平面向量復習,表示,運算,實數(shù)與向量的積,向量加法與減法,向量的數(shù)量積,平行四邊形法則,向量平行的充要條件,平面向量的基本定理,三角形法則,向量的三種表示,一、向量的相關概念:1)定義,（1）零向量：,（2）單位向量：,（3）平行向量：,（4）相等向量：,（5）相反向量：,2)重要概念：,3)向量的表示,4)向量的模（長度）,二、向量的運算,1）加法：兩個法則坐標表示減法:法則坐標表示運算律,2)實數(shù)與向量a的積,3)平面向量的數(shù)量積：,(1)兩向量的交角定義,(2)平面向量數(shù)量積的定義,(4)平面向量數(shù)量積的幾何意義,(3)a在b上的投影,(5)平面向量數(shù)量積的運算律,(6)平面向量數(shù)量積的性質(zhì),求距離,垂直的充要條件,求夾角,三、平面向量之間關系,向量平行(共線)充要條件的兩種形式:,向量垂直充要條件的兩種形式:,（3）兩個向量相等的充要條件是兩個向量的坐標相等.,四、平面向量的基本定理,注:滿足什么條件的向量可作為基底?,向量定義：,既有大小又有方向的量叫向量。,重要概念：,（1）零向量：,長度為0的向量，記作0.,（2）單位向量：,長度為1個單位長度的向量.,（3）平行向量：,也叫共線向量，方向相同或相反的非零向量.,（4）相等向量：,長度相等且方向相同的向量.,（5）相反向量：,長度相等且方向相反的向量.,幾何表示,:有向線段,向量的表示,字母表示,坐標表示,:(x，y),若A(x1,y1),B(x2,y2),則AB=,(x2x1,y2y1),向量的模（長度）,1.設a=(x,y),則,2.若表示向量a的起點和終點的坐標分別為A(x1,y1)、B(x2,y2)，則,平面向量復習,1.向量的加法運算,A,B,C,AB+BC=,三角形法則,O,A,B,C,OA+OB=,平行四邊形法則,坐標運算:,則a+b=,重要結(jié)論：AB+BC+CA=,0,設a=(x1,y1),b=(x2,y2),(x1+x2,y1+y2),AC,OC,平面向量復習,2.向量的減法運算,1）減法法則：,O,A,B,OAOB=,2）坐標運算:,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=,3.加法減法運算率,a+b=b+a,（a+b)+c=a+(b+c),1）交換律：,2）結(jié)合律：,BA,(x1x2,y1y2),平面向量復習,實數(shù)與向量a的積,定義：,坐標運算：,其實質(zhì)就是向量的伸長或縮短！,a是一個,向量.,它的長度|a|=,|a|；,它的方向,(1)當0時,a的方向,與a方向相同；,(2)當0時,a的方向,與a方向相反.,若a=(x,y),則a=,(x,y),=(x,y),1、平面向量的數(shù)量積（1）a與b的夾角：,（2）向量夾角的范圍：,（3）向量垂直：,00，1800,共同的起點,（4）兩個非零向量的數(shù)量積：,規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0,ab=|a|b|cos,幾何意義：,數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos的乘積。,5、數(shù)量積的運算律：,交換律：,對數(shù)乘的結(jié)合律：,分配律：,注意：,數(shù)量積不滿足結(jié)合律,平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì),（1）ea=ae=|a|cos（2）ab的充要條件是ab=0(3)當a與b同向時，ab=|a|b|;當a與b反向時，ab=-|a|b|特別地：aa=|a|2或|a|=（4）cos=（5）|ab|a|b|,ab為非零向量，e為單位向量,向量垂直充要條件的兩種形式:,二、平面向量之間關系,向量平行(共線)充要條件的兩種形式:,三、平面向量的基本定理,如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)使,練習1：判斷正誤，并簡述理由。,(）,(）,(）,(）,(）,(）,平面向量復習,2.,設AB=2(a+5b)，BC=2a+8b，CD=3(ab)，求證：A、B、D三點共線。,分析,要證A、B、D三點共線，可證,AB=BD關鍵是找到,解：,BD=BC+CD=2a+8b+3(ab)=a+5b,AB=2BD,且AB與BD有公共點B,A、B、D三點共線,ABBD,例3,3、若向量=（-3，4），則按向量=（2，-1）平移后的坐標為,例已知直線l經(jīng)過點