1、第十章 電磁感應(yīng)§10-1法拉第電磁感應(yīng)定律一、電磁感應(yīng)現(xiàn)象，感應(yīng)電動勢電磁感應(yīng)現(xiàn)象可通過兩類實驗來說明：1實驗1）磁場不變而線圈運動2）磁場隨時變化線圈不動2感應(yīng)電動勢由上兩個實驗可知：當(dāng)通過一個閉合導(dǎo)體回路的磁通量變化時，不管這種變化的原因如何（如：線圈運動，變；或不變線圈運動），回路中就有電流產(chǎn)生，這種現(xiàn)象就是電磁感應(yīng)現(xiàn)象，回路中電流稱為感應(yīng)電流。3電動勢的數(shù)學(xué)定義式定義：把單位正電荷繞閉合回路一周時非靜電力做的功定義為該回路的電動勢，即 （10-1）說明：（1）由于非靜電力只存在電源內(nèi)部，電源電動勢又可表示為表明：電源電動勢的大小等于把單位正電荷從負(fù)極經(jīng)電源內(nèi)部移到正極時，非

2、靜電力所做的功。（2）閉合回路上處處有非靜電力時，整個回路都是電源，這時電動勢用普遍式表示：（3）電動勢是標(biāo)量，和電勢一樣，將它規(guī)定一個方向，把從負(fù)極經(jīng)電源內(nèi)部到正極的方向規(guī)定為電動勢的方向。二法拉第電磁感應(yīng)定律1、定律表述在一閉合回路上產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢與通過回路所圍面積的磁通量對時間的變化率成正比。數(shù)學(xué)表達(dá)式：在SI制中，（），有 （10-2）上式中“-”號說明方向。2、方向的確定為確定，首先在回路上取一個繞行方向。規(guī)定回路繞行方向與回路所圍面積的正法向滿足右手旋不定關(guān)系。在此基礎(chǔ)上求出通過回路上所圍面積的磁通量，根據(jù)計算。 此外，感應(yīng)電動勢的方向也可用楞次定律來判斷。楞次定律表述：閉合回路

3、感應(yīng)電流形成的磁場關(guān)系抵抗產(chǎn)生電流的磁通量變化。說明：（1）實際上，法拉第電磁感應(yīng)定律中的“-”號是楞次定律的數(shù)學(xué)表述。（2）楞次定律是能量守恒定律的反映。例10-1：設(shè)有矩形回路放在勻強磁場中，如圖所示，邊也可以左右滑動，設(shè)以勻速度向右運動，求回路中感應(yīng)電動勢。解：取回路順時針繞行，,則通過線圈磁通量為由法拉第電磁感應(yīng)定律有：“-”說明：與繞行方向相反，即逆時針方向。由楞次定律也能得知，沿逆時針方向。討論：（1）如果回路為匝，則（為單匝線圈磁通量）（2）設(shè)回路電阻為（視為常數(shù)），感應(yīng)電流在內(nèi)通過回路任一橫截面的電量為可知與（）成正比，與時間間隔無關(guān)。例10-1中，只有一個邊切割磁力線，回路中

4、電動勢即為上述產(chǎn)生的電動勢?？梢娫撨吘褪腔芈冯娫础Ｔ撾娫吹碾妱觿菔侨绾涡纬傻?？或者說產(chǎn)生它的非靜電力是什么？從圖中可知，運動時，其上自由電子受洛侖茲力作用，從而B端有過剩的正電荷，A端有過剩的負(fù)電荷，形成了B端是電源正極，A端為負(fù)極，在洛侖茲力作用下，電子從正極移向負(fù)極，或等效地說正電荷從負(fù)極移向正極。可見，洛侖茲力正是產(chǎn)生動生電動勢的非靜電力。§10-2動生電動勢一、產(chǎn)生動生電動勢的非靜電力產(chǎn)生動生電動勢的非靜電力是洛侖茲力。二動生電動勢公式的導(dǎo)出一個電子受洛侖茲力為 （10-3）它是產(chǎn)生動生電動勢的非靜電力。單位正電荷受洛侖茲力為：（正電荷e受洛侖茲力為-） （10-4）由電動勢

