.2014高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽章程和全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽參賽規(guī)則（以下簡(jiǎn)稱為“競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則”，可從全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽網(wǎng)站下載）。我們完全明白，在競(jìng)賽開(kāi)始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開(kāi)的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們授權(quán)全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽組委會(huì)，可將我們的論文以任何形式進(jìn)行公開(kāi)展示（包括進(jìn)行網(wǎng)上公示，在書籍、期刊和其他媒體進(jìn)行正式或非正式發(fā)表等）。我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫）： B 我們的報(bào)名參賽隊(duì)號(hào)為（8位數(shù)字組成的編號(hào)）： 所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜?參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： （論文紙質(zhì)版與電子版中的以上信息必須一致，只是電子版中無(wú)需簽名。以上內(nèi)容請(qǐng)仔細(xì)核對(duì)，提交后將不再允許做任何修改。如填寫錯(cuò)誤，論文可能被取消評(píng)獎(jiǎng)資格。） 日期： 2014 年 9 月 15 日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2014高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編 號(hào) 專 用 頁(yè)賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)）：全國(guó)評(píng)閱編號(hào)（由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：.創(chuàng)意平板折疊桌摘要目前住宅空間的緊張導(dǎo)致越來(lái)越多的折疊家具的出現(xiàn)。某公司設(shè)計(jì)制作了一款折疊桌以滿足市場(chǎng)需要。以此折疊桌為背景提出了三個(gè)問(wèn)題，本文運(yùn)用幾何知識(shí)、非線性約束優(yōu)化模型等方法成功解決了這三個(gè)問(wèn)題，得到了折疊桌動(dòng)態(tài)過(guò)程的描述方程以及在給定條件下怎樣選擇最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，并針對(duì)任意形狀的桌面邊緣線等給出了我們的設(shè)計(jì)。針對(duì)問(wèn)題一，根據(jù)木板尺寸、木條寬度，首先確定木條根數(shù)為19根，接著，根據(jù)桌子是前后左右對(duì)稱的結(jié)構(gòu)，我們只以桌子的四分之一為研究對(duì)象，運(yùn)用空間幾何的相關(guān)知識(shí)關(guān)系，推導(dǎo)并建立了幾何模型。接著用MATLAB軟件編程，繪制出折疊桌動(dòng)態(tài)變化過(guò)程圖。然后求出折疊桌各木條相對(duì)桌面的角度、各木條長(zhǎng)度、各木條的開(kāi)槽長(zhǎng)度等數(shù)據(jù)，相關(guān)結(jié)果見(jiàn)表1。然后建立相應(yīng)的三維坐標(biāo)系，求出桌角各端點(diǎn)坐標(biāo)，繪出桌角邊緣線曲線圖，并用MATLAB工具箱作擬合，求出桌角邊緣線的函數(shù)關(guān)系式，并對(duì)擬合效果做分析（見(jiàn)表3）。