一 廣義振動(dòng) 振動(dòng) 波動(dòng) 橫跨物理學(xué)所有領(lǐng)域 物理量在中心值附近作周期性變化 1 機(jī)械振動(dòng) 位置或位移 2 非機(jī)械振動(dòng) 電磁振蕩 交流電 以上具有相似物理規(guī)律和研究方法 概述 第九章振動(dòng) 1 二 最基本的振動(dòng) 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 2 9 1簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)振幅周期與頻率相位 一 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 以平衡位置為原點(diǎn) 建立圖示坐標(biāo)系 偏離x k 勁度系數(shù) 一般為振動(dòng)常數(shù) A 積分常數(shù) 初始條件 動(dòng)力學(xué)方程 運(yùn)動(dòng)微分方程 運(yùn)動(dòng)方程 3 a x 平衡位置量度 b k 固有性質(zhì)與初始條件無(wú)關(guān) A 初始條件與固有性質(zhì)無(wú)關(guān) 4 討論 動(dòng)力學(xué)分析 判斷振動(dòng)性質(zhì) 求固有量 動(dòng)和靜 平衡位置 偏離量x 力 矩 分析 5 1 振幅A 最大位移表征能量 二 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述 2 周期與頻率 比較 即 彈簧振子固有周期 單位時(shí)間 全振動(dòng)次數(shù)的2 倍 T 固有量 取決振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特征 6 3 相位 k 0 1 2 x A v 0 x 0 v 0 x A v 0 x 0 v 0 或 如t 0則 初始狀態(tài) 7 任意角 4個(gè)象限 8 9 2旋轉(zhuǎn)矢量 一 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)與勻速圓周運(yùn)動(dòng) 如圖所示 旋轉(zhuǎn)矢量 9 10 二 旋轉(zhuǎn)矢量法 1 表示諧振動(dòng) 三要素 3 確定初相位 或相位 幾何法 11 由圖知 相位差 初相差 對(duì) a 圖x2超前x1 2 1 b 圖x1超前x2 2或x2滯后x1 2 12 5 t或 由旋矢圖知 由此 與 t可互求 6 諧振動(dòng)合成 9 5 13 三 諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析 1 已知運(yùn)動(dòng)方程 一系列物理量 2 由已知條件 運(yùn)動(dòng)方程 確定三要素 其它物理量 14 分析 求 1 a 先求運(yùn)動(dòng)方程 三要素 其中 為關(guān)鍵 如 解析法 判斷 旋矢法 由旋矢圖 知 2 x 0 04m到 0 04m最短時(shí)間 15 由圖知 例2 一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的x t曲線 如圖所示 求 1 初相 2 求運(yùn)動(dòng)方程 并用旋矢表示之 3 第一次到達(dá)處的速度和加速度 分析 a 簡(jiǎn)便路徑 用旋矢法求 和 并結(jié)合相位法求第三問(wèn) b 旋矢圖 第一次到達(dá)次處相位 比較 解析法 旋矢法 相位法 討論 1 16 如 物理擺 一維角諧振動(dòng)模型 9 3單擺和復(fù)擺 一 復(fù)擺 如圖偏離平衡位置 l 質(zhì)心c至轉(zhuǎn)軸o距離 二 單擺 數(shù)學(xué)擺 復(fù)擺一個(gè)特例 有 17 O R r 例1 一半徑為r的均質(zhì)球 可沿半徑為R的固定大球殼的內(nèi)表面作純滾動(dòng) 如圖 試求圓球繞平衡位置作微小運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程及其周期 分析 偏離 力 矩 分析 18 c 例2 細(xì)桿 m l 豎直時(shí) 水平輕質(zhì)彈簧 k 處于自然狀態(tài) 求細(xì)桿作小幅擺動(dòng)時(shí)的周期T 分析 偏離 對(duì)o 很小時(shí) 有 19 t 系統(tǒng)能量 以彈簧振子為例 9 4簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量 守恒 20 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 能量特征 能量守恒 討論 能量法 判斷廣義簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 