1、第第3章章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析n補(bǔ)充內(nèi)容補(bǔ)充內(nèi)容 信號(hào)的正交分解信號(hào)的正交分解n3.1 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)n3.2 傅里葉變換傅里葉變換n3.3 LTI連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析n3.4 抽樣定理抽樣定理n3.5 調(diào)制與解調(diào)調(diào)制與解調(diào)1 1學(xué)習(xí)要求學(xué)習(xí)要求n掌握信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換分析法，掌握信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換分析法，對(duì)一些常用信號(hào)能進(jìn)行頻譜分析對(duì)一些常用信號(hào)能進(jìn)行頻譜分析n熟悉信號(hào)的時(shí)域特性和頻域特性的對(duì)應(yīng)關(guān)系熟悉信號(hào)的時(shí)域特性和頻域特性的對(duì)應(yīng)關(guān)系n弄清信號(hào)頻譜的概念弄清信號(hào)頻譜的概念n卷積定理是系統(tǒng)頻譜

2、分析的基礎(chǔ)，要學(xué)會(huì)應(yīng)卷積定理是系統(tǒng)頻譜分析的基礎(chǔ)，要學(xué)會(huì)應(yīng)用用n熟悉傅里葉變換的性質(zhì)熟悉傅里葉變換的性質(zhì)n掌握抽樣定理掌握抽樣定理2 2n本章討論的路線：本章討論的路線：n傅里葉級(jí)數(shù)正交函數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)正交函數(shù)傅里葉變換，建立傅里葉變換，建立信號(hào)頻譜的概念；信號(hào)頻譜的概念；n通過(guò)典型信號(hào)頻譜以及傅里葉變換性質(zhì)的研通過(guò)典型信號(hào)頻譜以及傅里葉變換性質(zhì)的研究，掌握傅里葉分析方法的應(yīng)用。究，掌握傅里葉分析方法的應(yīng)用。n對(duì)于周期信號(hào)而言，進(jìn)行頻譜分析可用傅里對(duì)于周期信號(hào)而言，進(jìn)行頻譜分析可用傅里葉級(jí)數(shù)或傅里葉變換；傅里葉級(jí)數(shù)相當(dāng)于傅葉級(jí)數(shù)或傅里葉變換；傅里葉級(jí)數(shù)相當(dāng)于傅里葉變換的一種特殊表達(dá)形式。里葉變換

3、的一種特殊表達(dá)形式。n最后對(duì)研究周期信號(hào)與抽樣信號(hào)的傅里葉變最后對(duì)研究周期信號(hào)與抽樣信號(hào)的傅里葉變換，并介紹抽樣定理，抽樣定理奠定了數(shù)字換，并介紹抽樣定理，抽樣定理奠定了數(shù)字通信的理論基礎(chǔ)。通信的理論基礎(chǔ)。3 3n時(shí)域分析中，以沖擊函數(shù)為基本函數(shù)，任意時(shí)域分析中，以沖擊函數(shù)為基本函數(shù)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列沖擊函數(shù)之和，而輸入信號(hào)可分解為一系列沖擊函數(shù)之和，而 yf(t)=f(t) * h(t)n頻域分析中，以正弦函數(shù)和虛指數(shù)信號(hào)頻域分析中，以正弦函數(shù)和虛指數(shù)信號(hào) 為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列 不同頻率的正弦信號(hào)或虛指數(shù)信號(hào)之和不同頻率的正弦

4、信號(hào)或虛指數(shù)信號(hào)之和這里，用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是頻率這里，用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是頻率ejwt4 4n從本章開始由時(shí)域轉(zhuǎn)入變換域分析，首先討從本章開始由時(shí)域轉(zhuǎn)入變換域分析，首先討論傅里葉變換。傅里葉變換是在傅里葉級(jí)數(shù)論傅里葉變換。傅里葉變換是在傅里葉級(jí)數(shù)正交展開的基礎(chǔ)上發(fā)展而產(chǎn)生的，這方面的正交展開的基礎(chǔ)上發(fā)展而產(chǎn)生的，這方面的問(wèn)題也稱為傅里葉分析（頻域分析），將信問(wèn)題也稱為傅里葉分析（頻域分析），將信號(hào)進(jìn)行正交分解，即分解為三角函數(shù)或復(fù)指號(hào)進(jìn)行正交分解，即分解為三角函數(shù)或復(fù)指數(shù)函數(shù)的組合。數(shù)函數(shù)的組合。n頻域分析將時(shí)間變量變換為頻率變量，揭示頻域分析將時(shí)間變量變換為頻率變量，揭示了信號(hào)內(nèi)在

5、的頻率特性以及信號(hào)時(shí)間特性與了信號(hào)內(nèi)在的頻率特性以及信號(hào)時(shí)間特性與其頻率特性之間的密切關(guān)系，從而導(dǎo)出了信其頻率特性之間的密切關(guān)系，從而導(dǎo)出了信號(hào)的頻譜、帶寬以及濾波、調(diào)制等重要概念。號(hào)的頻譜、帶寬以及濾波、調(diào)制等重要概念。5 5傅里葉分析的研究與應(yīng)用經(jīng)歷了一百余年。1822年法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉（J.Fourier,1768-1830）在研究熱傳導(dǎo)理論時(shí)發(fā)表了“熱的分析理論”著作，提出并證明了將周期函數(shù)展開為正弦級(jí)數(shù)的原理，將周期函數(shù)展開為正弦級(jí)數(shù)的原理，奠定了傅里葉級(jí)數(shù)的理論基礎(chǔ)。奠定了傅里葉級(jí)數(shù)的理論基礎(chǔ)。泊松（Poisson）、高斯（Gauss）等人把這一成果應(yīng)用到電學(xué)中去，得到廣泛應(yīng)用伴隨

6、電機(jī)制造、交流電的產(chǎn)生與傳輸?shù)葘?shí)際問(wèn)題的需要，三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及傅里葉分析等數(shù)學(xué)工具已得到廣泛的應(yīng)用。傅里葉分析發(fā)展史6 6直到19世紀(jì)末，制造出電容器。20世紀(jì)初，諧振電路、濾波器、正弦振蕩器等一系列問(wèn)題的解決為正弦函數(shù)與傅里葉分析的在通信系統(tǒng)中的應(yīng)用開辟了廣闊的前景。從此，在通信與控制系統(tǒng)的理論研究和實(shí)際應(yīng)用之中，采用頻率域（頻域）的分析方法比經(jīng)典的時(shí)間采用頻率域（頻域）的分析方法比經(jīng)典的時(shí)間域（時(shí)域）方法域（時(shí)域）方法有許多突出的優(yōu)點(diǎn)。當(dāng)今，傅里葉分析方法已成為信號(hào)分析與系統(tǒng)設(shè)計(jì)不可缺少的重要工具。7 7補(bǔ)充內(nèi)容：信號(hào)的正交分解補(bǔ)充內(nèi)容：信號(hào)的正交分解n一、矢量正交與正交分解一、矢量

