1、第5章參數(shù)估計(jì)及點(diǎn)估計(jì)5.1考點(diǎn)歸納一、點(diǎn)估計(jì)1矩估計(jì)法（1）定義設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為，或X為離散型隨機(jī)變量，其分布律為，其中為待估參數(shù)，是來自X的樣本，假設(shè)總體X的前k階矩或（X離散型）存在，其中，1，2，k一般來說，它們是的函數(shù)，基于樣本矩依概率收斂于相應(yīng)的總體矩（1，2，k），樣本矩的連續(xù)函數(shù)依概率收斂于相應(yīng)的總體矩的連續(xù)函數(shù)，我們就用樣本矩作為相應(yīng)的總體矩的估計(jì)量，而以樣本矩的連續(xù)函數(shù)作為相應(yīng)的總體矩的連續(xù)函數(shù)的估計(jì)量，這種估計(jì)方法稱為矩估計(jì)法（2）矩估計(jì)法的具體做法設(shè)這是一個(gè)包含k個(gè)未知參數(shù)的聯(lián)立方程組，一般來說，可以從中解出，得到以分別代替上式中的，i1，2，k，就以

2、，i1，2，k，分別作為，1，2，k的估計(jì)量，這種估計(jì)量稱為矩估計(jì)量，矩估計(jì)量的觀察值稱為矩估計(jì)值2克拉默-拉奧（Cramer-Rao）不等式（1）克拉默一拉奧不等式克拉默一拉奧不等式設(shè)1，2，n為取自具有概率函數(shù)f（x；0），=：a00與0無關(guān)；與存在，且對一切，；令稱為信息量，則等式成立的充要條件為存在一個(gè)不依賴于但可能依賴于的K，使得等式依概率1成立。特別當(dāng)g（）=時(shí)，上式可化為：稱它為克拉默拉奧不等式。也稱為信息不等式。（2）重要性質(zhì)及定義性質(zhì)：若則定義a若的一個(gè)無偏估計(jì)使克拉默一拉奧不等式中等式：成立，則稱的有效估計(jì)。b若的一個(gè)無偏估計(jì)，且克拉默一拉奧不等式下界存在，則稱下界與的比為

3、估計(jì)的有效率，這里。c若當(dāng)時(shí)，一個(gè)估計(jì)的有效率則稱為參數(shù)的漸近有效估計(jì)。3拉奧-勃拉克維爾（Rao-Blackwell）定理（1）拉奧-勃拉克維爾定理設(shè)與是兩個(gè)隨機(jī)變量，且E，D0設(shè)x條件下叼的條件期望，則（2）相關(guān)定理設(shè)1，2，n是取自一個(gè)母體的子樣，有概率函數(shù)，且是的一個(gè)充分統(tǒng)計(jì)量，不僅是1的函數(shù)，且E2，則是的充分統(tǒng)計(jì)量的函數(shù)，其均值0，方差。4最大似然估計(jì)法（1）樣本似然函數(shù)離散型隨機(jī)變量若總體X屬離散型，其分布律的形式為已知，為待估參數(shù)，是可能取值的范圍，設(shè)是來自X的樣本，則的聯(lián)合分布律為又設(shè)是相應(yīng)于樣本的一個(gè)樣本值，易知樣本取到觀察值的概率，亦即事件發(fā)生的概率為這一概率隨的取值而變

4、化，它是的函數(shù)，稱為樣本的似然函數(shù)注意：這里是已知的樣本值，它們都是常數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量若總體X屬連續(xù)型，其概率密度的形式已知，為待估參數(shù)，是可能取值的范圍.設(shè)是來自X的樣本，則的聯(lián)合密度為設(shè)是相應(yīng)于樣本的一個(gè)樣本值，則隨機(jī)點(diǎn)（）落在點(diǎn)（）的鄰域（邊長分別為的n維立方體）內(nèi)的概率近似地為其值隨的取值而變化，我們?nèi)〉墓烙?jì)值使概率取到最大值，但因子不隨而變，故只需考慮函數(shù)的最大值，這里L(fēng)（）稱為樣本的似然函數(shù)（2）最大似然估計(jì)值的求法在很多情形下，和關(guān)于可微，這時(shí)常可從方程解得L（）與lnL（）在同一處取到極值，因此，的最大似然估計(jì)也可以從方程求得，該方程稱為對數(shù)似然方程（3）最大似然估計(jì)法的推廣最