振子偏離平衡位置x時(shí) 以彈簧振子為例 兩邊對(duì)t求導(dǎo) 21 例 求圖示系統(tǒng)的振動(dòng)頻率 設(shè)輕繩與定滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng) 分析 a 尋找平衡位置 建立圖示坐標(biāo)系 b 法動(dòng)力學(xué)法 偏離x平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)隔離 對(duì)m 對(duì)J m與J 系統(tǒng)固有性質(zhì) 22 偏離x系統(tǒng) m k J 地球 c 法能量法 兩邊對(duì)t求導(dǎo) 可得同樣結(jié)果 23 9 5簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成 一 兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成 與相位差 有關(guān) 仍為諧振動(dòng) 不變 24 a 如 討論 b 如 或 如 靜止 a 以上為兩相干波干涉的基礎(chǔ) b 建議 對(duì)下列特殊情況可直接用旋矢法求解 25 比較 旋矢法與解析法 討論 26 合振動(dòng)軌跡方程 消去t 橢圓方程 二 兩個(gè)相互垂直同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成 27 討論 a 所含各種情況 0 直線 諧振動(dòng) 2 3 2正橢圓 如A1 A2圓 其他情況斜橢圓 b 右旋與左旋 如 2 1 0 如 2 1 0 x超前y逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 左旋 y超前x順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 右旋 28 三 多個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成 合運(yùn)動(dòng)仍為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 如 則 29 討論 a 若 b 若 N個(gè)矢量構(gòu)成一閉合圖形 30 c 次級(jí)大 四 兩個(gè)同方向不同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成 拍 一般 合運(yùn)動(dòng) 不是諧振動(dòng) 討論 的情況 31 合運(yùn)動(dòng) 如 隨t變化的振幅 振動(dòng)因子 32 比較 證明 1 解析法 證明 2 旋矢法 從兩振動(dòng)同相 再次同相 由相對(duì)運(yùn)動(dòng) 拍現(xiàn)象應(yīng)用領(lǐng)域 聲學(xué) 無(wú)線電技術(shù) 速度測(cè)量 33 一 阻尼振動(dòng) 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 理想等幅守恒 9 6阻尼振動(dòng)受迫振動(dòng)共振 實(shí)際阻尼 如 2 02其解為 式中A 初始條件 34 討論 臨界阻尼 工程中有很多應(yīng)用 c 臨界阻尼 b 過(guò)阻尼 a 欠阻尼 35 二 受迫振動(dòng) 周期性簡(jiǎn)諧外力 則 其解 暫態(tài)響應(yīng) 穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 多種因素有關(guān) 如 0 P 振動(dòng)頻率 驅(qū)動(dòng)外力 P 機(jī)械能守恒 36 三 位移 共振 共振頻率 另速度共振 電流諧振 選頻 令 速度最大 令 共振 有弊也有利 37 一 振蕩電路無(wú)阻尼自由電磁振蕩 9 7電磁振蕩 LC電路 無(wú)阻尼情況 38 二 無(wú)阻尼電磁振蕩的振蕩方程 LC電路 t 有 振動(dòng)周期 39 三 無(wú)阻尼電磁振蕩的能量 t 電容器 電感線圈 總能量 守恒 40 9 8簡(jiǎn)述非線性系統(tǒng) 一 線性系統(tǒng) 理想或近似 特征 1 動(dòng)力學(xué)行為 滿足 一組 線性微分方程 2 其解 滿足線性疊加原理 二 非線性系統(tǒng) 實(shí)際 普遍 特征 1 疊加原理不成立 2 初始條件不同 會(huì)導(dǎo)致很不相同運(yùn)動(dòng)形式 3 可能出現(xiàn)完全隨機(jī)混沌行為 41 討論 小角度 線性系統(tǒng) 和大角度 非線性系統(tǒng) 物理行為 線性微分方程 其解 精確描述狀態(tài) 確定性 兩同頻率諧振動(dòng)合成 滿足線性疊加原理 滿足 其解 42 非線性微分方程 如取前兩項(xiàng) 一次迭代近似解 不滿足線性疊加原理 近似