第 1 頁（共 19 頁） 2015年陜西省西安市九年級（上）期中數(shù)學試卷 一、選擇題：（每小題 3 分，共 30 分） 1下列方程中，不是一元二次方程的是（ ） A B C D x2+x 3=當 m 不為何值時，函數(shù) y=（ m 2） x 5（ m 是常數(shù)）是二次函數(shù)（ ） A 2 B 2 C 3 D 3 3已知直角三角形的兩邊長是方程 7x+12=0 的兩根，則第三邊長為（ ） A 7 B 5 C D 5 或 4順次連接矩形四條邊的中點，所得到的四邊形一定是（ ） A矩形 B菱形 C正方形 D平行四邊形 5如圖， 長方形 對角線，過點 D 作 延長線于 E，則圖中與 等的三角形共有（ ） A 1 個 B 2 個 C 3 個 D 4 個 6在 ， C=90，如果 ，那么 值等于（ ） A B C D 7關(guān)于 x 的函數(shù) y=k（ x+1）和 y= （ k 0）在同一坐標系中 的圖象大致是（ ） A B CD 8 ， A、 B 都是銳角，且 ， ，則 形狀是（ ） A直角三角形 B鈍角三角形 C銳角 三角形 D不能確定 9如果點 A（ 1， B（ 1， C（ ， 反比例函數(shù) 圖象上的三個點，則下列結(jié)論正確的是（ ） 第 2 頁（共 19 頁） A 0如圖，在矩形 ， M、 N 分別在邊 ，連接 四邊形 菱形，則 等于（ ） A B C D 二、填空題（每小題 3 分，共 18 分） 11隨機擲一枚均勻的硬幣兩次，至少有一次正面朝上的概率是 _ 12若 ，則銳角 =_ 13菱形有一個內(nèi)角為 60，較短的對角線長為 6，則它的面積為 _ 14已知 是關(guān)于 x 的方程： 6x+a=0 的一個解，則 2a 1 的值是 _ 15已知 一元二次方程 2x 1=0 的兩根，則 + =_ 16如圖，已知矩形 面積為 ，它的對角線 雙曲線 相交于點 D，且： 3，則 k=_ 三、解答題（共 72 分） 17用適當方法解方程 （ 1） （ 2） 2x 99=0 18計算 （ 1） 0 （ 2） 19某商場禮品柜臺元旦期間購進大量賀年卡，一種賀年卡平均每天可售出 500 張，每張盈利 為了盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果這種賀年卡第 3 頁（共 19 頁） 的售價每降低 ，那么商場平均每天可多售出 300 張商場要想平均每天盈利 160 元，每張賀年卡應降價多少元？ 20如圖，花叢中有一路燈桿 燈光下，小明在 D 點處的影長 米，沿 向行走到達 G 點， 米，這時小明的影長 米如果小明的身高為 ，求路燈桿高度（精確到 ） 21如圖：在 ， 0， D， 分 G，交 E， F 求證：四邊形 菱形 22在一個不透明的布袋里裝有 4 個標號為 1、 2、 3、 4 的小球，他們的材質(zhì)、形狀、大小完全相同，小凱從布袋里隨機取出一個小球，記下數(shù)字為 x，小敏從剩下的 3 個小球中隨機取出一個小球，記下數(shù)字為 y，這樣確定了點 P 的坐標（ x， y） （ 1）請你運用畫樹狀圖或列表的方法，寫出點 P 所有可能 的坐標 （ 2）求點（ x， y）在函數(shù) y= 圖象上的概率 23如圖，一次函數(shù) y=ax+b 的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于 A（ 4， 2）、 B（ 2， n）兩點，且與 x 軸交于點 C （ 1）試確定上述反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式； （ 2）求 面積； （ 3）根據(jù)圖象寫出一次函數(shù)的值 反比例函數(shù)的值 x 的取值范圍 24一艘輪船自西向東航行，在 A 處測得東偏北 向有一座小島 C，繼續(xù)向東航行 60海里 到達 B 處，測得小島 C 此時在輪船的東偏北 向上之后，輪船繼續(xù)向東航行多少海里，距離小島 C 最近？