161二次根式教學(xué)內(nèi)容二次根式的概念及其運用教學(xué)目標(biāo)理解二次根式的概念，并利用A（A0）的意義解答具體題目提出問題，根據(jù)問題給出概念，應(yīng)用概念解決實際問題教學(xué)重難點關(guān)鍵1重點形如A（A0）的式子叫做二次根式的概念；2難點與關(guān)鍵利用“（A0）”解決具體問題教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入（學(xué)生活動）請同學(xué)們獨立完成下列三個課本P2的三個思考題二、探索新知很明顯3、10、46，都是一些正數(shù)的算術(shù)平方根像這樣一些正數(shù)的算術(shù)平方根的式子，我們就把它稱二次根式因此，一般地，我們把形如A（A0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號（學(xué)生活動）議一議11有算術(shù)平方根嗎20的算術(shù)平方根是多少3當(dāng)A0）、0、42、1XY、（X0，Y0）分析二次根式應(yīng)滿足兩個條件第一，有二次根號“”；第二，被開方數(shù)是正數(shù)或0解二次根式有2、X（X0）、0、2、XY（X0，Y0）；不是二次根式的有3、1X、4、Y例2當(dāng)X是多少時，31X在實數(shù)范圍內(nèi)有意義分析由二次根式的定義可知，被開方數(shù)一定要大于或等于0，所以3X10，31X才能有意義解由3X10，得X13當(dāng)X13時，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義三、鞏固練習(xí)教材P5練習(xí)1、2、3四、應(yīng)用拓展例3當(dāng)X是多少時，X1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義分析要使23在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須同時滿足23X中的0和1X中的X10解依題意，得01X由得X32由得X1當(dāng)X且X1時，3X1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義例41已知Y25，求Y的值答案22若1AB0，求A2004B2004的值答案25五、歸納小結(jié)（學(xué)生活動，老師點評）本節(jié)課要掌握1形如（A0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號2要使二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須滿足被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)六、布置作業(yè)1教材P51，2，3，42選用課時作業(yè)設(shè)計七、教學(xué)反思第一課時作業(yè)設(shè)計一、選擇題1下列式子中，是二次根式的是（）A7B3CXDX2下列式子中，不是二次根式的是（）A4B16C8D13已知一個正方形的面積是5，那么它的邊長是（）A5BCD以上皆不對二、填空題1形如_的式子叫做二次根式2面積為A的正方形的邊長為_3負(fù)數(shù)_平方根三、綜合提高題1某工廠要制作一批體積為1M3的產(chǎn)品包裝盒，其高為02M，按設(shè)計需要，底面應(yīng)做成正方形，試問底面邊長應(yīng)是多少2當(dāng)X是多少時，2XX2在實數(shù)范圍內(nèi)有意義3若3有意義，則2X_4使式子25X有意義的未知數(shù)X有（）個A0B1C2D無數(shù)5已知A、B為實數(shù)，且5A2102AB4，求A、B的值161二次根式2教學(xué)內(nèi)容1A（A0）是一個非負(fù)數(shù)；2（）2A（A0）教學(xué)目標(biāo)理解（A0）是一個非負(fù)數(shù)和（A）2A（A0），并利用它們進(jìn)行計算和化簡通過復(fù)習(xí)二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出（A0）是一個非負(fù)數(shù)，用具體數(shù)據(jù)結(jié)合算術(shù)平方根的意義導(dǎo)出（）2A（A0）；最后運用結(jié)論嚴(yán)謹(jǐn)解題教學(xué)重難點關(guān)鍵1重點A（A0）是一個非負(fù)數(shù)；（）2A（A0）及其運用2難點、關(guān)鍵用分類思想的方法導(dǎo)出（A0）是一個非負(fù)數(shù)；用探究的方法導(dǎo)出（）2A（A0）教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入（學(xué)生活動）口答1什么叫二次根式2當(dāng)A0時，叫什么當(dāng)A0；（2）A20；（3）A22A1（A1）0；（4）4X212X9（2X）222X332（2X3）20所以上面的4題都可以運用（）2A（A0）的重要結(jié)論解題解（1）因為X0，所以X10（）2X1（2）A20，（2A）2A2（3）A22A1（A1）2又（A1）20，A22A10，21AA22A1（4）4X212X9（2X）222X332（2X3）2又（2X3）204X212X90，（2419X）24X212X9例3在實數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式（1）X23（2）X4432X23分析略五、歸納小結(jié)本節(jié)課應(yīng)掌握1A（A0）是一個非負(fù)數(shù)；2（）2A（A0）反之A（A）2（A0）六、布置作業(yè)1教材P55，6，7，82選用課時作業(yè)設(shè)計七、教學(xué)反思第二課時作業(yè)設(shè)計一、選擇題1下列各式中15、3A、21B、2AB、20M、14，二次根式的個數(shù)是（）A4B3C2D12數(shù)A沒有算術(shù)平方根，則A的取值范圍是（）AA0BA0CAA，則A可以是什么數(shù)分析A（A0），要填第一個空格可以根據(jù)這個結(jié)論，第二空格就不行，應(yīng)變形，使“（）2”中的數(shù)是正數(shù)，因為，當(dāng)A0時，22