1、1,試驗數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析,一、攻關目標,建立節(jié)水型的優(yōu)質高效農(nóng)業(yè)發(fā)展模式。 提高區(qū)域農(nóng)業(yè)水資源利用率及生產(chǎn)效率。 為節(jié)水條件下農(nóng)業(yè)高效持續(xù)發(fā)展提供技術支持和示范模式。,第三章 試驗數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析,第一節(jié) 方差分析 第二節(jié) 單因素試驗結果的統(tǒng)計分析 第三節(jié) 多因素試驗結果的統(tǒng)計分析 第四節(jié) 相關與回歸分析,一、攻關目標,建立節(jié)水型的優(yōu)質高效農(nóng)業(yè)發(fā)展模式。 提高區(qū)域農(nóng)業(yè)水資源利用率及生產(chǎn)效率。 為節(jié)水條件下農(nóng)業(yè)高效持續(xù)發(fā)展提供技術支持和示范模式。,一、方差分析的基本原理 二、單向分組資料的方差分析 三、兩向分組資料的方差分析,第一節(jié) 方差分析,第一節(jié) 方差分析,一、方差分析的基本原理 （一）幾個變異數(shù)的

2、概念 1、極差：最大值-最小值 2、離均差：觀察值-平均值（xi-x) 3、平方和：離均差平方的總和 4、方差：平方和/觀察值數(shù) 5、標準差：方差的平方根值 6、自由度及其意義：觀察值數(shù)-1（n-1),一、攻關目標,第一節(jié) 方差分析,（二）方差分析的作用 1、將總變異分裂為各個因素的相應變異，作出數(shù)量 估計；發(fā)現(xiàn)各個因素在變異中所占的重要程度。 2、準確估計試驗誤差。 （三）自由度和平方和的分解 設有k組樣本，每樣本皆具有n個觀察值，則該資料共有nk個觀察值，其數(shù)據(jù)分組如表1：,一、攻關目標,第一節(jié) 方差分析,表1 每組具有n個觀察值的k組樣本的符號表 （I=1,2,.,k; j=1,2,n）

3、,一、攻關目標,第一節(jié) 方差分析,在表1中，總變異是nk個觀察值的變異，故其自由度v=nk-1，而平方和SST則為 總平方和：,矯正系數(shù),組間平方和,一、攻關目標,第一節(jié) 方差分析,組內平方和：SSe= SST-SSt 自由度分解：（nk-1）=(k-1)+k(n-1) 總自由度=組間自由度+組內自由度 平方和分解：總平方和=組間平方和+組內平方和,例1 以A、B、C、D 4種藥劑處理水稻種子，其中A為對照，每處理各得4個苗高觀察值（cm），其結果如表2，試分析其自由度和平方和。,第一節(jié) 方差分析,第一節(jié) 方差分析,表2 水稻不同藥劑處理的苗高（cm）,總變異=（44）-1=15 藥劑間自由度

4、=4-1=3 藥劑內自由度=4（4-1）=12,第一節(jié) 方差分析,一、攻關目標,第一節(jié) 方差分析,（試驗誤差加藥劑效應）,（試驗誤差估計）,一、攻關目標,第一節(jié) 方差分析,(四）F測驗的概念： 對于兩個獨立的樣本，分別求得其均方S12和S22則將二者的比值定義為F：,在方差分析的體系中，F(xiàn)測驗是用于測驗某項變異因素的效應或方差是否真實存在。所以在計算F值時，總是將測驗項變異因素的均方作分子，而將另一項變異因素（例如試驗誤差）作分母。若所得FF0.05或F0.01，則F值即為在a=0.05或a=0.01水平上顯著；否則不顯著。,一、攻關目標,第一節(jié) 方差分析,例2 測定東方紅3號小麥的蛋白質含量

5、10次，得均方；測定農(nóng)大139小麥的蛋白質含量5次，得均方。試測前者的變異是否比后者大。 顯著水平面取a=0.05，v1=9，v2=4時，查附表得F0.05=6.00。測驗計算：,此F F0.05，即東方紅小麥蛋白質含量變異大于農(nóng)大139,一、攻關目標,第一節(jié) 方差分析,例如前已算得的藥劑間均方 :,藥劑內均方 :,具自由度v1=3，v2=12。試測驗藥劑間變異是否大于藥劑內變異？,第一節(jié) 方差分析,顯著水平取a=0.05，F(xiàn)0.05=3.49。 測驗計算：,此F F0.05 ，即藥劑間變異大于藥劑內變異，不同藥劑對水稻苗高是具有不同效應的。,第一節(jié) 方差分析,(四)多重比較 F測驗是一個整體

6、的概念。僅能測出不同處理效應的平均數(shù)的顯著差異性。但是，是否各個平均數(shù)間都有顯著差異性？還是僅有部分平均數(shù)間有顯著差異而另一部分平均數(shù)間沒有顯著差異？它不曾提供任何信息。要明確各個平均數(shù)間的差異顯著性，還必須對各平均數(shù)進行多重比較。,第一節(jié) 方差分析,(一) 最小顯著差法（LSD法） 首先算得平均數(shù)差數(shù)的標準誤：,式中： 為方差分析時的誤差均方值，n為樣本容量。由t表查得ta，即有最小顯著差數(shù)：,第一節(jié) 方差分析,若兩個平均數(shù)的差數(shù)LSDa，即為a水平上顯著。 LSD法實質上是t測驗，而t測驗只適用于兩個相互獨立的樣本平均數(shù)。 (二)最小顯著極差法（LSR法） 這一方法的特點是不同平均數(shù)間的比

