10.2排列、組合最新考綱考情考向分析1.理解排列的概念及排列數(shù)公式，并能利用公式解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.2.理解組合的概念及組合數(shù)公式，并能利用公式解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.1.以實(shí)際問題為背景，考查排列數(shù)、組合數(shù)，同時(shí)考查分類討論的思想及解決問題的能力.2.以選擇、填空的形式考查，或在解答題中和概率相結(jié)合進(jìn)行考查.1.排列與組合的概念名稱定義區(qū)別排列從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素按照一定的順序排成一列排列有序，組合無序組合合成一組2.排列數(shù)與組合數(shù)定義計(jì)算公式性質(zhì)聯(lián)系排列數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù).用符號(hào)“a”表示an(n1)(n2)(nm1)(n，mn*，且mn)(1)an??；(2)0！1c組合數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù).用符號(hào)“c”表示c(n，mn*，且mn)(1)cc1；(2)cc；(3)ccc概念方法微思考1.排列問題和組合問題的區(qū)別是什么？提示元素之間與順序有關(guān)的為排列，與順序無關(guān)的為組合.2.排列數(shù)與組合數(shù)公式之間有何關(guān)系？它們的公式都有兩種形式，如何選擇使用？提示(1)排列數(shù)與組合數(shù)之間的聯(lián)系為caa.(2)兩種形式分別為：連乘積形式；階乘形式.前者多用于數(shù)字計(jì)算，后者多用于含有字母的排列數(shù)式子的變形與論證.題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)所有元素完全相同的兩個(gè)排列為相同排列.()(2)兩個(gè)組合相同的充要條件是其中的元素完全相同.()(3)若組合式cc，則xm成立.()(4)排列定義規(guī)定給出的n個(gè)元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情況.也就是說，如果某個(gè)元素已被取出，則這個(gè)元素就不再取了.()題組二教材改編2.6把椅子擺成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為()a.144b.120c.72d.24答案d解析“插空法”，先排3個(gè)空位，形成4個(gè)空隙供3人選擇就座，因此任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為a43224.3.用數(shù)字1,2,3,4,5組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為()a.8b.24c.48d.120答案c解析末位數(shù)字排法有a種，其他位置排法有a種，共有aa48(種)排法，所以偶數(shù)的個(gè)數(shù)為48.4.從4本不同的課外讀物中，買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，則不同的送法種數(shù)是_.答案24解析從4本書中選3本有c4(種)選法，把選出的3本送給3名同學(xué)，有a6(種)送法，所以不同的送法有ca4624(種).題組三易錯(cuò)自糾5.六個(gè)人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有()a.192種b.216種c.240種d.288種答案b解析第一類：甲在最左端，有a54321120(種)排法；第二類：乙在最左端，甲不在最右端，有4a4432196(種)排法.所以共有12096216(種)排法.6.某校開設(shè)a類選修課3門，b類選修課4門，一位同學(xué)從中共選3門.若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法種數(shù)為_.答案30解析分兩種情況：(1)a類選修課選1門，b類選修課選2門，有cc種不同的選法；(2)a類選修課選2門，b類選修課選1門，有cc種不同的選法.所以不同的選法共有cccc181230(種).排列問題1.用1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字，可以組成比20000大，并且百位數(shù)不是數(shù)字3的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，共有()a.96個(gè)b.78個(gè)c.72個(gè)d.64個(gè)答案b解析根據(jù)題意知，要求這個(gè)五位數(shù)比20000大，則萬位數(shù)必須是2,3,4,5這4個(gè)數(shù)字中的一個(gè)，當(dāng)萬位數(shù)是3時(shí)，百位數(shù)不是數(shù)字3，符合要求的五位數(shù)有a24(個(gè))；當(dāng)萬位數(shù)是2,4,5時(shí)，由于百位數(shù)不能是數(shù)字3，則符合要求的五位數(shù)有3(aa)54(個(gè))，因此共有542478(個(gè))這樣的五位數(shù)符合要求.