3.1.3概率的基本性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解互斥事件概率的加法公式.2.理解事件的關(guān)系與運(yùn)算.3.會(huì)用對(duì)立事件的特征求概率知識(shí)點(diǎn)一事件的關(guān)系與運(yùn)算1事件的關(guān)系定義表示法圖示包含關(guān)系一般地，對(duì)于事件A與事件B，如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時(shí)稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)BA(或AB)相等關(guān)系A(chǔ)B且BAAB2.關(guān)于事件的運(yùn)算定義表示法圖示并事件若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)AB(或AB)交事件若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)AB(或AB)知識(shí)點(diǎn)二互斥與對(duì)立互斥事件和對(duì)立事件的定義互斥事件定義若AB為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥符號(hào)AB圖示注意事項(xiàng)例如，在擲骰子試驗(yàn)中，記C1出現(xiàn)1點(diǎn)，C2出現(xiàn)2點(diǎn)，則C1與C2互斥對(duì)立事件定義若AB為不可能事件，AB為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對(duì)立事件符號(hào)AB，且AB圖示注意事項(xiàng)A的對(duì)立事件一般記作知識(shí)點(diǎn)三概率的基本性質(zhì)概率的幾個(gè)基本性質(zhì)1概率的取值范圍為0,12必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0.3概率的加法公式：如果事件A與事件B互斥，則P(AB)P(A)P(B)特別地，若A與B為對(duì)立事件，則P(A)1P(B)P(AB)1，P(AB)0.1若兩個(gè)事件是互斥事件，則這兩個(gè)事件是對(duì)立事件()2若兩個(gè)事件是對(duì)立事件，則這兩個(gè)事件也是互斥事件()3若兩個(gè)事件是對(duì)立事件，則這兩個(gè)事件概率之和為1.()題型一事件關(guān)系的判斷例1從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花，點(diǎn)數(shù)從110各10張)中，任取一張(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”判斷上面給出的每對(duì)事件是否為互斥事件，是否為對(duì)立事件，并說(shuō)明理由解(1)是互斥事件，不是對(duì)立事件理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時(shí)發(fā)生的，所以是互斥事件同時(shí)，不能保證其中必有一個(gè)發(fā)生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此，二者不是對(duì)立事件(2)既是互斥事件，又是對(duì)立事件理由是：從40張撲克牌中，任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”，兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，但其中必有一個(gè)發(fā)生，所以它們既是互斥事件，又是對(duì)立事件(3)不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對(duì)立事件理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”這兩個(gè)事件可能同時(shí)發(fā)生，如抽得牌點(diǎn)數(shù)為10，因此，二者不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對(duì)立事件反思感悟(1)要判斷兩個(gè)事件是不是互斥事件，只需要分別找出各個(gè)事件包含的所有結(jié)果，看它們之間能不能同時(shí)發(fā)生在互斥的前提下，看兩個(gè)事件的并事件是否為必然事件，從而可判斷是否為對(duì)立事件(2)考慮事件的結(jié)果間是否有交事件可考慮利用Venn圖分析，對(duì)于較難判斷的關(guān)系，也可考