針對(duì)問(wèn)題二，在折疊桌高度、桌面直徑已知情況下，綜合考慮桌子穩(wěn)固性、加工方便、用材最少三個(gè)方面因素，我們運(yùn)用材料力學(xué)等相關(guān)知識(shí)，對(duì)折疊桌作受力分析，確定穩(wěn)固性、加工方便、用材最少三個(gè)方面因素間的相互制約關(guān)系，建立非線性優(yōu)化模型。用lingo軟件編程，求出對(duì)于高70 cm，桌面直徑80 cm的折疊桌，平板尺寸172.24cm80cm3cm、鋼筋位置在桌腿上距離鉸鏈46.13cm處、各木條的開(kāi)槽長(zhǎng)度（見(jiàn)表3）、最長(zhǎng)木條（桌腳）與水平面夾角71.934。針對(duì)問(wèn)題三，對(duì)任意給出的桌面邊緣線（f(x)，不妨假定曲線是對(duì)稱的（否則，桌子的穩(wěn)定性難以保證），將對(duì)稱軸上n等份，依照等份點(diǎn)沿著木板較長(zhǎng)方向平行的方向下料，則這些點(diǎn)即是鉸接處到木板中垂線（相對(duì)于木板長(zhǎng)方向）的距離。然后修改問(wèn)題二建立的優(yōu)化模型，用lingo軟件編程，得到最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)（平板尺寸、鋼筋位置、開(kāi)槽長(zhǎng)度等）。最后，我們根據(jù)所建立的模型，設(shè)計(jì)了一個(gè)桌面邊緣線為橢圓的折疊桌，并且給出了8個(gè)動(dòng)態(tài)變化過(guò)程圖（見(jiàn)圖10）和其具體設(shè)計(jì)加工參數(shù)（見(jiàn)表5）。最后，對(duì)所建立的模型和求解方法的優(yōu)缺點(diǎn)給出了客觀的評(píng)價(jià)，并指出了改進(jìn)的方法。關(guān)鍵字：折疊桌 曲線擬合 非線性優(yōu)化模型 受力分析 .一、 問(wèn)題重述1.1引言創(chuàng)意平板折疊桌注重于表達(dá)木制品的優(yōu)雅和設(shè)計(jì)師所想要強(qiáng)調(diào)的自動(dòng)化與功能性。為了增大有效使用面積。設(shè)計(jì)師以長(zhǎng)方形木板的寬為直徑截取了一個(gè)圓形作為桌面，又將木板剩余的面積切割成了若干個(gè)長(zhǎng)短不一的木條，每根木條的長(zhǎng)度為平板寬到圓上一點(diǎn)的距離，分別用兩根鋼筋貫穿兩側(cè)的木條，使用者只需提起木板的兩側(cè)，便可以在重力的作用下達(dá)到自動(dòng)升起的效果，相互對(duì)稱的木條宛如下垂的桌布，精密的制作工藝配以質(zhì)樸的木材，讓這件工藝品看起來(lái)就像是工業(yè)革命時(shí)期的機(jī)器。1.2問(wèn)題的提出圍繞創(chuàng)意平板折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程、設(shè)計(jì)加工參數(shù)，本文依次提出如下問(wèn)題：（1）給定長(zhǎng)方形平板尺寸（120 cm 50 cm 3 cm），每根木條寬度（2.5 cm），連接桌腿木條的鋼筋的位置，折疊后桌子的高度（53 cm）。要求建立模型描述此折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，并在此基礎(chǔ)上給出此折疊桌的設(shè)計(jì)加工參數(shù)和桌腳邊緣線的數(shù)學(xué)描述。（2）折疊桌的設(shè)計(jì)應(yīng)做到產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少。對(duì)于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑的設(shè)計(jì)要求，討論長(zhǎng)方形平板材料和折疊桌的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，例如，平板尺寸、鋼筋位置、開(kāi)槽長(zhǎng)度等。對(duì)于桌高70 cm，桌面直徑80 cm的情形，確定最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)。