1、第三章 函數(shù)及其圖像第11課 函數(shù)及其圖像,1. 常量、變量： 在某一過程中，保持一定數(shù)值不變的量叫做 ；可以取不同數(shù)值的量叫做 2函數(shù)： 一般地，設在一個變化過程中有兩個變量x與y，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應，那么就說x是 ，y是x的 3函數(shù)自變量取值范圍： 由解析式給出的函數(shù)，自變量取值范圍應使解析式有意義；對于實際意義的函數(shù)，自變量取值范圍還應使實際問題有意義,要點梳理,常量,變量,自變量,函數(shù),4函數(shù)的圖象和函數(shù)表示方法： (1)函數(shù)的圖象：一般地，對于一個函數(shù)，如果把自變量x與函數(shù)y的每對對應值分別作為點的橫坐標與縱坐標，在坐標平面內(nèi)描出這些點，用光滑曲線連接這些點

2、所組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象 (2)函數(shù)的表示法： ； ；,解析法,列表法,圖象法,1理解并掌握平面中確定點的位置的方法 在平面內(nèi)，確定一個點的位置，一般需要兩個數(shù)據(jù)利用縱橫交錯法確定點的位置，要知道橫向、縱向的格數(shù)；利用“方位角距離”來確定點的位置，需知道該點相對于參考點的方位角和距離確定位置的方法，除了上面所述的兩種，還有區(qū)域法等 用坐標描述點的位置，關鍵在于建立適當?shù)淖鴺讼?，并確定單位長度直角坐標系是刻畫點的位置的一種工具，它把幾何中研究的基本對象“點”與代數(shù)中研究的基本對象“數(shù)”聯(lián)系起來，從而將“數(shù)”與“形”相結合，這樣就使得我們可以用代數(shù)的方法來研究幾何圖形,難點正本 疑點清源,

3、2了解函數(shù)三種表示方法的特點 解析法是用等式來表示一個變量與另一個變量之間函數(shù)關系的方法，這個等式稱為函數(shù)的解析式，如s80t，Ar2等解析法簡單明了，能使我們從解析式了解整個變化過程中函數(shù)與自變量之間的全部相依關系，適合于作理論分析和計算、推導許多定律、法則都用解析式(即公式)來表示但在求對應值時，需要逐個計算，有時是很麻煩的，且有不少函數(shù)很難或者無法用解析式表示出來 列表法指用表格形式來表示一個變量與另一個變量之間函數(shù)關系的方法列表法對于表中已有的自變量的每一個值，可以直接找到對應的函數(shù)值，它適用于計算函數(shù)值很麻煩或很難找到函數(shù)關系式的情況缺點是不能把自變量與函數(shù)的全部對應值列出來，而且從

4、表格中也不易看出自變量與函數(shù)之間的對應規(guī)律,圖象法是指用圖象來表示一個變量與另一個變量之間函數(shù)關系的方法在給定的函數(shù)中，把自變量x的一個值和函數(shù)y的對應值分別作為點的橫坐標和縱坐標，在直角坐標系內(nèi)描出相應的點，所有這些點的集合，叫做這個函數(shù)的圖象函數(shù)的變化情況和某些性質(zhì)在圖象上能夠很直觀地顯示出來，以后我們通常借助函數(shù)的圖象來探索函數(shù)的性質(zhì)其缺點在于從圖象上找自變量與函數(shù)的對應值一般只是近似的，且只反映出變量間關系的一部分而不是全體 函數(shù)的三種表示法各有優(yōu)缺點，我們常常各取其長，綜合運用這三種方法來研究有關函數(shù)問題，并且函數(shù)三種表示法可以相互聯(lián)系與轉(zhuǎn)化,1(2011武漢)函數(shù)y 中自變量x的取

5、值范圍是() Ax0 Bx2 Cx2 Dx2 解析：x20，x2,基礎自測,C,2(2011株洲)根據(jù)生物學研究結果，青春期男女生身高增長速度呈現(xiàn)如下圖規(guī)律，由圖可以判斷，下列說法錯誤的是() A男生在13歲時身高增長速度最快 B女生在10歲以后身高增長速度放慢 C11歲時男女生身高增長速度基本相同 D女生身高增長的速度總比男生慢 解析：女生在7歲到11歲時， 身高增長的速度比男生快， 故選D,D,3(2011福州)甲、乙兩個工程隊完成某項工程，首先是甲單獨做了10天，然后乙隊加入合做，完成剩下的全部工程設工程總量為單位1，工程進度滿足如圖所示的函數(shù)關系，那么實際完成這項工程所用的時間比由甲