A，那么A0（1）根據(jù)結(jié)論求條件；（2）根據(jù)第二個填空的分析，逆向思想；（3）根據(jù)（1）、（2）可知AA，而A要大于A，只有什么時候才能保證呢AA，即使AA所以A不存在；當(dāng)AA，即使AA，A2，化簡2X21X分析略五、歸納小結(jié)本節(jié)課應(yīng)掌握2AA（A0）及其運用，同時理解當(dāng)A2ACA2二、填空題104_2若M是一個正整數(shù)，則正整數(shù)M的最小值是_三、綜合提高題1先化簡再求值當(dāng)A9時，求A21A的值，甲乙兩人的解答如下甲的解答為原式A2AA（1A）1；乙的解答為原式AA（A1）2A117兩種解答中，_的解答是錯誤的，錯誤的原因是_2若1995A20AA，求A19952的值（提示先由A20000，判斷1995A的值是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，去掉絕對值）3若3X2時，試化簡X223X1025X。162二次根式的乘除教學(xué)內(nèi)容AB（A0，B0），反之AB（A0，B0）及其運用教學(xué)目標(biāo)理解（A0，B0），（A0，B0），并利用它們進(jìn)行計算和化簡由具體數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出B（A0，B0）并運用它進(jìn)行計算；利用逆向思維，得出AB（A0，B0）并運用它進(jìn)行解題和化簡教學(xué)重難點關(guān)鍵重點（A0，B0），AB（A0，B0）及它們的運用難點發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出（A0，B0）關(guān)鍵要講清AB（A、0）,并驗證你的結(jié)論162二次根式的乘除2教學(xué)內(nèi)容AB（A0，B0），反過來AB（A0，B0）及利用它們進(jìn)行計算和化簡教學(xué)目標(biāo)理解（A0，B0）和（A0，B0）及利用它們進(jìn)行運算利用具體數(shù)據(jù)，通過學(xué)生練習(xí)活動，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出除法規(guī)定，并用逆向思維寫出逆向等式及利用它們進(jìn)行計算和化簡教學(xué)重難點關(guān)鍵1重點理解AB（A0，B0），AB（A0，B0）及利用它們進(jìn)行計算和化簡2難點關(guān)鍵發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出二次根式的除法規(guī)定教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入（學(xué)生活動）請同學(xué)們完成下列各題1寫出二次根式的乘法規(guī)定及逆向等式2填空（1）96_，916_；（2）3_，3_；（3）416_，416_；（4）8_，38_規(guī)律916_；163_；416_；3681_3利用計算器計算填空（1）4_，（2）3_，（3）25_，（4）78_規(guī)律34_；23_；25_；78_。每組推薦一名學(xué)生上臺闡述運算結(jié)果（老師點評）二、探索新知剛才同學(xué)們都練習(xí)都很好，上臺的同學(xué)也回答得十分準(zhǔn)確，根據(jù)大家的練習(xí)和回答，我們可以得到一般地，對二次根式的除法規(guī)定AB（A0，B0），反過來，（A0，B0）下面我們利用這個規(guī)定來計算和化簡一些題目例1計算（1）123（2）18（3）146（4）8分析上面4小題利用AB（A0，B0）便可直接得出答案解（1）23142（2）8384232（3）146162（4）822例2化簡（1）364（2）2649BA（3）2964XY（4）25169XY分析直接利用B（A0，B0）就可以達(dá)到化簡之目的解（1）3648（2）29BA23BA（3）264XY28XY（4）25192513三、鞏固練習(xí)教材P14練習(xí)1四、應(yīng)用拓展例3已知6X，且X為偶數(shù)，求（1X）2541X的值分析式子AB，只有A0，B0時才能成立因此得到9X0且X60，即60）和AB（A0，B0）及其運用六、布置作業(yè)1習(xí)題1622、7、8、92選用課時作業(yè)設(shè)計七、教學(xué)反思第二課時作業(yè)設(shè)計一、選擇題1計算1235的結(jié)果是（）A275B7C2D272閱讀下列運算過程13，5數(shù)學(xué)上將這種把分母的根號去掉的過程稱作“分母有理化”，那么，化簡26的結(jié)果是（）A2B6C136D6二、填空題1分母有理化12_212_31025_2已知X3，Y4，Z5，那么YZX的最后結(jié)果是_三、綜合提高題1有一種房梁的截面積是一個矩形，且矩形的長與寬之比為31，現(xiàn)用直徑為35CM的一種圓木做原料加工這種房梁，那么加工后的房染的最大截面積是多少2計算（1）3NM（31N）32M（M0，N0）（2）32A（2A）2N（A0）162二次根式的乘除3教學(xué)內(nèi)容最簡二次根式的概念及利用最簡二次根式的概念進(jìn)行二次根式的化簡運算教學(xué)目標(biāo)理解最簡二次根式的概念，并運用它把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式通過計算或化簡的結(jié)果來提煉出最簡二次根式的概念，并根據(jù)它的特點來檢驗最后結(jié)果是否滿足最簡二次根式的要求重難點關(guān)鍵1重點最簡二次根式的運用2難點關(guān)鍵會判斷這個二次根式是否是最簡二次根式教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入（學(xué)生活動）請同學(xué)們完成下列各題（請三位同學(xué)上臺板書）1計算（1）35，（2）7，（3）82A老師點評1，6，2現(xiàn)在我們來看本章引言中的問題如果兩個電視塔的高分別是H1KM，H2KM，那么它們的傳播半徑的比是_它們的比是12RH二、探索新知觀察上面計算題1的最后結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)這些式子中的二次根式有如下兩個特點1被開方數(shù)不含分母；2被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式那么上題中的比是否是最簡二次根式呢如果不是，把它們化成最簡二次根式學(xué)生分組討論，推薦34個人到黑板上板書老師點評不是12RH1212H例1153242XY3238XY例2如圖，在RTABC中，C90，AC25CM，BC6CM，求AB的長BAC解因為AB2AC2BC2所以AB561691334265（CM）因此AB的長為65CM三、鞏固練習(xí)練習(xí)2、3四、應(yīng)用拓展例3觀察下列各式，通過分母有理數(shù)，把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式12121，33322，同理可得14，從計算結(jié)果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計算（21323120）（201）的值分析由題意可知，本題所給的是一組分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以達(dá)到化簡的目的解原式（14201）（201）（201）（201）200212001五、歸納小結(jié)本節(jié)課應(yīng)掌握最簡二次根式的概念及其運用六、布置作業(yè)1習(xí)題1623、7、102選用課時作業(yè)設(shè)計七、教學(xué)反思第三課時作業(yè)設(shè)計一、選擇題1如果XY（Y0）是二次根式，那么，化為最簡二次根式是（）A（Y0）BXY（Y0）CXY（Y0）D以上都不對2把（A1）1A中根號外的（A1）移入根號內(nèi)得（）ABC1AD1A3在下列各式中，化簡正確的是（）A531B2C4ABA2D3XX14化簡37的結(jié)果是（）A2B23C6D2二、填空題1化簡42XY_（X0）2A2化簡二次根式號后的結(jié)果是_三、綜合提高題1已知A為實數(shù)，化簡3AA1，閱讀下面的解答過程，請判斷是否正確若不正確，請寫出正確的解答過程解3AA1AAA1（A1）A2若X、Y為實數(shù)，且Y2241XX，求XYA的值163二次根式的加減1教學(xué)內(nèi)容二次根式的加減教學(xué)目標(biāo)理解和掌握二次根式加減的方法先提出問題，分析問題，在分析問題中，滲透對二次根式進(jìn)行加減的方法的理解再總結(jié)經(jīng)驗，用它來指導(dǎo)根式的計算和化簡重難點關(guān)鍵1重點二次根式化簡為最簡根式2難點關(guān)鍵會判定是否是最簡二次根式教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入學(xué)生活動計算下列各式（1）2X3X；（2）2X23X25X2；（3）X2X3Y；（4）3A22A2A3教師點評上面題目的結(jié)果，實際上是我們以前所學(xué)的同類項合并同類項合并就是字母不變，系數(shù)相加減二、探索新知學(xué)生活動計算下列各式（1）232（2）2835（3）72397（4）322老師點評（1）如果我們把2當(dāng)成X，不就轉(zhuǎn)化為上面的問題嗎23（23）52（2）把8當(dāng)成Y；235（235）8482（3）把7當(dāng)成Z；292723（123）76（4）3看為X，2看為Y32（32）2因此，二次根式的被開方數(shù)相同是可以合并的，如2與8表面上看是不相同的，但它們可以合并嗎可以的（板書）3283225373336所以，二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并例1計算（1）8（2）16X4分析第一步，將不是最簡二次根式的項化為最簡二次根式；第二步，將相同的最簡二次根式進(jìn)行合并解（1）23（23）25（2）6X44X8（48）X12例2計算（1）3891332（2）（40）（5）解（1）389133212336（1236）315（2）（40）（5）482015425263三、鞏固練習(xí)教材P19練習(xí)1、2四、應(yīng)用拓展例3已知4X2Y24X6Y100，求（293XY23XY）（X215XYX）的值分析本題首先將已知等式進(jìn)行變形，把它配成完全平方式，得（2X1）2（Y3）20，即X12，Y3其次，根據(jù)二次根式的加減運算，先把各項化成最簡二次根式，再合并同類二次根式，最后代入求值解4X2Y24X6Y1004X24X1Y26Y90（2X1）2（Y3）20X1，Y3原式93XY23XYX215XYX2XX5XX6Y當(dāng)X12，Y3時，原式632436五、歸納小結(jié)本節(jié)課應(yīng)掌握（1）不是最簡二次根式的，應(yīng)化成最簡二次根式；（2）相同的最簡二次根式進(jìn)行合并六、布置作業(yè)1習(xí)題1631、2、3、52選作課時作業(yè)設(shè)計七、教學(xué)反思第一課時作業(yè)設(shè)計一、選擇題1以下二次根式12；2；3；27中，與3是同類二次根式的是（）A和B和C和D和2下列各式3336；171；26822；4322，其中錯誤的有（）A3個B2個C1個D0個二、填空題1在8、75A、93、25、3A、302、218中，與3A是同類二次根式的有_2計算二次根式53B79的最后結(jié)果是_三、綜合提高題1已知2236，求（80415）（345）的值（結(jié)果精確到001）2先化簡，再求值（6XYX3）（4XXY6），其中X2，Y27163二次根式的加減2教學(xué)內(nèi)容利用二次根式化簡的數(shù)學(xué)思想解應(yīng)用題教學(xué)目標(biāo)運用二次根式、化簡解應(yīng)用題通過復(fù)習(xí)，將二次根式化成被開方數(shù)相同的最簡二次根式，進(jìn)行合并后解應(yīng)用題重難點關(guān)鍵講清如何解答應(yīng)用題既是本節(jié)課的重點，又是本節(jié)課的難點、關(guān)鍵點教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入上節(jié)課，我們已經(jīng)講了二次根式如何加減的問題，我們把它歸為兩個步驟第一步，先將二次根式化成最簡二次根式；第二步，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