7、正交與正交分解矢量矢量 正交的定義：正交的定義：其內(nèi)積為其內(nèi)積為0，即，即由兩兩正交的矢量組成的矢量集合由兩兩正交的矢量組成的矢量集合稱為正稱為正交矢量集交矢量集8Vx=(vx1,vx2,vx3),Vy=(vy1,vy2,vy3)VxVy=vxii=13vyi= 08neg1：三維空間中，以矢量：三維空間中，以矢量n所組成的集合就是一個(gè)正交矢量集所組成的集合就是一個(gè)正交矢量集neg2：對(duì)于一個(gè)三維空間的矢量：對(duì)于一個(gè)三維空間的矢量 可以用一個(gè)三維正交矢量集可以用一個(gè)三維正交矢量集分量的線性組合表示，即分量的線性組合表示，即9vx=(2,0,0),vy=(0,2,0),vz=(0,0,2)A=(

8、2,5,8)vx,vy,vzA=vx+2.5vy+4vz9n矢量空間正交分解的概念可推廣到信號(hào)空間：矢量空間正交分解的概念可推廣到信號(hào)空間：在信號(hào)空間找到若干個(gè)在信號(hào)空間找到若干個(gè)相互正交的信號(hào)相互正交的信號(hào)作為作為基本信號(hào)，使得信號(hào)空間中任意信號(hào)均可表基本信號(hào)，使得信號(hào)空間中任意信號(hào)均可表示成它們的線性組合示成它們的線性組合1010二、信號(hào)正交與正交函數(shù)集二、信號(hào)正交與正交函數(shù)集n若兩個(gè)函數(shù)若兩個(gè)函數(shù)g1(t)、g2(t)在區(qū)間在區(qū)間(t1, t2)內(nèi)滿足內(nèi)滿足則說(shuō)這兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間則說(shuō)這兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間(t1,t2)正交，或它們是區(qū)間正交，或它們是區(qū)間(t1,t2)上的正交函數(shù)上的正交函數(shù)=2

9、1212 , 1)(0)()(221ttiittikdttgdttgtg(1-1)1111n若函數(shù)集若函數(shù)集gi(t)在區(qū)間在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)且函數(shù)內(nèi)且函數(shù)g1(t),gn(t)滿足滿足=2121, 2 , 1,0)()(, 2 , 1)(2ttjittiinjjidttgtgnikdttg (1-2) 則這個(gè)函數(shù)集就是正交函數(shù)集，當(dāng)ki=1時(shí)為歸一化正交函數(shù)集。 1212n完備是指對(duì)于一個(gè)在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)的正交函數(shù)集中的所有函數(shù)，不可能另外再得到一個(gè)非零的函數(shù)在同一區(qū)間內(nèi)和它們正交。即不存在這樣一個(gè)函數(shù)x(t)，使之能滿足, 2 , 1, 0)()(21=idttgtxtti如果x

10、(t)在這個(gè)區(qū)間能與它們正交，則x(t)本身必屬于這個(gè)正交函數(shù)集。若不包括x(t)，那么這個(gè)正交函數(shù)集也就不完備。 1313neg：三角函數(shù)集：三角函數(shù)集和虛指數(shù)函數(shù)集和虛指數(shù)函數(shù)集是兩組典型的在區(qū)間是兩組典型的在區(qū)間上的完備正交函數(shù)集上的完備正交函數(shù)集14(t0,t0+T)(T= 2p/w)1,cos(nwt),sin(nwt),n=1,2,.ejnwt,n= 0,1,2,.14包含正、余弦函數(shù)的三角函數(shù)集是最重要的完備包含正、余弦函數(shù)的三角函數(shù)集是最重要的完備正交函數(shù)集。它具有以下優(yōu)點(diǎn)：正交函數(shù)集。它具有以下優(yōu)點(diǎn)：n三角函數(shù)是基本函數(shù)；三角函數(shù)是基本函數(shù)； n用三角函數(shù)表示信號(hào)，建立了時(shí)間

11、與頻率兩個(gè)用三角函數(shù)表示信號(hào)，建立了時(shí)間與頻率兩個(gè)基本物理量之間的聯(lián)系；基本物理量之間的聯(lián)系； n單頻三角函數(shù)是簡(jiǎn)諧信號(hào)，簡(jiǎn)諧信號(hào)容易產(chǎn)生、單頻三角函數(shù)是簡(jiǎn)諧信號(hào)，簡(jiǎn)諧信號(hào)容易產(chǎn)生、傳輸、處理；傳輸、處理； n三角函數(shù)信號(hào)通過(guò)線性時(shí)不變系統(tǒng)后，仍為同三角函數(shù)信號(hào)通過(guò)線性時(shí)不變系統(tǒng)后，仍為同頻三角函數(shù)信號(hào)，僅幅度和相位有變化，計(jì)算更頻三角函數(shù)信號(hào)，僅幅度和相位有變化，計(jì)算更方便。方便。 1515n由于三角函數(shù)的上述優(yōu)點(diǎn)，周期信號(hào)通常被表由于三角函數(shù)的上述優(yōu)點(diǎn)，周期信號(hào)通常被表示（分解）為無(wú)窮多個(gè)正弦信號(hào)之和。利用歐示（分解）為無(wú)窮多個(gè)正弦信號(hào)之和。利用歐拉公式還可以將三角函數(shù)表示為復(fù)指數(shù)函數(shù)，拉

12、公式還可以將三角函數(shù)表示為復(fù)指數(shù)函數(shù)， 因此周期函數(shù)還可以展開成無(wú)窮多個(gè)復(fù)指數(shù)函因此周期函數(shù)還可以展開成無(wú)窮多個(gè)復(fù)指數(shù)函數(shù)之和，其優(yōu)點(diǎn)與三角函數(shù)級(jí)數(shù)相同。用這兩數(shù)之和，其優(yōu)點(diǎn)與三角函數(shù)級(jí)數(shù)相同。用這兩種基本函數(shù)表示的級(jí)數(shù)，分別稱為三角形式傅種基本函數(shù)表示的級(jí)數(shù)，分別稱為三角形式傅里葉級(jí)數(shù)和指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)。它們是傅里里葉級(jí)數(shù)和指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)。它們是傅里葉級(jí)數(shù)中兩種不同的表達(dá)形式，也簡(jiǎn)稱傅氏級(jí)葉級(jí)數(shù)中兩種不同的表達(dá)形式，也簡(jiǎn)稱傅氏級(jí)數(shù)，其英文縮寫為數(shù)，其英文縮寫為FS。本節(jié)利用傅氏級(jí)數(shù)表示。本節(jié)利用傅氏級(jí)數(shù)表示信號(hào)的方法，研究周期信號(hào)的頻域特性，建立信號(hào)的方法，研究周期信號(hào)的頻域特性，建立

