 頁(yè)） A 13 B 12 C 11 D 10 【考點(diǎn)】 程序框圖 【分析】 模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的 S， k 的值，當(dāng) S= 時(shí)，根據(jù)題意，求得此時(shí) k 的值，應(yīng)該滿足條件 k a，退出循環(huán)，輸出 S 的值，從而得解 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得 S=1， k=1 不滿足條件 k a， S=1+ =2 ， k=2 不滿足條件 k a， S=1+ + =2 ， k=3 不滿足條件 k a， S=1+ + =2 ， k=4 不滿足條件 k a， S=1+ + + =2 ， k=5 不滿足條件 k a， S=1+ + + + =2 ， k=6 不滿足條件 k a， S=1+ + + + + =2 ， k=8 最后一次循環(huán)，不 滿足條件 k a， S=2 = ， k=x+1 滿足條件 k a，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 可解得： x=12，即由題意可得 a 的值為 11 故選： C 9已知橢圓 + =1（ a b 0， c 為橢圓的半焦距）的左焦點(diǎn)為 F，右頂點(diǎn)為 A，拋物線 （ a+c） x 與橢圓交于 B， C 兩點(diǎn)，若四邊形 菱形，則橢圓的離心率是（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 由橢圓方程求出 F 和 A 的坐標(biāo)，由對(duì)稱性設(shè)出 B、 C 的坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出橫坐標(biāo)，代入 拋物線方程求出 B 的縱坐標(biāo)，將點(diǎn) B 的坐標(biāo)代入橢圓方程，化簡(jiǎn)整理得到關(guān)于橢圓離心率 e 的方程，即可得到該橢圓的離心率 【解答】 解：由題意得，橢圓 + =1（ a b 0， c 為半焦距）的左焦點(diǎn)為 F，右頂點(diǎn)為A， 則 A（ a， 0）， F（ c， 0）， 第 10 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 拋物線 （ a+c） x 與橢圓交于 B， C 兩點(diǎn)， B、 C 兩點(diǎn)關(guān)于 x 軸對(duì)稱，可設(shè) B（ m， n）， C（ m， n） 四邊形 平行四邊形， 2m=a c，則 ， 將 B（ m， n）代入拋物線方程得， （ a+c） m= （ a+c）（ a c） = （ ，則不妨設(shè) B（ ， ），再代入橢圓方程得， +=1， 化簡(jiǎn)得 ，即 48e+3=0，解得 e= 或 1（舍去）， 故選： D 10過(guò)平面區(qū)域 內(nèi)一點(diǎn)作圓 O： x2+ 的兩條切線，切點(diǎn)分別為 A、 B，記 ，則當(dāng) 最小時(shí)， 值為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃 【分析】 由約束條件作出可行域，數(shù)形結(jié)合得到 P，聯(lián)立方程組求得 P 的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出代入二倍角余弦公式求得 值 【解答】 解：如圖， 聯(lián)立 ，解得 P（ 4， 2）， | ， 第 11 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 則 故選： A 11如圖，平面四邊形 ， D=， ，將其沿對(duì)角線 平面 A平面 四面體 A 點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的體積為（ ） A B 3 C D 2 【考點(diǎn)】 球內(nèi)接多面體；球的體 積和表面積 【分析】 說(shuō)明折疊后幾何體的特征，求出三棱錐的外接球的半徑，然后求出球的體積 【解答】 解：由題意平面四邊形 ， D=， ，將其沿對(duì)角線 成四面體 A 平面 A平面 四面體 A 點(diǎn)在同一個(gè)球面上，可知 AB AC，所以 外接球的直徑，所以 ，球的半徑為： ；所以球的 體積為： = 故選 A 12已知 f（ x）， g（ x）都是定義在 R 上的函數(shù)，并滿足： f（ x） =axg（ x）（ a 0，且 a1）和 f（ x） g（ x） f（ x） g（ x）（ g（ x） 0），且 + = ，當(dāng)數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和大于 62 時(shí)， n 的最小值是（ ） A 9 B 8 C 7 D 6 【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 第 12 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 【分析】 通過(guò)對(duì) f（ x） =axg（ x）（ a 0，且 a 1）變形可知 （ a 0，且 a 1），利用 f（ x） g（ x） f（ x） g（ x）（ g（ x） 0）可知 a 1，進(jìn)而利用 + =可知 a=2，通過(guò)等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即得結(jié)論 【解答】 解： f（ x） =axg（ x）（ a 0，且 a 1）， （ a 0，且 a 1）， 又 f（ x） g（ x） f（ x） g（ x）（ g（ x） 0）， = 0， y=增函數(shù)，即 a 1， + = ， a+ = ，解得： a=2 或 a= （舍）， =2x，數(shù)列 是首項(xiàng)、公比均為 2 的等比數(shù)列， 62， 2n+1 64，即 n 5， 故選： D 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分 . 