，下面我們講三道例題以做鞏固二、探索新知例1如圖所示的RTABC中，B90，點P從點B開始沿BA邊以1厘米/秒的速度向點A移動；同時，點Q也從點B開始沿BC邊以2厘米/秒的速度向點C移動問幾秒后PBQ的面積為35平方厘米（結(jié)果用最簡二次根式表示）BACQP分析設(shè)X秒后PBQ的面積為35平方厘米，那么PBX，BQ2X，根據(jù)三角形面積公式就可以求出X的值解設(shè)X后PBQ的面積為35平方厘米則有PBX，BQ2X依題意，得12X2X35X235X35所以秒后PBQ的面積為35平方厘米答35秒后PBQ的面積為35平方厘米例2要焊接如圖所示的鋼架，大約需要多少米鋼材（精確到01M）分析此框架是由AB、BC、BD、AC組成，所以要求鋼架的鋼材，只需知道這四段的長度BAC2M1M4MDWWWCZSXCOMCN解由勾股定理，得AB2240ADB25BC1C所需鋼材長度為ABBCACBD255235732247137（M）答要焊接一個如圖所示的鋼架，大約需要137M的鋼材三、鞏固練習(xí)教材練習(xí)3四、應(yīng)用拓展例3若最簡根式34AB與根式2326AB是同類二次根式，求A、B的值（同類二次根式就是被開方數(shù)相同的最簡二次根式）分析同類二次根式是指幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同；事實上，根式2326AB不是最簡二次根式，因此把232B化簡成|B|26，才由同類二次根式的定義得3AB2，2AB64A3B解首先把根式2326AB化為最簡二次根式236AB1|B|6AB由題意得4263ABA1，B1五、歸納小結(jié)本節(jié)課應(yīng)掌握運用最簡二次根式的合并原理解決實際問題六、布置作業(yè)1習(xí)題16372選用課時作業(yè)設(shè)計七、教學(xué)反思第二課時作業(yè)設(shè)計一、選擇題1已知直角三角形的兩條直角邊的長分別為5和5，那么斜邊的長應(yīng)為（）（結(jié)果用最簡二次根式）A52B50C2D以上都不對2小明想自己釘一個長與寬分別為30CM和20CM的長方形的木框，為了增加其穩(wěn)定性，他沿長方形的對角線又釘上了一根木條，木條的長應(yīng)為（）米（結(jié)果同最簡二次根式表示）A131B13C1013D513二、填空題1某地有一長方形魚塘，已知魚塘的長是寬的2倍，它的面積是1600M2，魚塘的寬是_M（結(jié)果用最簡二次根式）2已知等腰直角三角形的直角邊的邊長為，那么這個等腰直角三角形的周長是_（結(jié)果用最簡二次根式）三、綜合提高題1若最簡二次根式23M與2140N是同類二次根式，求M、N的值2同學(xué)們，我們以前學(xué)過完全平方公式A22ABB2（AB）2，你一定熟練掌握了吧現(xiàn)在，我們又學(xué)習(xí)了二次根式，那么所有的正數(shù)（包括0）都可以看作是一個數(shù)的平方，如3（3）2，5（5）2，你知道是誰的二次根式呢下面我們觀察（1）2（）22112221322反之，32221（1）2322（1）231求（1）；（2）43；（3）你會算12嗎（4）若2ABMN，則M、N與A、B的關(guān)系是什么并說明理由163二次根式的加減3教學(xué)內(nèi)容含有二次根式的單項式與單項式相乘、相除；多項式與單項式相乘、相除；多項式與多項式相乘、相除；乘法公式的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)含有二次根式的式子進(jìn)行乘除運算和含有二次根式的多項式乘法公式的應(yīng)用復(fù)習(xí)整式運算知識并將該知識運用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等運算重難點關(guān)鍵重點二次根式的乘除、乘方等運算規(guī)律；難點關(guān)鍵由整式運算知識遷移到含二次根式的運算教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入學(xué)生活動請同學(xué)們完成下列各題1計算（1）（2XY）ZX（2）（2X2Y3XY2）XY2計算（1）（2X3Y）（2X3Y）（2）（2X1）2（2X1）2老師點評這些內(nèi)容是對八年級上冊整式運算的再現(xiàn)它主要有（1）單項式單項式；（2）單項式多項式；（3）多項式單項式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的運用二、探索新知如果把上面的X、Y、Z改寫成二次根式呢以上的運算規(guī)律是否仍成立呢仍成立整式運算中的X、Y、Z是一種字母，它的意義十分廣泛，可以代表所有一切，當(dāng)然也可以代表二次根式，所以，整式中的運算規(guī)律也適用于二次根式例1計算（1）（68）3（2）（4632）2分析剛才已經(jīng)分析，二次根式仍然滿足整式的運算規(guī)律，所以直接可用整式的運算規(guī)律解（1）（）38824326解（463）24232223例2計算（1）（56）（3）（2）（107）（107）分析剛才已經(jīng)分析，二次根式的多項式乘以多項式運算在乘法公式運算中仍然成立解（1）（56）（3）3（）2186133（2）（107）（107）（10）2（7）21073三、鞏固練習(xí)課本練習(xí)1、2四、應(yīng)用拓展例3已知XBA2，其中A、B是實數(shù)，且AB0，化簡1X1X，并求值分析由于（）（）1，因此對代數(shù)式的化簡，可先將分母有理化，再通過解含有字母系數(shù)的一元一次方程得到X的值，代入化簡得結(jié)果即可解原式21X21X21X21X（X1）X2X24X2XBA2B（XB）2ABA（XA）BXB22ABAXA2（AB）XA22ABB2（AB）X（AB）2AB0XAB原式4X24（AB）2五、歸納小結(jié)本節(jié)課應(yīng)掌握二次根式的乘、除、乘方等運算六、布置作業(yè)1習(xí)題1631、8、92選用課時作業(yè)設(shè)計七、教學(xué)反思第三課時作業(yè)設(shè)計一、選擇題1（24315223）的值是（）A033B303C2D22計算（X1）（X1）的值是（）A2B3C4D1二、填空題1（）2的計算結(jié)果（用最簡根式表示）是_2（123）（12）（231）2的計算結(