13、信號(hào)頻譜的概念。信號(hào)頻譜的概念。 16163.1.1 三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)n1、定義、定義滿足狄里赫利條件的周期信號(hào)滿足狄里赫利條件的周期信號(hào)fT(t)，可以展開可以展開成三角函數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)。成三角函數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)。設(shè)設(shè)fT (t)周期為周期為T，角頻率角頻率w0=2pTfT(t)=a0+(bncosnw0t+cnsinnw0t)n=1展開式為：(3.1.1)173.1 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)17n系數(shù)公式為系數(shù)公式為a0=1TfT(t)t0t0+Tdtbn=2TfT(t)t0t0+Tcosnw0tdt,(n=1,2,3,)cn=2TfT(t)t0t0+Tsin

14、nw0tdt,(n=1,2,3)其中n1、2、3、。，t0為任意實(shí)數(shù)18bn是是n的偶函數(shù)，的偶函數(shù)，cn是是n的奇函數(shù)的奇函數(shù)18n也可以寫成另外一種形式：也可以寫成另外一種形式：fT(t)=A0+Ancos(nw0t+jn)n=1A0=a0,An=bn2+cn2,(n=1,2,3)jn=arctan(-cnbn)(3.1.2)19An是是n的偶函數(shù)，的偶函數(shù)， 是是n的奇函數(shù)的奇函數(shù)jn19n將（將（3.1.1）和（）和（3.1.2）展開為）展開為fT(t)=a0+(b1cosw0t+c1sinw0t)+(b2cos2w0t+c2sin2w0t)+(b3cos3w0t+c3sin3w0t)

15、+fT(t)=A0+A1cos(w0t+j1)+A2cos(2w0t+j2)+A3cos(3w0t+j3)+2020n2、三角函數(shù)形式的FS的物理意義 三角函數(shù)形式FS對(duì)周期信號(hào)fT(t) :周期為T，角頻率 進(jìn)行頻譜分析。 將fT(t)分解成:Tpw20=2121直流分量 、基波分量 或和各次諧波分量 或的離散和 00Aa =)sincos(0101tctbww+)cos(101jw+tA(bncosnw0t+cnsinnw0t)Ancos(nw0t+jn),n 22222n注注 狄里赫利（狄里赫利（Dirichlet）條件是：）條件是：n（1）在一周期內(nèi)，如果有間斷點(diǎn)存在，則間）在一周期內(nèi)

16、，如果有間斷點(diǎn)存在，則間斷點(diǎn)的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)；斷點(diǎn)的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)；n（2）在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)）在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)；是有限個(gè)；n（3）在一周期內(nèi)，信號(hào)滿足絕對(duì)可積。）在一周期內(nèi)，信號(hào)滿足絕對(duì)可積。2323n例3.1.1：試求下圖所示信號(hào)：試求下圖所示信號(hào)f(t)的的FS信號(hào)信號(hào)f(t)的周期的周期T4，角頻率，角頻率24w0=2pT=p2,t= 22425a0=1Tf(t)-T2T2dt=1T1-t2t2dt=tT=12bk=2Tf(t)-T2T2coskw0tdt=2Tcoskw0t-t2t2dt=-t2t22Tsinkw0tkw0|=2Tsin(kw

17、0t2)-sin(-kw0t2)kw0=2T2sin(kw0t2)kw0=2tTsin(kw0t2)kw0t2=2tTSa(kw0t2)=Sa(kp2)ck=2Tf(t)-T2T2sinkw0tdt= 025n得到周期信號(hào)的三角函數(shù)形式得到周期信號(hào)的三角函數(shù)形式FS展開式為：展開式為：26f(t)=tT+2tTk=1Sa(kw0t2)coskw0t=12+Sa(kp2)coskp2tk=1263.1.2 指數(shù)函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)指數(shù)函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)n三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，含義明確，但運(yùn)算三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，含義明確，但運(yùn)算不方便，因而常采用指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)不方便，因而常采用指數(shù)形式的

18、傅里葉級(jí)數(shù)n可從三角形式推出指數(shù)形式可從三角形式推出指數(shù)形式27cosx=ejx+e-jx22728f(t)=A0+Ancos(nw0t+jn)n=1=A0+An2ej(nw0t+jn)+e-j(nw0t+jn)n=1=A0+12Anej(nw0t+jn)+12Ann=1e-j(nw0t+jn)n=1上式中第三項(xiàng)的n用-n代換A-n=An,j-n=-jnf(t)=A0+12Anejnw0tejjn+12Ann=-1-n=1ejnw0tejjn28n令令所以所以令復(fù)數(shù)令復(fù)數(shù)29A0=A0ejj0ej0w0t,j0= 0f(t)=12Ann=-ejjnejnw0t (3.1.3)12Anejjn=

19、Fnejjn=Fn2930Fn=12Anejjn=12(Ancosjn+jAnsinjn)=12(bn-jcn)=1Tf(t)cos(nwx0 x0+T0t)dt-j1Tf(t)sin(nwx0 x0+T0t)dt=1Tf(t)e-jnw0tx0 x0+Tdtf(t)=Fnejnw0tn=-(n= 0,1,2.) (3.1.3) (3.1.4)30nFn還可以表示成模和幅角的形式njnneFFj= (3.1.5) 三角函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式中An是第n次諧波分量的振幅， 但在指數(shù)形式中，F(xiàn)n要與相對(duì)應(yīng)的第-n項(xiàng)F-n合并，構(gòu)成第n次諧波分量的振幅和相位。 3131n將（將（3.1.3）展開）展開fT(t

20、)=+F-2e-j2w0t+F-1e-jw0t+F0+F1ejw0t+a2ej2w0t+=Fnejjnejw0tn=-=Fnej(jn+nw0t)n=-3232指數(shù)函數(shù)形式FS對(duì)周期信號(hào)fT(t)進(jìn)行頻譜分析周期T，角頻率 將fT(t)展開成直流分量 、基波分量和各次諧波分量的離散和。Tpw20= 0aF-1e-jw0t+F1ejw0tFnejnw0t,n 2指數(shù)函數(shù)形式指數(shù)函數(shù)形式FS的物理意義的物理意義3333或?qū)⒅芷谛盘?hào)fT(t)展開成形式為 的無(wú)時(shí)限指數(shù)信號(hào)的離散和。各分量的復(fù)振幅為模為初相為ejnw0tFn=|Fn|ejjn|Fn|jn3434n指數(shù)形式與三角形式系數(shù)之間的關(guān)系為指數(shù)

21、形式與三角形式系數(shù)之間的關(guān)系為F0=a0=A0Fn=Fnejjn=12(bn+jcn)=12AnejjnF-n=12(bn+jcn)=12Ane-jjnFn=12An=F-njn=-arctancnbnFn+F-n= 2ReFn=bnj(Fn-F-n)=j2ImFn=cn(3.1.6) 3535n從廣義上說(shuō)，信號(hào)的某種特征量隨信號(hào)頻率變化的關(guān)系，稱為信號(hào)的頻譜，所畫出的圖形稱為信號(hào)的頻譜圖n周期信號(hào)的頻譜是指周期信號(hào)中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系 3.1.3周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜36361、單邊頻譜n若周期信號(hào)fT(t)的傅里葉展開式為三角函數(shù)形式：稱：A0，Ak與(k0)的關(guān)系為

22、fT(t)的振幅頻譜； k與(k0)的關(guān)系為fT (t)的相位頻譜。fT(t)=A0+Akcos(kw0t+jk)k=13737nAw005w010w0wtp2tp4n w005w010wp2-0w （a）單邊幅度頻譜 （b）單邊相位頻譜圖3.1-1 周期信號(hào)的單邊頻譜38382、雙邊頻譜n若周期信號(hào)fT(t)的傅里葉展開式為指數(shù)函數(shù)形式：稱：稱： 與(k0)的關(guān)系為fT(t)的振幅頻譜； 與(k0)的關(guān)系為fT (t)的相位頻譜fT(t)=Fkejkwotk=-=Fkej(kwot+jk)k=-Fkjk3939005w010w05w-010w-0w（a）雙邊振幅頻譜wtp2tp4tp4-tp

23、2-4040nqw005w010wp2-p20w05w-010w-（b）雙邊相位頻譜圖3.1-2 周期信號(hào)的雙邊頻譜4141n4、周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)、周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)n（1 1）離散性）離散性: :頻譜由不連續(xù)的譜線組成，每頻譜由不連續(xù)的譜線組成，每一條譜線代表一個(gè)正弦分量一條譜線代表一個(gè)正弦分量, ,譜線僅在0、0、 20、基波的倍頻（離散的）頻率點(diǎn)上出現(xiàn)出現(xiàn)。 n（2 2）諧波性：頻譜的每條譜線都只能出現(xiàn)在）諧波性：頻譜的每條譜線都只能出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍的頻率上基波頻率的整數(shù)倍的頻率上n（3 3）收斂性：幅頻特性的變化趨勢(shì)是隨著諧）收斂性：幅頻特性的變化趨勢(shì)是隨著諧波次數(shù)的增大而逐漸

24、減?。划?dāng)諧波次數(shù)無(wú)限增波次數(shù)的增大而逐漸減??；當(dāng)諧波次數(shù)無(wú)限增大時(shí)，諧波分量的振幅也就無(wú)限趨小大時(shí)，諧波分量的振幅也就無(wú)限趨小4242n例3.1.1 已知周期信號(hào)已知周期信號(hào)f f( (t t) )如下，畫出其如下，畫出其頻譜圖頻譜圖。tttttf00003sin21sin2)452cos(cos21)(wwpww+-+=解 將f(t)整理為標(biāo)準(zhǔn)形式 f(t)=1+2cos(w0t-p4)+cos(2w0t+5p4-p)+12cos(3w0t-p2)=1+2cos(w0t-p4)+cos(2w0t+p4)+12cos(3w0t-p2)振幅譜與相位譜如圖所示。 4343圖3.1-2 例3.1.1

25、頻譜圖 (a) 振幅圖； (b) 相位圖 0211cnw0w0w0wjnww0w0w0442(a)(b)2104444例例3.1.2 周期信號(hào)周期信號(hào) 試求該周期信號(hào)的基波周期試求該周期信號(hào)的基波周期T，基波角頻率，基波角頻率，畫，畫出它的單邊頻譜圖出它的單邊頻譜圖f(t)=1-12cosp4t-2p3+14sinp3t-p6解解 首先應(yīng)用三角公式改寫首先應(yīng)用三角公式改寫f(t)的表達(dá)式，即的表達(dá)式，即f(t)=1+12cosp4t-2p3+p+14cosp3t-p6-p2顯然顯然1是該信號(hào)的直流分量。是該信號(hào)的直流分量。+34cos21ppt的周期的周期T1 = 8-323cos41pp的周

26、期的周期T2 = 6所以所以f(t)的周期的周期T = 24，基波角頻率，基波角頻率=2/T = /124545+34cos21ppt是是f(t)的的/4/12 =3次諧波分量；次諧波分量； -323cos41pp是是f(t)的的/3/12 =4次諧波分量；次諧波分量；畫出畫出f(t)的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如圖的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如圖464647典型周期信號(hào)的頻譜典型周期信號(hào)的頻譜周期矩形脈沖信號(hào)F（t）2t2t-TtT：脈沖周期t：脈沖寬度A：脈沖幅度第一步：首先展開為三角形式的傅立葉級(jí)數(shù)Cn=0Af(t)是偶函數(shù)TT=2pw0周期:0a=1Tf(t)dt=1T-T2T2Adt

27、=AtT-t2t24748nb=2Tf(t)-T2T2cosnw0tdt=2AT1nw0sinnw0t|-t2t2=2ATT2pn2sinn2pTt2=2AnpsinnptT=2AtTsinnptTnptT=2AtTSa(nptT)f(t)=AtT+2AtTSa(nptTn=1)cos(nw0t)=AtT+2AtTSa(nw0t2n=1)cos(nw0t)4849第二步：展成指數(shù)形式付里葉級(jí)數(shù)FSFn=1T-jnw0tAe-t2t2dt=AtTSa(nw0t2)f(t)=AtTSa(nw0t2n=-)jnw0tef(t)=Sa(t)=sintt4950當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)第三步：頻譜分析第三步：頻譜分析

28、)(2)2(2022TnSaTAnSaTAabaAnnnnptttwt=+=An與與之比值有關(guān)，取之比值有關(guān)，取 Tt)()2(0TnSaTAnSaTAFnptttwt=51=TtAncn與與包絡(luò)線均為包絡(luò)線均為)2(0twnSa0wn為離散頻率為離散頻率ppptwnn+=,.2,200)2(0=twnSa即即tptptpwm2,.4,20+=n0)2(0=twnSa5051計(jì)算第一個(gè)振幅為零的諧波次數(shù)計(jì)算第一個(gè)振幅為零的諧波次數(shù)n n)51(5222200=TTnTnTnttpptpwptw取即帶入得將令0wTAt2tp2tp402w03w04w05wAnw幅度頻譜圖幅度頻譜圖p2p4pp3