5、大似然估計(jì)法也適用于分布中含多個(gè)未知參數(shù)的情況，這時(shí)，似然函數(shù)L是這些未知參數(shù)的函數(shù)分別令或令解上述由k個(gè)方程組成的方程組，即可得到各未知參數(shù)的最大似然估計(jì)（4）最大似然估計(jì)不變性設(shè)的函數(shù)，具有單值反函數(shù)，又假設(shè)是X的概率分布中參數(shù)的最大似然估計(jì)，則是的最大似然估計(jì)，這一性質(zhì)稱為最大似然估計(jì)的不變性二、基于截尾樣本的最大似然估計(jì)1截尾壽命試驗(yàn)（1）定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)假設(shè)將隨機(jī)抽取的n個(gè)產(chǎn)品在時(shí)間t0時(shí)同時(shí)投入試驗(yàn)，試驗(yàn)進(jìn)行到事先規(guī)定的截尾時(shí)間停止，如試驗(yàn)截止時(shí)共有m個(gè)產(chǎn)品失效，它們的失效時(shí)間分別為，此時(shí)m是一個(gè)隨機(jī)變量，所得的樣本稱為定時(shí)截尾樣本（2）定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)假設(shè)將隨機(jī)抽取的挖個(gè)產(chǎn)品在時(shí)

6、間t0時(shí)同時(shí)投入試驗(yàn)，試驗(yàn)進(jìn)行到有m個(gè)（m是事先規(guī)定的，）產(chǎn)品失效時(shí)停止m個(gè)失效產(chǎn)品的失效時(shí)間分別為，這里是第m個(gè)產(chǎn)品的失效時(shí)間，是隨機(jī)變量，所得的樣本稱為定數(shù)截尾樣本2截尾樣本的最大似然估計(jì)（1）定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)的最大似然估計(jì)量為其中稱為總試驗(yàn)時(shí)間，它表示直至?xí)r刻為止，n個(gè)產(chǎn)品的試驗(yàn)時(shí)間的總和（2）定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)的最大似然估計(jì)為其中稱為總試驗(yàn)時(shí)間，它表示直至?xí)r刻為止n個(gè)產(chǎn)品的試驗(yàn)時(shí)間的總和三、估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)1無偏性設(shè)是總體X的一個(gè)樣本，是包含在總體X的分布中的待估參數(shù)，這里是的取值范圍若估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望存在，且對于任意則稱是的無偏估計(jì)量2有效性設(shè)（X1，X2，Xn）與（X1，X2，Xn）

7、都是的無偏估計(jì)量，若對于任意，有，且至少對于某一個(gè)上式中的不等號(hào)成立，則稱較有效3相合性設(shè)（X1，X2，Xn）為參數(shù)的估計(jì)量，若對于任意，當(dāng)n時(shí)（X1，X2，Xn）依概率收斂于，則稱為的相合估計(jì)量即，若對于任意都滿足：對于任意0，有，則稱是的相合估計(jì)量四、最小方差無偏估計(jì)1均方誤差（1）使用條件：小樣本，有偏估計(jì)。（2）均方誤差為：，常用來評(píng)價(jià)點(diǎn)估計(jì)。將均方誤差進(jìn)行如下分解：由分解式可以看出均方誤差是由點(diǎn)估計(jì)的方差與偏差的平方兩部分組成。如果是的無偏估計(jì)，則。（3）一致最小均方誤差設(shè)有樣本，對待估參數(shù)有一個(gè)估計(jì)類，如果對該估計(jì)類中另外任意一個(gè)的估計(jì)，在參數(shù)空間上都有，稱是該估計(jì)類中的一致最小均

