.,第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征,.,在第二章的討論知道，離散型隨機(jī)變量的變化規(guī)律由其概率分布完全描述，連續(xù)型隨機(jī)變量由其密度函數(shù)完全描述。但在實(shí)際應(yīng)用中，概率分布或密度函數(shù)的獲得通常是困難的。另一方面，在應(yīng)用中，有時(shí)并不需要知道概率分布或密度函數(shù)，而只需知道該隨機(jī)變量的某些特征。,例如，為了對(duì)某市高一學(xué)生的某門課的考試成績作分析，一般并不需要所有學(xué)生的考試成績，而只需知道每所學(xué)校的平均成績，或者各所學(xué)校成績相對(duì)于平均成績的偏離程度，有了這些指標(biāo)，就可以作橫向和縱向的比較。這里平均成績就是學(xué)生成績這一隨機(jī)變量的特征。,用以刻畫隨機(jī)變量某方面特征的量，稱為隨機(jī)變量的數(shù)字特征。,常用的數(shù)字特征：數(shù)學(xué)期望、方差、矩、眾數(shù)、中位數(shù)、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)。,.,第一節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,例1某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，一等品占50%，二等品占40%，次品占10%。如果生產(chǎn)一件次品，工廠要損失1元錢，生產(chǎn)一件一等品，工廠獲得2元錢的利潤，生產(chǎn)一件二等品，工廠獲得1元錢的利潤。假設(shè)生產(chǎn)了大量這樣的產(chǎn)品，問工廠每件產(chǎn)品獲得的期望利潤是多少？,設(shè)X表示每件產(chǎn)品獲得的利潤，則它是隨機(jī)變量，其概率分布為,解：,.,解：,假設(shè)工廠一共生產(chǎn)了N件產(chǎn)品，其中一等品n1件，二等品n2件，次品n3件,這N件產(chǎn)品獲得的平均利潤為,或者寫為,.,而在大量重復(fù)試驗(yàn)下當(dāng)N無限增大時(shí)，頻率的穩(wěn)定值即為概率，因此，每件產(chǎn)品的平均利潤將趨近于,或者說，如果工廠生產(chǎn)了大量該產(chǎn)品，可期望每件產(chǎn)品獲得1.3元的利潤。,數(shù)值1.3稱為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望或均值。,.,一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,第一節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,注：,.,第一節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,例甲乙二人射擊，X：甲擊中的環(huán)數(shù)；Y：乙擊中的環(huán)數(shù)。他們命中環(huán)數(shù)的分布律分別為,試問哪一個(gè)人的射擊水平較高?,.,二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,概率,密度函數(shù),例3.3設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為,求的數(shù)學(xué)期望。,解由連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義，有,.,三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,定理設(shè)為隨機(jī)變量，為實(shí)函數(shù)，,.,解,解,例3.5對(duì)例3.3中的隨機(jī)變量，求,.,四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),（1）若，則，特別地,（3）,（2）,（4）,.,第二節(jié)隨機(jī)變量的方差,有可能產(chǎn)品的壽命均集中在9501050小時(shí)！,有可能一半產(chǎn)品的壽命集中在700小時(shí)，另一半產(chǎn)品的壽命集中在1300小時(shí)！,對(duì)隨機(jī)變量，知道了它的數(shù)學(xué)期望，雖然對(duì)該隨機(jī)變量有了一定的了解，但還不夠！,例：為評(píng)估一批燈泡的質(zhì)量好壞，從某種途徑已知其平均壽命為1000小時(shí)，即，但不能完全肯定質(zhì)量的好壞！,有必要找一個(gè)量，能夠度量隨機(jī)變量相對(duì)于的偏離程度。,.,什么量，能夠度量隨機(jī)變量相對(duì)于的偏離程度？,是隨機(jī)變量,（正負(fù)偏差相互抵消）,定義設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為，則稱為隨機(jī)變量的方差，記為，或，并稱為的標(biāo)準(zhǔn)差。,.,方差的計(jì)算：,考慮到方差實(shí)際上為隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望：，因此,若為離散型隨機(jī)變量，概率分布為，則,若為連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度函數(shù)為，則,在很多場(chǎng)合，計(jì)算方差經(jīng)常用到如下公式：,.,方差的性質(zhì)：,（1）,（2）,（3）,例3.6設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為,解由例3.3的結(jié)果，,求的方差,解,稱為的標(biāo)準(zhǔn)化，它是一個(gè)無量綱的隨機(jī)變量，將原分布中心移至原點(diǎn)，且方差為1個(gè)單位。,證,因此當(dāng)時(shí)，達(dá)到最小值，且最小值為,.,第三節(jié)常用分布的數(shù)學(xué)期望和方差,一、常用離散型分布的數(shù)學(xué)期望和方差,退化分布：離散型隨機(jī)變量只取常數(shù)，即，,2.0-1分布：離散型隨機(jī)變量的概率分布為,因此,因此,3.個(gè)點(diǎn)上的均勻分布：,4.二項(xiàng)分布：,離散型隨機(jī)變量的概率分布為,，即離散型隨機(jī)變量的概率分布為,因此,則,5.幾何分布：,隨機(jī)變量的概率分布為,6.超幾何分布：,隨機(jī)變量的概率分布為,.,（證明略）,7.泊松分布：隨機(jī)變量的概率分布為,.,二、常用連續(xù)型分布的數(shù)學(xué)期望和方差,均勻分布：,密度函數(shù)為,連續(xù)型隨機(jī)變量服從區(qū)間上的均勻分布，,則,而,從而,.,2.指數(shù)分布：,連續(xù)型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布，,密度函數(shù)為,則,而,從而,3.正態(tài)分布：,則數(shù)學(xué)期望為,隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為,（令）,方差為,（令）,分布名稱概率分布數(shù)學(xué)期望方差,退化分布,0-1分布,個(gè)點(diǎn)的均勻分布,二項(xiàng)分布,幾何分布,超幾何分布,泊松分布,分布名稱密度函數(shù)數(shù)學(xué)期望方差,均勻分布,指數(shù)分布,正態(tài)分布,.,第四節(jié)隨機(jī)變量的矩和切比雪夫不等式,一、矩,矩是數(shù)學(xué)期望和方差的推廣，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中有重要應(yīng)用。,定義：對(duì)隨機(jī)變量，設(shè)為正整數(shù)，如果存在,即為數(shù)學(xué)期望。,即為方差。,（即），則稱為的階原點(diǎn)矩。,.,矩的計(jì)算：,則,（1）若為離散型隨機(jī)變量，概率分布為,（2）若為連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù)為，則,.,二、切比雪夫不等式,定理：對(duì)隨機(jī)變量，設(shè)均存在，則對(duì)任意，,有,或者,切比雪夫不等式,切比雪夫不等式給出了隨機(jī)變量對(duì)其數(shù)學(xué)期望絕對(duì)偏差的概率的估計(jì)。,不等式表明，越小，事件的概