（3）給出軟件設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，可以根據(jù)客戶任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料的形狀尺寸和切實(shí)可行的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，使得生產(chǎn)的折疊桌盡可能接近客戶所期望的形狀，并根據(jù)所建立的模型給出幾個(gè)設(shè)計(jì)的創(chuàng)意平板折疊桌。要求給出相應(yīng)的設(shè)計(jì)加工參數(shù)，畫出至少8張動(dòng)態(tài)變化過(guò)程的示意圖。一、 模型假設(shè)(1) 忽略實(shí)際加工誤差對(duì)設(shè)計(jì)的影響；(2) 木條與圓桌面之間的交接處縫隙較小，可忽略；(3) 鋼筋強(qiáng)度足夠大，不彎曲；(4) 假設(shè)地面平整。三、符號(hào)說(shuō)明符號(hào)意義D木條寬度（cm）x縫寬L木板長(zhǎng)度（cm）W木板寬度（cm）N第n根木條T木條根數(shù)l1木板從外起第1個(gè)木條的長(zhǎng)度(cm)ln木板從外起第n個(gè)木條的長(zhǎng)度(cm)H桌子高度（cm）R桌子半徑（cm）R桌子直徑（cm）h0桌子厚度(cm)an第n根木條到木板邊沿的距離(cm)cn第n根木條頂點(diǎn)位置到圓面軸線徑向距離(cm)n第n根木條與水平面的夾角(度)kcaolongn第n根木條開(kāi)槽長(zhǎng)度（cm）四、問(wèn)題分析4.1問(wèn)題一分析題目要求建立模型描述折疊桌的動(dòng)態(tài)變化圖，由于在折疊時(shí)用力大小的不同，我們不能描述在某一時(shí)刻折疊桌的具體形態(tài)，但我們可以用每根木條的角度變化來(lái)描述折疊桌的動(dòng)態(tài)變化。首先，我們知道折疊桌前后左右對(duì)稱，我們可以運(yùn)用幾何知識(shí)求出四分之一木條的角度變化。最后，根據(jù)初始時(shí)刻和最終形態(tài)兩種狀態(tài)求出桌腿木條開(kāi)槽的長(zhǎng)度。4.2問(wèn)題二分析題目要求從折疊桌的穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少三個(gè)角度，確定設(shè)計(jì)加工參數(shù)。我們可以從應(yīng)力、支撐面積考慮穩(wěn)固性，從開(kāi)槽長(zhǎng)度考慮加工方便，從木板長(zhǎng)度考慮用材最少。而它們之間又是相互制約，我們需要確定最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，可以建立非線性規(guī)劃模型，用lingo軟件來(lái)求解最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)（平板尺寸、鋼筋位置、開(kāi)槽長(zhǎng)度等），這里以合力的方向（斜向上）與最長(zhǎng)木條（桌腿）的夾角方向最小為目標(biāo)函數(shù)，以木條所承受應(yīng)力小于木條的許用應(yīng)力、支撐面積大于桌面面積、木條的開(kāi)槽長(zhǎng)度小于木條本身長(zhǎng)為約束條件。4.3問(wèn)題三分析題目要求制作軟件的意思就是客戶給定折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，將這些信息輸入程序就得到客戶想要的桌子。我們?cè)谇蠼庾顑?yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)時(shí)，自行給定桌面邊緣線形狀（橢圓、相交圓等），桌腳邊緣線形狀，折疊桌高度，應(yīng)用第二問(wèn)的非線性規(guī)劃模型，用MATLAB軟件繪制折疊桌截面圖，得到自己設(shè)計(jì)的創(chuàng)意平板折疊桌。問(wèn)題三流程圖：已知f(x)、g(x)、h、wnd、N、xcnFn五、模型建立和解決5.1 問(wèn)題一的模型建立和解決5.1.1 模型的準(zhǔn)備(1)符號(hào)說(shuō)明為求出各木條角度關(guān)系，現(xiàn)引入下列符號(hào)：ln：木板從外起第n個(gè)木條的長(zhǎng)度(cm)an：第n個(gè)木條到木板邊沿的距離cn：第n個(gè)木條與桌面鉸接處到桌面軸線距離cn：第n個(gè)木條與第n-1個(gè)木條桌面鉸接處到桌面軸線距離差n：第n個(gè)木條與桌面的夾角（2）木條數(shù)的確定根據(jù)題目意思，長(zhǎng)方形平板尺寸，寬50 