8、方誤差估計(jì)。2一致最小方差無偏估計(jì)定義：設(shè)是的一個(gè)無偏估計(jì)，如果對另外任意一個(gè)的無偏估計(jì).在參數(shù)率間上都有，則稱是的一致最小方差無偏估計(jì)，簡記為UMVUE。關(guān)于UMVUE，有如下一個(gè)判斷準(zhǔn)則：設(shè)是來自某總體的一個(gè)樣本，是的一個(gè)無偏估計(jì)，則是的UMVUE的充要條件是：對任意一個(gè)滿足和的都有。這個(gè)定理表明UMVUE的重要特征是：的最小方差無偏估計(jì)必與任一零的無偏估計(jì)不相關(guān)，反之亦然。3充分性原則定理：總體概率函數(shù)是是其樣本，是的充分統(tǒng)計(jì)量，則對的任一無偏估計(jì)；令，則也是的無偏估計(jì)，且。定理說明：如果無偏估計(jì)不是充分統(tǒng)計(jì)量的函數(shù)，則將之對充分統(tǒng)計(jì)量求條件期望可以得到一個(gè)新的無偏估計(jì)，該估計(jì)的方差比原

9、來的估計(jì)的方差要小，從而降低了無偏估計(jì)的方差.換言之，在考慮的估計(jì)問題只需要在基于充分統(tǒng)計(jì)量的函數(shù)中進(jìn)行，這就是充分性原則。4.Cramer-Rao不等式（1）費(fèi)希爾信息量定義：設(shè)總體的概率函數(shù)滿足下列條件：參數(shù)空間是直線上的一個(gè)開區(qū)間；支撐與無關(guān)；導(dǎo)數(shù)對一切都存在；對，積分與微分運(yùn)算可交換次序，即；期望存在，則稱為總體分布的費(fèi)希爾信息量。（2）定理（Cramer-Rao不等式）設(shè)總體分布滿足費(fèi)希爾信息里，是來自該總體的樣本，是的任一個(gè)無偏估計(jì)，存在，且對中一切，對的微商可在積分號(hào)下進(jìn)行，即對離散總體，則將上述積分改為求和符號(hào)后，等式仍然成立。則有，稱為克拉默-拉奧（C-R）不等式，其中稱為的

10、無偏估計(jì)的方差的C-R下界，簡稱的C-R下界。特別，對的無偏估計(jì)有。注意：大多數(shù)場合無偏估計(jì)都達(dá)不到其C-R下界。五、貝葉斯估計(jì)1統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)（1）總體信息：總體分布或總體所屬分布族提供的信息；（2）樣本信息：抽取樣本所得觀測值提供的信息；（3）先驗(yàn)信息：抽樣（試驗(yàn)）之前有關(guān)統(tǒng)計(jì)問題的一些信息。2貝葉斯公式的密度函數(shù)形式公式：3貝葉斯估計(jì)由后驗(yàn)分布估計(jì)有三種常用的方法：（1）使用后驗(yàn)分布的密度函數(shù)最大值點(diǎn)作為的點(diǎn)估計(jì)的最大后驗(yàn)估計(jì)；（2）使用后驗(yàn)分布的中位數(shù)作為的點(diǎn)估計(jì)的后驗(yàn)中位數(shù)估計(jì)；（3）使用后驗(yàn)分布的均值作為的點(diǎn)估計(jì)的后驗(yàn)期望估計(jì)。用得最多的是后驗(yàn)期望估計(jì)，它一般也簡稱為貝葉斯估計(jì)，記

11、為。4共軛先驗(yàn)分布（確定先驗(yàn)分布最常用的）定義：設(shè)是總體分布中的參數(shù)，是其先驗(yàn)分布，若對任意來自的樣本觀測值得到的后驗(yàn)分布與屬于同一個(gè)分布族，則稱該分布族是的共軛先驗(yàn)分布（族）。六、區(qū)間估計(jì)1置信區(qū)間設(shè)總體X的分布函數(shù)F（x；）含有一個(gè)未知參數(shù)，（是可能取值的范圍），對于給定值（01），若由來自X的樣本X1，X2，Xn確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量和，對于任意滿足則稱隨機(jī)區(qū)間是的置信水平為1的置信區(qū)間，和分別稱為置信水平為1的雙側(cè)置信區(qū)間的置信下限和置信上限，1稱為置信水平2置信區(qū)間的具體求法（1）尋求一個(gè)樣本X1，X2，Xn和的函數(shù)WW（X1，X2，Xn；）使得W的分布不依賴于以及其他未知參數(shù)，稱具有這種

