1、 人教版六年級上冊第五單元 教材分析數(shù)學教案 人教版六年級上冊第五單元 教材分析數(shù)學教案第五單元 圓一、教學內(nèi)容1圓的認識2圓的周長3圓的面積4扇形的認識二、教學目標1使學生認識圓，學會用圓規(guī)畫圓，掌握圓的基本特征。2使學生會利用直尺和圓規(guī)，在教師指導下設計一些與圓有關(guān)的圖案。3使學生通過實踐操作，理解圓周率的意義，理解和掌握圓的周長計算公式，并解決一些相應的實際問題。4引導學生探索并掌握圓的面積計算公式，并解決一些簡單的實際問題。5使學生認識扇形，掌握扇形的一些基本特征。6使學生經(jīng)歷嘗試、探究、分析、反思等過程，培養(yǎng)數(shù)學活動經(jīng)驗，在解決一些與圓有關(guān)的數(shù)學問題的過程中，提高問題解決的能力。7使

2、學生在推導圓的周長與面積的計算公式過程中體會和掌握轉(zhuǎn)化、極限等數(shù)學思想。8通過生活實例、數(shù)學史料，感受數(shù)學之美，了解數(shù)學文化，提高學習興趣。三、主要變化與具體編排（一）主要變化1改變圓的各部分名稱的引入方式。實驗教材在引入圓時，先讓學生利用圓形杯蓋、圓柱體物體、三角板上的圓孔描出圓，再把圓剪下來，通過多次對折等方式引出圓心、半徑、直徑等概念；在認識了圓的半徑和直徑的特點之后，再專門教學用圓規(guī)畫圓的方法?？紤]到學生在生活中已經(jīng)具備初步的用圓規(guī)畫圓的知識，本次修訂時，對于“你能想辦法在紙上畫一個圓嗎”這一問題，教材同時給出了用杯蓋、三角尺上的圓孔、圓規(guī)畫圓的方法，符合真實的學情。接下來，利用圓規(guī)畫

3、圓的方法引出圓心、半徑、直徑等概念，水到渠成，這樣的引入方式也能更好地體現(xiàn)圓“一中同長”的本質(zhì)特征。接下來，通過讓學生用圓規(guī)畫幾個大小不同的圓，探討直徑、半徑的特點，在這一過程中，使學生進一步熟練掌握用圓規(guī)畫圓的方法。2增加圓心決定圓的位置、半徑?jīng)Q定圓的大小的內(nèi)容?！皥A，一中同長也”，這是墨子中對圓的定義。只要確定了“中”和“長”，圓的位置與大小就確定下來了。解析幾何中圓的解析式（x-a）2+(y-b)2=r2中也很好地體現(xiàn)了這一點。圓心決定圓的位置、半徑?jīng)Q定圓的大小這一事實，過去雖然沒在教材中明確指出，但實際上學生已經(jīng)在自覺應用了。例如，用圓規(guī)畫圓時，不可避免地會遇到“針尖定在哪兒”“畫多大

4、的圓”等問題，如果要畫半徑是3 cm的圓，針尖到紙邊緣的距離必須大于3 cm，才能在紙上畫出一個完整的圓來。在本冊教材中，接下來還要安排利用圓設計圖案的內(nèi)容，在設計圖案的過程，學生會時時處處遇到“要畫一個多大的圓”“這個圓的圓心應該在哪兒”等問題。因此，教材增加這一部分內(nèi)容，能幫助學生在應用知識的過程中更好地認識圓的數(shù)學特征。3正文中降低圓的對稱性的篇幅，新增利用圓設計圖案的內(nèi)容。由于在“軸對稱圖形”的相關(guān)內(nèi)容中，已經(jīng)對圓的對稱性有過比較充分的探討，所以，本單元不再單獨編排圓的對稱性的例題，只在相關(guān)練習中加以鞏固。在修訂過程中，新增了利用圓設計圖案的內(nèi)容。先讓學生模仿教材上提供的步驟，畫出美麗