29、1tttSasin)(=抽樣函數(shù)p-p2-p3-p4-5152=-abtgnnn1j0 an00anp)2(220twtjnSaTACeAAnjNnn=-=jn0)2(0twnSa0)2(0twnSa0Cn0Cn0即即p稱復(fù)數(shù)頻譜eFnjnnAj-=210w05wjnp相位頻譜圖相位頻譜圖06w010w520wtp2tp402w03w04w05wwAcnn21=TAttp2-tp4- 此例中此例中 為一實(shí)數(shù)。幅度頻譜與相為一實(shí)數(shù)。幅度頻譜與相位頻譜可以合畫在一張圖上。位頻譜可以合畫在一張圖上。)2(wttnSaTAFn=010w535354第四步：分析周期T及脈沖寬度 對(duì)頻譜的影響t (1)

30、t一定，T增大：頻譜圖是離散的，譜線間隔0= 2/T 。特別的，隨著周期T的增加，離散譜線間隔0減小，頻譜變密，幅度減小。若T，00， |Fn|0，離散譜將變?yōu)檫B續(xù)譜（2）T一定，t變小，此時(shí)w0（譜線間隔）不變。兩零點(diǎn)之間的譜線數(shù)目：w1/w0=（2p/t）/(2p/T)=T/t增多。5455(3) 直流、基波及各次諧波分量的大小正比于脈沖幅度E及脈沖寬度，反比于周期T。各諧波幅度隨Sa n0/2 的包絡(luò)變化，= 2n/ 為零點(diǎn)（n=1， 2， ）。若0，第一個(gè)零點(diǎn)= 2/ 。 5556(4)(4)頻譜圖中有無(wú)窮多根譜線，但主要能量集中頻譜圖中有無(wú)窮多根譜線，但主要能量集中在第一個(gè)零點(diǎn)在第一

31、個(gè)零點(diǎn)= 2/ 之間。實(shí)際應(yīng)用時(shí)，通常之間。實(shí)際應(yīng)用時(shí)，通常把把0 2/ 的頻率范圍定義為矩形信號(hào)的頻帶寬度，的頻率范圍定義為矩形信號(hào)的頻帶寬度，記為記為B B，于是，于是=ttp12fwBBBw的單位是弧度/秒， Bf的單位是赫茲（Hz）。 563.1.4 周期信號(hào)的有效頻帶寬度周期信號(hào)的有效頻帶寬度n 帶寬：信號(hào)功率最集中的正頻率范圍，是信號(hào)頻率特性中的重要指標(biāo)n 信號(hào)丟失有效帶寬以外的諧波成分，不會(huì)對(duì)信號(hào)產(chǎn)生明顯影響n 周期矩形脈沖信號(hào)：有效帶寬為0n 任意周期信號(hào)：有效帶寬為占信號(hào)總功率90%的各諧波分量所占的頻帶寬帶2pt57573.2 傅里葉變換傅里葉變換FTn3.3.2 2.1

32、.1 從傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換從傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換n3.3.2 2.2 .2 傅里葉變換的定義傅里葉變換的定義n3.3.2 2.3 .3 傅里葉變換存在的條件傅里葉變換存在的條件n3.3.2 2. .4 4 典型信號(hào)的傅里葉變換典型信號(hào)的傅里葉變換n3.3.2 2. .5 5 傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換的基本性質(zhì)5858n非周期信號(hào)非周期信號(hào)f(t)可看成是周期可看成是周期T時(shí)的周期時(shí)的周期信號(hào)。前已指出當(dāng)周期信號(hào)。前已指出當(dāng)周期T趨近于無(wú)窮大時(shí)，趨近于無(wú)窮大時(shí)，譜線間隔譜線間隔趨近于無(wú)窮小，從而信號(hào)的頻譜趨近于無(wú)窮小，從而信號(hào)的頻譜變?yōu)檫B續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于變?yōu)檫B續(xù)頻譜。

33、各頻率分量的幅度也趨近于無(wú)窮小，不過(guò)，這些無(wú)窮小量之間仍有差別。無(wú)窮小，不過(guò)，這些無(wú)窮小量之間仍有差別。 5959n設(shè)信號(hào)設(shè)信號(hào)fT(t)周期為周期為T，角頻率角頻率 ,可以可以展開成指數(shù)形式展開成指數(shù)形式w0=2pTfT(t)=Fkejkwotk=-t0=-T2,Fk=1TfT(t)e-jkw0tdt-T2T23.2.1 從傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換從傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換6060n將其改寫為：將其改寫為：Fk1T=fT(t)e-jkw0tdt-T2T2fT(t)=Fk1Tk=-ejkw0t1T6161n當(dāng)信號(hào)fT（t）的周期T增大時(shí)，角頻率 減小，頻譜圖的譜線變密,于是當(dāng)周期w0=2ptT62

34、tlim(Fk1T)=tlimfT(t)e-jkw0t-T2T2dt=f(t)-e-jw0tdtf(t)e-jw0tdt=F(w)-（3.2.1）令62tlimfT(t)=f(t)=tlim(Fk1T-ejkw0t1T)=TlimFk1T-ejwtdf(df=dw2p)-=wwwdeFtftj)()(（3.2.2）63kw0wf=1Tdf對(duì)離散k求和變成積分得到-=)()(wwFdtetftj（3.2.1）對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)給出的一對(duì)變換式，稱為傅里葉變換（FT），非周期信號(hào)可看成是 時(shí)的周期信號(hào)T63 非周期信號(hào)和周期信號(hào)一樣，也可以分解成許多不同頻率的正、余弦分量。 不同的是，由于非周期信號(hào)的

35、 于是它包含了從零到無(wú)限高的所有頻率分量。 同時(shí)，三角函數(shù)振幅 ，故用頻譜不能直接畫出，必須用它的密度函數(shù)作出。0)(pwwdF討論：討論：, 0,0wT64643.2.2 FT的定義的定義65)()()()(21)(| )(|)()()(1)(wwwpwwwwwwFtftfdeFFeFFdtetftftjFjtj=-記為：反變換正變換FF6566n說(shuō)明說(shuō)明 (1)(1)前面推導(dǎo)并未遵循嚴(yán)格的數(shù)學(xué)步驟。前面推導(dǎo)并未遵循嚴(yán)格的數(shù)學(xué)步驟?？勺C明，函數(shù)可證明，函數(shù)f(t)的傅里葉變換存在的的傅里葉變換存在的充分充分條件條件: :-ttfd)(2)用下列關(guān)系還可方便計(jì)算一些積分-=dttfF)()0(