12、性質(zhì)的函數(shù)W為樞軸量（2）對于給定的置信水平1，定出兩個(gè)常數(shù)a，b使得3大樣本置信區(qū)間對給定，利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)可得。4（0-1）分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì)設(shè)X1，X2，Xn是一個(gè)樣本，因樣本容量n較大，由中心極限定理，知近似地服從N（0，1）分布，于是得到參數(shù)p的置信水平為1的置信區(qū)間為此處5單側(cè)置信區(qū)間（1）單側(cè)置信下限對于給定值（01），若由樣本X1，X2，Xn確定的統(tǒng)計(jì)量（X1，X2，Xn），對于任意滿足稱隨機(jī)區(qū)間是的置信水平為1的單側(cè)置信區(qū)間，稱為的置信水平為1的單側(cè)置信下限（2）單側(cè)置信上限若統(tǒng)計(jì)量（X1，X2，Xn），對于任意滿足稱隨機(jī)區(qū)間是的置信水平為1的單側(cè)置信區(qū)間，稱為的置信

13、水平為1的單側(cè)置信上限七、正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì)1單個(gè)總體的情況設(shè)已給定置信水平為1，并設(shè)X1，X2，Xn為總體的樣本，S2分別是樣本均值和樣本方差（1）均值的置信區(qū)間2為已知，此時(shí)采用的樞軸量，已得到的一個(gè)置信水平為1的置信區(qū)間為2為未知，因其中含未知參數(shù)，考慮到S2是2的無偏估計(jì)，將換成，知于是得的一個(gè)置信水平為1的置信區(qū)間（2）方差2的置信區(qū)間2的無偏估計(jì)為S2，取作為樞軸量，即得方差2的一個(gè)置信水平為1的置信區(qū)間標(biāo)準(zhǔn)差的一個(gè)置信水平為1的置信區(qū)問2兩個(gè)總體，的情況設(shè)已給定置信水平為1，并設(shè)是來自第一個(gè)總體的樣本；是來自第二個(gè)總體的樣本，這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，且設(shè)，分別為第一、第二個(gè)

14、總體的樣本均值，分別是第一、第二個(gè)總體的樣本方差（1）兩個(gè)總體均值差的置信區(qū)間均為已知因分別為的無偏估計(jì)，故是的無偏估計(jì)，由的獨(dú)立性以及，得或取Z為樞軸量，即得的一個(gè)置信水平為1的置信區(qū)間，但2為未知，此時(shí)取T為樞軸量，可得的一個(gè)置信水平為1的置信區(qū)間為此處（2）兩個(gè)總體方差比的置信區(qū)間并且分布F（n11，n21）不依賴任何未知參數(shù)，取為樞軸量得的一個(gè)置信水平為1的置信區(qū)間為5.2典型題（含考研真題）詳解一、選擇題1假設(shè)總體X的方差DX存在，X1，Xn是取自總體X的簡單隨機(jī)樣本，其均值和方差分別為，S2，則EX2的矩估計(jì)量是（）。ABCD【答案】D【解析】由于，而DX與EX矩估計(jì)量分別為與，所

15、以EX2的矩估計(jì)量為。2設(shè)，,是來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，X在1，1上均勻分布，則未知參數(shù)的最大似然估計(jì)量為（）。ABCD【答案】D【解析】由已知得X的密度函數(shù)為，故似然函數(shù)為對樣本，,來說，是常數(shù)，只要滿足11，所以必有1，同時(shí)1，也就有，同時(shí)，因此參數(shù)的最大似然估計(jì)量。3設(shè)X1，X2，Xn是來自X（）的簡單隨機(jī)樣本，則可以構(gòu)造參數(shù)2的無偏估計(jì)量（）。ABCD【答案】A【解析】當(dāng)4已知總體X服從正態(tài)分布N（，2）（2已知）X1，Xn是取自總體X的簡單隨機(jī)樣本，均值為，如果，則由aUb）1a，可以求得置信度為1a的置信區(qū)間，其中a、b是（ ）。A滿足Ub），Ua1的唯一實(shí)數(shù)B滿足Ub），Ua的