5、的圖案，再放手讓學生試著畫出教材上提供的圖案。在這一過程中，需要用到用圓規(guī)畫圓的方法，需要觀察這些圖案是由哪些圖形組成的，是如何組成的。需要學生對圓心位置的確定、半徑大小的確定、圓的對稱性等知識加以綜合應用，一方面，幫助學生進一步了解圓的特征，另一方面，使學生充分體會數(shù)學的對稱美、和諧美。例如，下面左圖中大圓內(nèi)部的每個“水滴”是由三個半圓圍成的，其中兩個半圓的直徑是大圓半徑的一半，還有一個半圓的直徑是大圓的半徑，除此之外，還要關(guān)注這些半圓的圓心位置在哪里。右圖中，大圓的內(nèi)部有八個小圓，這些圓的直徑都是大圓的半徑，依次排列在大圓的八等分線上，互相重疊，形成了美麗的圖案。教學時，還可以讓學生自由創(chuàng)

6、作出更多的作品。此外，還可以借助這些圖案，復習軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)等圖形變換的知識。由于這一內(nèi)容的操作性、綜合性、探究性都很強，也可以把它設計成一個“綜合與實踐”活動。4增加求圓與外切正方形、內(nèi)接正方形之間面積的內(nèi)容。在“圓的面積”部分，增加了解決實際問題的內(nèi)容，即求圓與外切正方形、內(nèi)接正方形之間的面積。要求學生利用圖形之間的關(guān)系，靈活計算這兩部分的面積，并在“討論”環(huán)節(jié)進一步得出更為一般化的結(jié)論。要計算正方形的面積，首先要求出正方形的邊長，這是比較常規(guī)的思路。例如，求圓的外切正方形的面積時，觀察到正方形的邊長和圓的直徑相等，所以很容易求出來。但在求圓的內(nèi)接正方形的邊長時卻遇到了困難，圓的直徑和

7、正方形的對角線相等，但沒有辦法直接求出正方形的邊長。此時，教材引導學生改變觀察角度，把正方形分割成兩個三角形，這兩個三角形的底是圓的直徑，高是圓的半徑，很容易求出其面積。在解決幾何問題時，經(jīng)常會有這種“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”的情形。有時，換一個角度看問題，會發(fā)現(xiàn)一個全新的世界。經(jīng)歷這樣的問題解決過程，有助于提高學生多角度分析問題的意識和能力。解決了圓半徑是1m的特殊問題后，教材在“回顧與反思”環(huán)節(jié)，進一步討論半徑為r的情況，使學生發(fā)現(xiàn)，圓的外切正方形面積是4r2，外切正方形與圓之間的面積是0.86r2，內(nèi)接正方形的面積是2r2，圓與內(nèi)接正方形之間的面積是1.14r2。這些結(jié)果中隱藏著

8、很多有意思的數(shù)學事實，如：外切正方形的面積始終是內(nèi)接正方形面積的2倍，外切正方形與內(nèi)接正方形之間的面積正好是2r2，即和內(nèi)接正方形面積相等，等等。5“扇形”由選學變?yōu)檎浇虒W內(nèi)容。扇形的內(nèi)容是學習扇形統(tǒng)計圖的必要基礎，根據(jù)標 準（2011年版）對相關(guān)內(nèi)容的調(diào)整，此次修訂把這部分內(nèi)容由選學變?yōu)檎浇虒W內(nèi)容。（二）具體編排1. 圓的認識（1）圓的各部分名稱、圓的性質(zhì)。教材首先呈現(xiàn)了自然界和社會生活中形形色色的“圓”，其中包括許多同心圓。豐富的圓形圖案，使學生感受到圓很美，同時，感受到數(shù)學就在身邊，激發(fā)起良好的學習情緒。接下來，請學生想辦法在紙上畫一個圓，學生可以調(diào)動以前的經(jīng)驗，用茶杯蓋、三角尺上的