36、-=wwpd)(21)0(jFf66nFT的物理意義:nFT對(duì)信號(hào)f(t)進(jìn)行頻譜分析。將信號(hào)f(t)分解成形式為 的無(wú)時(shí)限指數(shù)信號(hào)的連續(xù)和tjewwwpwdeFtftj-=)(21)(dfeFtjww-=)(6767f(t)各 分量的復(fù)振幅 為無(wú)窮小，相對(duì)復(fù)振幅(每赫) 是稱 為信號(hào)f(t)的頻譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱頻譜。tjewF(w)df-=dtetfFtjww)()()(| )(|)(wwwFjeFF=6868信號(hào)f(t)各 分量的模為是無(wú)窮小模的相對(duì)大小(每赫)為各 分量的初相為 。 分別稱為信號(hào)f(t)的幅頻特性和相頻特性。tjewdfF| )(|w| )(|wFtjew)(wF)(|

37、)(|wwFF與6969n信號(hào)的時(shí)間函數(shù)f(t)和它的傅氏變換即頻譜F()是同一信號(hào)的兩種不同的表現(xiàn)形式。nf(t)顯示了時(shí)間信息而隱藏了頻率信息；nF()顯示了頻率信息而隱藏了時(shí)間信息。 70703.2.3 典型信號(hào)的傅里葉變換典型信號(hào)的傅里葉變換n1單邊指數(shù)函數(shù)n2雙邊指數(shù)函數(shù)n3符號(hào)函數(shù)n4. 門函數(shù)n5單位沖擊函數(shù)n6單位階躍函數(shù)n7. 直流信號(hào)n8 .沖擊偶函數(shù)71711、單邊指數(shù)函數(shù)、單邊指數(shù)函數(shù))(01,0|)()()()()(0)(0)(0+-=+-+-時(shí)，積分不存在當(dāng)積分為時(shí)當(dāng)wwwwwwwjjedtedteedtetueFtuetftjtjtjttjtt（1）單邊因果指數(shù)信

38、號(hào)7272n即：即：n其振幅頻譜和相位頻譜分別為：其振幅頻譜和相位頻譜分別為：wwjwwwarctan)()(1)(22-=+=FF0,1)(+-wjtuet7373（a）單邊指數(shù)函數(shù) )(j wFAw)(wj02p2p-（b）單邊指數(shù)函數(shù)的頻譜圖3.2-1 單邊指數(shù)函數(shù)及其頻譜A)(tf0t)(tAet-=7474（2） 單邊非因果指數(shù)函數(shù)單邊非因果指數(shù)函數(shù)f(t)=etu(-t) 0F(w)=-etu(-t)e-jwtdt=-0e(-jw)tdt=e(-jw)t-jw|-0=1-jw=12+w2ejarctanw7575即 F(w)=1-jwF(jw) =12+w2j(w)=arctanw

39、 單邊非因果指數(shù)函數(shù)的波形f(t)、 振幅譜|F()|、 相位譜()如圖3.2-2所示。 7676圖 3.2-2 eatu(-t)波形及其振幅、 相位譜f (t)eatu( t)0 t0waa1)(wFa2122wj(w)07777 f(t)=e-a|t| -t0n可寫成可寫成 f(t)=eatu(-t)+e-at u(t)利用以上單邊指數(shù)函數(shù)的變換結(jié)果我們有利用以上單邊指數(shù)函數(shù)的變換結(jié)果我們有 F(w)=1a-jw+1a+jw=2aa2+w2F(w)=2aa2+w2=F(w)j(w)=0即 雙邊指數(shù)函數(shù)的波形f(t)、頻譜F()如圖3.2-3所示。 2.雙邊指數(shù)函數(shù)雙邊指數(shù)函數(shù)7878圖 3

40、.2-3 雙邊指數(shù)函數(shù)的波形、 頻譜00f (t)e atu(t)eatu( t)a1a2awt)()(wwFF7979f(t)=u(t+p2)-u(t-p2)=gt(t)F(w)=gt(t)e-jwt-dt=e-jwt-t/2t/2dt=e-jwt2-ejwt2-jw=2wsinwt2 =tsin(wt/2)wt/2=tSawt23.門函數(shù)8080n 門函數(shù)的頻譜函數(shù)、門函數(shù)的頻譜函數(shù)、 振幅譜、振幅譜、 相位譜為相位譜為F(w)=tSawt2F(w) =t Sawt2j(w)=0p4nptw2(2n+1)pt2(2n+1)ptw4(n+1)pt (3.2.6) 8181門函數(shù)的波形f(t)

41、、振幅譜|F()|、相位譜()如圖3.2-4所示。 圖 3.2-4 g(t)的波形及振幅、 相位譜001)(wFwt4t2t2t42t2tf (t)t0w ppj(w)t4t2t4t28282830tt2t4t2t4F(w)w由于F()是實(shí)函數(shù)，其相位譜只有0、兩種情況，反映在F()上是正、負(fù)的變化,因此其振幅、 相位譜如圖3.2-5所示,可由F()來(lái)表示。 圖 3.2-5 g(t)的頻譜函數(shù) 83n由上式可知，時(shí)域沖激函數(shù)(t)頻譜的所有頻率分量均勻分布（為常數(shù)1），這樣的頻譜也稱白色譜。沖激函數(shù)(t)、頻譜函數(shù)如圖3.2-6所示。Fd(t)=d(t)e-jwtdt-=e-jwt|t=0=1

42、4、單位沖激函數(shù)84840)(td)1(t0w1(j w)F （a）單位沖激函數(shù) （b）單位沖激函數(shù)的頻譜圖3.2-6 單位沖激函數(shù)及其頻譜85855、直流信號(hào)、直流信號(hào)n直流信號(hào)的直流信號(hào)的FT能否用能否用FT定義式來(lái)求解？定義式來(lái)求解？86f(t)=1F(w)=f(t)e-jwtdt-=e-jwtdt-有一些函數(shù)不滿足絕對(duì)可積這一充分條件，如有一些函數(shù)不滿足絕對(duì)可積這一充分條件，如1， (t) 等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求解。等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求解。 可構(gòu)造一函數(shù)序列可構(gòu)造一函數(shù)序列fn(t)逼近逼近f (t) ，即，即)(lim)(tftfnn=868

