1、專項強化練(三)選修45：不等式選講(理獨)題型一含絕對值不等式1解不等式：|x2|x|x2|2.解：當x2時，不等式化為(2x)x(x2)2，即x23x0，解得3x2；當2x2時，不等式化為(2x)x(x2)2，即x2x0，解得2x1或0x2；當x2時，不等式化為(x2)x(x2)2，即x23x40，解得x2.所以原不等式的解集為x|3x1或x02解不等式：|x2|x1|1.解：令f(x)|x2|x1|.當x2時，f(x)(x2)(1x)3，此時f(x)|x2|x1|1恒成立；當2x1時，f(x)(x2)(1x)2x1，令f(x)1，即2x11，解得x0，由于2x1，則有2x0；當x1時，f

2、(x)(x2)(x1)3，此時f(x)1不成立綜上所述，不等式|x2|x1|1的解集為(，03已知x，yR，且|xy|，|xy|，求證：|x5y|1.證明：因為|x5y|3(xy)2(xy)|.由絕對值不等式性質，得|x5y|3(xy)2(xy)|3(xy)|2(xy)|3|xy|2|xy|321.即|x5y|1. 臨門一腳1形如|xa|xb|c(c)不等式的解法常用零點分段討論法，其步驟為：(1)求零點；(2)劃分區(qū)間、去絕對值號；(3)分別解去掉絕對值的不等式；(4)取每個結果的并集，特別注意在分段時不要漏掉區(qū)間的端點值2絕對值不等式也可用|xa1|xa2|的幾何意義求解集3應用絕對值不等

3、式|a|b|ab|a|b|求最值，一定要寫出等號成立的條件題型二基本不等式的應用1已知a，b是正數，求證：a24b24.證明：因為a，b是正數，所以a24b24ab.所以a24b24ab2 4，當且僅當a2b，且ab時取等號即a24b24.2已知a，b，c均為正數，求證：a2b2c226.證明：法一：因為a，b，c均為正數，由均值不等式得a2b2c23(abc)，3(abc)，所以29(abc).故a2b2c223(abc)9(abc)，又3(abc)9(abc)26，所以原不等式成立法二：因為a，b，c均為正數，由基本不等式得a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，所以a2b2c2a

4、bbcca.同理.所以a2b2c22abbcca6，當且僅當abc時取等號所以原不等式成立臨門一腳1基本不等式應用于證明關鍵是和積轉化，所以進行證明前一定要觀察不等式兩邊式子結構的特征系數、方次2要根據條件特征選擇使用三元還是兩元的基本不等式，等號成立條件一定要寫3多次使用基本不等式時要關注多個等號成立條件是否能夠同時成立題型三柯西不等式的應用1求函數y3sin x2的最大值解：y3sin x23sin x4，由柯西不等式得y2(3sin x4)2(3242)(sin2xcos2x)25，當且僅當4sin x3|cos x|，即sin x，|cos x|時等號成立，所以ymax5.所以函數y3

5、sin x2的最大值為5.2已知a，b，cR,4a2b22c24，求2abc的最大值解：由柯西不等式，得(2a)2b2(c)2(2abc)2.因為4a2b22c24，所以(2abc)210.所以2abc，所以2abc的最大值為，當且僅當a，b，c時等號成立3設x，y，z均為正實數，且xyz1，求證：xyyzzx.證明：x，y，z均為正實數，且xyz1，由柯西不等式可得(xyyzzx)22(xyyzzx)2.xyyzzx.4設a1，a2，a3均為正數，且a1a2a3. 求證： 1.證明：法一：因為(a1a2)(a2a3)(a3a1)339，當且僅當a1a2a3時等號成立又a1a2a3.所以29，所以1.法二：由柯西不等式得9(a1a2)(a2a3)(a3a1)222()2()2()229，當且僅當()2()2()2，即a1a2a3時取等號，所以1.臨門一腳1二元柯西不等式：(a2b2)(c2d2)(acbd)2，a，b，c，dR，當且僅當adbc時，等號成立2三元柯西不等式可以用向量形式記憶：即|，當且僅當是零向量，或存在實數k，得k時，等號成立3利用柯西不等式來證明不等式和基本不等式一樣也要關注式子結構