9、圓洞等圓形物體進行描摹，也可以用圓規(guī)畫圓。用實物畫圓也是很有意義的動手實踐機會，但畫出的圓的大小是固定的，不能隨意變化。而用圓規(guī)畫圓卻可以在兩腳叉開的范圍內(nèi)畫出任意大小的圓來。在畫圓環(huán)節(jié)出現(xiàn)用圓規(guī)畫圓，也是尊重學情的一種體現(xiàn)。學生在課外應該都嘗試過用圓規(guī)畫圓，但是如何畫得標準，畫得輕松，還需教師進一步指導。利用圓規(guī)畫圓，引出圓的各部分名稱。一方面，與前面的活動自然銜接；另一方面，畫圓的過程非常切合“圓是到定點的距離等于定長的所有點的集合”這一幾何學的定義。通過這一過程引出圓心、半徑、直徑等概念，將動手操作、觀察思考、概念引出融為一體，自然流暢。對圓特征的認識，分四個層次編排：首先，讓學生將畫好

10、的圓折一折、畫一畫、量一量，發(fā)現(xiàn)沿著任意一條直徑對折，兩邊可以重合，說明了圓是軸對稱圖形。第二，通過對折痕的觀察和想象，讓學生理解半徑和直徑都有無數(shù)條。第三，通過測量與比較，讓學生認識到同一圓內(nèi)所有的半徑都相等，所有的直徑也都相等，并且直徑的長度是半徑的2倍。第四，結(jié)合畫圓的經(jīng)驗，理解圓心可決定圓的位置，半徑可決定圓的大小。（2）利用圓設計圖案。尺規(guī)作圖是一項有著悠久歷史、充滿魅力的數(shù)學技能。教材在認識圓之后，安排了這樣一個實踐性內(nèi)容，既可以讓學生進一步熟練用圓規(guī)畫圓的技能，促進學生對圓的特征的進一步認識，又能讓學生在用尺規(guī)畫出漂亮圖案的過程中提高動手操作的能力，學會欣賞數(shù)學的美，培養(yǎng)熱愛數(shù)學

11、學習的情感。教材先以分解的步驟，展示了如何利用圓的特征，一步一步畫出四個花瓣式的漂亮圖案。這中間，涉及到充分利用圓的對稱性，需要學生學會確定某個圓或半圓的圓心和半徑，這也是圓心和半徑分別確定圓的位置與大小的最直接應用。此外，還需要學生添加一些輔助線。因此，這樣的活動體現(xiàn)了很強的綜合性。之后，教材呈現(xiàn)了兩個更復雜的圖案，讓學生嘗試畫一畫，這需要學生綜合運用觀察、思考、動手等多方面的技能。教材給出了一些輔助線加以提示，需要學生對已經(jīng)成形的圖案進行“分解”，知道每一部分是怎么來的。用直尺畫出基本的圖形后，再進行涂色，涂不同的顏色，也會形成不同的作品。2. 圓的周長（1）圓的周長計算公式的推導。圓的周

12、長計算在實際生活中有廣泛的應用，因此，教材從“要在圓桌和菜板的邊緣箍上一圈鐵皮，求鐵皮的長度”這一學生熟悉的實際情境引入，幫助學生理解圓的周長的概念。學生已經(jīng)具備了測量一般圖形（物體）周長的技能，因此，面對“分別需要多長的鐵皮”的問題，他們完全能想到解決的辦法：拿卷尺直接繞一圈量，或者把圓形物體在直尺上滾一圈再量出長度，或者拿線在圓形物體上繞一圈，量出線的長度。學生在解決實際問題的過程中感受了方法多樣性和“化曲為直”的轉(zhuǎn)化思想。更重要的是，圓周長概念的內(nèi)涵，就在這樣的過程中得以清晰化、直觀化。方法需要優(yōu)化，思維需要提升。教材在此基礎上提出“除了上面的方法，還可以怎樣求圓的周長呢？”要求學生跳出

13、繞、滾、圍等策略的測量方法，找到一種更為一般化的方法。通過“圓的周長和圓的大小有關(guān)系，圓的大小取決于”，啟發(fā)學生將問題解決的方向放在從圓本身的特征去想辦法突破。第63頁上方的表格，是引導學生通過測量幾組圓的直徑和周長，自主發(fā)現(xiàn)周長和直徑的比值是一個固定值，從而引出圓周率的概念，并總結(jié)出圓的周長計算公式。在這個內(nèi)容中，教學的重點是讓學生利用實驗的手段，通過測量、計算、猜測圓的周長和直徑的關(guān)系、驗證猜測等過程，理解并掌握圓的周長計算方法。教材通過直接介紹的方式說明周長與直徑的比值是一個固定的數(shù)，叫做圓周率，用字母“”來表示。為了方便學生計算，教材規(guī)定“”這個無限不循環(huán)小數(shù)常常只取它的近似數(shù)，即兩位