5、定義，則動生電動勢為： 動生電動勢公式 （10-5）說明：（1）的方向為沿在上分量的方向。沿方向，即 （2）用可求出運動回路電動勢。用可求出非閉合回路運動的動生電動勢。這時，相當(dāng)一個開路電源，其端電壓與在數(shù)值上相等，但意義不同：是單位正電荷從移到時靜電力作的功，是單位正電荷從移到時非靜電力（洛侖茲力）作的功。三、動生電動勢計算舉例例10-2：用 j解例1解：整個回路的電動勢即由運動引起的動生電動勢（其他部分段產(chǎn)生的動生電動勢為 (為標(biāo)量，標(biāo)量疊加)可知，（就是中學(xué)中常用的公式。）*如圖所示，長為的細(xì)導(dǎo)體棒在勻強磁場中，繞過處垂直于紙面的軸以角速度勻速轉(zhuǎn)動。求解：方法一：用解（沿方向）段產(chǎn)生的動

6、生電動勢為：已知：與同向。 棒產(chǎn)生的電動勢為 ，即比點電勢高。（上分量方向）方法二：用解設(shè)t=0時，AB位于AB位置，t時刻轉(zhuǎn)到實線位置，取ABBA為繞行方向（ABBA視為回路），則通過此回路所圍面積的磁通量為 ， 沿方向?；芈分兄挥挟a(chǎn)生電動勢段電動勢值為沿方向。注意：例10-4：如圖所示，一無限長載流導(dǎo)線，電流為I，導(dǎo)體細(xì)棒CD與共面，并互相垂直，CD長為,C距為a,CD以勻速度沿方向運動，求CD中解：垂直指向紙面指向方向，即與反向。大小為。CD產(chǎn)生的為 例10-5：如圖所示，平面線圈面積為S ，共N匝，在勻強磁場中繞軸以 速度勻速轉(zhuǎn)動。軸與垂直。t=0時，線圈平面法線與同向。（1） 圈中（

7、2） 線圈電阻為R，求感應(yīng)電流解：（1）設(shè)t時刻，與夾角為，此時線圈磁通量為： 由法拉第電磁感應(yīng)定律知：（2） §10-3 感生電動勢 渦旋電場一、產(chǎn)生感生電動勢的非靜電力導(dǎo)體在磁場中運動時，其內(nèi)的自由電子也跟隨運動，因此受到磁力的作用，我們已經(jīng)知道，洛侖茲力是動生電動勢產(chǎn)生的根源，即是產(chǎn)生動生電動勢的非靜電力。對于磁場隨時間變化而線圈不動的情況，導(dǎo)體中電子不受洛侖茲力作用，但感生電流和感應(yīng)電流的出現(xiàn)都是實際事實。那么感生電動勢對應(yīng)的非靜電力是什么呢？麥克斯韋分析了這種情況以后提出了以下假說：變化的磁場在它周圍空間產(chǎn)生電場，這種電場與導(dǎo)體無關(guān)，即使無導(dǎo)體存在，只要磁場變化，就有這種場

8、存在。該場稱為感生電場或渦旋電場。渦旋電場對電荷的作用力是產(chǎn)生感生電動勢的非靜電力。（渦旋電場已被許多事實所證實，如電子感應(yīng)加速器等。）說明：渦旋電場與靜電場的異同點。相同點：二者對電荷均有作用力。不同點：（1）渦旋電場是變化磁場產(chǎn)生的，電力線是閉合的，為非保守場（。（2）靜電場是由電荷產(chǎn)生的，電力線是閉合的，為保守場（。二、感生電動勢計算公式由電動勢定義知：感生電動勢為： （） （10-6）再根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，可有 = （10-7）說明：法拉第建立的電磁感應(yīng)定律的原始形式 只適用于導(dǎo)體構(gòu)成的閉合回路情形；而麥克斯韋關(guān)于感應(yīng)電場的假設(shè)所建立的電磁感應(yīng)定律 =，則閉合回路是否由導(dǎo)體組成的無

9、關(guān)緊要，閉合回路是在真空中還是在介質(zhì)中都適用。這就是說，只要通過某一閉合回路的磁通量發(fā)生變化，那么感應(yīng)電場沿此閉合回路的環(huán)流總是滿足 =。只不過，對導(dǎo)體回路來說，有電荷定向運動，而形成感應(yīng)電流；而對于非導(dǎo)體回路雖然無感生電流，但感應(yīng)電動勢還是存在的。三、渦旋電場強度及感生電動勢計算例10-6：如圖所示，均勻磁場被局限在半徑為R的圓筒內(nèi)，與筒軸平行， ，求筒內(nèi)外解：根據(jù)磁場分布的對稱性，可知，變化磁場產(chǎn)生的渦旋電場，其閉合的電力線是一系列同心圓周，圓心在圓筒的軸線處。1） 筒內(nèi)P點取過P點電力線為閉合回路，繞行方向取為順時針，可知 = = 即 方向如上圖所示，即電力線與繞向相反（實際上，用楞次定