7、較采用不同的顯著差數(shù)標準，因而克服了LSD法的局限性，可用于平均數(shù)間的所有相互比較。其常用的有新復極差測驗和q測驗兩種。,第一節(jié) 方差分析,1、新復極差測驗（SSR測驗）： 平均數(shù)的標準誤,查SSR表，查得所具有的自由度下，p=2，3，k時的SSR值（p為某兩極差間所包含的平均數(shù)個數(shù)）。進而算得各個p下的最小顯著極差LSR。 LSR= SESSRa 將各個平均數(shù)按大小順序排列，用各個p的LSRa值即可測驗各平均數(shù)的顯著性；凡兩極差LSRa者為顯著。,第一節(jié) 方差分析,例3 對前述資料的各個平均數(shù)作新復極差測驗。 表3 LSR值計算（新復極差測驗）,第一節(jié) 方差分析,4種藥劑對苗高效應的平均數(shù)大

8、小順序是D=24，B=23，A=19，C=18。D與B比、B與A比、A與C比時p皆為2；D與A比、B與C比時，p=3，D與C比時p=4，故測驗結果為： B與A比：23-19=44.84，不顯著 A與C比：19-18=14.84，不顯著 D與A比：24-19=55.07，不顯著,第一節(jié) 方差分析,B與C比：23-18=55.23，顯著 結論：只有處理D和C的差異在a=0.05水平顯著，其余皆不顯著。 2.q測驗： q測驗與SSR測驗相似，其區(qū)別僅在于計算最小顯著極差LSRa值時不是查SSRa，而是查qa。查qa值后，即有: LSR=SEqa,第一節(jié) 方差分析,三.各方法的異同 根據(jù)上述測驗計算，

9、可以看到在兩極差間所包含的平均數(shù)個數(shù)p=2時，t測驗（LSD法）、SSR測驗和q測驗的顯著尺度都是完全相同的。但是，當p2時，三種測驗的顯著尺度不相同，LSD法最低，SSR測驗次之，q測驗最高。因此，（1）對于試驗結果事關重大或有嚴格要求的試驗，宜用q測驗：（2）一般試驗可采用SSR測驗；（3）試驗中各個處理平均數(shù)皆與對照相比的，可用LSD測驗。（4）LSD測驗必須經(jīng)過F測驗確認各平均數(shù)間有顯著差異之后，才宜應用；SSR測驗和q測驗可不經(jīng)過F測驗。,第一節(jié) 方差分析,（(四)多重比較結果的表示方法 表4標記字母法,第一節(jié) 方差分析,表5.列梯形表法 ：,第一節(jié) 方差分析,(五)方差分析的基本步

10、驟 1將資料總變異的自由度和平方和分解為各變異因素的自由度和平方和，并進而算得其均方； 2計算均方比，作出F測驗，以明了各變異因素的重要程度； 3對各平均數(shù)進行多重比較。,第一節(jié) 方差分析,二.單向分組資料的方差分析 單向分組資料是指觀察值僅按一個方向分組的資料.如試驗中將全部供試單位隨機地分成若干組,然后按組給以不同處理,這樣所得的全部觀察值就是單向分組資料.這種試驗叫做完全隨機設計試驗. 例4 研究6種氮肥施用方法(K=6)對小麥的效應,每種施肥方法種5盆小麥(n=5),完全隨機設計,最后測定它們的含氮量,其結果如下表.試作方差分析.,第一節(jié) 方差分析,表6 6種施肥法小麥植株含氮量,第一

11、節(jié) 方差分析,(一)自由度和平方和的分解 總變異自由度=6*5-1=29 處理間自由度=6-1=5 誤差(處理內)自由度=6(5-1)=24 (二)平方和分解 矯正數(shù),第一節(jié) 方差分析,表7 方差分析表,第一節(jié) 方差分析,(三)各處理平均數(shù)的比較 在此用新復極差測驗(LSR),算得,表8 新復極差測驗的LSR值,第一節(jié) 方差分析,表 9 6種施氮法植株含氮量的差異顯性,第一節(jié) 方差分析,二、兩向分組資料的方差分析 試驗數(shù)據(jù)按兩個因素交叉分組的，為兩向分組資料。例如選用幾種灌水量和幾種施肥量，研究其對作物生長和產(chǎn)量的影響，其每一觀察值都是某一灌水量和某一施肥量的組合同時作用的結果，故屬兩向分組資