慮列出全部結(jié)果，再進(jìn)行分析跟蹤訓(xùn)練1(1)從裝有5個(gè)紅球和3個(gè)白球的口袋內(nèi)任取3個(gè)球，那么下列各對(duì)事件中，互斥而不對(duì)立的是()A至少有一個(gè)紅球與都是紅球B至少有一個(gè)紅球與都是白球C至少有一個(gè)紅球與至少有一個(gè)白球D恰有一個(gè)紅球與恰有兩個(gè)紅球(2)一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A至多有一次中靶B只有一次中靶C兩次都中靶D兩次都不中靶答案(1)D(2)D解析(1)根據(jù)互斥事件與對(duì)立事件的定義判斷A中兩事件不是互斥事件，事件“三個(gè)球都是紅球”是兩事件的交事件；B中兩事件是對(duì)立事件；C中兩事件能同時(shí)發(fā)生，如“恰有一個(gè)紅球和兩個(gè)白球”，故不是互斥事件；D中兩事件是互斥而不對(duì)立事件(2)A，B，C中的事件均能與事件“至少有一次中靶”同時(shí)發(fā)生，故A，B，C錯(cuò)誤，選D.題型二事件的運(yùn)算例2在擲骰子的試驗(yàn)中，可以定義許多事件例如，事件C1出現(xiàn)1點(diǎn)，事件C2出現(xiàn)2點(diǎn)，事件C3出現(xiàn)3點(diǎn)，事件C4出現(xiàn)4點(diǎn)，事件C5出現(xiàn)5點(diǎn)，事件C6出現(xiàn)6點(diǎn)，事件D1出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1，事件D2出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3，事件D3出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5，事件E出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7，事件F出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，事件G出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，請(qǐng)根據(jù)上述定義的事件，回答下列問(wèn)題：(1)請(qǐng)舉出符合包含關(guān)系、相等關(guān)系的事件；(2)利用和事件的定義，判斷上述哪些事件是和事件解(1)因?yàn)槭录﨏1，C2，C3，C4發(fā)生，則事件D3必發(fā)生，所以C1D3，C2D3，C3D3，C4D3.同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.且易知事件C1與事件D1相等，即C1D1.(2)因?yàn)槭录﨑2出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3出現(xiàn)4點(diǎn)或出現(xiàn)5點(diǎn)或出現(xiàn)6點(diǎn)，所以D2C4C5C6(或D2C4C5C6)同理可得，D3C1C2C3C4，EC1C2C3C4C5C6，F(xiàn)C2C4C6，GC1C3C5.反思感悟事件間運(yùn)算方法(1)利用事件間運(yùn)算的定義列出同一條件下的試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，分析并利用這些結(jié)果進(jìn)行事件間的運(yùn)算(2)利用Venn圖借助集合間運(yùn)算的思想，分析同一條件下的試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，把這些結(jié)果在圖中列出，進(jìn)行運(yùn)算跟蹤訓(xùn)練2盒子里有6個(gè)紅球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取3個(gè)球，設(shè)事件A3個(gè)球中有一個(gè)紅球，兩個(gè)白球，事件B3個(gè)球中有兩個(gè)紅球，一個(gè)白球，事件C3個(gè)球中至少有一個(gè)紅球，事件D3個(gè)球中既有紅球又有白球則：(1)事件D與事件A，B是什么樣的運(yùn)算關(guān)系？(2)事件C與事件A的交事件是什么事件？解(1)對(duì)于事件D，可能的結(jié)果為1個(gè)紅球2個(gè)白球或2個(gè)紅球1個(gè)白球，故DAB.(2)對(duì)于事件C，可能的結(jié)果為1個(gè)紅球2個(gè)白球，2個(gè)紅球1個(gè)白球或3個(gè)紅球，故CAA.