1、根與系數(shù)的關(guān)系知識精講一韋達定理如果 ax2bxc0(a0) 的兩根是0 ）特別地，當(dāng)一元二次方程的二次項系數(shù)為則 x1x2p ， x1x2q 二韋達定理與根的符號關(guān)系x1 ， x2 ，則 x1 x2b ， x1x2c （隱含的條件：aa2q 0 的兩個根，1時，設(shè) x1 ， x2 是方程 x px在20 的條件下，若 x1， x2是 ax2bxc0( a 0) 的兩根（其中x1 x2 ）b 4ac我們有如下結(jié)論：c0x1 x20 ，若b0 ，則 x1x2 ；若b0 ，則 x1x2 1aaa2 c0x x 0 若b0 ，則 x1x20 ；若b0 ，則 x2x1 0 a12aa更一般的結(jié)論是：若

2、 x1 ， x2 是 ax2bxc0( a0) 的兩根（其中x1x2），且 m 為實數(shù)，當(dāng)0 時，一般地：（ 1） (x1m)( x2m)0x1m ， x2m（ 2） (x1m)( x2m)0 且 ( x1m)( x2m)0x1m ， x2m（ 3） (x1m)( x2m)0 且 ( x1m)( x2m)0x1m ， x2m特殊地：當(dāng) m0 時，上述就轉(zhuǎn)化為2bxc0( a0) 有兩異根、兩正根、兩負根的ax條件三點剖析一 考點 ：韋達定理二 重難點 ：韋達定理的應(yīng)用1已知方程的一個根，求另一個根以及確定方程參數(shù)的值；2已知方程，求關(guān)于方程的兩根的代數(shù)式的值；3已知方程的兩根，求作方程；4結(jié)合

3、根的判別式，討論根的符號特征；5逆用構(gòu)造一元二次方程輔助解題：當(dāng)已知等式具有相同的結(jié)構(gòu)時，就可以把某兩個變元看作某個一元二次方程的兩根，以便利用韋達定理三 易錯點 ：在使用韋達定理的時候沒有提前檢驗0 是否成立題模精講題模一：韋達定理例4.1.1若 方 程 x24 xc0 的 一 個 根 為 23 ， 則 方 程 的 另 一 個 根 為 _ ，c _ 【答案】23 ， c 1第 1頁【 解 析 】根 據(jù) 韋 達 定 理 ， x1x24 ， 因 為 x123 ， 所 以 x223 ， 所 以c x1 x223231例 4.1.2如果 a ， b 都是質(zhì)數(shù)，且 a213am ， b213b m0

4、，求 ba 的值ab【答案】當(dāng) ab 時， ba2 ；當(dāng) ab 時， ba125abab22【解析】當(dāng) ab 時， ba2 ；ab當(dāng) a213xm0的兩個根，所以b 時， a 、 b 為方程 xab 13 ，則 a2 ， b 11或 b2 ， a 11 所以 ba211125ab11222例 4.1.3設(shè)x1、 x2是 方 程 x22k1xk22 0 的 兩 個 不 同 的 實 根 ， 且x1 1 x218 ，則 k 的值是【答案】k 1【解析】由根與系數(shù)的關(guān)系得1 且有4 k 14 k 22 8k 4 0 ，即 k22所以 x11x218 從而 k22k3 0 ，解之得 k3 或 k1 又

5、k1 ，所以 k1 2例 4.1.4已知關(guān)于 x2a300 的兩根都大于5，求 a 的取值范圍的方程 x11x【答案】0a 14【解析】設(shè) x1 ， x2 是方程的兩根，( x15)( x25) x1 x25( x1x2 ) 25 0x1 x2a30，解得 01x1x211a 41214a1200隨堂練習(xí)隨練4.1已知 m ， n 是有理數(shù)，并且方程x2mxn0 有一個根是52 ，那么m n _【答案】 3【解析】由于 m ， n 是有理數(shù)，并且方程2mxn0 有一個根是5 2 ，x所以方程的另一個根是52 由韋達定理知： m(52) ( 52) ， n(5 2) ( 52)隨練 4.2已知關(guān)

6、于 x 的方程x22(m2) xm25 0有兩個實數(shù)根， 并且這兩個根的平方第 2頁和比這兩個根的積大16，求 m 的值【答案】-1【解析】有實數(shù)根，則 0，且2x2216，聯(lián)立解得 m 的值x1x1 x2依題意有：由解得：m1或 m15 ，又由可知m 94 m15 舍去，故 m1隨練 4.3已知關(guān)于 x24 x2m80 的一個根大于1，另一個根小于1，求 m 的的方程 x取值范圍【答案】5m2【解析】設(shè) x1 ， x2 是方程的兩根，且x11 ， x21 ，即 x110 ， x210 ，( x11)( x21) x1 x2( x1x2 )1 0因此x1 x22m8，解得5x1x24m2164(2 m8)0隨練 4.4如果實數(shù) a,b 分別滿足 a22 a2 ， b22b2 ，求 11 的值ab【答案】當(dāng) ab 時，111 ；當(dāng) ab 時，當(dāng) ab13 時，113 1 ，當(dāng)ababa b13 時， 1113ab【解析】22x 20 的兩個根，且 a 0, b0 ，由題意知： a, b 為方程 x解方程 x22x20 得： x113， x