12、料。兩向分組又叫交叉分組。按完全隨機設計的兩因素試驗數(shù)據(jù)，都是兩向分組資料；其方差分析按各組有無重復觀察值分為兩種不同分析方法。 （一）組合內只有單個觀察值的兩向分組資料的方差分析 例5 用生長素處理豌豆試驗，試驗結果如下表：,第一節(jié) 方差分析,表10 生長素處理豌豆的試驗結果,第一節(jié) 方差分析,（一）自由度和平方和的分解,第一節(jié) 方差分析,（二）F測驗,第一節(jié) 方差分析,（三）處理間比較 此例有指定的對照，故用LSD法。,第一節(jié) 方差分析,二、組合內有重復觀察值的兩向分組資料的方差分析 例6：施用A1、A2、A3 3種肥料于B1、B2、B3 3種土壤，以小麥為指示作物，每處理組合種3盆，得產(chǎn)

13、量結果如表12，試作方差分析。,第一節(jié) 方差分析,第一節(jié) 方差分析,第一節(jié) 方差分析,（一）自由度和平方和的分解,第一節(jié) 方差分析,（二）F測驗,第一節(jié) 方差分析,（三）平均數(shù)的比較 、各處理組合平均數(shù)的比較：肥X土的互作顯著，說明肥效隨土類而不同，故進一步作比較。在此用新復極差測驗，求得,根據(jù)v=18，算得各0.05和0.01的值于下表。,第一節(jié) 方差分析,各處理組合平均數(shù)的值（新復極差測驗）,第一節(jié) 方差分析,各處理組合平均數(shù)的新復極差測驗,2.各肥類平均數(shù)的比較：肥類間的測驗極顯著，求得肥類平均數(shù)的標準誤,第一節(jié) 方差分析,故有各肥類平均數(shù)的值及顯著性測驗結果于下表：,第一節(jié) 方差分析,

14、平均數(shù)的值,各肥類平均數(shù)的新復極差測驗,第二節(jié) 單因素試驗結果的分析,一、對比和間比試驗的統(tǒng)計分析 二、隨機區(qū)組試驗的統(tǒng)計分析,第二節(jié) 單因素試驗結果的分析,一、對比和間比試驗的統(tǒng)計分析 （一）對比試驗結果的統(tǒng)計分析 例7 有一大豆品種比較試驗，有A、B、C、D、E、F6個品種，另加一標準品種CK，采用對比法設計，3次重復，所得產(chǎn)量結果如下表（13），試作分析。,第二節(jié) 單因素試驗結果的分析,表13 大豆品比試驗（對比法）產(chǎn)量結果與分析,第二節(jié) 單因素試驗結果的分析,例如：a品種對鄰近ck的,第二節(jié) 單因素試驗結果的分析,（二）間比試驗結果的統(tǒng)計分析 步驟： 1、將各處理在各重復的小區(qū)產(chǎn)量相加

15、，得總和； 2、總和除以重復次數(shù)得小區(qū)平均數(shù)X； 3、計算各處理的理論對照標準CK，CK為前后兩個對照的平均數(shù)； 4、計算各處理產(chǎn)量對相應CK產(chǎn)量的百分數(shù)。,第二節(jié) 單因素試驗結果的分析,第二節(jié) 單因素試驗結果的分析,二、隨機區(qū)組試驗的統(tǒng)計分析 隨機區(qū)組試驗結果的統(tǒng)計分析，應用方差分析部分所述兩向分組單個觀察值資料的方差分析法。在這里可將處理看作A因素，區(qū)組看作B因素，其余部分則為試驗誤差。設試驗有n個處理，k個區(qū)組，則其自由度和平方和的分解如下： nk-1=(k-1)+(n-1)+(n-1)(k-1) 總自由度=區(qū)組自由度+處理自由度+誤差自由度 總平方和=區(qū)組平方和+處理平方和+試驗誤差平

16、方和,第二節(jié) 單因素試驗結果的分析,例8有一灌溉試驗，共有A、B、C、D、E、F、G、H8個處理（k=8），其中A是對照處理，采用隨機區(qū)組設計，重復3次（ n=3），其產(chǎn)量結果如下表（14）：,第二節(jié) 單因素試驗結果的分析,第二節(jié) 單因素試驗結果的分析,（一）自由度和平方和的分解 1。自由度的分解： 總自由度,第二節(jié) 單因素試驗結果的分析,2.平方和的分解：,第二節(jié) 單因素試驗結果的分析,（二）方差分析和F測驗 將上述結果列入下表： 方差分析表,第二節(jié) 單因素試驗結果的分析,方差分析結果（根據(jù)上表）： 對于區(qū)組 F=13.78/1.64=8.40F0.05，說明區(qū)組間土壤肥力有顯著差異。 對于

17、處理間 F=4.87/1.64=2.97F0.05，說明8個處理間有顯著差異。 但是到底哪些處理間有顯著差異？哪些處理間沒有顯著差異？則需作多重比較。,第二節(jié) 單因素試驗結果的分析,（三）處理間比較 1。 T測驗（LSD法）：如果測驗各處理與對照是否有差異，宜用LSD法。步驟如下： （1）計算處理間差數(shù)的標準誤 以小區(qū)平均數(shù)為比較標準時，差數(shù)標準誤為,并有,第二節(jié) 單因素試驗結果的分析,以各處理的小區(qū)總產(chǎn)量為比較標準時，因總產(chǎn)量比平均產(chǎn)量大n倍，故差數(shù)標準誤為,并有,第二節(jié) 單因素試驗結果的分析,在此以小區(qū)平均產(chǎn)量為比較標準，則,由于v=14時，t0.05=2.145， t0.01=2.977