cm，每根木條寬2.5 cm，知道木條數(shù)越多，桌子越不易松動(dòng)，即穩(wěn)固性更好，最大根數(shù)為502.5=20根，考慮木條間的間隙和刀片的厚度，定為19根，此時(shí)，縫寬x為：x=2.518=0.139cm（3）模型近似從折疊桌實(shí)物可以看出，桌面并非為標(biāo)準(zhǔn)的圓面，圓面邊上是鋸齒形狀，考慮到鋸齒長(zhǎng)度和圓半徑的差異，我們假定圓為過(guò)木條中點(diǎn)的圓，在作示意簡(jiǎn)圖和實(shí)際計(jì)算時(shí)，都以木條端點(diǎn)中點(diǎn)為木條與桌面接觸點(diǎn)。另外，折疊桌以材料最省為設(shè)計(jì)原則，在木板尺寸一定情況下，應(yīng)該做到桌面盡可能大，這里我們?nèi)∧景鍖挾葹樽烂嬷睆健?.1.2 模型的建立為幫助理解，我們做折疊桌子兩個(gè)最長(zhǎng)腳（即在未折疊時(shí)的木板的同一側(cè)最長(zhǎng)木條）示意圖，如圖1所示：A點(diǎn)D點(diǎn)l1h-31E點(diǎn)C點(diǎn)B點(diǎn)ia圖1 折疊桌子兩個(gè)最長(zhǎng)腳截面圖(其中A點(diǎn)為最長(zhǎng)木條一端到水平面的距離，由于桌實(shí)際高度包括桌面厚度3cm，則A點(diǎn)到水平面距離要減去3cm)BC=l12-(h-3)2其中l(wèi)1 為57cm，因?yàn)槟景搴穸葹?cm,有AD為兩倍厚度，因?yàn)閘1+AD+DE=L=120cm則知l1為57cm。記l=BC下面，我們作出平板俯視示意圖，如下圖2所示第n根木條an-1 an第n-1根木條cn cn-1圖2 平板俯視示意圖對(duì)于第n個(gè)木條到木板邊沿的距離an，應(yīng)該包括（n-1）條縫寬，（n-1）根木條長(zhǎng)度以及它自身一半的長(zhǎng)度，則有： 0.5（1）an=n-1x+n-1d+d2（n=2，3，10）從幾何關(guān)系上，應(yīng)用勾股定理可以得出：0.5（2）cn=(w2)2-(w2-an)20.5（3）則第n個(gè)木條與第n-1個(gè)木條頂點(diǎn)位置到圓面軸線徑向距離差：cn=cn+1-cn第n根木條長(zhǎng)度ln：0.5（4）ln=L2-cn為了求解木條旋轉(zhuǎn)角度n，我們沿著鋼筋的角度，作出折疊凳示意簡(jiǎn)圖，如圖3所示：c1c2c31230.50.5h圖3 折疊桌示意簡(jiǎn)圖由上圖知1=arctan0.5hl2=arctan0.5hl-c13=arctan0.5hl-c1-c2同理可得n遞推公式，即每根木條旋轉(zhuǎn)角度：（5）n=arctann2l-1n(cn+1-cn)（由圖3知，l-1n(cn+1-cn)可能為負(fù)值，說(shuō)明n為鈍角）開(kāi)槽長(zhǎng)度0.5（6）kcaolongn=0.5（h-h0）sinn-(0.5l1-1n-1cn)綜合以上所分析，可建立如下幾何模型：0.5（7）n=arctann2l-1ncn+1-cn kcaolongn=0.5h-h0sinn-(0.5l1-1n-1cn)ln=L2-cn5.1.3 模型的解決（1）動(dòng)態(tài)變化過(guò)程動(dòng)態(tài)變化過(guò)程：由于用力大小未知，折疊桌與時(shí)間的關(guān)系不能確定，我們只能確定桌子從平板到折疊完成后這一過(guò)程中，任一角度的桌角位置，（程序見(jiàn)附錄problem1_3.m）例如當(dāng)最長(zhǎng)木條轉(zhuǎn)過(guò)60、65、70，通過(guò)程序可以得到各木條相對(duì)桌面旋轉(zhuǎn)角度，如表1所示：表1最長(zhǎng)木條轉(zhuǎn)過(guò)60、65、70時(shí)各木條轉(zhuǎn)動(dòng)角度（2）長(zhǎng)槽長(zhǎng)度、木條長(zhǎng)度、旋轉(zhuǎn)角度根據(jù)以上建立的模型，運(yùn)用MATLAB軟件，編程計(jì)算每根木條長(zhǎng)度、旋轉(zhuǎn)角度、長(zhǎng)槽長(zhǎng)度結(jié)果如下表2所示：表2 木條長(zhǎng)度、旋轉(zhuǎn)角度、長(zhǎng)槽長(zhǎng)度從表1可以看出，第一根木條卡槽長(zhǎng)度為0cm,符合實(shí)際。