題型三用互斥、對(duì)立事件求概率例3某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊中射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)、7環(huán)以下的概率分別為0.1,0.2,0.3,0.3,0.1.計(jì)算這個(gè)運(yùn)動(dòng)員在一次射擊中：(1)射中10環(huán)或9環(huán)的概率；(2)至少射中7環(huán)的概率解設(shè)“射中10環(huán)”、“射中9環(huán)”、“射中8環(huán)”、“射中7環(huán)”、“射中7環(huán)以下”的事件分別為A，B，C，D，E，則(1)P(AB)P(A)P(B)0.10.20.3.所以射中10環(huán)或9環(huán)的概率為0.3.(2)因?yàn)樯渲?環(huán)以下的概率為0.1，所以由對(duì)立事件的概率公式得，至少射中7環(huán)的概率為10.10.9.反思感悟互斥事件、對(duì)立事件概率的求解方法(1)互斥事件的概率的加法公式P(AB)P(A)P(B)(2)當(dāng)求解的問(wèn)題中有“至多”“至少”“最少”等關(guān)鍵詞語(yǔ)時(shí)，常?？紤]其反面，通過(guò)求其反面，然后轉(zhuǎn)化為所求問(wèn)題跟蹤訓(xùn)練3甲、乙兩人下棋，和棋的概率是，乙獲勝的概率為，求：(1)甲獲勝的概率；(2)甲不輸?shù)母怕式?1)“甲獲勝”可看成是“和棋或乙獲勝”的對(duì)立事件，所以“甲獲勝”的概率為1.(2)方法一“甲不輸”可看成是“甲獲勝”“和棋”這兩個(gè)互斥事件的并事件，所以P(甲不輸).方法二“甲不輸”可看成是“乙獲勝”的對(duì)立事件，所以P(甲不輸)1，故甲不輸?shù)母怕蕿?用方程的思想求概率典例袋中有外形、質(zhì)量完全相同的紅球、黑球、黃球、綠球共12個(gè)，從中任取一球，得到紅球的概率是，得到黑球或黃球的概率是，得到黃球或綠球的概率也是.(1)試分別求得到黑球、黃球、綠球的概率；(2)從中任取一球，求得到的不是紅球或綠球的概率解(1)從袋中任取一球，記事件“得到紅球”“得到黑球”“得到黃球”“得到綠球”分別為A，B，C，D，則P(A)，P(BC)P(B)P(C)，P(CD)P(C)P(D)，P(BCD)P(B)P(C)P(D)1P(A)1.聯(lián)立解得P(B)，P(C)，P(D)，故得到黑球，得到黃球，得到綠球的概率分別為，.(2)事件“得到紅球或綠球”可表示為事件AD，由(1)及互斥事件的概率加法公式得P(AD)P(A)P(D)，故得到的不是紅球或綠球的概率P1P(AD)1.素養(yǎng)評(píng)析(1)求概率可以考慮用對(duì)立事件、互斥事件的概率加法公式求解如果有多個(gè)待求量，可以列方程組求解(2)理解運(yùn)算對(duì)策，選擇運(yùn)算方法，求得運(yùn)算結(jié)果，這都是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的具體體現(xiàn)1從裝有兩個(gè)紅球和兩個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是()A“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”B“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”C“恰有一個(gè)黑球”與“恰有兩個(gè)黑球”D“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”答案C解析A中兩個(gè)事件能同時(shí)發(fā)生，故不互斥；同樣，B中兩個(gè)事件也可同時(shí)發(fā)生，故不互斥；D中兩個(gè)事件是對(duì)立的，故選C.2口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個(gè)球，摸出紅球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是()A0.42B0.28C0.3D0.7答案C解析摸出黑球是摸出紅球或摸出白球的對(duì)立事件，摸出黑球的概率是10.420.280.3，故選C.3在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分別是0.2,0.2,0.3,0.3，則下列說(shuō)法正確的是()AAB與C是互斥事件，也是對(duì)立事件BBC與D是互斥事件，也是對(duì)立事件CAC與BD是互斥事件，但不是對(duì)立事件DA與BCD是互斥事件，也是對(duì)立事件答案D解析由于A，B，C，D彼此互斥，且由P(ABCD)P(A)P(B)P(C)P(D)1，知ABCD是一個(gè)必然事件，故其事件的關(guān)系如圖所示由