18、，故 LSD0。05=1.05*2.145=2.25（斤） LSD0。01 =1.05*2.977=3.13（斤）,第二節(jié) 單因素試驗結果的分析,如以小區(qū)總產(chǎn)量為比較標準，則,第二節(jié) 單因素試驗結果的分析,如以畝產(chǎn)量為比較標準，則可算得化各品種總產(chǎn)量為畝產(chǎn)量的改算系數(shù)：,式中，3為小區(qū)數(shù)目，200為小區(qū)面積。 并有,第二節(jié) 單因素試驗結果的分析,表15 各處理產(chǎn)量和對照相比的差異顯著性,第二節(jié) 單因素試驗結果的分析,2、新復極差測驗（LSR法）：測驗各處理相互比較的差異顯著性，宜應用LSR法。步驟如下： （1）計算處理標準誤SE 以小區(qū)平均數(shù)比較時為,第二節(jié) 單因素試驗結果的分析,以小區(qū)總數(shù)為

19、比較時為,以畝產(chǎn)量為比較時為,第二節(jié) 單因素試驗結果的分析,（2）查表當v=(n-1)(k-1)時p自2至k的SSR0.05和SSR0.01值，進而算得LSR0.05和LSR0.01值 LSR0.05=SE* SSR0.05 LSR0.01=SE* SSR0.01 上式LSR0.05和LSR0.01即為測驗各種P下極差顯著性的尺度。,第二節(jié) 單因素試驗結果的分析,在本例如以小區(qū)平均數(shù)為比較標準，則有,查附表，v=14，P=2時，SSR0.05=3.03，SSR0.01=4.21，故,第二節(jié) 單因素試驗結果的分析,P=3時，SSR0.05=3.18，SSR0.01=4.42，故,P=4，5，時，

20、可以類推，在此應一直求至P=k=8時為止。其全部結果錄入下表：,第二節(jié) 單因素試驗結果的分析,表16 新復極差測驗的最小顯著極差,第二節(jié) 單因素試驗結果的分析,表17 新復極差測驗,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,多因素試驗結果的統(tǒng)計分析的基本原理，已在第一節(jié)作過介紹。本節(jié)只是這些基本原理的引伸應用。 一、兩因素隨機區(qū)組試驗結果的統(tǒng)計分析 設有A和B兩個試驗因素，各具a和b 個水平，作隨機區(qū)組設計，有r次重復，則該試驗共得rab個觀察值。其各項變異來源的自由度可分解于下表：,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,表18 二因素隨機區(qū)組試驗自由度的分解,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,由表18可見，二因素隨

21、機區(qū)組試驗和單因素隨機區(qū)組試驗，在變異來源上的區(qū)別僅在于：前者的處理項可進而分解為A因素水平間、B因素水平間、和AB互作間三個部分，因而也就可分解出相應的自由度和平方和 (ab-1) = (a-1)+ (b-1)+ (a-1)(b-1) 處理自由度=A的自由度+B的自由度+AB自由度 處理平方和=A的平方和+B的平方和+AB平方和,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,例9 有一小麥二因素試驗，A因素為品種，分A1（早熟）、A2（中熟）、A3（晚熟）三個水平（a=3)，B因素為灌水量，分B1（50m3)、B2（100m3)、B3（150m3）三個水平（b=3），共ab=3*3=9個處理組合，重復3次（

22、r=3），小區(qū)計產(chǎn)面積60尺2。其田間排列和小區(qū)產(chǎn)量（斤）列于下圖。試作分析。,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,小麥品種和灌水量隨機區(qū)組試驗 的田間排列和產(chǎn)量,I,II,III,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,1.結果整理：（1）將結果按處理和區(qū)組作兩向分組整理成表：,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,（2）按品種和灌水量作兩向分組整理成表：,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,在上表中，Tr=區(qū)組總和，TAB=處理總和， TA =品種總和， TB=灌水總和，T=全試驗總和。 2.自由度和平方和的分解：,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,對處理組合項SS再進行分解：,第三節(jié) 多因素

23、試驗結果的分析,3.方差分析和F檢驗： 表19 二因素試驗的方差分析,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,4.差異顯著性測驗 （1）品種間比較,查附表，P=2時，SSR0.05,16=3.00， SSR0.01,16=4.13，P=3時，SSR0.05,16=3.15， SSR0.01,16=4.34。因此有 P=2，LSR0.05,=0.238X3.00=0.71， LSR0.01,=0.238X4.13=0.98，,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,P=3，LSR0.05,=0.238X3.15=0.75， LSR0.01,=0.238X4.34=1.03。 測驗結果列于下表： 三個品種平均產(chǎn)量新復

24、極差測驗,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,（2）品種灌水的互作：,（1）A1品種,作新復極差測驗，算得,P=2時，LSR0.05,16=1.24， LSR0.01,16=1.70， P=3時，LSR0.05,16=1.30， LSR0.01,16=1.79。,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,（3）A3品種,（2）A2品種,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,5.試驗結論 本試驗品種主效有顯著差異，以A3產(chǎn)量最高，與A1有顯著差異，而與A2無顯著差異。灌水主效無顯著差異（？）。但品種與灌水互作極顯著，A3品種需用B3灌水量，A2品種需用B1灌水量，才能取得高產(chǎn)。,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,二、三因素隨