jié)果（用最簡二次根式表示）是_3若X1，則X22X1_4已知A32，B32，則A2BAB2_三、綜合提高題1化簡57014212當(dāng)X時，求2XX2X的值（結(jié)果用最簡二次根式表示）課外知識1同類二次根式幾個二次根式化成最簡二次根式后，它們的被開方數(shù)相同，這些二次根式就稱為同類二次根式，就是本書中所講的被開方數(shù)相同的二次根式練習(xí)下列各組二次根式中，是同類二次根式的是（）A2X與YB3489AB與582CMN與DMN與2互為有理化因式互為有理化因式是指兩個二次根式的乘積可以運用平方差公式（AB）（AB）A2B2，同時它們的積是有理數(shù)，不含有二次根式如X12X與X12X就是互為有理化因式；X與1也是互為有理化因式練習(xí)3的有理化因式是_；XY的有理化因式是_1X的有理化因式是_3分母有理化是指把分母中的根號化去，通常在分子、分母上同乘以一個二次根式，達(dá)到化去分母中的根號的目的練習(xí)把下列各式的分母有理化（1）5；（2）13；（3）26；（4）324其它材料如果N是任意正整數(shù)，那么21NN2理由213322NN2練習(xí)填空3_；8_；415_171勾股定理（一）一、教學(xué)目的1了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程，掌握勾股定理的內(nèi)容，會用面積法證明勾股定理。2培養(yǎng)在實際生活中發(fā)現(xiàn)問題總結(jié)規(guī)律的意識和能力。3介紹我國古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激發(fā)學(xué)生的愛國熱情，促其勤奮學(xué)習(xí)。二、重點、難點1重點勾股定理的內(nèi)容及證明。2難點勾股定理的證明。三、例題的意圖分析例1（補充）通過對定理的證明，讓學(xué)生確信定理的正確性；通過拼圖，發(fā)散學(xué)生的思維，鍛煉學(xué)生的動手實踐能力；這個古老的精彩的證法，出自我國古代無名數(shù)學(xué)家之手。激發(fā)學(xué)生的民族自豪感，和愛國情懷。例2使學(xué)生明確，圖形經(jīng)過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變。進(jìn)一步讓學(xué)生確信勾股定理的正確性。四、課堂引入目前世界上許多科學(xué)家正在試圖尋找其他星球的“人”，為此向宇宙發(fā)出了許多信號，如地球上人類的語言、音樂、各種圖形等。我國數(shù)學(xué)家華羅庚曾建議，發(fā)射一種反映勾股定理的圖形，如果宇宙人是“文明人”，那么他們一定會識別這種語言的。這個事實可以說明勾股定理的重大意義。尤其是在兩千年前，是非常了不起的成就。讓學(xué)生畫一個直角邊為3CM和4CM的直角ABC，用刻度尺量出AB的長。以上這個事實是我國古代3000多年前有一個叫商高的人發(fā)現(xiàn)的，他說“把一根直尺折成直角，兩段連結(jié)得一直角三角形，勾廣三，股修四，弦隅五?！边@句話意思是說一個直角三角形較短直角邊（勾）的長是3，長的直角邊（股）的長是4，那么斜邊（弦）的長是5。再畫一個兩直角邊為5和12的直角ABC，用刻度尺量AB的長。你是否發(fā)現(xiàn)3242與52的關(guān)系，52122和132的關(guān)系，即324252，52122132，那么就有勾2股2弦2。對于任意的直角三角形也有這個性質(zhì)嗎五、例習(xí)題分析例1（補充）已知在ABC中，C90，A、B、C的對邊為A、B、C。求證A2B2C2。分析讓學(xué)生準(zhǔn)備多個三角形模型，最好是有顏色的吹塑紙，讓學(xué)生拼擺不同的形狀，利用面積相等進(jìn)行證明。拼成如圖所示，其等量關(guān)系為4SS小正S大正4AB（BA）2C2，化簡可證。21發(fā)揮學(xué)生的想象能力拼出不同的圖形，進(jìn)行證明。CBADCAB勾股定理的證明方法，達(dá)300余種。這個古老的精彩的證法，出自我國古代無名數(shù)學(xué)家之手。激發(fā)學(xué)生的民族自豪感，和愛國情懷。例2已知在ABC中，C90，A、B、C的對邊為A、B、C。求證A2B2C2。分析左右兩邊的正方形邊長相等，則兩個正方形的面積相等。左邊S4ABC21右邊S（AB）2左邊和右邊面積相等，即4ABC2（AB）2化簡可證。六、課堂練習(xí)1勾股定理的具體內(nèi)容是。2如圖，直角ABC的主要性質(zhì)是C90，（用幾何語言表示）兩銳角之間的關(guān)系；若D為斜邊中點，則斜邊中線；若B30，則B的對邊和斜邊；三邊之間的關(guān)系。3ABC的三邊A、B、C，若滿足B2A2C2，則90；若滿足B2C2A2，則B是角；若滿足B2C2A2，則B是角。4根據(jù)如圖所示，利用面積法證明勾股定理。七、教學(xué)反思BBBBCCCCAAAABBBBAACCAAACBDBCCAABDCAEB第一課時作業(yè)設(shè)計1已知在RTABC中，B90，A、B、C是ABC的三邊，則C。（已知A、B，求C）A。（已知B、C，求A）B。（已知A、C，求B）2如下表，表中所給的每行的三個數(shù)A、B、C，有ABC，試根據(jù)表中已有數(shù)的規(guī)律，寫出當(dāng)A19時，B，C的值，并把B、C用含A的代數(shù)式表示出來。3、4、53242525、1224、25722422529、40、419240241219，B、C192B2C23在ABC中，BAC120，ABACCM，一動點P從B向C以每秒2CM的速度移動，310問當(dāng)P點移動多少秒時，PA與腰垂直。4已知如圖，在ABC中，ABAC，D在CB的延長線上。求證AD2AB2BDCD若D在CB上，結(jié)論如何，試證明你的結(jié)論。ADCB171勾股定理（二）一、教學(xué)目的1會用勾股定理進(jìn)行簡單的計算。2樹立數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論思想。二、重點、難點1重點勾股定理的簡單計算。2難點勾股定理的靈活運用。三、例題的意圖分析例1（補充）使學(xué)生熟悉定理的使用，剛開始使用定理，讓學(xué)生畫好圖形，并標(biāo)好圖形，理清邊之間的關(guān)系。讓學(xué)生明確在直角三角形中，已知任意兩邊都可以求出第三邊。