16、唯一實(shí)數(shù)C滿足Ub），Ua的唯一實(shí)數(shù)D滿足Ub）Ua的任意實(shí)數(shù)【答案】D【解析】由于a、b應(yīng)使應(yīng)滿足。5設(shè)總體X服從正態(tài)分布N（，2）其中2已知，則總體均值的置信區(qū)間長度L與置信度1a的關(guān)系是（）。A當(dāng)1a減小時(shí)，L變小B當(dāng)la減小時(shí)，L增大C當(dāng)1a減小時(shí)，L不變D當(dāng)1a減小時(shí)，L增減不定【答案】A【解析】首先要求出L，進(jìn)而推斷L與1a的關(guān)系當(dāng)總體XN（，），已知時(shí)，的置信區(qū)間為，其中號(hào)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布上分位數(shù)，由確定，其中是X單調(diào)增函數(shù)，因此置信區(qū)間的長度。當(dāng)樣本容量n固定時(shí)，隨的減小而變小，即隨1a的減小而變小。故項(xiàng)正確。6已知總體X的期望EX0，方差是來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，其均值為，則

17、可以作出2的無偏估計(jì)量（）。ABCD【答案】C【解析】由于故項(xiàng)正確，其他選項(xiàng)都不是2的無偏估計(jì)量，這是由于二、填空題1設(shè)為來自總體的簡單隨機(jī)樣本，樣本均值，參數(shù)置信度為0.95的雙側(cè)置信區(qū)間的置信上限為10.8，則的置信度為0.95的雙側(cè)置信區(qū)間為_.數(shù)一 2016研【答案】（8.2，10.8）【解析】由可得的置信度為0.95的置信區(qū)間為則所以，所以，的置信度為0.95的置信區(qū)間為（8.2，10.8）2設(shè)總體X的概率密度為，其中是未知參數(shù)，是來自總體的簡單樣本，若，則常數(shù)=_。數(shù)一、數(shù)三 2014研【答案】【解析】，故，又由于是的無偏估計(jì)，故，。3設(shè)，為來自二項(xiàng)分布總體B（n，p）的簡單隨機(jī)樣

18、本，X和分別為樣本均值和樣本方差，若X為的無偏估計(jì)量，則k_。數(shù)一 2009研【答案】k=1【解析】由題設(shè)可知，E=np，E=np（1p）若k為n的無偏估計(jì)量，則E（k）=，即EkE=，于是npknp（1p）=，解得k=l。4.設(shè)為來自二項(xiàng)分布總體的簡單隨機(jī)樣本，和分別為樣本均值和樣本方差。設(shè)T=，則ET=_。數(shù)三 2009研【答案】【解析】由題意可得，。5設(shè)，是來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，X的概率密度為,則的最大似然估計(jì)_?！敬鸢浮俊窘馕觥克迫缓瘮?shù)為，等式兩端取對數(shù)，。令0，解得。6設(shè)，為來自正態(tài)總體N的簡單隨機(jī)樣本，已知，未知，則參數(shù)的最大似然估計(jì)_?！敬鸢浮俊窘馕觥吭O(shè)，為樣本觀測值，則似然

19、函數(shù)為：兩邊同時(shí)取對數(shù)得。令0，得0，從而得的最大似然估計(jì)。7設(shè)總體X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，為來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，則當(dāng)n時(shí)，依概率收斂_?！敬鸢浮俊窘馕觥繚M足大數(shù)定律的條件，且因此根據(jù)大數(shù)定律有，概率收斂于。8設(shè)X1，X2，Xn是來自總體為區(qū)間，2上均勻分布的X的簡單隨機(jī)樣本，是樣本均值，則未知參數(shù)的矩估計(jì)量?！敬鸢浮俊窘馕觥浚毓烙?jì)有故9設(shè)X1，X2，Xn是來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，X的概率密度為，則的最大似然估計(jì)量?！敬鸢浮俊窘馕觥克迫缓瘮?shù)兩端取對數(shù)解得，故三、計(jì)算題1（本題滿分11分）某工程師為了解一臺(tái)天平的精度，用該天平對一物體的質(zhì)量做n次測量，該物體的質(zhì)量是已知的，設(shè)n次測量