43、7n而而fn(t)滿足絕對(duì)可積條件，并且滿足絕對(duì)可積條件，并且 fn(t) 的傅里的傅里葉變換所形成的序列葉變換所形成的序列 Fn(w) 是極限收斂的。是極限收斂的。則可定義則可定義f(t)的傅里葉變換的傅里葉變換F (w)為為)(lim)(wwnnFF=這樣定義的傅里葉變換也稱為這樣定義的傅里葉變換也稱為廣義傅里葉變換廣義傅里葉變換。 87構(gòu)造構(gòu)造 f (t)=e- -t ， 0 F(w)=22+w2)(lim1)(0tftf=所以所以=+=0,0, 02lim)(lim)(2200wwwwwFF又又lim022+w2dw-= lim021+w2dw-= lim02arctanw-= 2p因

44、此，因此， 1212pdpd( (w w) )8888n 頻域沖激頻域沖激()的原函數(shù)亦可由定義直接得到的原函數(shù)亦可由定義直接得到pwwdpw21)(21)(=-detftj由式(3.3-19)可知頻域沖激()的反變換是常數(shù)（直流分量）。 )(21)(21wpdwdp頻域沖激函數(shù)()、 原函數(shù)如圖3.2-8所示。8989圖 3.2-7 頻域沖激函數(shù)()及其原函數(shù)90900011)()(sgn-=+-=tttutut顯然，這個(gè)函數(shù)不滿足絕對(duì)可積條件，不能直接來(lái)求。我們可用以下極限形式表示sgnt函數(shù)sgnt= lima0eatsgnt= lima0e-atu(t)-eatu(-t)6.符號(hào)函數(shù)9

45、1F(w)= lima01a+jw-1a-jw=2jw上式是兩個(gè)單邊指數(shù)函數(shù)的組合，利用前面的結(jié)果，上式是兩個(gè)單邊指數(shù)函數(shù)的組合，利用前面的結(jié)果，并取極限可得并取極限可得91F(w) =(2w)2=2wj(w)=arctan-2w0=p/2-p/2w 0w 0符號(hào)函數(shù)的波形f(t)、振幅譜|F()|、相位譜()如圖3.2-9所示。 92|F()|是偶函數(shù)()是奇函數(shù)92圖 3.2-9 符號(hào)函數(shù)的波形f(t)及其振幅、 相位譜0sgnt1 1t00)(wFww22j(w)93937.階躍函數(shù)階躍函數(shù)94wwpdjtt1)()sgn(2121)(+=00)(wFw22j (w)0t1u(t)w圖

46、3.2-8 階躍函數(shù)的波形以及振幅、相位譜948、沖擊偶函數(shù)、沖擊偶函數(shù)95wddwwjttttttjtj=-=-0eddde)( )( nttjnnntjnnjtttt)(edd) 1(de)()(0)()(wddww=-=-95歸納記憶：1. F 變換對(duì)變換對(duì)2. 常用函數(shù)常用函數(shù) F 變換對(duì)：變換對(duì)：t域域域域-=tetfjFtjd)()(ww-=tejFtftjd)(21)(wwp(t)(t) wwdpj1)(+e - - t (t) w+j1g(t) 2twtSasgn (t) wj2e |t|222w+ 1 12()96963.2.5 傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換的基本性質(zhì)n1、

47、 線性性線性性n2、 時(shí)移特性時(shí)移特性n3、 頻移特性頻移特性n4、 尺度變換尺度變換n5、 對(duì)稱性對(duì)稱性n6、 卷積定理卷積定理n7、 時(shí)域微分和時(shí)域積分時(shí)域微分和時(shí)域積分n8、 頻域微分頻域微分n9、周期信號(hào)的傅里葉變換、周期信號(hào)的傅里葉變換n10、實(shí)虛奇偶性、實(shí)虛奇偶性n11、能量定理、能量定理97971、線性、線性(Linear Property)If f1(t) F1()， f2(t) F2()thenProof: F a f1(t) + b f2(t)-+=ttbftaftjde)()(21w-+=ttfttftjtjde)(bde)(a21ww= a F1() + b F2()

48、a f1(t) + b f2(t) a F1() + b F2() 說(shuō)明：相加信號(hào)的頻譜等于各個(gè)單獨(dú)信號(hào)的頻譜之和。9898例例1 F() = ?0f ( t )t1-11Ans: f (t) = f1(t) g2(t)f1(t) = 1 2()g2(t) 2Sa() F(j) = 2() - - 2Sa()0f 1( t )t10g2 ( t )t1-11- -99992、時(shí)移性質(zhì)、時(shí)移性質(zhì)(Timeshifting Property)If f (t) F() thenwhere “t0” is real constant.f(t-t0)e-jwt0F(w)Proof: F f (t t0

49、) -=tttftjde)(0w-=-=00ede)(tjjttfwtwttt)(e0wwFtj-=相對(duì)應(yīng)。延時(shí)和在頻域中的移相說(shuō)明：信號(hào)在時(shí)域中的100100例例2 F() = ?Ans: f1(t) = g6(t - 5) , f2(t) = g2(t - 5) g6(t - 5) g2(t - 5) F() =ww5e)3Sa(6j-ww5e)Sa(2j-www5e)Sa(2)3Sa(6j-+0f ( t )t2-1214680f1 ( t )t221468+0f2 ( t )t2214681011014、頻移性質(zhì)、頻移性質(zhì)(Frequency Shifting Property)If

50、f (t) F() thenProof:where “0” is real constant.F f(t)e j0t =f(t)ejw0te-jwtdt-=f(t)e-j(w-w0)tdt-= F (- -0) endf(t)ejw0tF(w-w0)完成。變頻等過(guò)程在此基礎(chǔ)上如調(diào)幅、同步解調(diào)、系統(tǒng)中得到廣泛應(yīng)用，頻譜搬移技術(shù)，在通信。頻譜延頻率軸右移等效于在頻域中將整個(gè)中乘以說(shuō)明：一個(gè)信號(hào)在時(shí)域0,0wwtje102102例例4f(t) = cos0t F() = ?Ans:tjtjtf00e21e21)(ww-+=F() = (+0)+ (- -0)例例3f(t) = ej3t F() =

51、?Ans: 1 2() ej3t 1 2(- -3)103103n推論：調(diào)制定理推論：調(diào)制定理f(t)F(w)104ifthen)()(2sin)()()(21cos)(000000wwwwwwwwww-+-+FFjttfFFttf相移；相移，右移產(chǎn)生且左移產(chǎn)生，幅度減半，左右移動(dòng)，頻譜時(shí)域乘以連續(xù)時(shí)間信號(hào)，且幅度減半左右移動(dòng)，頻譜時(shí)域乘以連續(xù)時(shí)間信號(hào)2-2)(sin)(;)(cos)(0000ppwwwwwwFttfFttf104105f(t)cosw0t=12f(t)ejw0t+12f(t)e-jw0t12F(w-w0)+12F(w+w0)f(t)sinw0t=12jf(t)ejw0t-1