并學(xué)會利用不同的條件轉(zhuǎn)化為已知兩邊求第三邊。例2（補充）讓學(xué)生注意所給條件的不確定性，知道考慮問題要全面，體會分類討論思想。例3（補充）勾股定理的使用范圍是在直角三角形中，因此注意要創(chuàng)造直角三角形，作高是常用的創(chuàng)造直角三角形的輔助線做法。讓學(xué)生把前面學(xué)過的知識和新知識綜合運用，提高綜合能力。四、課堂引入復(fù)習(xí)勾股定理的文字?jǐn)⑹?；勾股定理的符號語言及變形。學(xué)習(xí)勾股定理重在應(yīng)用。五、例習(xí)題分析例1（補充）在RTABC，C90已知AB5,求C。已知A1,C2,求B。已知C17,B8,求A。已知AB12,C5,求A。已知B15，A30，求A，C。分析剛開始使用定理，讓學(xué)生畫好圖形，并標(biāo)好圖形，理清邊之間的關(guān)系。已知兩直角邊，求斜邊直接用勾股定理。已知斜邊和一直角邊，求另一直角邊，用勾股定理的便形式。已知一邊和兩邊比，求未知邊。通過前三題讓學(xué)生明確在直角三角形中，已知任意兩邊都可以求出第三邊。后兩題讓學(xué)生明確已知一邊和兩邊關(guān)系，也可以求出未知邊，學(xué)會見比設(shè)參的數(shù)學(xué)方法，體會由角轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系的轉(zhuǎn)化思想。例2（補充）已知直角三角形的兩邊長分別為5和12，求第三邊。分析已知兩邊中較大邊12可能是直角邊，也可能是斜邊，因此應(yīng)分兩種情況分別進(jìn)形計算。讓學(xué)生知道考慮問題要全面，體會分類討論思想。例3（補充）已知如圖，等邊ABC的邊長是6CM。求等邊ABC的高。求SABC。DCBA分析勾股定理的使用范圍是在直角三角形中，因此注意要創(chuàng)造直角三角形，作高是常用的創(chuàng)造直角三角形的輔助線做法。欲求高CD，可將其置身于RTADC或RTBDC中，但只有一邊已知，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)，可求ADCDAB3CM，則此題可解。21六、課堂練習(xí)1填空題在RTABC，C90，A8，B15，則C。在RTABC，B90，A3，B4，則C。在RTABC，C90，C10，AB34，則A，B。一個直角三角形的三邊為三個連續(xù)偶數(shù)，則它的三邊長分別為。已知直角三角形的兩邊長分別為3CM和5CM，則第三邊長為。已知等邊三角形的邊長為2CM，則它的高為，面積為。2已知如圖，在ABC中，C60，AB，AC4，AD是BC邊上的高，求BC的長。343已知等腰三角形腰長是10，底邊長是16，求這個等腰三角形的面積。七、教學(xué)反思第二課時作業(yè)設(shè)計1填空題在RTABC，C90，如果A7，C25，則B。如果A30，A4，則B。如果A45，A3，則C。如果C10，AB2，則B。如果A、B、C是連續(xù)整數(shù)，則ABC。如果B8，AC35，則C。2已知如圖，四邊形ABCD中，ADBC，ADDC，ACBDBCDAABAC，B60，CD1CM，求BC的長。171勾股定理（三）一、教學(xué)目的1會用勾股定理解決簡單的實際問題。2樹立數(shù)形結(jié)合的思想。二、重點、難點1重點勾股定理的應(yīng)用。2難點實際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化。三、例題的意圖分析例1（教材探究1）明確如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，注意條件的轉(zhuǎn)化；學(xué)會如何利用數(shù)學(xué)知識、思想、方法解決實際問題。例2（教材探究2）使學(xué)生進(jìn)一步熟練使用勾股定理，探究直角三角形三邊的關(guān)系保證一邊不變，其它兩邊的變化。四、課堂引入勾股定理在實際的生產(chǎn)生活當(dāng)中有著廣泛的應(yīng)用。勾股定理的發(fā)現(xiàn)和使用解決了許多生活中的問題，今天我們就來運用勾股定理解決一些問題，你可以嗎試一試。五、例習(xí)題分析例1（教材探究1）分析在實際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化過程中，注意勾股定理的使用條件，即門框為長方形，四個角都是直角。讓學(xué)生深入探討圖中有幾個直角三角形圖中標(biāo)字母的線段哪條最長指出薄木板在數(shù)學(xué)問題中忽略厚度，只記長度，探討以何種方式通過轉(zhuǎn)化為勾股定理的計算，采用多種方法。注意給學(xué)生小結(jié)深化數(shù)學(xué)建模思想，激發(fā)數(shù)學(xué)興趣。例2（教材探究2）分析在AOB中，已知AB3，AO25，利用勾股定理計算OB。在COD中，已知CD3，CO2，利用勾股定理計算OD。則BDODOB，通過計算可知BDAC。進(jìn)一步讓學(xué)生探究AC和BD的關(guān)系，給AC不同的值，計算BD。六、課堂練習(xí)1小明和爸爸媽媽十一登香山，他們沿著45度的坡路走了500米，看到了一棵紅葉樹，這棵紅葉樹的離地面的高度是米。2如圖，山坡上兩株樹木之間的坡面距離是4米，則這兩株樹之間的垂直距離是3米，水平距離是米。DABC30ABCCABOABCD2題圖3題圖4題圖3如圖，一根12米高的電線桿兩側(cè)各用15米的鐵絲固定，兩個固定點之間的距離是。4如圖，原計劃從A地經(jīng)C地到B地修建一條高速公路，后因技術(shù)攻關(guān)，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造價為300萬元，隧道總長為2公里，隧道造價為500萬元，AC80公里，BC60公里，則改建后可省工程費用是多少7、教學(xué)反思第三課時作業(yè)設(shè)計1如圖，欲測量松花江的寬度，沿江岸取B、C兩點，在江對岸取一點A，使AC垂直江岸，測得BC50米，B60，則江面的寬度為。2有一個邊長為1米正方形的洞口，想用一個圓形蓋去蓋住這個洞口，則圓形蓋半徑至少為米。3一根32厘米的繩子被折成如圖所示的形狀釘在P、Q兩點，PQ16厘米，且RPPQ，則RQ厘米。4如圖，鋼索斜拉大橋為等腰三角形，支柱高24米，BC30，E、F分別為BD、CD中點，試求B、C兩點之間的距離，鋼索AB和AE的長度。