20、結(jié)果相互獨(dú)立，且均服從正態(tài)分布該工程師記錄的是n次測量的絕對誤差，利用估計(jì)（I）求的概率密度；（II）利用一階矩求的矩估計(jì)量；（III）求的最大似然估計(jì)量.數(shù)一、數(shù)三 2017研【考點(diǎn)】概率密度；矩估計(jì)量；最大似然估計(jì)量解：（I）因?yàn)?，所以，對?yīng)的概率密度為設(shè)的分布函數(shù)為，對應(yīng)的概率密度為；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，有則的概率密度為（II）因?yàn)?，所以；得的矩估?jì)量為其中（III）由題知對應(yīng)的似然函數(shù)為對上式兩邊取對數(shù)得所以令，得，所以的最大似然估計(jì)量為2設(shè)總體X的概率密度為其中為未知參數(shù)，為來自該總體的簡單隨機(jī)樣本。（）求的矩估計(jì)量；（）求的最大似然估計(jì)量。數(shù)一、數(shù)三 2015研解：（）令即，解得，其中故

21、的矩估計(jì)量為。（）似然函數(shù)當(dāng)時(shí)，則從而，關(guān)于單調(diào)增加，所以=為的最大似然估計(jì)量。3設(shè)總體X的分布函數(shù)為，其中為未知的大于零的參數(shù)，是來自總體的簡單隨機(jī)樣本。（）求；（）求的極大似然估計(jì)量；（）是否存在常數(shù)，使得對任意的，都有。數(shù)一 2014研解：（）由題意，先求出總體X的概率密度函數(shù)為，故由期望的定義得；（）極大似然函數(shù)為則當(dāng)所有的觀測值都大于零時(shí)，令，得的極大似然估計(jì)量為。（）由于獨(dú)立同分布，顯然對應(yīng)的也獨(dú)立同分布，又有（1）可知，由辛欽大數(shù)定律，可得，再由（1）（2）可知，故存在常數(shù)，使得對任意的，都有。4設(shè)總體的概率密度為其中為未知參數(shù)且大于零，為來自總體的簡單隨機(jī)樣本。（）求的矩估計(jì)量

22、。（）求的最大似然估計(jì)量。數(shù)一、數(shù)三 2013研解：（）由題意知，先求出總體的數(shù)學(xué)期望E（X），令，得的矩估計(jì)量（）當(dāng)時(shí)，似然函數(shù)為，取對數(shù)得，令，得，解得：的極大似然估計(jì)量為。5設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立且分別服從正態(tài)分布N（，）與N（，2），其中是未知參數(shù)且0，設(shè)ZXY。（I）求Z的概率密度f（z；）；（）設(shè)，為來自總體Z的簡單隨機(jī)樣本，求的最大似然估計(jì)量；（）證明為的無偏估計(jì)量。數(shù)一 2012研解：（）由于X與Y相互獨(dú)立，則ZXY服從正態(tài)分布，且EZ0，DZDXDY3，故得X的概率密度為（）設(shè)，為樣本，的觀測值，則似然函數(shù)為令，解得，故的最大似然估計(jì)量為。（）由于，故是的無偏估計(jì)量。6設(shè)，

23、為來自正態(tài)總體N（，）的簡單隨機(jī)樣本，其中已知，0未知。X和S分別表示樣本均值和樣本方差。（I）求參數(shù)的最大似然估計(jì)；（）計(jì)算E和D。數(shù)一 2011研解：（）設(shè)，為樣本觀測值，則似然函數(shù)為（）7設(shè)總體x的概率分布為表5-1其中00）未知，是來自總體X的簡單隨機(jī)樣本（）求參數(shù)的矩估計(jì)量；（）求參數(shù)的最大似然估計(jì)量。數(shù)一 2009研解：（I）由。令EX=，即，得參數(shù)的矩估計(jì)量為。（）設(shè)（0，i=1，2，n）為樣本觀測值，則似然函數(shù)為于是令得。故參數(shù)的最大似然估計(jì)量為。9假設(shè)總體的概率密度為其中為未知參數(shù)，且是來自總體的一個(gè)簡單隨機(jī)樣本。（）求參數(shù)的最大似然估計(jì)量；（）驗(yàn)證是的無偏估計(jì)量。解：（）記

