3 3一元二次不等式及其解法 二 第三章不等式 1 會(huì)解可化為一元二次不等式 組 的簡(jiǎn)單分式不等式 2 能夠從實(shí)際生活和生產(chǎn)中抽象出一元二次不等式的模型 并加以解決 3 掌握與一元二次不等式有關(guān)的恒成立問題的解法 學(xué)習(xí)目標(biāo) 題型探究 問題導(dǎo)學(xué) 內(nèi)容索引 當(dāng)堂訓(xùn)練 問題導(dǎo)學(xué) 思考 知識(shí)點(diǎn)一分式不等式的解法 等價(jià) 好處是將不熟悉的分式不等式化歸為已經(jīng)熟悉的一元二次不等式 答案 梳理 一般的分式不等式的同解變形法則 f x g x 0 f x g x 0 g x 0 知識(shí)點(diǎn)二一元二次不等式恒成立問題 思考 x 1 0在區(qū)間 2 3 上恒成立的幾何意義是函數(shù)y x 1在區(qū)間 2 3 上的圖象恒在x軸上方 區(qū)間 2 3 內(nèi)的元素一定是不等式x 1 0的解 反之不一定成立 故區(qū)間 2 3 是不等式x 1 0的解集的子集 x 1 0在區(qū)間 2 3 上恒成立的幾何意義是什么 區(qū)間 2 3 與不等式x 1 0的解集有什么關(guān)系 答案 梳理 一般地 不等式f x 0在區(qū)間 a b 上恒成立 的幾何意義是函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 上的圖象全部在x軸方 區(qū)間 a b 是不等式f x 0的解集的 恒成立的不等式問題通常轉(zhuǎn)化為求最值問題 即 若f x 有最大值 則k f x 恒成立 k 若f x 有最小值 則k f x 恒成立 k 上 子集 f x min f x max 題型探究 類型一分式不等式的解法 原不等式的解集為 x 2 x 3 解答 解答 反思與感悟 解答 解答 例2設(shè)函數(shù)f x mx2 mx 1 1 若對(duì)于一切實(shí)數(shù)x f x 0恒成立 求m的取值范圍 類型二不等式恒成立問題 解答 要使mx2 mx 1 0恒成立 若m 0 顯然 1 0 滿足題意 若m 0 4 m 0 2 對(duì)于x 1 3 f x m 5恒成立 求m的取值范圍 解答 方法一要使f x m 5在x 1 3 上恒成立 當(dāng)m 0時(shí) g x 在 1 3 上是增函數(shù) g x max g 3 7m 6 0 當(dāng)m 0時(shí) 6 0恒成立 當(dāng)m 0時(shí) g x 在 1 3 上是減函數(shù) g x max g 1 m 6 0 得m 6 m 0 方法二當(dāng)x 1 3 時(shí) f x m 5恒成立 即當(dāng)x 1 3 時(shí) m x2 x 1 6 0恒成立 又m x2 x 1 6 0 引申探究把例2 2 改為 對(duì)于任意m 1 3 f x m 5恒成立 求實(shí)數(shù)x的取值范圍 解答 f x m 5 即mx2 mx 1 m 5 m x2 x 1 6 0 設(shè)g m m x2 x 1 6 則g m 是關(guān)于m的一次函數(shù)且斜率x2 x 1 g m 在 1 3 上為增函數(shù) 要使g m 0在 1 3 上恒成立 只需g m max g 3 0 即3 x2 x 1 6 0 x2 x 1 0 有關(guān)不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍 通常處理方法有兩種 1 考慮能否進(jìn)行參變量分離 若能 則構(gòu)造關(guān)于變量的函數(shù) 轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大 小 值 從而建立參變量的不等式 2 若參變量不能分離 則應(yīng)構(gòu)造關(guān)于變量的函數(shù) 如一次函數(shù) 二次函數(shù) 并結(jié)合圖象建立參變量的不等式求解 反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練2當(dāng)x 1 2 時(shí) 不等式x2 mx 4 0恒成立 則m的取值范圍是 