線性代數(shù)試卷A一、選擇題（每題3分，共15分）1_A_,22101210211的值為則的秩若矩陣AARAAA1DC0B或者或2_B_,1|AAA則，且為正交矩陣設(shè)AD）ACAAATT3設(shè),是N維列向量,0T,N階方陣TE,3N，則在A的個(gè)特征值中,必然_B_A有個(gè)特征值等于1B有1個(gè)特征值等于1C有1個(gè)特征值等于1D沒有1個(gè)特征值等于14_D_,則階方陣，且秩相等，既為設(shè)BRRNBAA,DR2,RCR205_B_,BAXNARANM則非齊次線性方程組的秩設(shè)矩陣一定無解B可能有解一定有唯一解一定有無窮多解二、填空題（每題3分，共15分）1設(shè)A是N階方陣A的伴隨矩陣，行列式2|A，則|_22N1_2D中第二行元素的代數(shù)余子式的和412JJ_0_,其中D113已知實(shí)二次型32123232,4XAXXF正定,則實(shí)常數(shù)A的取值范圍為_BA42N階行列式,其中N階矩陣_A2B2NABBAA00BB5設(shè)A，12而N2為正整數(shù)，則_21NA三、計(jì)算題每題9分,共54分1計(jì)算N階行列式MXXMDNNN3213212求矩陣X使1206,102,01BABXA，其中3設(shè)非齊次線性方程組3432121DXXCBA有三個(gè)解向量12，21，32求此方程組系數(shù)矩陣的秩,并求其通解其中TKJIDCBA,為已知常數(shù)4已知實(shí)二次型,321XF032321XX經(jīng)過正交變換QYX,化為標(biāo)準(zhǔn)形5YY,求實(shí)參數(shù)及正交矩陣Q5設(shè)線性方程組為BXXA432143211730，問A,各取何值時(shí)，線性方程組無解，有唯一解，有無窮多解在有無窮多解時(shí)求出其通解6在四元實(shí)向量構(gòu)成的線性空間4R中,求A使4321,為R的基,并求由基43214321,到的過渡矩陣P,其中01012013141A12A0304四、證明題每題8分,共16分1設(shè)321,是歐氏空間V的標(biāo)準(zhǔn)正交基,證明1232123123也是V的標(biāo)準(zhǔn)正交基2設(shè)FAXT是N元實(shí)二次型,有N維實(shí)列向量21,X,使1AT0，20,證明存在維列實(shí)向量0,使00線性代數(shù)考試A參考答案一、選擇題1A2B3B4D5B二、填空題112|NA；20；327|A；4NBA2；50A21N三、計(jì)算題1解各列加到第一列，提出公因式MXXMDNNNI221MXXNNI01218分11XNIN9分21BAXA3分12032012/03X9分3由題設(shè)條件知1,2,3是BAX的三個(gè)解，因此316，321是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的線性無關(guān)解向量,因此,系數(shù)矩陣A的秩R2又A中有二階子式052，AR2，因此R23分因此31，3為其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系。由此可得線性方程組的通解1K6243，21,K為任意常數(shù)9分4F的矩陣30A有特征值5,2,13由0,92|21得2分A對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量1，02，135分A對(duì)應(yīng)的單位正交特征向量121，02，10238分于是正交變換XQY中的正交矩陣,321Q109分520143131725BABAA3分當(dāng)A4時(shí)，方程組有唯一解當(dāng)4，B2時(shí)，方程組無解5分當(dāng)4，2時(shí)，RA34，方程組有無窮多組解,其通解為012K，K為任意常數(shù)9分6解A2分設(shè),4321A,4321B,則10，01A4分設(shè)P,4324321,則0121ABAP9分四、證明題1證因?yàn)?,2,491,3231321214分1112323,4,1，所以32是V的標(biāo)準(zhǔn)正交基。8分2證F是不定二次