52、2jf(t)e-jw0t12jF(w-w0)-12jF(w+w0)=j2F(w+w0)-j2F(w-w0)105例例6 6 求求f(t)=cos(0t)u(t)的頻譜函數(shù)。的頻譜函數(shù)。 wwpdjtu1)()(+利用調(diào)頻性 cosw0tu(t)p2d(w+w0)+d(w-w0)+12j(w+w0)+12j(w-w0)=p2d(w+w0)+d(w-w0)+jww02-w2解 已知106106n同理可得同理可得 220000)()(2)(sinwwwwwdwwdpw-+-+jttu1071070 AA2t2ttf (t)108，試求其頻譜函數(shù)為矩形脈沖，脈寬為其中已知矩形調(diào)幅信號(hào)例twtt)()c

53、os()()(70tgttAgtf=108n解解 令令f1(t)=Ag(t)， 則則 =2)(1wttwSaAF而 +-=+-=2)(2)(2)()(21)(cos)()(00010101twwtwwtwwwwwwSaSaAFFFttftf如果02/， F1()以及F()如下圖所示。 109109例7 的F1()以及F() 00)2Sa()(1wttwAFAtwt4t2w2tAw0w0F(w)tw20 (a)(b)110110n若若f(t)F()， 則則f(at)1aFwaa0證 4.尺度變換當(dāng)a0時(shí)，令atx，得到=-aFadxexfaatfFxajww1)(1)(t=xa,dt=1adxF

54、 f(at)=-f(at)e-jwtdt111111當(dāng)a0、 a0兩種情況，兩種情況， 尺度變換特性表示為尺度變換特性表示為aFaatfw1)(112112113n特別地當(dāng)特別地當(dāng)a=-1時(shí)，時(shí)， 得到得到f(t)的折疊函數(shù)的折疊函數(shù)f(-t)， 其頻譜亦為原頻譜的折疊，其頻譜亦為原頻譜的折疊， 即即n f(-t) F(-) n尺度特性說(shuō)明，信號(hào)在時(shí)域中壓縮，頻域中尺度特性說(shuō)明，信號(hào)在時(shí)域中壓縮，頻域中就擴(kuò)展；反之，信號(hào)在時(shí)域中擴(kuò)展，在頻域就擴(kuò)展；反之，信號(hào)在時(shí)域中擴(kuò)展，在頻域中就一定壓縮；即信號(hào)的脈寬與頻寬成反比。中就一定壓縮；即信號(hào)的脈寬與頻寬成反比。 113倍。分量大小必然減小能量守恒定

55、理，各頻率倍。根據(jù)倍，也即頻譜展寬增加所以它所含的頻率分量倍，快倍，信號(hào)隨時(shí)間變化加壓縮物理意義：信號(hào)的波形aaaaa1141141t)(tf02t-tw)(wF0tp2tp2-2t（a）t)21(tf0t-1wtt2)2(2wF0tptp-（b）1t)2( tf04t-4t2tw)2(21wF0tp4tp4-（c）圖3-12 尺度變換性質(zhì)的說(shuō)明115115例例8已知已知 f (t)F(), 求求f (at b) ?解答：解答： f (t b)e - -jb F()f (at b) 1|a|e-jwabFwaorf (at) 1|a|Fwaf (at b) =-)(abtaf1|a|e-jwa

56、bFwa1161165 5、對(duì)稱性、對(duì)稱性If f (t) F() thenProof:f(t)=12pF(w)ejwtdw-（1）in (1) t ，t thenf(w)=12pF(t)ejwtdt- （2）in (2) - - thenf(-w)=12pF(t)e-jwtdt- F(t) 2f ()F(t ) 2f ()11711721t)(212tp01-11w)(wSa0pp-（a）門函數(shù)及其頻譜t1)(tSa0pp-p)(2tpp01-1w（b）抽樣函數(shù)及其頻譜 圖3-13118118例例9f(t) = F() = ?11-jtAns:11)(e+-wjtt)(e211wpw-+jt

57、)(e211wpw-+- jt利用對(duì)稱性：利用尺度變換特性：1jt-1-2pe-w(w)119119例例10 F() = ?211)(ttf+=Ans:22| |2ew+-tif =1,2| |12ew+-t|2e212wp-+ t|2e11wp-+t120120121例11 求信號(hào) 的FTSa(w0t)解：gt(t)tSa(wt2)tSa(tt2)2pgt(-w)= 2pgt(w)2w0Sa(w0t)= 2w0sinw0tw0t2pg2w0(w)Sa(w0t)=sinw0tw0tpw0g2w0(w)sinw0tptg2w0(w)利用對(duì)稱性得：令利用FT的線性特性簡(jiǎn)化上式得到：t2=w0121

58、122例12 求下列信號(hào)的FT：1解 已知d(t)112pd(-w)= 2pd(w)1226、卷積性質(zhì)、卷積性質(zhì)Convolution in time domain：If f1(t) F1()， f2(t) F2()Then f1(t)*f2(t) F1()F2()Convolution in frequency domain：If f1(t) F1()， f2(t) F2()Then f1(t) f2(t) F1()*F2()p21123，反之亦然，且乘以時(shí)域相乘對(duì)應(yīng)頻域相卷乘，反之亦然時(shí)域相卷積對(duì)應(yīng)頻域相p21123Proof:-=tttd)()()(*)(2121tfftftf F f1

59、(t)*f2(t) =-=-ttttttwwdde)()(ded)()(2121ttffttfftjtjUsing timeshiftingf2(t-t-)e-jwtdt=F2(w)e-jw tSo that, F f1(t)*f2(t) =f1(t)F2(w)e-jwtdt-=F2(w)f1(t)e-jwtdt-= F1()F2()124124125y2(t)=f1(t)f2(t)Y2(w)=y2(t)-e-jwtdt=f1(t)f2(t)e-jwt-dtf1(t)=12pF1(-w)ejwtdw=12pF1(-q)ejqtdq設(shè)根據(jù)FT反變換式125126Y2(w)=12pF1(-q)ej

60、qtdqf2(-t)e-jwtdt=12pF1(-q)f2(-t)ejqte-jwtdtdqf2(t)ejqtF2(w-q)Y2(w)=12pF1(-q)F2(w-q)dq=12pF1(w)*F2(w)于是根據(jù)FT的頻移特性于是126127)(*)(21)()(2121wwpFFtftf即127sintt2F(w)=?Ans:)Sa(2)(2wtgUsing symmetry,)(2)Sa(22wp-gt)()Sa(2wpgt )(*)(2)(*)(21sin22222wwpwpwppggggtt=例13128128n例例14 試證明試證明1291pt*(-1pt)=d(t)Sgn(t)2jw