6、單獨完成這項工程所需時間少() A12天 B14天 C16天 D18天 解析：甲獨做的工作效率 10 ；甲、乙合做的工作 效率 (1410) . 8.實際完成這項工程所 用時間為104822(天)，而甲單獨完成所需時間為40(天)，402218(天,D,4(2011福州)下列函數(shù)的圖象，經(jīng)過原點的是() Ay5x23x Byx21 Cy Dy3x7 解析：當x0時，y502300，圖象過原點(0,0,A,5(2011煙臺)在全民健身環(huán)城越野賽中，甲、乙兩選手的行程y(千米)隨時間(時)變化的圖象(全程)如圖所示有下列說法：起跑后1小時內(nèi)，甲在乙的前面；第1小時兩人都跑了10千米；甲比乙先到達終

7、點；兩人都跑了20千米其中正確的說法有 () A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個 解析：說法錯誤，應該是 乙比甲先到達終點,C,題型一確定自變量的取值范圍 【例 1】函數(shù)y 中，自變量x的取值范圍是_ _ 解析： 中x作為被開方數(shù)，x0； 中x1作為分母，x10，x0且x1,題型分類 深度剖析,x0且x1,探究提高 代數(shù)式有意義的條件問題： (1)若解析式是整式，則自變量取全體實數(shù)； (2)若解析式是分式，則自變量取使分母不為0的全體實數(shù)； (3)若解析式是偶次根式，則自變量只取使被開方數(shù)為非負數(shù)的全體實數(shù)； (4)若解析式含有零指數(shù)或負整數(shù)指數(shù)冪，則自變量應是使底數(shù)不等于0的全體

8、實數(shù)； (5)若解析式是由多個條件限制，必須首先求出式子中各部分自變量的取值范圍，然后再取其公共部分，此類問題要特別注意，只能就已知的解析式進行求解，而不能進行化簡變形，特別是不能輕易地乘或除以含自變量的因式,知能遷移1 (2011樂山)下列函數(shù)中，自變量x的取值范圍為x1的是 () A. y B. y1 C. y D. y 解析：由1x0，得x1,D,題型二由自變量取值，求函數(shù)值,例 2】已知y2x4，且1x6， 242x464， 2分 即62x42. y2x4， 6y2，即2y6. 4分,解法2：y2x4， x .1分 1x3， 1 3. 2分 24y6， 24y64，6y2， 2y6.

9、4分,探究提高 結合不等式的性質(zhì)，由自變量的取值范圍，可確定函數(shù)的取值范圍,知能遷移2(2012上海)已知函數(shù)f(x) ，那么f(1)_. 解析：當x1時，f(1),題型三確定實際背景下的函數(shù)關系式,例 3】如圖，用一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻(墻的長度不限)的矩形菜園ABCD，設AB邊長為x(m)，則菜園的面積y(m2)與x(m)的函數(shù)關系為_ _ (不要求寫自變量的取值范圍) 解析：yABBCx x215x. 探究提高 本題利用了幾何中的公式，用自變量表示因變量,x215x,知能遷移3(2012漳州)某零件制造車間有工人20名，已知每名工人每天可制造甲種零件6個或乙種零件5個，且每

10、制造一個甲種零件可獲利150元，每制造一個乙種零件可獲利260元在這20名工人中，設該車間每天安排x名工人制造甲種零件，其余工人制造乙種零件 (1)請寫出此車間每天所獲利潤y(元)與x(人)之間的函數(shù)關系式； (2)若只考慮利潤問題，要使每天所獲利潤不低于24000元，你認 為至多要派多少名工人制造甲種零件才合適？ 解：(1)y6x1505(20 x)260900 x260001300 x 400 x26000. (2)y24000， 400 x2600024000，400 x2000，x5. 答：至多要派5名工人制造甲種零件才合適,題型四觀察圖象，求解實際問題,例 4】(2012黃石) 甲、