25、機區(qū)組試驗結果的分析 設有A、B、C三因素，各具a、b、c個水平，作隨機區(qū)組設計，設有r個區(qū)組，則該試驗共有rabc個觀察值，其各項變異來源及自由度的分解如下表：,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,三因素隨機區(qū)組試驗自由度的分解,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,由上表可見，三因素隨機區(qū)組試驗和單因素隨機區(qū)組試驗比起來，僅在于前者的處理間變異再被分解為7項，其中主效3項，一級互作3項，二級互作1項。各項都有相應的自由度和平方和，并且這些項的自由度之和與平方和之和一定等于處理項的自由度和平方和。,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,例10 有一隨機區(qū)組設計的棉花栽培試驗，有A（品種）、B（播期）、C（灌水）3

26、個試驗因素，各具a=2，b=2，c=3個水平，重復3次，小區(qū)計產(chǎn)面積200尺。其處理內容和代號見下表，田間排列和皮棉產(chǎn)量見下圖，試作分析。,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,區(qū)組I,區(qū)組II,區(qū)組III,棉花三因素隨機區(qū)組試驗的田間排列示意圖,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,1.結果整理：將試驗結果按區(qū)組和處理作兩向分組整理成表1；再按任兩個因素作兩向分組整理成表2、3、4。 以下頁表中，Tr、TABC、 TA 、 TB 、TC依次分別為各區(qū)組、處理、品種、播期、灌水的總和數(shù)，T為試驗總和數(shù)。各個總和數(shù)所包含的小區(qū)數(shù)目，必為總小區(qū)數(shù)（rabc）除以該總和數(shù)的下標所具有的

27、水平。,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,表20 區(qū)組和處理兩向表,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,AB兩向表,AC兩向表,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,BC兩向表,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,2.自由度和平方和的分解：,由區(qū)組和處理兩向表可求得,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,由AB兩向表求得,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,由AC兩向表求得,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,由BC兩向表可求得,SSABC=382.00-256.00-25.00-0.50-18.7-80.16-1.50=0.07,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,3.方差分析和 F 測驗： 棉花品種、播期、灌水三因素試驗的方差分析如下頁表

28、（21）。,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,4、效應和互作的顯著性測驗： （1）品種效應：如前表每個品種的TA是rac=323=18個小區(qū)的產(chǎn)量，故,因此，A1品種畝產(chǎn)量=174 1.67=290.6(斤） A2品種畝產(chǎn)量=78 1.67=130.3(斤） 相 差 160.3(斤）,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,為測驗差數(shù)160.3斤/畝的顯著性，算得畝產(chǎn)量的標準誤,即A1品種的產(chǎn)量顯著高于A2（160.315.9）。 實際上，當因素或互作的v=1時，t測驗、q測驗、SSR測驗的結果都完全相同，也和F測驗的結果完全相同。所以遇到這種情況，可以據(jù)F測驗直接作出判斷，不

29、需再作測驗（見方差分析表）。,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,（2）播期效應：因為v=1，由F測驗可直接判斷是否顯著。 （3）品種X播期的互作： A X B互作值=61-35=26(斤）（見AB兩向表）。F測驗已表明此差數(shù)亦顯著。 （4）品種X灌水的互作： 由AC兩向表求得A XC的各個互作值于下表：,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,表 22 品種（A）X灌水（C）的互作值,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,求得畝產(chǎn)量標準誤,上述尺度測驗A與C的互作值的畝產(chǎn)量，都達0.01的水平。,5、試驗結論： 試驗品種和播期皆有顯著效應，品種應選A1，播期應選B1。AXB互作顯著，選用A1B1組合，可取得畝增收4

30、3.4斤的互作； AXC的互作也顯著，選用A1C1也可取得畝增收35.0-107.5斤的互作。因此本試驗的最優(yōu)組合為A1B1C1，即處理1。,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,三、裂區(qū)試驗結果的統(tǒng)計分析 設有A和B兩個試驗因素，A因素為主處理，具a個水平，B因素為副處理，具b個水平，設有r個區(qū)組，則該試驗共得rab個觀察值。其各項變異來源和相應的自由度如下表：,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,表23 二裂式裂區(qū)試驗自由度的分解,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,由上表可見，二裂式裂區(qū)試驗與二因素隨機區(qū)組試驗在分析上的不同，僅在于前者有主區(qū)部分和副區(qū)部分，因而有主區(qū)誤差和副區(qū)誤差。也就是說裂區(qū)試驗有誤差項

31、的再分解。 例11 有一小麥中耕次數(shù)（A）和灌水（B）試驗，主處理為A，分A1、A2、A3 3個水平；副處理為B，分B1、B2、B3、B4 4個水平，裂區(qū)設計，重復3次（r=3),副區(qū)計產(chǎn)面積300平方尺，其田間排列和產(chǎn)量如下圖，試作分析。,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,A1,A3,A2,A3,A2,A1,A1,A3,A2,重復I,重復II,重復III,（一）結果整理 按區(qū)組和處理作兩向分組整理成下表（24）：,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,（續(xù)）,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,（續(xù)）,按 A 因素和 B 因素作兩向分類整理成下表（2