10、律可方便地直接判出電力線的繞行方向）。2） 筒外Q點取過Q點電力線為回路，繞行方向為順時針。=及 = = 即 方向如上圖所示。注意：（1）在筒外也存在電場。（2）磁通量的計算。（3）方向可用楞次定律判斷。（4）回路無導(dǎo)體時，只要，則例10-7：如圖所示，均勻磁場被限制在半徑為R的圓筒內(nèi)，與筒軸平行，?；芈穉bcda中ad、bc均在半徑方向上，ab，dc均為圓弧，半徑分別為r 、r、已知。求該回路感生電動勢。解：根據(jù)磁場分布的對稱性，可知，變化磁場產(chǎn)生的渦旋電場的電力線示是一系列同心圓，圓心為O.<方法一>用解 取abcda 為繞行方向， =+在bc、da上，垂直于 。=+=+= =

11、 = = 為逆時針方向。<方法二>用 解通過回路的磁通量等于陰影面積磁通量 =BS=B()逆時針方向。討論：在半徑方位上不產(chǎn)生電動勢，強調(diào)：一題多解，并學(xué)會簡單方法。§10-4自感與互感現(xiàn)象一、自感現(xiàn)象1自感現(xiàn)象當(dāng)一回路中有電流時，必然要在自身回路中有磁通量，當(dāng)磁通量變化時，由法拉第電磁感應(yīng)定律可知，在回路中要產(chǎn)生感應(yīng)電動勢。由于回路中電流發(fā)生變化而在本身回路中引起感應(yīng)電動勢的現(xiàn)象稱為自感現(xiàn)象。該電動勢稱為自感電動勢。（實際上，回路中電流不變，而形狀改變，則也引起自感電動勢。）2自感系數(shù)（1）定義：設(shè)通過回路電流為I，由畢沙定律可知，這電流在空間任意一點產(chǎn)生的其大小與I成

12、正比，所以通過回路本身的磁通量與I成正比，即 (10-6)式中：L定義為自感系數(shù)或自感，L與回路的大小、形狀、磁介質(zhì)有關(guān)（當(dāng)回路無鐵磁質(zhì)時，L與I無關(guān)）。在SI單位制中，L單位為亨利，記作H。（2）自感電動勢與L的意義自感電動勢記為，= 當(dāng)回路的形狀、大小、磁介質(zhì)不變時， （10-7）當(dāng)線圈有N匝時， ，為一匝線圈磁通量，即自感系數(shù)擴大N倍，N稱為磁通鏈匝數(shù)。說明：（1）（10-6）、（10-7）式均可看作L的定義式，它們是等效的。（2）L的意義： 由(1)式知，自感系數(shù)L在數(shù)值上等于回路中電流為1個單位時通過回路的磁通量。由(10-7)式知，回路中自感系數(shù)在數(shù)值上等于電流隨時間變化為1個單位

13、時回路中自感電動勢的大小。例10-8：如圖所示，長直螺線管長為，橫截面積為S，共N匝，介質(zhì)磁導(dǎo)率為 （均勻介質(zhì)）。求L=?解：設(shè)線圈電流為I，通過一匝線圈磁通量為通過N匝線圈磁通鏈數(shù)為由有（為螺線管的體積）說明：（1）由于計算中忽略了邊緣效應(yīng)，所以計算值是近似的，實際測量值比它小些。（2）只與線圈大小、形狀、匝數(shù)、磁介質(zhì)有關(guān)。例10-9：如圖所示，同軸電纜半徑分別為a、b,電流從內(nèi)筒端流入，經(jīng)外筒端流出，筒間充滿磁導(dǎo)率為的介質(zhì)，電流為I。求單位長度同軸電纜的解：由安培環(huán)路定律知，筒間距軸r 處大小為： （）取長為h一段電纜來考慮，穿過陰影面積磁通量為（取向里）：=單位長電纜自感系數(shù)為二 、互感