（精確到1米）171勾股定理（四）一、教學(xué)目的1會用勾股定理解決較綜合的問題。2樹立數(shù)形結(jié)合的思想。二、重點、難點ACBRPQACBDEF1重點勾股定理的綜合應(yīng)用。2難點勾股定理的綜合應(yīng)用。三、例題的意圖分析例1（補充）“雙垂圖”是中考重要的考點，熟練掌握“雙垂圖”的圖形結(jié)構(gòu)和圖形性質(zhì)，通過討論、計算等使學(xué)生能夠靈活應(yīng)用。目前“雙垂圖”需要掌握的知識點有3個直角三角形，三個勾股定理及推導(dǎo)式BC2BD2AC2AD2，兩對相等銳角，四對互余角，及30或45特殊角的特殊性質(zhì)等。例2（補充）讓學(xué)生注意所求結(jié)論的開放性，根據(jù)已知條件，作適當(dāng)輔助線求出三角形中的邊和角。讓學(xué)生掌握解一般三角形的問題常常通過作高轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題。使學(xué)生清楚作輔助線不能破壞已知角。例3（補充）讓學(xué)生掌握不規(guī)則圖形的面積，可轉(zhuǎn)化為特殊圖形求解，本題通過將圖形轉(zhuǎn)化為直角三角形的方法，把四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積之差。在轉(zhuǎn)化的過程中注意條件的合理運用。讓學(xué)生把前面學(xué)過的知識和新知識綜合運用，提高解題的綜合能力。例4（教材P76頁探究3）讓學(xué)生利用尺規(guī)作圖和勾股定理畫出數(shù)軸上的無理數(shù)點，進(jìn)一步體會數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)的理論。四、課堂引入復(fù)習(xí)勾股定理的內(nèi)容。本節(jié)課探究勾股定理的綜合應(yīng)用。五、例習(xí)題分析例1（補充）1已知在RTABC中，C90，CDBC于D，A60，CD，3求線段AB的長。分析本題是“雙垂圖”的計算題，“雙垂圖”是中考重要的考點，所以要求學(xué)生對圖形及性質(zhì)掌握非常熟練，能夠靈活應(yīng)用。目前“雙垂圖”需要掌握的知識點有3個直角三角形，三個勾股定理及推導(dǎo)式BC2BD2AC2AD2，兩對相等銳角，四對互余角，及30或45特殊角的特殊性質(zhì)等。要求學(xué)生能夠自己畫圖，并正確標(biāo)圖。引導(dǎo)學(xué)生分析欲求AB，可由ABBDCD，分別在兩個三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD3和AD1。或欲求AB，可由，分2BCA別在兩個三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC2和BC6。例2（補充）已知如圖，ABC中，AC4，B45，A60，根據(jù)題設(shè)可知什么分析由于本題中的ABC不是直角三角形，所以根據(jù)題設(shè)只能直接求得ACB75。在學(xué)生充分思考和討論后，發(fā)現(xiàn)添置AB邊上的高這條輔助線，就可以求得AD，CD，BD，AB，BC及SABC。讓學(xué)生充分討論還可以作其它輔助線嗎為什么小結(jié)可見解一般三角形的問題常常通過作高轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題。并指出如何作輔助線解略。例3（補充）已知如圖，BD90，A60，AB4，CD2。求四邊形ABCD的面積。分析如何構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵，可以連結(jié)AC，或延長AB、DC交于F，或延長AD、BC交于E，根據(jù)本題給定的角應(yīng)選后兩種，進(jìn)一步根據(jù)本題給定的邊選第三CABDABCDEBACD種較為簡單。教學(xué)中要逐層展示給學(xué)生，讓學(xué)生深入體會。解延長AD、BC交于E。A60，B90，E30。AE2AB8，CE2CD4，BE2AE2AB2824248，BE。483DE2CE2CD2422212，DE。12S四邊形ABCDSABESCDEABBECDDE6小結(jié)不規(guī)則圖形的面積，可轉(zhuǎn)化為特殊圖形求解，本題通過將圖形轉(zhuǎn)化為直角三角形的方法，把四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積之差。例4（教材探究3）分析利用尺規(guī)作圖和勾股定理畫出數(shù)軸上的無理數(shù)點，進(jìn)一步體會數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)的理論。變式訓(xùn)練在數(shù)軸上畫出表示的點。2,13六、課堂練習(xí)1ABC中，ABAC25CM，高AD20CM,則BC，SABC。2ABC中，若A2B3C，ACCM，則A度，B度,C度，BC，SABC。3ABC中，C90，AB4，BC，CDAB于D，則AC，CD，BD32，AD,SABC。4已知如圖，ABC中，AB26，BC25，AC17，求SABC。7、教學(xué)反思第四課時作業(yè)設(shè)計1在RTABC中，C90，CDBC于D，A60，CD，AB。32在RTABC中，C90，SABC30，C13，且AB，則A，B。3已知如圖，在ABC中，B30，C45，AC，求（1）AB的長；（2）SABC。4在數(shù)軸上畫出表示的點。52,ABCABC172勾股定理的逆定理（一）一、教學(xué)目的1體會勾股定理的逆定理得出過程，掌握勾股定理的逆定理。2探究勾股定理的逆定理的證明方法。3理解原命題、逆命題、逆定理的概念及關(guān)系。二、重點、難點1重點掌握勾股定理的逆定理及證明。2難點勾股定理的逆定理的證明。三、例題的意圖分析例1（補充）使學(xué)生了解命題，逆命題，逆定理的概念，及它們之間的關(guān)系。例2通過讓學(xué)生動手操作，畫好圖形后剪下放到一起觀察能否重合，激發(fā)學(xué)生的興趣和求知欲，鍛煉學(xué)生的動手操作能力，再通過探究理論證明方法，使實踐上升到理論，提高學(xué)生的理性思維。