（參考數(shù)據(jù)： ， ， ， 2） 第 4 頁（共 19 頁） 25已知，在矩形 ， AB=a， BC=b，動點 M 從點 A 出發(fā)沿邊 點 D 運動 （ 1）如圖 1，當 b=2a，點 M 運動到邊 中點時，請證明 0； （ 2）如圖 2，當 b 2a 時，點 M 在運動的過程中，是否存在 0，若存在，請給與證明；若不存在，請說明理由； （ 3）如圖 3，當 b 2a 時，（ 2）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由 第 5 頁（共 19 頁） 2015年陜西省西安市九年級（上）期中數(shù)學試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題：（每小題 3 分，共 30 分） 1下列方程中，不是一元二次方程的是（ ） A B C D x2+x 3=考點】 一元二次方程的定義 【分析】 本題根據(jù)一元二次方程的定義求解一元二次方程必須滿足兩個條件：（ 1）未知數(shù)的最高次數(shù)是 2；（ 2）二次項系數(shù)不為 0據(jù)此進行判斷即可 【解答】 解： A、符合 bx+c=0（且 a 0），是一元二次方程，故本選項錯誤； B、化簡后為 ，符合 bx+c=0（且 a 0），是一元二次方程，故本選項錯誤； C、符合 bx+c=0（且 a 0），是一元二次方程，故本選項錯誤； D、 x2+x 3=簡后為 x 3=0，是一元一次方程，故本選項正確 故選 D 2當 m 不為何值時，函數(shù) y=（ m 2） x 5（ m 是常數(shù)）是二次函數(shù)（ ） A 2 B 2 C 3 D 3 【考點】 二次函數(shù)的定義 【分析】 利用二次函數(shù)的定義，形如 y=bx+c（ a、 b、 c 為常數(shù)， a 0） 【解答】 解：根據(jù)二次函數(shù)的定義，得 m 2 0，即 m 2 當 m 2 時，函數(shù) y=（ m 2） x 5（ m 是常數(shù)）是二次函數(shù)故選 B 3已知直角三角形的兩邊長是方程 7x+12=0 的兩根，則第三邊長為（ ） A 7 B 5 C D 5 或 【考點】 勾股定理；解一元二次方程 【分析】 求出方程的解，得出直角三角形的兩邊長，分為兩種情況： 當 3 和 4 是兩直角邊時， 當 4 是斜邊， 3 是直角邊時，根據(jù)勾股定理求出第三 邊即可 【解答】 解： 7x+12=0， （ x 3）（ x 4） =0， x 3=0， x 4=0， 解得： ， ， 即直角三角形的兩邊是 3 和 4， 當 3 和 4 是兩直角邊時，第三邊是 =5； 當 4 是斜邊， 3 是直角邊時，第三邊是 = ， 即第三邊是 5 或 ， 第 6 頁（共 19 頁） 故選 D 4順次連接矩形四條 邊的中點，所得到的四邊形一定是（ ） A矩形 B菱形 C正方形 D平行四邊形 【考點】 中點四邊形 【分析】 因為題中給出的條件是中點，所以可利用三角形中位線性質(zhì)，以及矩形對角線相等去證明四條邊都相等，從而說明是一個菱形 【解答】 解：連接 在 ， D， B 同理 又 在矩形 ， D， G=E， 四邊形 菱形 故選 B 5如圖， 長方形 對角線，過點 D 作 延長線于 E，則圖中與 等的三角形共有（ ） A 1 個 B 2 個 C 3 個 D 4 個 【考點】 直角三角形全等的判定 【分析】 根據(jù)題中條件 ，結(jié)合圖形，可得出與 等的三角形為 4 個 【解答】 解： 在 ， 在 ， 第 7 頁（共 19 頁） 在 ， 在 故選 D 6在 ， C=90，如果 ，那么 值等于（ ） A B C D 【考點】 銳角三角函數(shù)的定義 【分析】 先根據(jù)題意設(shè)出直角三角形的兩直角邊，根據(jù)勾股定理求出其斜邊；再根據(jù)直角三角形中銳角三角函數(shù)的定義求解即可 【解答】 解： 在 ， C=90， ， 設(shè) x，則 2x， 3x， = 故選 B 7關(guān)于 x 的函數(shù) y=k（ x+1）和 y= （ k 0）在同一坐標系中的圖象大致是（ ） 第 8 頁（共 19 頁） A B CD 【考點】 反比例函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象 【分析】 根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)可得經(jīng)過的象限，一次函數(shù)的比例系數(shù)和常數(shù)項可得一次函數(shù)圖 象經(jīng)過的象限 