24、樣本的似然函數(shù)為，對于總體X的樣本值，其似然函數(shù)當(dāng)時(shí)（i 1，2，n），對取對數(shù)并對求導(dǎo)數(shù)，得令，得駐點(diǎn)，不難驗(yàn)證就是的最大值點(diǎn)，因此的最大似然估計(jì)；（）首先求lnX的分布。由于被積函數(shù)恰是正態(tài)分布的密度函數(shù)，因此隨機(jī)變量lnX服從正態(tài)分布，即，。故是的無偏估計(jì)量。10設(shè)是取自總體的一簡單隨機(jī)樣本，的概率密度為，。（）求未知參數(shù)的矩估計(jì)量；（）若樣本容量凡，置信度為0.95，求的置信區(qū)間。解：（）記，則的矩估計(jì)量為其中。（）盡管總體x不是正態(tài)總體，但由于樣本容量n 400屬大樣本，故也近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即總體x的期望值u的置信區(qū)間公式仍是其中滿足由于1a 0.95，因此而S是樣本標(biāo)準(zhǔn)差又因

25、為是u的嚴(yán)格遞增函數(shù)，因此的置信區(qū)間為。11設(shè)，為總體X的一個(gè)樣本，X的概率密度為，其中0，求，的最大似然估計(jì)量。解：似然函數(shù)為，取對數(shù)得。則可見所以當(dāng)min，）時(shí)，lnL取最大值。由，可得于是，的最大似然估計(jì)量為：，。12設(shè)總體X服從均勻分布U（，2），其中未知（0），為取自總體X的簡單隨機(jī)樣本。（）求的矩估計(jì)；（）求的最大似然估計(jì)；（）判斷和是否為的無偏估計(jì)量。解：因?yàn)閄服從均勻分布U（，2），所以X的密度函數(shù)為，則EX。（）令EX，所以的矩估計(jì)為。（）似然函數(shù)為，取自然對數(shù)lnLnln，0，于是L關(guān)于單調(diào)下降。因?yàn)?，所以min），且2max）max），于是有maxmin，故的最大似然估

26、計(jì)為max）。（）。記Ymax），則Y的分布函數(shù)為，于是Y的密度函數(shù)為，所以EY，。綜上，是的無偏估計(jì)量，不是的無偏估計(jì)量。13設(shè)，為來自正態(tài)總體N（，）的簡單隨機(jī)樣本，其中已知，0未知。X和S分別表示樣本均值和樣本方差。（I）求參數(shù)的最大似然估計(jì)；（）計(jì)算E和D。解：（）設(shè)，為樣本觀測值，則似然函數(shù)為令，得。從而得的最大似然估計(jì)（）解法l：由于則解法2：14設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立且分別服從正態(tài)分布N（，）與N（，2），其中是未知參數(shù)且0，設(shè)ZXY。（I）求Z的概率密度f（z；）；（）設(shè)，為來自總體Z的簡單隨機(jī)樣本，求的最大似然估計(jì)量；（）證明為的無偏估計(jì)量。解：（）由于X與Y相互獨(dú)立，則ZXY服從正態(tài)分布，且EZ0，DZDXD3，故得X的概率密度為（）設(shè)，為樣本，的觀測值，則似然函數(shù)為令，解得，故的最大似然估計(jì)量為。（）由于，故是的無偏估計(jì)量。15設(shè)總體X服從指數(shù)分布，概率密度為。為取自總體X的簡單隨機(jī)樣本。（）證明仍服從指數(shù)分布；（）求常數(shù)c使ZC為的無偏估計(jì)；（）指出Z與哪個(gè)更有效。解：（I）X的分布函數(shù)為F（x）。而（x）11F（x），于是n1F（x）f（x），所以服從參數(shù)為的指數(shù)分布。（）EZCEC。Cn。（）DZ，所以比DZ更