圖可知，任何一個(gè)事件與其余3個(gè)事件的和事件必然是對(duì)立事件，任何兩個(gè)事件的和事件與其余兩個(gè)事件的和事件也是對(duì)立事件，故只有D中的說(shuō)法正確4中國(guó)乒乓球隊(duì)中的甲、乙兩名隊(duì)員參加奧運(yùn)會(huì)乒乓球女子單打比賽，甲奪得冠軍的概率為，乙?jiàn)Z得冠軍的概率為，那么中國(guó)隊(duì)奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為_(kāi)答案解析由于事件“中國(guó)隊(duì)奪得女子乒乓球單打冠軍”包括事件“甲奪得冠軍”和“乙?jiàn)Z得冠軍”，但這兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式進(jìn)行計(jì)算，即中國(guó)隊(duì)奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為.5由經(jīng)驗(yàn)得知，在某商場(chǎng)付款處排隊(duì)等候付款的人數(shù)及其概率如下：排隊(duì)人數(shù)012345人及以上概率0.10.150.30.310.10.04則至多2個(gè)人排隊(duì)的概率為_(kāi)答案0.55解析P0.10.150.30.55.1互斥事件和對(duì)立事件都是針對(duì)兩個(gè)事件而言的，它們兩者之間既有區(qū)別又有聯(lián)系在一次試驗(yàn)中，兩個(gè)互斥事件有可能都不發(fā)生，也可能有一個(gè)發(fā)生，但不可能兩個(gè)都發(fā)生；而兩個(gè)對(duì)立事件必有一個(gè)發(fā)生，但是不可能兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生，也不可能兩個(gè)事件都不發(fā)生所以兩個(gè)事件互斥，它們未必對(duì)立；反之兩個(gè)事件對(duì)立，它們一定互斥2互斥事件概率的加法公式是一個(gè)很基本的計(jì)算公式，解題時(shí)要在具體的情景中判斷各事件間是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式P(AB)P(A)P(B)3求復(fù)雜事件的概率通常有兩種方法(1)將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥事件的并事件；(2)先求其對(duì)立事件的概率，再求所求事件的概率.一、選擇題1袋內(nèi)裝有紅球3個(gè)、白球2個(gè)、黑球1個(gè)，從中任取2個(gè)，則互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是()A至少有一個(gè)白球與都是白球B至少有一個(gè)白球與至少有一個(gè)紅球C恰有一個(gè)紅球與一個(gè)白球一個(gè)黑球D至少有一個(gè)紅球與紅、黑球各一個(gè)答案C解析直接依據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的概念判斷即可2從一批產(chǎn)品(既有正品也有次品)中取出三件產(chǎn)品，設(shè)A三件產(chǎn)品全不是次品，B三件產(chǎn)品全是次品，C三件產(chǎn)品有次品，但不全是次品，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()AA與C互斥BB與C互斥C任何兩個(gè)都互斥D任何兩個(gè)都不互斥答案D解析由題意知事件A，B，C兩兩不可能同時(shí)發(fā)生，因此兩兩互斥3若A，B是互斥事件，P(A)0.2，P(AB)0.5，則P(B)等于()A0.3B0.7C0.1D1答案A解析A，B是互斥事件，P(AB)P(A)P(B)0.5，P(A)0.2，P(B)0.50.20.3.故選A.4某小組有三名男生和兩名女生，從中任選兩名去參加比賽，則下列各對(duì)事件中是互斥事件的有()恰有一名男生和全是男生；至少有一名男生和至少有一名女生；至少有一名男生和全是男生；至少有一名男生和全是女生ABCD答案D解析是互斥事件恰有一名男生的實(shí)質(zhì)是選出的兩名同學(xué)中有一名男生和一名女生，它與全是男生不可能同時(shí)發(fā)生；不是互斥事件；不是互斥事件；是互斥事件至少有一名男生與全是女生不可能同時(shí)發(fā)生5某學(xué)校高一年級(jí)派甲、乙兩個(gè)班參加學(xué)校組織的拔河比賽，甲、乙兩個(gè)班取得冠軍的概率分別為和，則該年級(jí)在拔河比賽中取得冠軍的概率為()A.B.C.D.