【解答】 解：當 k 0 時，反比例函數(shù)圖象經(jīng)過一三象限；一次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、三象限，故 A、 C 錯誤； 當 k 0 時，反比例函數(shù)經(jīng)過第二、四象限；一次函數(shù)經(jīng)過第二、三、四象限，故 B 錯誤，D 正確； 故選： D 8 ， A、 B 都是銳角，且 ， ，則 形狀是（ ） A直角三角形 B鈍角三角形 C銳角三角形 D不能確定 【考點】 特殊角的三角函數(shù) 值 【分析】 先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出 A、 B 的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出 C 即可作出判斷 【解答】 解： ， A、 B 都是銳角， ， ， A= B=30 C=180 A B=180 30 30=120 故選： B 9如果點 A（ 1， B（ 1， C（ ， 反比例函數(shù) 圖象上的三個點，則下列結(jié)論正確的是（ ） A 考點】 反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征 【分析】 根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)的符號可得反比例函數(shù)所在象限為二、四，其中在第四象限的點的縱坐標總小于在第二象限的縱坐標，進而判斷在同一象限內(nèi)的點 B 和點 C 的縱坐標的大小即可 【解答】 解： 反比例函數(shù)的比例系數(shù)為 1， 圖象的兩個分支在二、四象限； 第四象限的點的縱坐標 總小于在第二象限的縱坐標，點 A 在第二象限，點 B、 C 在第四象限， 大， 第 9 頁（共 19 頁） 1 ， y 隨 x 的增大而增大， 故選 A 10如圖，在矩形 ， M、 N 分別在邊 ，連接 四邊形 菱形，則 等于（ ） A B C D 【考點】 菱形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì) 【分析】 首先由菱形的四條邊都相等與矩形的四個角是直角，即可得到直角 三邊的關(guān)系 【解答】 解： 四邊形 菱形， B 四邊形 矩形， A=90 設(shè) AB=x， AM=y，則 x y，（ x、 y 均為正數(shù)） 在 ， x2+ 2x y） 2， 解得 x= y， B=2x y= y， = = 故選 C 二、填空題（每小題 3 分，共 18 分） 11隨機擲一枚均勻的硬幣兩次，至少有一次正面朝上的概率是 【考點】 概率公式 【分析】 依據(jù)題意先用分析所有等可能的出現(xiàn)結(jié)果，然后根據(jù)概率公式求出該事件的概率 【解答】 解：由樹狀圖可知共有 2 2=4 種可能，至少有一次正面朝上的有 3 種，所以概率是 第 10 頁（共 19 頁） 12若 ，則銳角 = 45 【考點】 特殊角的三角函數(shù)值 【分析】 首先求得 可求得銳角 的度數(shù) 【解答】 解： ， ， =45 故答案是： 45 13菱形有一個內(nèi)角為 60，較短的對角線長為 6，則它的面積為 18 【考點】 菱形的性質(zhì) 【分析】 根據(jù)菱形對角線垂直且互相平分，且每條對角線平分它們的夾角，即可得出菱形的另一一條對角線長，再利用菱形的面積公式求出即可 【解答】 解：如圖所示： 菱形有一個內(nèi)角為 60，較短的對角線長為 6， 設(shè) 0， ， 四邊形 菱形， 0， O=3， =3 ， ， 則它的面積為： 6 6 =18 故答案為： 18 14已知 是關(guān)于 x 的方程： 6x+a=0 的一個解，則 2a 1 的值是 13 【考點】 一元二次方程的解 【分析】 把 x= 代入關(guān)于 x 的方程 6x+a=0，列出關(guān)于 a 的方程，通過解該方程來求得 a 的值，然后把 a 的值代入所求的代數(shù)式并求值即可 【解答】 解：由題意，得 （ 3 ） 2 6（ 3 ） +a=0，即 7+a=0， 解得 a=7， 則 2a 1=2 7 1=13 故答案是： 13 15已知 一元二次方程 