13若 a= 二項(xiàng)式（ a ） 6 的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 【考點(diǎn)】 定積分 【分析】 由定積分可得 a 值，由二項(xiàng)式定理可 得 【解答】 解：求定積分可得 a= ， （ a ） 6=（ ） 6， 展開式通項(xiàng) = （ ） 6 k（ ） k =（ 1） k （ ） 6 k， 令 3 k=0 可得 k=3，代入 可得常數(shù)項(xiàng)為（ 1） 3 （ ） 3= 故答案為： 第 13 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 14已知正方形 坐標(biāo)分別是（ 1， 0），（ 0， 1），（ 1， 0），（ 0， 1），動(dòng)點(diǎn) M 滿足： ，則動(dòng)點(diǎn) M 所在的軌跡方程為 =1（ x0） 【考點(diǎn)】 軌跡方程 【分析】 利用直接法求出動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡方程 【解答】 解：設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（ x， y）， 動(dòng)點(diǎn) M 滿足： ， 整理，得 =1（ x 0）， 故答案為： =1（ x 0） 15設(shè)數(shù)列 足 ， ， ，且數(shù)列 n N*）是等差數(shù)列，則數(shù)列 通項(xiàng)公式為 （ n N*） 【考點(diǎn)】 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 【分析】 先求出數(shù)列 n N*）的首項(xiàng)和公差，然后求出數(shù)列 通項(xiàng)公式，然后利用疊加法可求出數(shù)列 通項(xiàng)公式 【解答】 解： 6= 2 4= 1 d=（ （ = 1（ 2） =1 數(shù)列 n N*）是 等差數(shù)列 數(shù)列 首項(xiàng)為 2，公差為 1 的等差數(shù)列 則 an=n 3，則 6= 2， 4= 1， 1=n 4 相加得 +（ 2） +（ 1） +（ n 4） = 故答案為： （ n N*） 16定義在 R 上的奇函數(shù) f（ x），對(duì)于 x R，都有 ，且滿足 f（ 4） 2， ，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 m|m 1 或 0 m 3 【考點(diǎn)】 函數(shù)奇偶性的性質(zhì) 【分析】 根據(jù) ，然后用 代換 x 便可得到 ，再用代換 x 便可得出 f（ x+3） =f（ x），從而便得到 f（ x）是以 3 為周期的周期函數(shù)，這樣第 14 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 即可得到 f（ 1） 2， ，從而解不等式 便可得出實(shí)數(shù) m 的取值范圍 【解答】 解： ； 用 代換 x 得： ； 用 代換 x 得： ； 即 f（ x） =f（ x+3）； 函 數(shù) f（ x）是以 3 為周期的周期函數(shù)； f（ 4） =f（ 1） 2， f（ 2） = f（ 2） = f（ 2+3） = f（ 1） 2； ； 解得 m 1，或 0 m 3； 實(shí)數(shù) m 的取值范圍為 m|m 1，或 0 m 3 故答案為： m|m 1，或 0 m 3 三、解答題：本大題共 5 小題，共 70 分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟 . 17在 ，角 A， B， C 的對(duì)邊分別是 a， b， c，若（ 2a c） 1）求角B 的大小， （ 2）若 a=3， 面積為 ，求 的值 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【分析】 （ ）運(yùn)用正弦定理和兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到 B； （ ）運(yùn)用三角形的面積公式和余弦定理，結(jié)合向量的數(shù)量積的定義，即可計(jì)算得到 【解答】 解：（ 1） （ 2a c） 由正弦定理得：（ 2 2B+C） = 0 A ， 0， 2， ， 又 0 B ， B= ； （ 2）法一： a=3， 面積為 ， 3c ， c=2， 2+32 2 2 37， b= ， = ， 第 15 頁(yè)（共 23 頁(yè)） = A） =2 （ ） = 1 法二： = （ ） =| | |， =2 3 22= 1 18某技術(shù)公司新開發(fā)了 