構(gòu)造函數(shù)f x x2 mx 4 x 1 2 則f x 在 1 2 上的最大值為f 1 或f 2 由于當(dāng)x 1 2 時(shí) 不等式x2 mx 4 0恒成立 5 答案 解析 例3某種汽車在水泥路面上的剎車距離 剎車距離是指汽車剎車后由于慣性往前滑行的距離 sm和汽車車速xkm h有如下關(guān)系 s x2 在一次交通事故中 測(cè)得這種車的剎車距離大于39 5m 那么這輛汽車剎車前的車速至少為多少 精確到1km h 168 882 類型三一元二次不等式的應(yīng)用 解答 移項(xiàng)整理 得x2 9x 7110 0 顯然 0 x2 9x 7110 0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 即x1 88 94 x2 79 94 根據(jù)二次函數(shù)y x2 9x 7110的圖象 得不等式的解集為 x x79 94 在這個(gè)實(shí)際問題中 x 0 所以這輛汽車剎車前的車速至少為80km h 一元二次不等式應(yīng)用題常以二次函數(shù)為模型 解題時(shí)要弄清題意 準(zhǔn)確找出其中的不等關(guān)系 再利用一元二次不等式求解 確定答案時(shí)應(yīng)注意變量具有的 實(shí)際含義 反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練3在一個(gè)限速40km h的彎道上 甲 乙兩輛汽車相向而行 發(fā)現(xiàn)情況不對(duì) 同時(shí)剎車 但還是相碰了 事發(fā)后現(xiàn)場(chǎng)測(cè)得甲車的剎車距離略超過12m 乙車的剎車距離略超過10m 又知甲 乙兩種車型的剎車距離sm與車速xkm h之間分別有如下關(guān)系 s甲 0 1x 0 01x2 s乙 0 05x 0 005x2 問超速行駛誰應(yīng)負(fù)主要責(zé)任 解答 由題意列出不等式s甲 0 1x甲 0 01x 12 s乙 0 05x乙 0 005x 10 分別求解 得x甲30 x乙40 由于x 0 從而得x甲 30km h x乙 40km h 經(jīng)比較知乙車超過限速 應(yīng)負(fù)主要責(zé)任 當(dāng)堂訓(xùn)練 1 若關(guān)于x的方程x2 a2 1 x a 2 0的一根比1小且另一根比1大 則a的取值范圍是a 1 1 b 1 1 c 2 1 d 2 1 令f x x2 a2 1 x a 2 依題意得f 1 0 即1 a2 1 a 2 0 a2 a 2 0 2 a 1 1 2 3 4 答案 解析 1 2 3 4 y 25x 0 1x2 5x 3000 0 即x2 50 x 30000 0 解得x 150或x 200 舍去 故生產(chǎn)者不虧本的最低產(chǎn)量是150臺(tái) 2 若產(chǎn)品的總成本y 萬元 與產(chǎn)量x 臺(tái) 之間的函數(shù)關(guān)系式是y 3000 20 x 0 1x2 0 x 240 若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬元 則生產(chǎn)者不虧本 銷售收入不小于總成本 時(shí)的最低產(chǎn)量是a 100臺(tái)b 120臺(tái)c 150臺(tái)d 180臺(tái) 答案 解析 由題意知 0 即1 4k 0 1 2 3 4 3 不等式x2 x k 0恒成立時(shí) k的取值范圍為 解析 答案 1 2 3 4 解得x 1或x 2 原不等式的解集為 x x 1或x 2 解答 1 2 3 4 6x 4 4x 3 0 解答 規(guī)律與方法 1 解分式不等式時(shí) 一定要等價(jià)變形為一邊為零的形式 再化歸為一元二次不等式 組 求解 當(dāng)不等式含有等號(hào)時(shí) 分母不為零 2 對(duì)于有的恒成立問題 分離參數(shù)是一種行之有效的方法 這是因?yàn)閷?shù)予以分離后 問題往往會(huì)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題 從而得以迅速解決 當(dāng)然這必須以參數(shù)容易分離作為前