11、乙兩位同學住在同一小區(qū)，在同一中學讀書，一天恰好在同一時間騎自行車沿同一線路上學，小區(qū)離學校有9 km，甲以勻速行駛，花了30 min到校，乙的行程信息如圖中折線OABC所示，分別用y1、y2表示甲、乙在時間x(min)時的行程，請回答下列問題 (1)分別用含x的解析式表示y1、y2 (標明x的范圍)，并在圖中畫出函 數(shù)y1的圖象； (2)甲、乙兩人在途中有幾次相遇？ 分別是出發(fā)后的多長時間相遇,解：(1)設y1k1x，則有930k，k1 ，y1 x(0 x30)； 在0 x5時，y2 x； 在5x13時，y22； 在13x27時，y2 x . 過點(0,0)，(30,9)畫線段即函數(shù)y1的圖

12、象(圖象略) (2)甲、乙途中有兩次相遇，第一次相遇時， y2， x2，x ，即出發(fā)后 分鐘 第二次相遇 解之得 即出發(fā)后 分鐘,探究提高 要學會閱讀圖象，正確理解圖象中點的坐標的實際意義，由圖象分析變量的變化趨勢，從而確定實際情況分析變量之間的關系、加深對圖象表示函數(shù)的理解，進一步提高從圖象中獲取信息的能力，運用數(shù)形結合的思想觀察圖象求解,知能遷移4在一次運輸任務中，一輛汽車將一批貨物從甲地運往乙地，到達乙地卸貨后返回設汽車從甲地出發(fā)x(h)時，汽車與甲地的距離為y(km)，y與x的函數(shù)關系如圖所示 根據(jù)圖象信息，解答下列問題： (1)這輛汽車的往、返速度是否相同？請說明理由； (2)求返程

13、中y與x之間的函數(shù)表達式； (3)求這輛汽車從甲地出發(fā)4 h時與甲地的距離,解：(1)120260；120(52.5)1202.548. 6048， 往、返速度不相同 (2)設返程中y與x之間的函數(shù)關系式為ykxb. 得 y48x240.(2.5x5) (3)當x4時，y48424048. 答：這輛汽車從甲地出發(fā)4 h時與甲地的距離是48 km,7自變量取值范圍不可忽視 試題矩形的周長是8(cm)，設一邊長為x(cm)，另一邊長為y(cm) (1)求y關于x的函數(shù)關系式； (2)在圖中作出函數(shù)的圖象 學生答案展示解：(1)由題意得2(xy)8，則y4x. (2)圖象如下圖,易錯警示,剖析此題題

14、意明確，易建立函數(shù)關系式，但在求自變量x的取值范圍上易犯錯，據(jù)實際情況，x、y表示矩形的邊長，則即 故自變量x的取值范圍為：0 x4，則第(2)問中，圖象不是直線，而是去掉端點(4,0)，(0,4)的線段,正解(1)由題意，得2(xy)8，則y4x，其中0 x4. (2)圖象如圖所示 批閱筆記作實際問題的函數(shù)圖象時，若不注意自變量的取值范圍，往往作出錯誤的圖象確定實際問題的函數(shù)的自變量取值范圍，一要考慮使代數(shù)式有意義，二要考慮實際問題的背景,方法與技巧 1. 自變量x取值范圍常見類型： (1)若解析式是整式，則x可取全體實數(shù)； (2)若解析式是分式，則必須使得分母不為0； (3)若解析式是二次

15、根式，則必須使得被開方數(shù)不小于0； (4)對于實際意義的函數(shù)，自變量取值范圍還應使實際問題有意義 2. 理解圖象上任意一點的橫坐標與縱坐標和解析式中的x、y的相互對應關系，重視數(shù)形結合的思想方法,思想方法 感悟提高,失誤與防范 1對于實際問題中的函數(shù)自變量的取值范圍，要注意討論自變量所代表的實際意義以及題目中所給出的有關自變量的限制條件，特別是注意挖掘隱含條件 2實際問題中的數(shù)量關系是錯綜復雜的，要注意應用已掌握的基本知識，通過分類、轉(zhuǎn)化等思想方法，探究較復雜問題中變量之間的相互關系有一些函數(shù)，在自變量的不同取值范圍內(nèi)有不同的對應關系，在寫出它的解析式時，需根據(jù)自變量的不同取值，分別列出不同的表達式,3在有實際背景的函數(shù)圖象中，首先要辨明橫軸、縱軸各表示什么量，并注意以下的對應關系： (1)圖象在坐標