32、5）：,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,（二）自由度和平方和的分解,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,（二）自由度和平方和的分解,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,（二）自由度和平方和的分解,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,（三）F 測驗,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,（四）效應和互作的顯著性測驗 基本步驟（具體計算略）： 1、計算標準誤； 2、查附表得SSRa值； 3、求得LSRa值； 4、根據(jù)上述尺度測驗各因素水平的差數(shù)。 測驗結果如下頁表：,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,表 26 三種中耕處理畝產(chǎn)量的新復極差測驗,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,表 27 灌水處理畝產(chǎn)量的新復極差測驗,第三節(jié) 多因素試

33、驗結果的分析,（五）試驗結論 本試驗中耕次數(shù)的A1顯著優(yōu)于A2、A3，灌水量的B2顯著優(yōu)于B1、B3、B4。由于AXB互作不存在，故應取相加式，最優(yōu)組合必為A1B2。,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,三、應用正交表分析試驗結果 凡采用正交表設計的試驗，皆可再用正交表分析試驗結果。首先將試驗結果按處理列于正交表的右側；然后，按表頭設計的列，將各水平的和用T1、T2、T3等表示，記于正交表的下方。正交表上行（處理）的自由度是為各列所分解的，而各列的自由度則為該列的水平數(shù)減1。所以，表頭各因素的效應或互作的自由度，即為該列的水平數(shù)減1；其相應平方和則可由列下的T1、T2、T3等值得出。,第三節(jié) 多因素

34、試驗結果的分析,試驗誤差的自由度和平方和為 誤差DF=總DF-區(qū)組DF-各列DF之和 誤差SS=總SS-區(qū)組SS-各列SS之和 例12 有一早稻三因素試驗，A因素為品種，有A1、A2、A3、A4水平；B因素為栽插密度，有B1、B2水平；C因素為施氮量。有C1、C2水平；選用L8（4x24），其表頭設計和產(chǎn)量結果如下頁表（27），試作分析。,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,表27 422試驗， L8（4x24） 設計,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,（續(xù)）,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,（一）結果整理 在上表中： 1、將各處理小區(qū)產(chǎn)量相加得Tt，將各區(qū)組的小區(qū)產(chǎn)量相加得Tr； 2、將各列下同水平的T

35、t相加，如T1=52+59=111； 3、空列不加，其變異歸入誤差； 4、根據(jù)列下各Ti值可算得各列極差 R。,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,（二）自由度和平方和的分解 總DF=rt-1=(3x8)-1=23 區(qū)組DF=r-1=3-1=2 A的DF=a-1=4-1=3 B的DF=b-1=2-1=1 C的DF=c-1=2-1=1 誤差DF=23-2-（3+1+1）=16,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,按多因素試驗的一般方法分解平方和，求得,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,當因素只有兩水平時，其效應平方和可用簡式計算：,（三）F 測驗,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,（四

36、）差異性顯著性測驗 因為C因素只有2個水平，所以不需再作測驗，即知C2顯著優(yōu)于C1，其畝產(chǎn)量為 C2=262X6000/（12X150）=873.2（斤） C1=234X6000/ （12X150）=780.0 相差 93.2(斤）,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,A因素各水平的差異顯著性需進一步測驗。在此以畝產(chǎn)量為比較標準，故 Cf=6000/ （6X150）=6.6667 畝產(chǎn)標準誤（下頁）：,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,表28 各品種畝產(chǎn)量的q測驗,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,對各處理組合間的差異性作顯著性測驗： 由于表中的TA值是3個小區(qū)的產(chǎn)量，故 Cf

37、=6000/(3X150)=13.3333 畝產(chǎn)量的標準誤,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,應用q測驗法，可算得p=2，3，8，v=16時的各個LSR值于表29。,表29 LSR值的計算,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,表30 各處理組合的差異顯著性,第三節(jié) 多因素試驗結果的分析,一、回歸和相關的概念 二、直線回歸方程 三、直線回歸的假設測驗和區(qū)間估計 四、直線相關,第四節(jié) 直線回歸與相關,第四節(jié) 直線回歸與相關,變量間的關系有兩類：函數(shù)關系；統(tǒng)計關系 函數(shù)關系有嚴格的數(shù)學依存關系 統(tǒng)計關系又稱相關關系，不能精確用固定不 變的數(shù)學公式表示 統(tǒng)計關系有兩種分析方法：相關分析法和回歸分析法,第四節(jié) 直

38、線回歸與相關,一、回歸和相關的概念 科學實驗中所要研究的變數(shù)往往不只是一個，而是兩個或兩個以上。如：土壤水分與作物產(chǎn)量的關系，畝穗數(shù)，穗粒數(shù)和產(chǎn)量的關系等。為了處理具有一定聯(lián)系的兩個以上的變數(shù)，除繼續(xù)應用符號x外，還需引入符號y.這樣兩個變數(shù)（x,y）的各對觀察值可用（x1，y1）、（x2，y2）、（xn，yn）表示。為初步考察x和y的關系，我們可將每一對（xi，yi）都表示為直角坐標平面上的一個點，作成如下散布圖：,第四節(jié) 直線回歸與相關,X 生物產(chǎn)量（克） 圖1 水稻生物產(chǎn)量和稻谷產(chǎn)量散布圖,第四節(jié) 直線回歸與相關,圖2 水稻每米2穎花數(shù)和結實率散布圖,第四節(jié) 直線回歸與相關,圖3 水稻最