下面我們繪制木條長(zhǎng)度（如圖4所示），開(kāi)槽長(zhǎng)度（如圖5所示）： 圖4 木條長(zhǎng)度圖 圖5 開(kāi)槽長(zhǎng)度柱形圖（3）桌腳邊緣線的描述為形象描述桌腳邊緣線，可以用MATLAB繪圖，因此，首先建立三維坐標(biāo)系，我們以一個(gè)桌角為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩桌角（平板狀態(tài)時(shí)為異側(cè)木條）連線為x軸，另兩桌角（平板狀態(tài)時(shí)為同側(cè)木條）連線為y軸，豎直方向?yàn)閦軸，如圖6所示yzOzzzxz圖6 坐標(biāo)示意圖a. x坐標(biāo)的確定考慮到編程的需要，這里直接以數(shù)組的形式表示木條桌腳x坐標(biāo)，記為：x=x1,x2,x19因?yàn)槊扛緱l的長(zhǎng)度都垂直于x軸（如坐標(biāo)中紅線所示），可以得到：x1=0x2=x1+d+xx3=x2+d+x0.5（8）xn=xn-1+d+x(n=2,3,19)b. y坐標(biāo)的確定將桌子投影到xoy平面，根據(jù)幾何關(guān)系可以得到木條桌腳y坐標(biāo)y=y1,y2,y190.5（9）其中：yn=0.5lcosn-lncosn-0.5(h-h0)tannc. z坐標(biāo)的確定將桌子投影到zoy平面，根據(jù)幾何關(guān)系可以得到木條桌腳z坐標(biāo)z=z1,z2,z190.5（10）其中：zn=(h-h0)-lnsinn(n=2,3,19)綜合以上分析，運(yùn)用MATLAB編程（詳見(jiàn)problem1_3.m），繪制桌角邊緣線如圖7：圖7 桌角邊緣線為了更精確的描述桌角邊緣線，我們可以調(diào)用MATLAB擬合工具箱，用多項(xiàng)式擬合得到桌角邊緣線函數(shù)和擬合圖形，如圖8所示：圖8 桌角邊緣線函數(shù)和擬合圖形擬合函數(shù)：Linear model Poly33: f(x,y) = p00 + p10*x + p01*y + p20*x2 + p11*x*y + p02*y2 + p30*x3 + p21*x2*y + p12*x*y2 + p03*y3Coefficients (with 95% confidence bounds): p00 = -5.983e-007 (-0.0002297, 0.0002285) p10 = 1.153 (1.15, 1.155) p01 = 0.0173 (0.01688, 0.01771) p20 = -0.02427 (-0.02431, -0.02422) p11 = 0.02388 (0.02366, 0.02411) p02 = 0.006276 (0.006155, 0.006397) p30 = -4.035e-018 (-1.075e-007, 1.075e-007) p21 = -0.0005028 (-0.0005075, -0.0004981) p12 = -4.395e-017 (-6.067e-007, 6.067e-007) p03 = -3.146e-005 (-4.434e-005, -1.859e-005)我們還可以得到擬合效果的分析，如表3所示：表3 擬合效果的分析擬合類型誤差平方和復(fù)相關(guān)系數(shù)自由度協(xié)方差均方根誤差三維擬合9.240210-81.00091.013310-40當(dāng)誤差平方和和均方根誤差越小，復(fù)相關(guān)系數(shù)越接近于1時(shí)標(biāo)明擬合的越好。由上表可知，誤差平方和為9.240210-8，均方根誤差為0，都很小，復(fù)相關(guān)系數(shù)為1，說(shuō)明擬合效果很好。5.2 問(wèn)題二的模型建立和解決5.2.1模型準(zhǔn)備(1)符號(hào)說(shuō)明dd:木條厚度d:木條寬度n:木條根數(shù)x:木條間的縫隙s：鋼筋位置到桌面圓心的徑向距離H:鋼筋位置到桌面的徑向距離L:木板長(zhǎng)度S:支撐面積（2）參數(shù)確定木條根數(shù)n(取整)：n=Rd縫隙x:x=R-ndn-1按照問(wèn)題一同樣的處理方法，我們可以得到：第n個(gè)木條與桌面鉸接處到桌面軸線距離：0.5（11）cn=(R2)2-R2-n-1d+x20.5（12）則第n個(gè)木條與第n-1個(gè)第n個(gè)木條與桌面鉸接處到桌面軸線距離：cn=cn+1-cn再由幾何關(guān)系可以得到第一根木條與水平方向夾角1：0.5（13）1=arcsin(hl1)鋼筋位置到桌面的徑向距離H: 