故選b.2.(2020惠州調(diào)研)七人并排站成一行，如果甲乙兩人必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是()a.3600b.1440c.4820d.4800答案a解析除甲乙外，其余5個(gè)人排列數(shù)為a種，再用甲乙去插6個(gè)空位有a種，不同的排法種數(shù)是aa3600(種).3.3名女生和5名男生站成一排，其中女生排在一起的排法種數(shù)是_.答案4320解析3名女生排在一起，有a種排法，把3名女生看作一個(gè)整體再與5名男生全排列有a種排法，故共有aa4320(種)不同排法.思維升華 (1)對(duì)于有限制條件的排列問題，分析問題時(shí)有位置分析法和元素分析法，在實(shí)際進(jìn)行排列時(shí)一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對(duì)于分類過多的問題可以采用間接法.(2)常見排列數(shù)的求法為：相鄰問題采用“捆綁法”.不相鄰問題采用“插空法”.有限制元素采用“優(yōu)先法”.特殊順序問題，先讓所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列數(shù).組合問題1.(2018全國)從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有_種.(用數(shù)字填寫答案)答案16解析方法一按參加的女生人數(shù)可分兩類：只有1位女生參加有cc種，有2位女生參加有cc種.故所求選法共有cccc26416(種).方法二間接法：從2位女生，4位男生中選3人，共有c種情況，沒有女生參加的情況有c種，故所求選法共有cc20416(種).2.(2019衡水中學(xué)調(diào)研)為了應(yīng)對(duì)美歐等國的經(jīng)濟(jì)制裁，俄羅斯天然氣公司決定從10名辦公室工作人員中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，則不同的裁員方案的種數(shù)為_.答案182解析甲、乙中裁一人的方案有cc種，甲、乙都不裁的方案有c種，故不同的裁員方案共有ccc182(種).3.從7名男生，5名女生中選取5人，至少有2名女生入選的種數(shù)為_.答案596解析“至少有2名女生”的反面是“只有一名女生或沒有女生”，故可用間接法，所以有cccc596(種).思維升華組合問題常有以下兩類題型變化(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取.(2)“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解.用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法，分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理.排列與組合的綜合問題命題點(diǎn)1相鄰問題例1(2019懷化模擬)北京apec峰會(huì)期間，有2位女性和3位男性共5位領(lǐng)導(dǎo)人站成一排照相，則女性領(lǐng)導(dǎo)人甲不在兩端，3位男性領(lǐng)導(dǎo)人中有且只有2位相鄰的站法有()a.12種b.24種c.48種d.96種答案c解析從3位男性領(lǐng)導(dǎo)人中任取2人“捆”在一起記作a，a共有ca6(種)不同排法，剩下1位男性領(lǐng)導(dǎo)人記作b,2位女性分別記作甲、乙；則女領(lǐng)導(dǎo)人甲必須在a，b之間，此時(shí)共有6212(種)排法(a左b右和a右b左)，最后再在排好的三個(gè)元素中選出四個(gè)位置插入乙，共有12448(種)不同排法.命題點(diǎn)2相間問題例2某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目，2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()a.72b.120c.144d.168答案b解析安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目的順序有三種：“小品1，小品2，相聲”“小品1，相聲，小品2”和“相聲，小品1，小品2”.對(duì)于第一種情況，形式為“小品1歌舞1小品2相聲”，有aca36(種)安排方法；同理，第三種情況也有36種安排方法，對(duì)于第二種情況，三個(gè)節(jié)目形成4個(gè)空，其形式為“小品1相聲小品2”，有aa48(種)安排方法，故共有363648120(種)安排方法.命題點(diǎn)3特殊元素(位置)問題例3大數(shù)據(jù)時(shí)代出現(xiàn)了滴滴打車服務(wù)，二胎政策的放開使得家庭中有兩個(gè)孩子的現(xiàn)象普遍存在.