39、高葉面積指數(shù)和畝產(chǎn)量的散布圖,第四節(jié) 直線回歸與相關,由這種散布圖可以了解： （1）兩個變數(shù)的性質和密切程度或由x估計y的精確度； （2）兩個變數(shù)的關系是直線型的還是非直線型的； （3）是否有一些特殊的不規(guī)則的點著有其它因素的干擾等。,第四節(jié) 直線回歸與相關,如從上述3個不同散布圖可以看出： （1）圖1、圖2都是直線型的，但方向相反；前者y隨x的增大而增大，表示兩個變數(shù)的關系是正的；后者y隨x的增大而減小，表示關系是負的性質。 （2）圖1的各個點幾乎都落在一直線上，圖2則較為分散；因此，前者的相關程度高于后者。 （3）圖3 中x和y的關系不是直線型。本節(jié)僅討論直線型關系。,第四節(jié) 直線回歸與相

40、關,在統(tǒng)計上，x和y的關系有兩種理論模型：第一種叫回歸模型，第二種叫相關模型。 兩種理論模型的區(qū)別是： 1、在回歸模型中： （1）自變數(shù)x是固定的，無誤差或誤差很??； （2）依變數(shù)y隨x變化，有隨機誤差； （3）有x變化預測y變化的作用，具有預測特征； （4）回歸資料的統(tǒng)計分析叫回歸分析；就是要導出由x預測y或控制y的回歸方程。,第四節(jié) 直線回歸與相關,2、在相關模型中： （1）x和y是平行變化關系； （2） x和y皆有隨機誤差，因而不能區(qū)別哪個是自變 數(shù)，哪一個是依變數(shù)； （3）相關模型的特征是表示兩個變數(shù)的偕同變異，不具預測性； （4）相關分析是要測定兩個變數(shù)在數(shù)量關系上的密切程度和性質。

41、,第四節(jié) 直線回歸與相關,但是回歸和相關并不能截然分開，因為由回歸可獲得相關的一些信息，由相關也可獲得回歸的一些重要信息。 3、以防統(tǒng)計方法誤用必須注意的問題： （1）變數(shù)間是否存在相關，須有具體學科本身來定； （2）由于自然界各種事物間的相互聯(lián)系和制約，一事物的變化通常都會受到其它事物的影響。因此，如果僅研究一對事物的關系，其余事物的均勻性必須盡可能得到嚴格控制。,第四節(jié) 直線回歸與相關,（3）為提高回歸和相關分析的準確性，兩個變數(shù)的成對觀察值應盡可能地多一些，應有5對以上觀察值，并使x的取值范圍盡可能大一些。 二、直線回歸方程 （一）直線回歸方程式 對于在散布圖上呈直線趨勢的兩個變數(shù)，如果

42、要概括其在數(shù)量上的互變規(guī)律，即從x的數(shù)量變化來預測或估計y的數(shù)量變化，則要采用回歸方程來描述。此方程的通式如下：,第四節(jié) 直線回歸與相關,上式讀作“y依x的直線回歸。其中x是變數(shù)， 是和x的量相對應的依變數(shù)y的點估計值；a是x=0時的 值，即回歸直線在y軸上的截距，叫回歸截距；b是x每增加一個單位數(shù)時， 平均地將要增加（b0)或減少(b0)的單位數(shù)，叫回歸系數(shù)。,（1）,第四節(jié) 直線回歸與相關,要使 能夠最好地代表y和x在數(shù)量上的互變關系，根據(jù)最小平方法，須使,第四節(jié) 直線回歸與相關,因此，a和b值按微分學上求極小值原理得出，即有正規(guī)方程,以上是二元一次聯(lián)立方程組，解之得,（2）,（3）,第四

43、節(jié) 直線回歸與相關,上述（3）式的分子是離均差的乘積和，記作SP；分母是離均差平方和，記作SSx。將（2）、（3）式算得的a和b值代入（1）式，即可保證Q值最小。 A和b可正可負，因具體資料而異。在a0時，回歸直線在第I象限交于y軸；在a0時，表示y隨x的增大而增大，成正相關；在b0時，表示y隨x的增大而減小，成負相關；見下圖。在b=0或和0的差異不顯著時，則表明y的變異和x的取值大小無關，直線回歸關系不能成立。,第四節(jié) 直線回歸與相關,圖4 直線回歸方程的圖象,第四節(jié) 直線回歸與相關,將（2）式代入（1）式可得,（4）,由（4）式可見，若x= ,則y= .所以回歸直線必通過坐標點（ ， ）。