14、現(xiàn)象 1、互感現(xiàn)象假設(shè)有兩個臨近的線圈1、2，如圖所示，它們通過電流分別為I1、I2。I1 產(chǎn)生的磁場，其部分磁力線（實線）通過線圈2，磁通量用21 表示，當(dāng)I1 變化時，在線圈2中要激發(fā)感應(yīng)電動勢,同理，I2 變化時，它產(chǎn)生的磁場通過線圈1的磁通量12 也變化，在回路1中也要激發(fā)感應(yīng)電動勢。如上所述，一個回路的電流發(fā)生變化時，在另外一個回路中激發(fā)感應(yīng)電動勢的現(xiàn)象稱為互感現(xiàn)象，該電動勢稱為互感電動勢。2、互感系數(shù)（1）定義：根據(jù)畢沙定律，I1 在空間任一點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度大小與I1 成正比，所以，I1 產(chǎn)生的磁通量通過線圈2的磁通量21 也與I1 成正比，即同理： 理論和實際都證明M12=M2

15、1=M （10-8）式中：M定義為互感系數(shù)，或互感。M與回路的大小、形狀、磁介質(zhì)及二者相對位置有關(guān)。在SI單位制中，M單位為H。（2）互感電動勢與M意義由法拉第電磁感應(yīng)定律知，當(dāng)回路大小、形狀、磁介質(zhì)、線圈相對位置不變時， (10-9)當(dāng)線圈1、2分別有N1 、N2 匝數(shù)，磁通鏈數(shù)分別為 （是一個線圈磁通量） M意義：由（3）式知：在數(shù)值上等于其中一個線圈通有一個單位電流時在另外一個線圈中通過的磁通量。由（10-9）知：在數(shù)值上等于其中一個線圈中電流變化率為一個單位時在另一個線圈中產(chǎn)生互感電動勢的大小。例10-10：如圖所示，一螺線管長為，橫截面積為S，密繞導(dǎo)線N匝，在其中部再繞匝另一導(dǎo)線線圈

16、。管內(nèi)介質(zhì)的磁導(dǎo)率為，求此二線圈互感解：設(shè)長螺線管導(dǎo)線中電流為，它在中部產(chǎn)生的大小為產(chǎn)生的磁場通過第二個線圈磁通鏈數(shù)為：依互感定義：有 例10-11：如圖所示，兩圓形線圈共面，半徑依次為，匝數(shù)分別為。求互感系數(shù)。解：設(shè)大線圈通有電流 ，在其中心處產(chǎn)生磁場大小為 ，小線圈可視為處于均勻磁場，為O處值記為，通過小線圈的磁通鏈數(shù)為 由有, （用 困難。）§10-5 磁場能量如圖所示，R為電阻，L為自感線圈，為電源電動勢。K為電鍵。K剛關(guān)閉（設(shè)此時t=0）后，由閉合回路的歐姆定律R （ ）上式兩邊同時乘以 ，并對時間積分，有在0-t時間內(nèi) 電源作功反抗自感電動勢作功=電路R上焦耳熱即電源作功

17、一部分用來產(chǎn)生焦耳熱，一部分用來克服自感電動勢做功。我們知道，當(dāng)電路上電流從0I時，電路周圍空間建立起來逐漸增強的磁場，磁場與電場類似，是一種特殊形態(tài)的物質(zhì)，具有能量。所以，電源反抗自感電動勢作的功，必然轉(zhuǎn)變?yōu)榫€圈的磁場能量。所以，磁場能量為 （10-10）此公式與電場能量相類似（），下面以螺線管為例，求出磁場能量密度表達(dá)式。環(huán)行螺線管磁場能量為：式中為螺線管體積，可得磁場能量密度函數(shù)為 （10-11）此式與電場能量密度 相類似。說明：（1）對任意線圈均成立。（2）表達(dá)式普遍成立。（3）任意磁場中，能量可表示為例10-12：用磁場能量方法解例10-9。解：由安培環(huán)路定律知，。除兩筒間外無磁場能

18、量。在筒間距軸線為處，為： 在半徑為處、寬為、高為的薄圓筒內(nèi)的能量為 在筒間能量為： 單位長同軸電纜為：第十一章 電磁場基本理論11-1位移電流 全電流定律法拉第電磁感應(yīng)定律發(fā)現(xiàn)后，麥克斯韋為了解釋感生電動勢的產(chǎn)生，提出了變化的磁場產(chǎn)生電場的假說，麥克斯韋又認(rèn)為電場和磁場具有對稱性，變化的磁場既然能激發(fā)電場，變化的電場也必然能激發(fā)磁場。就其產(chǎn)生磁場來說，變化的電場與一電流等效，這個等效電流被稱為位移電流。下面介紹有關(guān)位移電流的概念。一、問題的提出對于穩(wěn)恒電流，有對于非穩(wěn)恒電流，上式是否成立？在討論此問題之前，先說一下電流的連續(xù)性問題。在一個不含電容器的閉合電路中，傳導(dǎo)電流是連續(xù)的，即在任一時刻