A， B 兩種新產(chǎn)品，其質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)劃分為：指標(biāo)大于或等于82 為正品，小于 82 為次品，現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩種產(chǎn)品各 100 件進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下： 測(cè)試指標(biāo) 70， 76） 76， 82） 82， 88） 88， 94） 94， 100 產(chǎn)品 A 8 12 40 32 8 產(chǎn)品 B 7 18 40 29 6 （ 1）試分別估計(jì)產(chǎn)品 A，產(chǎn)品 B 為正品的概率； （ 2）生產(chǎn)一件產(chǎn)品 A，若是正品可盈利 80 元，次品則虧損 10 元；生產(chǎn)一件產(chǎn)品 B，若是正品可盈利 100 元，次品則虧損 20 元；在（ 1）的前提下記 X 為生產(chǎn)一件產(chǎn)品 A 和一件產(chǎn)品 B 所得的總利潤(rùn)，求隨機(jī)變量 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 【考點(diǎn)】 離散型隨機(jī)變量的期望與方差；列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；離散型隨機(jī)變量及其分布列 【分析 】 （ 1）由檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)表，利用等可能事件概率計(jì)算公式能估計(jì)產(chǎn)品 A，產(chǎn)品 B 為正品的概率 （ 2）隨機(jī)變量 X 的所有取值為 180， 90， 60， 30，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出 （ X） 【解答】 解：（ 1）由檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)表，得產(chǎn)品 A 為正品的概率為： = ， 產(chǎn)品 B 為正品的概率為： = （ 2）隨機(jī)變量 X 的所有取值為 180， 90， 60， 30， P（ X=180） = = ， P（ X=90） = = ， P（ X=60） = = ， P（ X= 30） = = ， X 的分布列為： X 180 90 60 30 P E（ X） = =132 第 16 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 19如圖，已知四邊形 為直角梯形， ，平面 平面 D= （ ）證明： 平面 （ ）求平面 平面 成銳二面角的余弦值 【考點(diǎn)】 二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定 【分析】 （ ）建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法即可證明 平面 （ ）求出平面的法向量，利用向量法即可求平面 平面 成銳二面角的余弦值 【解答】 解：由平面 平面 面 面 C， 平面 平面 根據(jù)題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 可得 B（ 0， 2， 0）， D（ 2， 0， 0）， E（ 0， 0， 2）， A（ 2， 1， 0） G（ 0， 2， 1） （ ）設(shè)平面 法向量為 ， ， ， 即 ， x=y=z， 平面 一個(gè)法向量為 . ， ， 面 平面 （ ）設(shè)平面 法向量為 ，平面 平面 成 銳二面角為 因?yàn)?， ， 第 17 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 由 得 ， 平面 一個(gè)法向量為 ， 故平面 平面 成銳二面角的余弦值為 20如圖，已知橢圓 C 的方程為 =1（ a b 0），雙曲線 =1 的兩條漸近線為 橢圓 C 的右焦點(diǎn) F 作直線 l，使 l l 與 于點(diǎn) P，設(shè) l 與橢圓 C 的兩個(gè)交點(diǎn)由上至下依次為 A， B （ ）若 夾角為 60，且雙曲線的焦距為 4，求橢圓 C 的方程； （ ）求 的 最大值 【考點(diǎn)】 直線與圓錐曲線的綜合問題 【分析】 （ ）由已知得 0，從而 a= 由此能求出橢圓 C 的方程 （ ）直線 l 的方程為 y= ，直線 方程為 y= ，聯(lián)立直線 l 與 方程，解得點(diǎn) P（ ），由此入手結(jié)合已知條件能 求出 的最大值 【解答】 解：（ ）因?yàn)殡p曲線方程為 ， 第 18 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 所以雙曲線的漸近線方程為 y= 因?yàn)閮蓾u近線的夾角為 60且 ，所以 0 所以 所以 a= 因?yàn)?c=2，所以 a2+，所以 a= ， b=1 所以橢圓 C 的方程為 （ ）因?yàn)?l 以直線 l 的方程為 y= ，其中 c= 直線 方程為 y= ，聯(lián)立直線 l 與 方程，解得點(diǎn) P（ ） 設(shè) =，則 = 因?yàn)辄c(diǎn) F（ c， 0），設(shè)點(diǎn) A（ 則有（ c， =（ ， ） 解得 ， 因?yàn)辄c(diǎn) A（ 橢圓 上， 所以 + =1 即（ 2+2 1+） 2 等式兩邊同除以 （ ） 2+2=1+） 2， e （ 0， 1）， 所以 =（ 2 ） +3 =3 2 =（ ） 2 所以當(dāng) 2 ，即 e= 時(shí)， 取得最大值 故 的最大值為 21已知函數(shù) f（ x） = 1， g（ x） = （ ）當(dāng) x 0 時(shí)，判斷函數(shù) f（ x）的單調(diào)性； （ ）當(dāng) a=1 時(shí)，證明：對(duì)任意 x 0，不等式 g（ x） +x+1 恒成立； （ ）若不等式 對(duì)任意的 x 0 恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 第 19 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 【分析】 （ ）求導(dǎo)數(shù)，證明 f（ x） =x 增函數(shù)，從而可得 f（ x）在 x 0 時(shí)為增函數(shù)，即可證明當(dāng) x 0 時(shí)， f（ x） 0； （ ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分別證明 +x+1 恒成立，設(shè) F（ x） = x 1，得到 F（ x） F（ 0） =0 即可； （ ）解法一：證明以 +x+1 ，設(shè) G（ x） = x 1，證明 G（ x）為增函數(shù)，所以 G（ x） G（ 0） =0，所以 對(duì)任意的 x 0 恒成立，再分類討論，利用不等式 對(duì)任意的 x 0 恒成立，即可求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； 解法二：因?yàn)?等價(jià)于 ），設(shè) g（ x） =），分類討論，即可求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 【解答】 解：（ ） f（ x） = 1，（ x 0）， 則 f（ x） =x 設(shè) h（ x） =x h（ x） =1 當(dāng) x 0 時(shí)， h（ x） =1 0，即 f（ x）為增函數(shù)， 所以 f（ x） f（ 0） =0， 即 f（ x）在 x 0 時(shí)為增函數(shù)， 所以 f（ x） f（ 0） =0； （ ）由（ ）得 x 0 時(shí)， f（ x） f（ 0） =0， f（ x） f（ 0） =0， x， +1，即 x +1 ， x 0 時(shí)， +x+1 恒成立， 設(shè) F（ x） = x 1，則 F（ x） =x 1，設(shè) h（ x） =x 1， 則 h（ x） =1，當(dāng) x 0 時(shí)， h（ x） 0， h（ x）在（ 0， +）遞增， h（ x） h（ 0） =0， F（ x）是增函數(shù)， F（ x） F（ 0） =0， 對(duì)任意 x 0， +x+1 恒成立； （ ）解法一：由（ ）知 x 0 時(shí)， x， +1， 所以 +x+1 ， 設(shè) G（ x） = x 1，則 G（ x） =x 1， 設(shè) g（ x） =x 1，則 g（ x） =1， 當(dāng) x 0 時(shí) g（ x） =1 0，所以 g（ x） =x 1 為增函數(shù)， 所以 g（ x） g（ 0） =0，所 以 G（ x）為增函數(shù)，所以 G（ x） G（ 0） =0， 所以 對(duì)任意的 x 0 恒成立 又 x 0， a 1 時(shí)， 所以 a 1 時(shí) 對(duì)任意的 x 0 恒成立 第 20 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 當(dāng) a 1 時(shí)，設(shè) h（ x） =2，則 h（ x） =h（ 0） =a 1 0， 所以存在實(shí)數(shù) 0，使得任意 x （ 0， 均有 h（ x） 0，所以 h（ x）在（ 0， 減函數(shù)， 所以在 x （ 0， h（ x） h（ 0） =0，所以 a 1 時(shí)不符合題意 綜上，實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 1， +） 解法二：因?yàn)?等價(jià)于 ） 設(shè) g（ x） =），則 g（ x） =a ， 可求 1， 1， 所以當(dāng) a 1 時(shí)， g（ x） 0 恒成立， g（ x）在 0， +）是增函數(shù)， 所以 g（ x） g（ 0） =0，即 ），即 所以 a 1 時(shí)， 對(duì)任意 x 0 恒成立 當(dāng) a 1 時(shí)，一定存在 0，滿足在（ 0， ， g（ x） 0， 所以 g（ x）在（ 0， 減函數(shù)，此時(shí)一定有 g（ x） g（ 0） =0， 即 ），即 ，不符合題意，故 a 1 不能滿足題意， 綜上所述， a 1 時(shí)， 對(duì)任意 x 0 恒成立 請(qǐng)考生在第 22、 23、 24 題中任選一題作答如果多做，則按所做的第一題幾份，作答時(shí)請(qǐng)寫清楚題號(hào) .【選修 4何證明選講 】 22如圖，四邊形為邊長(zhǎng)為 a 的正方形，以 D 為圓心， 半徑的圓弧與以 直徑的圓 O 交于 C， F，連接 延長(zhǎng)交 點(diǎn) E （ 1）求證：