2x 1=0 的兩根，則 + = 2 【考點】 根與系數(shù)的關(guān)系 【分析】 利用韋達定理求得 x1+， x1 1，然后將其代入通 分后的所求代數(shù)式并求值 【解答】 解： 一元二次方程 2x 1=0 的兩根為 第 11 頁（共 19 頁） x1+， x1 1， + = = 2 故答案是： 2 16如圖，已知矩形 面積為 ，它的對角線 雙曲線 相交 于點 D，且： 3，則 k= 12 【考點】 反比例函數(shù)系數(shù) k 的幾何意義 【分析】 先找到點的坐標，然后再利用矩形面積公式計算，確定 k 的值 【解答】 解：由題意，設(shè)點 D 的坐標為（ 則點 B 的坐標為（ 矩形 面積 =| ， 圖象在第一象限， k=xD2 故答案為： 12 三、解答題（共 72 分） 17用適當方法解方程 （ 1） （ 2） 2x 99=0 【考點】 解一元二次方程 一元二次方程 【分析】 （ 1）利用求根公式法解方程； （ 2）利用因式分解法解方程 【解答】 解：（ 1） =（ 2 ） 2 2 2 （ 5） =48， x= = ， 所以 ， ； （ 2）（ x 11）（ x+9） =0， x 11=0 或 x+9=0， 所以 1， 9 第 12 頁（共 19 頁） 18計算 （ 1） 0 （ 2） 【考點】 實數(shù)的運算；零指數(shù)冪；負整數(shù)指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值 【分析】 此題涉及零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、平方根的求法，在計算時，需要針對每個考點分別進行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則求得計算結(jié)果即可 【解答】 解：（ 1） 0 = = = （ 2） = 1 = 1 =2 1 = 19某商場禮品柜臺元旦期間購進大量賀年卡，一種賀年卡平均每天可售出 500 張，每張盈利 為了盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果這種賀年卡的售價每降低 ，那么商場平均每天可多售出 300 張商場要想平均每天盈利 160 元，每張賀年卡應降價多少元？ 【考點】 一元二次方程的應用 【分析】 等量關(guān)系為：（原來每張賀年卡盈利降價的價格） （原來售出的張數(shù) +增加的張數(shù)） =160，把相關(guān)數(shù)值代入求解即可 【解答】 解：設(shè)每張賀年卡應降價 x 元，現(xiàn)在的利潤是（ x）元，則商城多售出 300x 000x 張 （ x） =160， 150+400x 300060， 3000400x+10=0， 第 13 頁（共 19 頁） （ 10x 1） =0， 解得 ， 為了盡快減少庫存， x= 答：每張賀年卡應降價 20如圖，花叢中有一路燈桿 燈光下，小明在 D 點處的影長 米，沿 向行走到達 G 點， 米，這時小明的影長 米如果小明的身高為 ，求路燈桿高度（精確到 ） 【考點】 相似三角形的應用 【分析】 根據(jù) 得： 有 = 和= ，而 = ，即 = ，從而求出 長，再代入前面任意一個等式中，即可求出 【解答】 解：根據(jù)題意得： 在 ， 可證得： ， 同理： ， 又 G= 由 、 可得： ， 即 ， 解之得： 將 入 得： 答：路燈桿 高度約為 （注：不取近似數(shù)的，與答一起合計扣 1 分） 第 14 頁（共 19 頁） 21如圖：在 ， 0， D， 分 G，交 E， F 求證：四邊形 菱形 【考點】 菱形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的判定與性質(zhì) 【分析】 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出 B= 據(jù)角平分線性質(zhì)求出 F，由勾股定理求出 F，證 出 出 B= 出 B， 出平行四邊形，根據(jù)菱形的判定判斷即可 【解答】 證明：證法一： 0， 0， B+ 0， 0， B= 分 0（ F（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）， E， 