某城市關(guān)系要好的a，b，c，d四個(gè)家庭各有兩個(gè)孩子共8人，他們準(zhǔn)備使用滴滴打車軟件，分乘甲、乙兩輛汽車出去游玩，每車限坐4名(乘同一輛車的4個(gè)孩子不考慮位置)，其中a家庭的孿生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的4個(gè)孩子恰有2個(gè)來自于同一個(gè)家庭的乘坐方式共有()a.18種b.24種c.36種d.48種答案b解析根據(jù)題意，分兩種情況討論：a家庭的孿生姐妹在甲車上，甲車上另外的兩個(gè)孩子要來自不同的家庭，可以在剩下的三個(gè)家庭中任選2個(gè)，再從每個(gè)家庭的2個(gè)孩子中任選一個(gè)來乘坐甲車，有ccc12(種)乘坐方式；a家庭的孿生姐妹不在甲車上，需要在剩下的三個(gè)家庭中任選1個(gè)，讓其2個(gè)孩子都在甲車上，對(duì)于剩余的兩個(gè)家庭，從每個(gè)家庭的2個(gè)孩子中任選一個(gè)來乘坐甲車，有ccc12(種)乘坐方式，故共有121224(種)乘坐方式，故選b.思維升華解排列、組合問題要遵循的兩個(gè)原則(1)按元素(位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類.(2)按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步.具體地說，解排列、組合問題常以元素(位置)為主體，即先滿足特殊元素(位置)，再考慮其他元素(位置).跟蹤訓(xùn)練(1)把5件不同的產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品a與產(chǎn)品b相鄰，且產(chǎn)品a與產(chǎn)品c不相鄰，則不同的擺法有_種.答案36解析將產(chǎn)品a與b捆綁在一起，然后與其他三種產(chǎn)品進(jìn)行全排列，共有aa種方法，將產(chǎn)品a，b，c捆綁在一起，且a在中間，然后與其他兩種產(chǎn)品進(jìn)行全排列，共有aa種方法.于是符合題意的擺法共有aaaa36(種).(2)從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人，副隊(duì)長(zhǎng)1人，普通隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，則共有_種不同的選法.(用數(shù)字作答)答案660解析方法一只有1名女生時(shí)，先選1名女生，有c種方法；再選3名男生，有c種方法；然后排隊(duì)長(zhǎng)、副隊(duì)長(zhǎng)位置，有a種方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有cca480(種)選法.有2名女生時(shí)，再選2名男生，有c種方法；然后排隊(duì)長(zhǎng)、副隊(duì)長(zhǎng)位置，有a種方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有ca180(種)選法.所以依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有480180660(種)不同的選法.方法二不考慮限制條件，共有ac種不同的選法，而沒有女生的選法有ac種，故至少有1名女生的選法有acac840180660(種).1.“中國夢(mèng)”的英文翻譯為“chinadream”，其中china又可以簡(jiǎn)寫為cn，從“cndream”中取6個(gè)不同的字母排成一排，含有“ea”字母組合(順序不變)的不同排列共有()a.360種b.480種c.600種d.720種答案c解析從其他5個(gè)字母中任取4個(gè)，然后與“ea”進(jìn)行全排列，共有ca600(種)，故選c.2.有七名同學(xué)站成一排照畢業(yè)紀(jì)念照，其中甲必須站在正中間，并且乙、丙兩位同學(xué)要站在一起，則不同的站法有()a.240種b.192種c.96種d.48種答案b解析當(dāng)丙和乙在甲的左側(cè)時(shí)，共有acaa96(種)排列方法，同理，當(dāng)丙和乙在甲的右側(cè)時(shí)也有96種排列方法，所以共有192種排列方法.3.某小區(qū)有排成一排的7個(gè)車位，現(xiàn)有3輛不同型號(hào)的車需要停放，如果要求剩余的4個(gè)車位連在一起，那么不同的停放方法的種數(shù)為()a.16b.18c.24d.32答案c解析將4個(gè)車位捆綁在一起，看成一個(gè)元素，先排3輛不同型號(hào)的車，在3個(gè)車位上任意排列，有a6(種)排法，再將捆綁在一起的4個(gè)車位插入4個(gè)空檔中，有4種方法，故共有4624(種)方法.4.(2020昆明質(zhì)檢)互不相同的5盆菊花，其中2盆為白色，2盆為黃色，1盆為紅色，現(xiàn)要擺成一排，要求紅色菊花擺放在正中間，白色菊花不相鄰，黃色菊花也不相鄰，共有擺放方法()a.a種b.a種c.aa種d.ccaa種答案d解析紅色菊花擺放在正中間，白色菊花不相鄰，黃色菊花也不相鄰，即紅色菊花兩邊各一盆白色菊花，一盆黃色菊花，共有ccaa種擺放方法.5.(2020臨川一中月考)十三屆全國人大二次會(huì)議于2019年3月5日至15日在北京召開，會(huì)議期間工作人員將其中的5個(gè)代表團(tuán)人員(含a，b兩市代表團(tuán))安排至a，b，c三家賓館入住，規(guī)定同一個(gè)代表團(tuán)人員住同一家賓館，且每家賓館至少有一個(gè)代表團(tuán)入住，若a，b兩市代表團(tuán)必須安排在a賓館入住，則不同的安排種數(shù)為()a.6b.12c.16d.18答案b解析如果僅有a，b入住a賓館，則余下三個(gè)代表團(tuán)必有2個(gè)入住同一個(gè)賓館，此時(shí)共有ca6(種)安排數(shù)，如果有a，b及其余一個(gè)代表團(tuán)入住a賓館，則余下兩個(gè)代表團(tuán)入住b，c，此時(shí)共有ca6(種)安排數(shù)，綜上，共有不同的安排種數(shù)為12.6.