0.5（14）H=ssin(1)每根木條旋轉(zhuǎn)角度: 0.5（15）n=arctansscos(1)-1n(cn+1-cn)接著，和第一問(wèn)相同的處理方法，我們可以得出開(kāi)槽長(zhǎng)度：0.5（16）kcaolong=hsinn-(s-2ncn)5.2.2模型的建立（1）目標(biāo)函數(shù)：我們知道，鋼條對(duì)每根木條都有作用力，當(dāng)桌子上有物品時(shí)，該作用力表現(xiàn)為支持力，方向朝上，為幫助理解，我們作出桌子受力示意圖如圖9所示：FhFyFtFnFx圖9 桌子受力示意圖Fh=Fx+Fy=Ft+Fn（粗體表示矢量）而Fx、Fy可由每根木條受到的鋼筋對(duì)它的作用力的分解再加和得到：Fx=F0cos(n)Fy=F0sin(n)(其中F0為鋼筋對(duì)木條的作用力，我們知道該作用力大小相等，這里用F0表示)于是，我們可以得到合力的方向與豎直方向的夾角：（17）=arctanF0cosnF0sinn=arctancosnsinn為了使桌子穩(wěn)固，合力的方向與桌腿方向（斜向上）應(yīng)該盡量靠近，也就是它們之間的夾角=90-1-盡量小，我們可以以此為目標(biāo)函數(shù)：（18）min =90-1-=90-arcsinhl1-arctancosnsinn（2）約束條件： 應(yīng)力約束剪應(yīng)力是指物體由于外因（受力、濕度變化等）而變形時(shí)，在物體內(nèi)各部分之間產(chǎn)生相互作用的內(nèi)力，以抵抗這種外因的作用，并力圖使物體從形變后的位置回復(fù)到形變前的位置?？估瓘?qiáng)度即表征材料最大均勻塑性變形的抗力，拉伸試樣在承受最大拉應(yīng)力之前，變形是均勻一致的，但超出之后，材料開(kāi)始出現(xiàn)縮頸現(xiàn)象，即產(chǎn)生集中變形，對(duì)于沒(méi)有（或很?。┚鶆蛩苄宰冃蔚拇嘈圆牧希从沉瞬牧系臄嗔芽沽?。在這里我們知道受力最大的是四個(gè)桌角，如果四個(gè)桌角能夠承受剪應(yīng)力和抗拉強(qiáng)度，則可以說(shuō)明桌子是穩(wěn)定的。根據(jù)定義，我們可以得到剪應(yīng)力和抗拉強(qiáng)度的數(shù)學(xué)表達(dá)式。剪應(yīng)力：（19）=Fnddd抗拉強(qiáng)度：（20）=Ftddd（21）其中b為木條寬度，dd為木條厚度。在要判定零件或構(gòu)件受載后的工作應(yīng)力過(guò)高或過(guò)低，需要預(yù)先確定一個(gè)衡量的標(biāo)準(zhǔn)，這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)就是許用應(yīng)力。所以應(yīng)該有剪應(yīng)力小于許用剪應(yīng)力，抗拉強(qiáng)度小于許用抗拉強(qiáng)度。即：（22）其中為許用剪應(yīng)力，為許用抗拉強(qiáng)度。 支撐面積桌面支撐面積指桌子四條腿所在點(diǎn)按直線連接的形成幾何的面積（這里的支撐面積為矩形），支撐面積越大，桌子穩(wěn)固性越好。在這里我們以桌面支撐面積大于桌面面積為約束條件。支撐面積S:S=(L-2l1)+2l1cos1應(yīng)該滿足：Sr2即：（23）S(L-2l1)+2l1cos1r2 長(zhǎng)度限制結(jié)合實(shí)際情況，第n根木條的開(kāi)槽長(zhǎng)度不可能比木條本身長(zhǎng)，則有：kcaolongln即：hsinn-s-2ncnr2hsinn-s-2ncnln5.2.3模型的解決運(yùn)用lingo軟件，編寫程序（詳見(jiàn)problem2），我們可以得到各木條與桌面夾角及各木條開(kāi)槽長(zhǎng)度如下表4所示：表4 各木條與桌面夾角及各木條開(kāi)槽長(zhǎng)度由表4知，第1根木條即桌腳與水平面夾角為1.255484rad,對(duì)應(yīng)為71.9345.3 問(wèn)題三的模型建立和解決考慮實(shí)際情況，桌子堆放物品時(shí)，桌面各點(diǎn)承受力相同，所以桌子應(yīng)該是前后、左右對(duì)稱,這里和問(wèn)題一、問(wèn)題二一樣，我們僅研究四分之一桌子即可。對(duì)于客戶給定的桌面邊緣線函數(shù)y=f(x),應(yīng)該滿足f(x)是關(guān)于y軸對(duì)稱的。