例3（補充）使學(xué)生明確運用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否是直角三角形的一般步驟先判斷那條邊最大。分別用代數(shù)方法計算出A2B2和C2的值。判斷A2B2和C2是否相等，若相等，則是直角三角形；若不相等，則不是直角三角形。四、課堂引入創(chuàng)設(shè)情境怎樣判定一個三角形是等腰三角形怎樣判定一個三角形是直角三角形和等腰三角形的判定進(jìn)行對比，從勾股定理的逆命題進(jìn)行猜想。五、例習(xí)題分析例1（補充）說出下列命題的逆命題，這些命題的逆命題成立嗎同旁內(nèi)角互補，兩條直線平行。如果兩個實數(shù)的平方相等，那么兩個實數(shù)平方相等。線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等。直角三角形中30角所對的直角邊等于斜邊的一半。分析每個命題都有逆命題，說逆命題時注意將題設(shè)和結(jié)論調(diào)換即可，但要分清題設(shè)和結(jié)論，并注意語言的運用。理順?biāo)麄冎g的關(guān)系，原命題有真有假，逆命題也有真有假，可能都真，也可能一真一假，還可能都假。解略。例2證明如果三角形的三邊長A，B，C滿足A2B2C2，那么這個三角形是直角三角形。分析注意命題證明的格式，首先要根據(jù)題意畫出圖形，然后寫已知求證。如何判斷一個三角形是直角三角形，現(xiàn)在只知道ABCABBCAA1C1B1若有一個角是直角的三角形是直角三角形，從而將問題轉(zhuǎn)化為如何判斷一個角是直角。利用已知條件作一個直角三角形，再證明和原三角形全等，使問題得以解決。先做直角，再截取兩直角邊相等，利用勾股定理計算斜邊A1B1C，則通過三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等可證。先讓學(xué)生動手操作，畫好圖形后剪下放到一起觀察能否重合，激發(fā)學(xué)生的興趣和求知欲，再探究理論證明方法。充分利用這道題鍛煉學(xué)生的動手操作能力，由實踐到理論學(xué)生更容易接受。證明略。例3（補充）已知在ABC中，A、B、C的對邊分別是A、B、C，AN21，B2N，CN21（N1）求證C90。分析運用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否是直角三角形的一般步驟先判斷那條邊最大。分別用代數(shù)方法計算出A2B2和C2的值。判斷A2B2和C2是否相等，若相等，則是直角三角形；若不相等，則不是直角三角形。要證C90，只要證ABC是直角三角形，并且C邊最大。根據(jù)勾股定理的逆定理只要證明A2B2C2即可。由于A2B2（N21）2（2N）2N42N21，C2（N21）2N42N21，從而A2B2C2，故命題獲證。六、課堂練習(xí)1判斷題。在一個三角形中，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這條邊所對的角是直角。命題“在一個三角形中，有一個角是30，那么它所對的邊是另一邊的一半?！钡哪婷}是真命題。勾股定理的逆定理是如果兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。ABC的三邊之比是11，則ABC是直角三角形。22ABC中A、B、C的對邊分別是A、B、C，下列命題中的假命題是（）A如果CBA，則ABC是直角三角形。B如果C2B2A2，則ABC是直角三角形，且C90。C如果（CA）（CA）B2，則ABC是直角三角形。D如果ABC523，則ABC是直角三角形。3下列四條線段不能組成直角三角形的是（）AA8，B15，C17BA9，B12，C15CA，B，C532DABC2344已知在ABC中，A、B、C的對邊分別是A、B、C，分別為下列長度，判斷該三角形是否是直角三角形并指出那一個角是直角A，B，C；A5，B7，C9；25A2，B，C；A5，B，C1。37627、教學(xué)反思第一課時作業(yè)設(shè)計1敘述下列命題的逆命題，并判斷逆命題是否正確。如果A30，那么A20；如果三角形有一個角小于90，那么這個三角形是銳角三角形；如果兩個三角形全等，那么它們的對應(yīng)角相等；關(guān)于某條直線對稱的兩條線段一定相等。2填空題。任何一個命題都有，但任何一個定理未必都有。“兩直線平行，內(nèi)錯角相等。”的逆定理是。在ABC中，若A2B2C2，則ABC是三角形，是直角；若A2B2C2，則B是。若在ABC中，AM2N2，B2MN，CM2N2，則ABC是三角形。3若三角形的三邊是1、2；32，42，529，40，41；351,（MN）21，2（MN），（MN）21；則構(gòu)成的是直角三角形的有（）A2個B個個個4已知在ABC中，A、B、C的對邊分別是A、B、C，分別為下列長度，判斷該三角形是否是直角三角形并指出那一個角是直角A9，B41，C40；A15，B16，C6；A2，B，C4；A5K，B12K，C13K（K0）。32172勾股定理的逆定理（二）一、教學(xué)目的1靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解決實際問題。2進(jìn)一步加深性質(zhì)定理與判定定理之間關(guān)系的認(rèn)識。二、重點、難點1重點靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解決實際問題。2難點靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解決實際問題。三、例題的意圖分析例1（見教材例題）讓學(xué)生養(yǎng)成利用勾股定理的逆定理解決實際問題的意識。例2（補充）培養(yǎng)學(xué)生利用方程思想解決問題，進(jìn)一步養(yǎng)成利用勾股定理的逆定理解決實際問題的意識。四、課堂引入創(chuàng)設(shè)情境在軍事和航海上經(jīng)常要確定方向和位置，從而使用一些數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法。五、例習(xí)題分析例1（見教材）分析了解方位角，及方位名詞；依題意畫出圖形；依題意可得PR121518，PQ161524，QR30；因為242182302，PQ2PR2QR2，根據(jù)勾股定理的逆定理，知QPR90；PRS