(2019山東臨沂重點(diǎn)中學(xué)模擬)馬路上有七盞路燈，晚上用時(shí)只亮三盞燈，且任意兩盞亮燈不相鄰，則不同的開燈方案共有()a.60種b.20種c.10種d.8種答案c解析根據(jù)題意，可分為兩步：第一步，先安排四盞不亮的路燈，有1種情況；第二步，四盞不亮的路燈排好后，有5個(gè)空位，在5個(gè)空位中任意選3個(gè)，插入三盞亮的路燈，有c10(種)情況.故不同的開燈方案共有10110(種).7.有5列火車分別準(zhǔn)備停在某車站并行的5條軌道上，若快車a不能停在第3道上，貨車b不能停在第1道上，則5列火車不同的?？糠椒〝?shù)為()a.56b.63c.72d.78答案d解析若沒有限制，5列火車可以隨便停，則有a種不同的?？糠椒?；快車a停在第3道上，則5列火車不同的?？糠椒閍種；貨車b停在第1道上，則5列火車不同的?？糠椒閍種；快車a停在第3道上，且貨車b停在第1道上，則5列火車不同的?？糠椒閍種，故符合要求的5列火車不同的?？糠椒〝?shù)為a2aa12048678.8.(2020滄州七校聯(lián)考)身穿紅、黃兩種顏色衣服的各有兩人，身穿藍(lán)色衣服的有一人，現(xiàn)將這五人排成一行，要求穿相同顏色衣服的人不能相鄰，則不同的排法種數(shù)共有()a.24種b.28種c.36種d.48種答案d解析分類加法計(jì)數(shù)原理，按紅紅之間有藍(lán)無藍(lán)兩類來分.(1)當(dāng)紅紅之間有藍(lán)時(shí)，則有aa24(種).(2)當(dāng)紅紅之間無藍(lán)時(shí)，則有cacc24(種)；因此，這五個(gè)人排成一行，穿相同顏色衣服的人不能相鄰，則有48種排法.9.若把英語單詞“good”的字母順序?qū)戝e(cuò)了，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤方法共有_種.(用數(shù)字作答)答案11解析把g，o，o，d4個(gè)字母排一列，可分兩步進(jìn)行，第一步：排g和d，共有a種排法；第二步：排兩個(gè)o，共1種排法，所以總的排法種數(shù)為a12.其中正確的有一種，所以錯(cuò)誤的共有a112111(種).10.(2020太原模擬)要從甲、乙等8人中選4人在座談會(huì)上發(fā)言，若甲、乙都被選中，且他們發(fā)言中間恰好間隔一人，那么不同的發(fā)言順序共有_種.(用數(shù)字作答)答案120解析先從除了甲、乙以外的6人中選一人，安排在甲乙中間，有ca12(種)，把這三個(gè)人看成一個(gè)整體，與從剩下的五人中選出的一個(gè)人全排列，有ca10(種)，故不同的發(fā)言順序共有1210120(種).11.某校2020年元旦晚會(huì)對(duì)2個(gè)相聲節(jié)目和5個(gè)小品節(jié)目安排演出順序，若第一個(gè)節(jié)目只能排相聲甲或相聲乙，最后一個(gè)節(jié)目不能排相聲甲，則不同的排法有_種.答案1320解析若第一個(gè)節(jié)目排相聲甲，有a720(種)排法；若第一個(gè)節(jié)目排相聲乙，最后一個(gè)節(jié)目不能排相聲甲，有aa600(種)排法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有7206001320(種)排法.12.(2019北京海淀區(qū)模擬)某運(yùn)輸公司有7個(gè)車隊(duì)，每個(gè)車隊(duì)的車輛均多于4輛.現(xiàn)從這個(gè)公司中抽調(diào)10輛車，并且每個(gè)車隊(duì)至少抽調(diào)1輛，那么共有_種不同的抽調(diào)方法.答案84解析方法一在每個(gè)車隊(duì)抽調(diào)1輛車的基礎(chǔ)上，還需抽調(diào)3輛車.可分為三類：一類是從某1個(gè)車隊(duì)抽調(diào)3輛，有c種；一類是從2個(gè)車隊(duì)中抽調(diào)，其中1個(gè)車隊(duì)抽調(diào)1輛，另1個(gè)車隊(duì)抽調(diào)2輛，有a種；一類是從3個(gè)車隊(duì)中各抽調(diào)1輛；有c種.故共有cac84(種)抽調(diào)方法.方法二由于每個(gè)車隊(duì)的車輛均多于4輛，只需將10個(gè)份額分成7份.可看作將10個(gè)小球排成一排，在相互之間的9個(gè)空當(dāng)中插入6個(gè)隔板，即可將小球分成7份，故共有c84(種)抽調(diào)方法.13.(2017全國)安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有()a.12種b.18種c.24種d.36種答案d解析由題意可知，其中1人必須完成2項(xiàng)工作，其他2人各完成1項(xiàng)工作，可得安排方式為cca36(種)，或列式為ccc3236(種).14.某賓館安排a，b，c，d，e五人入住3個(gè)房間，每個(gè)房間至少住1人，且a，b不能住同一房間，則共有_種不同的安排方法.(用數(shù)字作答)答案114解析5個(gè)人住3個(gè)房間，每個(gè)房間至少住1人，則有(3,1，1)和(2,2,1)兩種，當(dāng)為(3,1,1)時(shí)，有ca60(種)，a，b住同一房間有ca18(種)，故有601842(種)，當(dāng)為(2,2,1)時(shí)，有a90(種)，