由勾股定理得： F， ， B= B= 即 四邊形 平行四邊形， F， 平行四邊形 菱形 證法二： 0， 分 4= 5， F， 1=180 90 4， 2=180 90 5， 1= 2， 第 15 頁（共 19 頁） 2= 3， 1= 3， E， F， F， 四邊形 平行四邊形， F， 平行四邊形 菱形 22在一個不透明的 布袋里裝有 4 個標號為 1、 2、 3、 4 的小球，他們的材質(zhì)、形狀、大小完全相同，小凱從布袋里隨機取出一個小球，記下數(shù)字為 x，小敏從剩下的 3 個小球中隨機取出一個小球，記下數(shù)字為 y，這樣確定了點 P 的坐標（ x， y） （ 1）請你運用畫樹狀圖或列表的方法，寫出點 P 所有可能的坐標 （ 2）求點（ x， y）在函數(shù) y= 圖象上的概率 【考點】 列表法與樹狀圖法；反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征 【分析】 （ 1）先畫樹狀圖展示所有 12 種等可能的結(jié)果數(shù)，然后寫出 12 個點的坐標； （ 2）根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征可判斷有兩個點在函數(shù) y= 圖象上，然后根據(jù)概率公式求解 【解答】 解：（ 1）畫樹狀圖為： 共有 12 種等可能的結(jié)果數(shù)，即點 P 所有可能的坐標為（ 1， 2），（ 1， 3），（ 1， 4），（ 2， 1），（ 2， 3），（ 2， 4），（ 3， 1），（ 3， 2），（ 3， 4），（ 4， 1），（ 4， 2），（ 4， 3）； （ 2）因為 2 4=8， 4 2=8， 所以點（ 2， 4）和（ 4， 2）在函數(shù) y= 圖象上，即點（ x， y）在函數(shù) y= 圖象上的點有兩個， 所以點（ x， y）在函數(shù) y= 圖象上的概率 = = 23如圖，一次函數(shù) y=ax+b 的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于 A（ 4， 2）、 B（ 2， n）兩點，且與 x 軸交于點 C （ 1）試確定上述反比例函 數(shù)和一次函數(shù)的表達式； 第 16 頁（共 19 頁） （ 2）求 面積； （ 3）根據(jù)圖象寫出一次函數(shù)的值 反比例函數(shù)的值 x 的取值范圍 【考點】 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題 【分析】 （ 1）先根據(jù)點 A 的坐標求出反比例函數(shù)的解析式為 y= ，再求出 B 的坐標是（ 2， 4），利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式； （ 2）把 面積分成兩個部分求解 S 2 4+ 2 2=6； （ 3）當一次函數(shù)的值 反比例函數(shù)的值時，直線在雙曲線的下方，直接根據(jù)圖象寫出一次函數(shù)的值 反比例函數(shù)的值 x 的取值范圍 4 x 0 或 x 2 【解答】 解：（ 1）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為 y= ，因為經(jīng)過 A（ 4， 2）， k= 8， 反比例函數(shù)的解析式為 y= 因為 B（ 2， n）在 y= 上， n= = 4， B 的坐標是（ 2， 4） 把 A（ 4， 2）、 B（ 2， 4）代入 y=ax+b，得 ， 解得： ， y= x 2； （ 2） y= x 2 中，當 y=0 時， x= 2； 直線 y= x 2 和 x 軸交點是 C（ 2， 0）， S 2 4+ 2 2=6； （ 3） 4 x 0 或 x 2 第 17 頁（共 19 頁） 24一艘輪船自西向東航行，在 A 處測得東偏北 向有一座小島 C，繼續(xù)向東航行 60海里到達 B 處，測得小島 C 此時在輪船的東偏北 向上之后，輪船繼續(xù)向東航行多少海里，距離小島 C 最近？（參考數(shù)據(jù)： ， ， ， 2） 【考點】 解直角三角形的應用 【分析】 過 C 作 垂線，交直線 點 D，分別在 用式子表