14、小數(shù)3.14。根據(jù)圓的周長和直徑的倍數(shù)關(guān)系，可以得出求圓的周長的計算公式：cd或c2r。（2）例1。本例是一個與圓的周長計算有關(guān)的實際問題。通過學生經(jīng)?？吹交蚴褂玫淖孕熊囈鰡栴}，能讓學生體會到數(shù)學知識的廣泛應用。自行車的后輪半徑是33cm，它滾一圈能走多遠，那就是求它的周長。這樣的問題，是“化曲為直”思想的應用-用曲的車輪周長計量自行車前進的距離。第二個問題帶有更強的現(xiàn)實性，“小明從家到學校1km，輪子大約轉(zhuǎn)了多少圈？”學生必須通過計算，才能解決這個問題。得出的相關(guān)結(jié)果，也能加強學生的生活經(jīng)驗。3圓的面積（1）圓的面積計算公式的推導。教材首先通過計算圓形草坪占地面積的實際情境提出圓面積的概念

15、，一方面使學生在以前所學知識的基礎上理解“圓的面積就是它所占平面的大小”，另一方面使學生體會在實際生活中計算圓面積的必要性。學生以前所學的圖形都是多邊形（如三角形、長方形、正方形、平行四邊形、梯形等），像圓這樣的曲線圖形的面積計算，學生還是第一次接觸到。把圓分割成若干等份后拼成近似的長方形的方法，學生很難自主發(fā)現(xiàn)，因此，教材直接給出明確的提示，讓學生把圓分成若干等份，拼一拼。接下來的過程，則主要交給學生自主探索。教材讓學生通過觀察，看到拼出的是近似的長方形（或平行四邊形），隨著分的份數(shù)越來越多，拼出的圖形越來越接近于長方形，體會“無限逼近”的極限思想。這個近似的長方形的的長和寬與圓的周長、半徑

16、有著緊密的聯(lián)系。引導學生通過觀察、對比，利用圓與長方形之間的關(guān)系，自行推導出圓的面積計算公式。（2）例1。本例是在學生推導出了圓面積計算公式以后，用此公式解決本節(jié)開頭的實際問題。求的是鋪滿草皮需要多少錢，這一問題比“求草皮面積是多少”更有現(xiàn)實意義、更自然。要求鋪滿草皮需要多少錢，首先要求圓形草皮的面積。（3）例2。本例是求圓環(huán)的面積，教材通過插圖幫助學生了解什么叫圓環(huán)，理解求圓環(huán)的面積是用外圓面積減去內(nèi)圓面積。教材給出了兩種算法：3.14623.1422和3.14（6222）。教材也有意引導學生根據(jù)乘法分配律，采用相對簡便的算法，這樣，可以大大減少計算的繁雜程度，減少計算出錯的可能性。（4）例

17、3。本例通過讓學生解決圓的內(nèi)接正方形、外切正方形與圓之間部分的面積這一實際問題，經(jīng)歷問題解決的全過程，并在解決具體問題的基礎上發(fā)現(xiàn)更為一般的數(shù)學規(guī)律，提高發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力。例題以中國古建筑中“外方內(nèi)圓”和“外圓內(nèi)方”兩種經(jīng)典設計為情境，直觀清晰地提出了需要解決的數(shù)學問題-求正方形與圓之間的那部分面積。兩個圖中的圓大小相同，但正方形位置與大小都不同。很自然地引出一個問題：中間部分的面積與圓的面積有沒有關(guān)系？有什么樣的關(guān)系？例3是給出一個特殊的圓半徑，先解決特殊問題，在“反思”部分再討論一般性的規(guī)律?！胺治雠c解答”引導學生根據(jù)圖示尋找正方形與圓之間的關(guān)系。第一個圖，很容