答案A解析“甲班取得冠軍”和“乙班取得冠軍”是兩個(gè)互斥事件，該校高一年級(jí)取得冠軍是這兩個(gè)互斥事件的和事件，其概率為兩個(gè)互斥事件的概率之和，即為.6如果事件A，B互斥，記，分別為事件A，B的對(duì)立事件，那么()AAB是必然事件B.是必然事件C.與一定互斥D.與不可能互斥答案B解析用圖示法解決此類問(wèn)題較為直觀，如圖所示，是必然事件，故選B.7下列四個(gè)命題：對(duì)立事件一定是互斥事件；若A，B為兩個(gè)事件，則P(AB)P(A)P(B)；若事件A，B，C兩兩互斥，則P(A)P(B)P(C)1；事件A，B滿足P(A)P(B)1，則A，B是對(duì)立事件其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)是()A0B1C2D3答案D解析對(duì)立事件首先是互斥事件，故正確；只有互斥事件的和事件的概率才適合概率的加法公式，故不正確；概率的加法公式可以適合多個(gè)互斥事件的和事件，但和事件不一定是必然事件，故不正確；對(duì)立事件和的概率公式逆用不正確，比如在擲骰子試驗(yàn)中，設(shè)事件A正面為奇數(shù)，B正面為1,2,3，則P(A)P(B)1.而A，B不互斥，故不正確84位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)，則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為()A.B.C.D.答案D解析由題意知4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)，其中4位同學(xué)都選周六的概率為，4位同學(xué)都選周日的概率為，故周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率P1，故選D.9擲一枚骰子的試驗(yàn)中，出現(xiàn)各點(diǎn)的概率為.事件A表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”，事件B表示“小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”，則一次試驗(yàn)中，事件A(表示事件B的對(duì)立事件)發(fā)生的概率為()A.B.C.D.答案C解析由題意知，表示“大于或等于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”，事件A與事件互斥，由概率的加法計(jì)算公式可得P(A)P(A)P().二、填空題10袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球從中一次隨機(jī)摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為_(kāi)答案解析由題意知摸出的2只球的顏色相同的概率為，故所求概率P1.11某袋中有編號(hào)為1,2,3,4,5,6的6個(gè)球(小球除編號(hào)外完全相同)，甲先從袋中摸出一個(gè)球，記下編號(hào)后放回，乙再?gòu)拇忻鲆粋€(gè)球，記下編號(hào)，則甲、乙兩人所摸出球的編號(hào)不同的概率是_答案解析設(shè)a，b分別為甲、乙摸出球的編號(hào)由題意知，摸球試驗(yàn)共有36種不同的結(jié)果，滿足ab的基本事件共有6種所以摸出編號(hào)不同的概率P1.12在一次教師聯(lián)歡會(huì)上，到會(huì)的女教師比男教師多12人，從這些教師中隨機(jī)挑選一人表演節(jié)目，若選中男教師的概率為，則參加聯(lián)歡會(huì)的教師共有_人答案120解析可設(shè)參加聯(lián)歡會(huì)的教師共有n人，由于從這些教師中選一人，“選中男教師”和“選中女教師”兩個(gè)事件是對(duì)立事件，所以選中女教師的概率為1.再由題意，知nn12，解得n120.三、解答題13國(guó)家射擊隊(duì)的隊(duì)員為在世界射擊錦標(biāo)賽上取得優(yōu)異成績(jī)?cè)诩泳o備戰(zhàn)，經(jīng)過(guò)近期訓(xùn)練，某隊(duì)員射擊一次命中710環(huán)的概率如下表所示：命中環(huán)數(shù)10987概率0.320.280.180.12求該射擊隊(duì)員在一次射擊中：(1)命中9環(huán)或10環(huán)的概率；(2)至少命中8環(huán)的概率；(3)命中不足8環(huán)的概率解記事件“射擊一次，命中k環(huán)”為Ak(kN，k10)，則事件Ak之間彼此互斥(1)設(shè)“射擊一次，命中9環(huán)或10環(huán)”為事件A，那么當(dāng)A9，A10之一發(fā)生時(shí)，事件A發(fā)生，由互斥事件概率的加法公式得P(A)P(A9)P(