第三章 空間向量與立體幾何 3 1空間向量及其運(yùn)算 3 1 1空間向量及其加減 數(shù)乘運(yùn)算 1 掌握空間向量相關(guān)的概念 幾何表示法 字母表示法 2 了解共線(xiàn) 平行 向量 共面向量的定義 3 掌握空間向量的加減 數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律 共線(xiàn)向量 共面向量的表示法 4 理解共線(xiàn) 共面向量定理及其推論 并能利用它們證明 空間向量的共線(xiàn) 共面問(wèn)題 1 空間向量 在空間 我們把具有 和 的量叫做空間向 量 向量的 叫做向量的長(zhǎng)度或模 大小 方向 大小 2 向量的表示法 如圖3 1 1 1 幾何表示法 用 表示 2 字母表示法 用一個(gè)字母表示 如圖3 1 1 此向量的起點(diǎn)是A 終點(diǎn)是B 可記作 也可記作 其模記為 或 圖3 1 1 有向線(xiàn)段 a a 是 當(dāng)有向線(xiàn)段的起點(diǎn)A與終點(diǎn)B重合時(shí) AB 0 3 零向量 長(zhǎng)度為 的向量叫做零向量 記作0 零向量的方向 4 單位向量 模長(zhǎng)為 的向量 5 相反向量 與向量a的 相等而 相反的向量 稱(chēng)為a 的相反向量 記作 a 0 任意的 1 長(zhǎng)度 方向 6 相等向量 相同且 相等的向量稱(chēng)為相等向量 在空間 同向且等長(zhǎng)的有向線(xiàn)段表示同一向量或相等向量 圖3 1 2 方向 模 OB CA 7 類(lèi)似于平面向量 定義空間向量的加減運(yùn)算 如圖 3 1 2 a b a b 8 空間向量的加法運(yùn)算律 1 交換律 2 結(jié)合律 9 向量的數(shù)乘 實(shí)數(shù) 與向量a的積仍然是一個(gè)向量 記作 稱(chēng)為向量的數(shù)乘 長(zhǎng)度是 當(dāng) 0時(shí) a與向量a的方向 當(dāng) 0時(shí) a與向量a的方向 當(dāng) 0時(shí) a a b b a a b c a b c a a 相同 相反 0 11 共線(xiàn)向量 如果表示空間向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)互相 則這些向量叫做共線(xiàn)向量或 12 共線(xiàn)向量定理 對(duì)空間任意兩個(gè)向量a b b 0 a b的充要條件是存在 實(shí)數(shù) 使 稱(chēng)此為共線(xiàn)向量定理 注意 b 0不可丟掉 否則實(shí)數(shù) 就不一定存在 1 分配律 2 結(jié)合律 10 數(shù)乘運(yùn)算律 a b a b a a 平行或重合 平行向量 a b 13 共面向量 叫做共面向量 空間任意兩個(gè) 向量 14 共面向理定理 如果兩個(gè)向量a b不共線(xiàn) 那么向量p與向量a b共面的充要條件是 稱(chēng)此為共面向量定理 平行于同一平面的向量 總是共面的 存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì) x y 使p xa yb 要點(diǎn)1 正確理解空間向量的概念 剖析 1 向量是既有大小又有方向的量 向量的模是正數(shù)或0 是可以進(jìn)行比較大小的 由于方向不能比較大小 因此 大于 小于 對(duì)向量來(lái)說(shuō)是沒(méi)有意義的 比如可以說(shuō) a b 但不能說(shuō)a b 2 在空間 單位向量 向量的模 相等的向量和相反向量 等概念與平面向量中相對(duì)應(yīng)的概念完全一致 要點(diǎn)2 向量的三角形法則和平行四邊形法則的要點(diǎn)是 什么 剖析 對(duì)于向量加法運(yùn)用平行四邊形法則要求兩向量有共同起點(diǎn) 運(yùn)用三角形法則要求向量首尾順次相連 對(duì)于向量減法要求兩向量有共同的起點(diǎn) 要點(diǎn)3 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 剖析 空間向量數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果仍是一個(gè)向量 可以根據(jù)定義來(lái)判斷它的方向和大小 向量a的?？梢詳U(kuò)大 當(dāng) 1時(shí) 也可以縮小 當(dāng) 0時(shí) 也可以改變 當(dāng) 0時(shí) 實(shí)數(shù)與向量可以求積 但是不能進(jìn)行加減 例如 a a是沒(méi)有意義的 要點(diǎn)4 共線(xiàn)向量與共面向量 剖析 對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a b b 0 共線(xiàn)向量定理可分解為以下兩個(gè)命題 a b 存在唯一實(shí)數(shù) 使a b 存在唯一實(shí)數(shù) 使得a b a b 對(duì)于空間任意兩個(gè)向量 它們總是共面的 但空間任意三個(gè)向量就不一定共面了 三個(gè)非零向量a b c 其中任意兩個(gè)向量不共線(xiàn) 則它們共面的充要條件 存在三個(gè)非零實(shí)數(shù)l m n 使la mb nc 0 題型1空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算例1 如圖3 1 3 在正方體ABCD A1B1C1D1中 下列 各式中運(yùn)算的結(jié)果為向量AC1的共有 A 1個(gè)C 3個(gè) B 2個(gè)D 4個(gè) 圖3 1 3 思維突破 化簡(jiǎn)向量表達(dá)式主要是利用平行四邊形法則或三角形法則 遇到減法時(shí)既可以轉(zhuǎn)化成加法 也可以按減法法則進(jìn)行運(yùn)算 答案 D A CD 7a 2b 則一定共線(xiàn)的三點(diǎn)是 題型2共線(xiàn)問(wèn)題 A A B DC B C D B A B CD A C D 思維突破 證明三點(diǎn)共線(xiàn)的關(guān)鍵是證明以某點(diǎn)為起點(diǎn)的兩個(gè)向量中 一個(gè)向量可以表示為另一個(gè)向量與某個(gè)實(shí)數(shù)的數(shù)乘形式 答案 A 1 OB OM 3OP OA 2 OP 4OA OB OM 題型3共面問(wèn)題 例3 對(duì)于平面ABM外的任一點(diǎn)O 確定在下列條件下 點(diǎn)P是否與點(diǎn)A