(1)參數(shù)的確定木條根數(shù)t：t=wd（取整）（其中d為木條寬度）第n個(gè)木條到木板邊沿的距離an：an=n-1x+n-1d+d2（n為整數(shù)）第n根木條到桌面軸線的距離cn：F(x)yx從上圖知，第n根木條到桌面軸線的距離cn即為木條（上圖黑線）與橢圓交點(diǎn)。在這里，設(shè)計(jì)加工參數(shù)我們依然按照第二問(wèn)求最優(yōu)的，即產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少，因此，借用問(wèn)題二模型，我們可以求出此條件下的折疊桌平板尺寸、鋼筋位置、開(kāi)槽長(zhǎng)度、桌角角度?，F(xiàn)根據(jù)我們所建立的模型給出幾個(gè)自己設(shè)計(jì)的創(chuàng)意平板折疊桌。（1）橢圓桌我們只需要研究四分之一桌面，這里取橢圓第一象限部分：y=1-(x2a2)2我們把函數(shù)代入MATLAB程序，可以得到動(dòng)態(tài)變化過(guò)程的示意圖如下圖10： 圖10 橢圓形折疊桌8張動(dòng)態(tài)圖我們利用和問(wèn)題一類似的解決方法，可以得出最長(zhǎng)木條（桌角）相對(duì)桌面不同角度時(shí)，其余木條的旋轉(zhuǎn)角度，如表1。接著，我們運(yùn)行l(wèi)ingo（problem3）程序（見(jiàn)附錄），求最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)。從運(yùn)行結(jié)果我們可以得到橢圓桌各木條與桌面夾角及各木條開(kāi)槽長(zhǎng)度，如表5：表5 橢圓桌各木條與桌面夾角及各木條開(kāi)槽長(zhǎng)度以及木板長(zhǎng)寬高=119.1196 cm50cm3cm六、模型評(píng)價(jià)及改進(jìn)6.1模型評(píng)價(jià)6.1.1問(wèn)題一模型評(píng)價(jià)問(wèn)題一建立的是幾何模型，運(yùn)用了勾股定理的數(shù)學(xué)知識(shí)，用簡(jiǎn)單的方法去解決復(fù)雜的問(wèn)題，簡(jiǎn)明易懂。本模型主要解決了木條長(zhǎng)度、開(kāi)槽長(zhǎng)度、木條旋轉(zhuǎn)角度，及折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程。該模型基于嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，求解過(guò)程嚴(yán)瑾，結(jié)果可信度高，說(shuō)服力強(qiáng)。6.1.1問(wèn)題二模型評(píng)價(jià)問(wèn)題二模型是基于問(wèn)題一的，進(jìn)一步的理論推導(dǎo)，從材料力學(xué)角度，圍繞穩(wěn)固性、用材最少、加工方便，對(duì)木條作受力分析，解決了在桌子高度、半徑確定情況下，桌腳與水平面的夾角，以及開(kāi)槽長(zhǎng)度。模型理論嚴(yán)謹(jǐn)，假設(shè)大膽合理。6.1.3問(wèn)題三模型評(píng)價(jià)問(wèn)題三模型綜合了問(wèn)題一的幾何模型和問(wèn)題二的非線性規(guī)劃模型，巧妙使用用MATLAB軟件、lingo軟件編寫程序，可以根據(jù)客戶提供的信息，設(shè)計(jì)他們自己的創(chuàng)意平板折疊桌。6.2模型改進(jìn)由于題目信息量不足，對(duì)于不同材料，木條截面承受軸力N、彎矩M共同作用的強(qiáng)度是不同的，如果是在實(shí)際生活中，這些量是已知的，所以對(duì)于問(wèn)題二的應(yīng)力約束條件，現(xiàn)在做已下改進(jìn)，使之更完善。 根據(jù)材料力學(xué)的假定8，單一均質(zhì)材料矩形截面桿構(gòu)件截面承受軸力N、彎矩M共同作用的強(qiáng)度條件如下: （25）max=NA+MWz式中max為木條征截面最大正應(yīng)力;N為木條正截面所受軸力;A為木條正截面面積;M為木條正截面所受彎矩; Wz為木條抗彎截面系數(shù); 為材料許用應(yīng)力(假設(shè)許用拉應(yīng)力與許用壓應(yīng)力相等)?？紤]右邊的不等式部分，將不等式兩邊都同時(shí)除以，可得: （26）max=NA+MWz1（27）由于N0=A M0=Wz （28）式中: N0為構(gòu)件正截面軸力承載力; M0為構(gòu)