44、記住這一點有助于繪制具體資料的回歸直線。 （二）直線回歸方程的計算 例1 如下表：,第四節(jié) 直線回歸與相關,表 1 累積溫和一代化螟蛾盛發(fā)期的關系,第四節(jié) 直線回歸與相關,首先由上表資料算得6個一級數(shù)據(jù)：,然后，由一級數(shù)據(jù)算得二級數(shù)據(jù)：,第四節(jié) 直線回歸與相關,第四節(jié) 直線回歸與相關,第四節(jié) 直線回歸與相關,故得直線回歸方程為,（三）直線回歸方程的圖示 1、直線回歸圖包括回歸直線圖象和散布圖； 2、制作回歸圖時，以x為橫坐標，y為縱坐標； 3、縱、橫坐標皆需標明名稱和單位； 4、取x坐標上的一個小值x1代入回歸方程得y1;再取一個大值x2代入回歸方程得y2。連接坐標點（x1，y1）和（x2，y

45、2）成一條回歸直線（如下圖5）。,第四節(jié) 直線回歸與相關,圖5 旬平均溫度累積值和一代三化螟蛾盛發(fā)期的關系,第四節(jié) 直線回歸與相關,（四）直線回歸的估計標準誤 由上圖可見，直線回歸方程和實測的坐標點并不吻合。故應對其誤差進行估計。由于Q為離回歸平方和，且建立回歸方程時用了a和b兩個統(tǒng)計數(shù)，故Q的自由度v=n-2。則回歸的標準誤：,（4）,第四節(jié) 直線回歸與相關,（五）直線回歸的數(shù)學模型和基本假定 在直線回歸中，總體的每一個Y值決定于三個因素： （1）Y的總體平均數(shù)Y；（2）因X的作用而使Y發(fā)生的離均變異， （ 3）Y的隨機誤差 。因此，直線回歸,第四節(jié) 直線回歸與相關,的數(shù)學模型可表示為：,在

46、按上述模型進行回歸分析時，假定： 1、任一個X上都存在一個Y總體，它是作正態(tài)分布的； 2、所有Y總體都具共同方差 ，因而直線回歸總體具有 我們得到的觀察值只是總體N中的隨機本。 3、直線回歸的總體方差 是可分的。 4、X是沒有誤差的固定變數(shù)，而Y是隨機變數(shù)。,第四節(jié) 直線回歸與相關,三、直線回歸的假設測驗 1、回歸關系的假設測驗 對于樣本的回歸方程，必須測定其來自無直線回歸關系的總體的概率大小。只有當這種概率a0.05或a0.01時，才能確認其所代表的總體存在直線回歸關系。這就是回歸關系的假設測驗，可由t測驗或F測驗給出。由于回歸系數(shù)的標準誤Sb為,（5）,第四節(jié) 直線回歸與相關,并且,遵循v

47、=n-2的t分布，故由t值即可知道樣本回歸系數(shù)b來自不存在回歸關系總體的概率的大小。 例：試測上述回歸關系的顯著性。已算得b=-1.0996，SSx=144.6356，Sy.x=3.266，故有,第四節(jié) 直線回歸與相關,查表得：t0。05，7=2.36， t0。01，7 =3.50。現(xiàn)實得ltl=4.05，表明在總體中因抽樣誤差而得現(xiàn)有樣本的概率a0.01，或說此b=-1.0996是極顯著的。因而所建回歸方程是可靠的。,第四節(jié) 直線回歸與相關,2、F測驗： 當以 表示y資料時（不考慮x的影響），y變數(shù)有平方和 和自由度v=n-1。當以 表示y資料時（考慮x的影響），則SSy將分解成兩個部分，即

48、,離回歸平方和：,回歸平方和：,第四節(jié) 直線回歸與相關,由于回歸和離回歸的方差比遵循v1=1、v2=n-2的F分布，故由,即可測定回歸關系的顯著性。 例試測前述資料回歸關系的顯著性。 前已算得Ssy=249.5556，Q=74.6670，故,第四節(jié) 直線回歸與相關,U=249.5556-74.6670=174.8886，并有方差分析表： 回歸關系的假設測驗,第四節(jié) 直線回歸與相關,上述t和F測驗，在任何回歸樣本上，其結果都完全一致。因為在同一概率值下，v1=1、v2=n-2的一尾概率值恰巧等于v=n-2 的兩尾t值的平方。如本例，F(xiàn)=16.40，t=-4.05，(-4.05)2=16.40。所

49、以，對直線回歸作假設測驗，只需選擇上述方法的一種。 （二）兩個回歸系數(shù)比較時的假設測驗 若有兩個直線回歸樣本，分別具有樣本回歸系數(shù)b1、b2和總體回歸系數(shù)1、 2，則在測驗b1、b2的差異顯著性時，兩個樣本回歸系數(shù)的差數(shù)的標準誤Sb1-b2為,第四節(jié) 直線回歸與相關,上式的分母分別為兩個樣本x變數(shù)的平方和，分子為兩個樣本回歸估計標準誤的合并方差，其值為,第四節(jié) 直線回歸與相關,上式中的Q1和Q2分別為兩個樣本的離回歸平方和，n1和n2分別為兩個樣本的成對觀察值數(shù)目。 由于（b1-b2)/Sb1-b2遵循v=(n1 -2)+ n2 -2)的t分布，故有,第四節(jié) 直線回歸與相關,四、直線回歸的區(qū)間估計 （一）直線回歸的抽樣誤差 設直線回歸總體，具有總體回歸方程Y=a+X和標準差Y.X（它給定了坐標點的離