東湖中學(xué) 勾股定理的應(yīng)用 考考你的記性 1 勾股定理的文字及符號(hào)語言2 在平面上如何求點(diǎn)與點(diǎn) 點(diǎn)與線的最短路徑 依據(jù)什么 1 兩點(diǎn)之間線段最短 2 垂線段最短3 那么如何求某些幾何體中的最短路徑呢 勾股定理的應(yīng)用之 求解幾何體的最短路線長 例1如圖在一個(gè)底面周長為20cm 高AA 為4cm的圓柱石凳上 若小明在吃東西時(shí)留下了一點(diǎn)食物在B處 恰好一只在A處的螞蟻捕捉到這一信息 于是它想從A處爬向B處 你們想一想 螞蟻怎么走最近 問題情境 A 怎樣計(jì)算AB 在Rt AA B中 利用勾股定理可得 側(cè)面展開圖 其中AA 是圓柱體的高 A B是底面圓周長的一半 r 圓柱 錐 中的最值問題 有一圓形油罐底面圓的周長為24m 高為6m 一只老鼠從距底面1m的A處爬行到對角B處吃食物 它爬行的最短路線長為多少 A B 分析 由于老鼠是沿著圓柱的表面爬行的 故需把圓柱展開成平面圖形 根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短 可以發(fā)現(xiàn)A B分別在圓柱側(cè)面展開圖的寬1m處和長24m的中點(diǎn)處 即AB長為最短路線 如圖 正方體中的最值問題 例2 如圖 邊長為1的正方體中 一只螞蟻從頂點(diǎn)A出發(fā)沿著正方體的外表面爬到頂點(diǎn)B的最短距離是 A 3 B 5 C 2 D 1 分析 由于螞蟻是沿正方體的外表面爬行的 故需把正方體展開成平面圖形 如圖 C 如圖是一塊長 寬 高分別是6cm 4cm和3cm的長方體木塊一只螞蟻要從長方體木塊的一個(gè)頂點(diǎn)A處 沿著長方體的表面到長方體上和A相對的頂點(diǎn)B處吃食物 那么它需要爬行的最短路徑的長是 長方體中的最值問題 第一種情況 把我們所看到的前面和上面組成一個(gè)平面 則這個(gè)長方形的長和寬分別是9和4 則所走的最短線段是 第二種情況 把我們看到的左面與上面組成一個(gè)長方形 則這個(gè)長方形的長和寬分別是7和6 所以走的最短線段是 第三種情況 把我們所看到的前面和右面組成一個(gè)長方形 則這個(gè)長方形的長和寬分別是10和3 所以走的最短線段是 三種情況比較而言 第二種情況最短 答案 臺(tái)階中的最值問題 例1 如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階 它的每一級(jí)的長寬和高分別為20dm 3dm 2dm A和B是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對的端點(diǎn) A點(diǎn)有一只螞蟻 想到B點(diǎn)去吃可口的食物 則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)最短路程是多少 3 2 3 2 3 AB 25 例4 如圖 長方體的長為15cm 寬為10cm 高為20cm 點(diǎn)B離點(diǎn)C5cm 一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B 需要爬行的最短距離是多少 10 20 長方體中的最值問題 續(xù) 10 20 F E A E C B 20 15 10 5 找方法 巧歸納 分別畫出立體圖形和對應(yīng)的平面展開圖制作實(shí)體模型歸納出所在直角三角形的兩直角邊的一般性規(guī)律 并記錄在平面圖或模型上 檢測題一 如圖 一只螞蟻沿邊長為a的正方體表面從頂點(diǎn)A爬到頂點(diǎn)B 則它走過的路程最短為 答案 檢測題二 如圖是一個(gè)棱長為4cm的正方體盒子 一只螞蟻在D1C1的中點(diǎn)M處 它到BB1的中點(diǎn)N的最短路線是 檢測題三 如圖所示 一圓柱高8cm 底面半徑2cm 一只螞蟻從點(diǎn)A沿表面爬到點(diǎn)B處吃食 要爬行的最短路程 取3 是 如圖 一只螞蟻從實(shí)心長方體的頂點(diǎn)A出發(fā) 沿長方體的表面爬到對角頂點(diǎn)C1處 三條棱長如圖所示 問怎樣走路線最短 最短路線長為多少 分析 根據(jù)題意分析螞蟻爬行的路線有三種情況 如圖 由勾股定理可求得圖1中AC1爬行的路線最短 檢測題四 小結(jié) 把幾何體適當(dāng)展開成平面圖形 再利用 兩點(diǎn)之間線段最短 或點(diǎn)到直線 垂線段最短 等性質(zhì)來解決問題 一 臺(tái)階中的最值問題 a b c b c b AB c 二 正方體中的最值問題 C 三