18、易看出正方形的邊長就是圓的直徑；第二個圖，正方形的邊長不知道，不能用邊長的平方直接計算面積。此時，就需要轉(zhuǎn)換思路，將正方形看成兩個底是圓的直徑、高是圓的半徑的三角形（或四個小三角形）。在前面的解題環(huán)節(jié)，學生發(fā)現(xiàn)正方形與圓之間的面積與圓的半徑是有關(guān)的，那到底有什么樣的關(guān)系呢？因此，在“回顧與反思”這一環(huán)節(jié)，需要繼續(xù)延伸討論，進一步探討一般化的結(jié)論。圓的半徑是r與半徑是1m的解題思路完全相同，因為半徑1m只是其中的一種特例。讓學生利用剛才的方法，得到一個代數(shù)式的結(jié)果。把r=1m代入，與前面的結(jié)果相符，以此檢驗這個代數(shù)式的正確性。4. 扇形的認識教材呈現(xiàn)了三個名稱中含有“扇”的物體，引出問題：什么是

19、扇形？這樣的引入方式，把扇形這個數(shù)學名詞與學生已有的生活經(jīng)驗建立聯(lián)系，有助于激發(fā)學生的研究興趣。教材結(jié)合圖示，以直接介紹的方式，揭示了“弧”“扇形”“圓心角”等術(shù)語的含義。事實上，扇形就是弧和圓心角所組成的圖形。幾何原本中這樣定義扇形：由頂點在圓心的角的兩邊和這兩邊所截一段圓弧圍成的圖形叫做扇形。扇形的大小與圓心角的大小緊密相關(guān)，也與所在圓的半徑大小有關(guān)。到第七單元學習扇形統(tǒng)計圖時，還用到了各部分扇形的大小占整個圓的百分數(shù)。這些，需要學生直觀感知并理解，但總體要求并不高，例如，扇形統(tǒng)計圖中沒有提出計算各扇形圓心角的明確要求。因此，教材上只列出了兩類特殊的扇形：半圓為弧的扇形對應的圓心角是180

20、，圓為弧的扇形對應的圓心角是90。四、教學建議1引導學生動手操作、自主探索圓的特征。2注重引導學生運用和體驗轉(zhuǎn)化、極限等數(shù)學思想方法。3緊密結(jié)合生活素材，培養(yǎng)學生在日常生活中應用數(shù)學的意識和能力。確定起跑線一、教學內(nèi)容確定標準運動場400m跑的各跑道起跑線。二、教學目標1使學生了解田徑場以及環(huán)形跑道的基本結(jié)構(gòu)，學會綜合運用圓的周長等知識來計算并確定400m跑的起跑線。2使學生經(jīng)歷觀察、計算、推理等數(shù)學活動過程，發(fā)展綜合運用數(shù)學知識解決實際問題的能力，體會抽象、推理等基本的數(shù)學思想。3使學生體會數(shù)學知識在生活中的廣泛應用，增強數(shù)學學習的積極性。三、具體編排本活動主要由以下三個部分組成。（1）發(fā)現(xiàn)

21、和提出問題。教材以400 m跑為背景，呈現(xiàn)起跑時的真實情況，引導學生發(fā)現(xiàn)生活問題：為什么都是跑400m，運動員要站在不同的起跑線上？使學生通過對起跑線位置的關(guān)注和思考，進一步提出更多的數(shù)學問題，例如：是不是起跑線在前面的選手跑的路程更短些？比賽是公平的，每個人跑的路程應該同樣長，那為什么起跑線是不同的呢？難道每條跑道的終點線也設置得不同？引導學生學生根據(jù)生活經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)：終點是相同的，但外圈和內(nèi)圈的長度是不同的。如果起跑線相同的話，外圈的同學跑的距離長，不公平。所以外圈跑道的起跑線位置應該往前移。在此認知基礎上，很自然地提出本活動的核心問題：各條跑道的起跑線應該相差多少米？即如何確定每條跑道的起跑線。（2）分析和解決問題。教材第80頁第二幅圖中呈現(xiàn)了小組同學測量有關(guān)數(shù)據(jù)的場景，旨在幫助學