19、，通過導(dǎo)體上某一截面的電流等于通過任何其他截面的電流。但在含電容器的電路中，情況就不同了，無論是電容器充電還是放電，傳導(dǎo)電流都不能在電容器的兩極間通過，這時電流就不連續(xù)了。如圖所示，在電容器充電過程中，電路中I隨時間改變，是非平衡的?，F(xiàn)在在極板A附近取回路L，并以L為邊界形成曲面和，其中與導(dǎo)線相交，過二極板之間，與電場線相交，、構(gòu)成一閉合曲面。 圖11-1對而言，有，對而言，有 。上述積分應(yīng)相等，出現(xiàn)了矛盾。故在非平衡電流下，安培定律不成立，必然要找新的規(guī)律。二、位移電流的假設(shè)如上圖所示，設(shè)某一時刻A板上有電荷+，面密度為，B板上有電荷電荷面密度為。充電時，則導(dǎo)線中傳導(dǎo)電流為I，（S為極板面積

20、）傳導(dǎo)電流密度為（大小）在極板間：（電流不連續(xù)）我們知道，充電中是變化的。和（電位移通量）也是隨時間變化的，它的變化率為從上述方程看出，極板間電通量隨時間的變化率在數(shù)值上等于導(dǎo)線內(nèi)傳導(dǎo)電流；極板間電位移隨時間變化等于導(dǎo)線內(nèi)傳導(dǎo)電流密度，并且進(jìn)一步分析知和同向，可設(shè)想和分別表示某種電流密度和電流，能把極板A、B間中斷的電流接下來，構(gòu)成電流的連續(xù)性。于是，麥克斯韋引進(jìn)了位移電流假設(shè)。令： （11-1） （11-2）式（11-1）和（11-2）中的、分別稱為位移電流和位移電流密度（極板間）?？梢?，上面出現(xiàn)的矛盾能夠解決了，即前面二個積分相等了。注意：位移電流和傳導(dǎo)電流的關(guān)系（1）共同點：都能產(chǎn)生磁場

21、（2）不同點：位移電流是變化電場產(chǎn)生的（不表示有電荷定向運動，只表示電場變化），不產(chǎn)生焦?fàn)枱?；傳?dǎo)電流是電荷的宏觀定向運動產(chǎn)生的，產(chǎn)生焦?fàn)枱?。三、全電流環(huán)路定律如果電流中同時存在傳導(dǎo)電流與位移電流，那么安培環(huán)路定率可表示為即 （11-3）式（11-3）稱為全電流環(huán)路定律。該式右邊第一項為傳導(dǎo)電流對磁場貢獻(xiàn)，第二項為位移電流（既變化電場）對磁場的貢獻(xiàn)。它們產(chǎn)生的磁場都來源于電場。麥克斯韋位移電流假設(shè)的根源就是變化的電場激發(fā)磁場。說明：全電流環(huán)路定律普遍適用。11-2麥克斯韋方程組在一般情況下，電場可能包括靜電場和渦旋電場，同理，在一般情況下，磁場既包括傳導(dǎo)電流產(chǎn)生的磁場也包括位移電流產(chǎn)生的磁場，

22、即一般情況下，電磁規(guī)律可由下面四個方程來描述 （11-4）上面四個方程稱為麥克斯韋方程組（積分形式）。例11-1：如圖所示，有平行板電容器，由半徑為的兩塊圓形極板構(gòu)成，用長直導(dǎo)線電流給它充電，使極板間電場強度增加率為，求距離極板中心連線處的磁場強度。（1）；（2）。解：忽略電容邊緣效應(yīng)，極板間電場可看作局限在半徑為內(nèi)的均勻電場，由對稱性可知，變化電場產(chǎn)生的磁場其磁力線是以極板對稱軸上點為圓心的一系列圓周。（1）取半徑為的磁力線為繞行回路，繞行方向同磁力線方向。由全電流環(huán)流定律有 可有 （2）取半徑為的磁力線為回路，繞行方向同磁力線方向，由有 得 例11-2：從公式證明平行板電容器與球形電容器兩

23、極板間的位移電流均為，其中為電容，為板間電壓。證：（1）平行板電容器（2）球形電容器例11-3：平行板電容器的正方形極板邊長為，當(dāng)放電電流為時，忽略邊緣效應(yīng)，求：（1） 兩極板上電荷面密度隨時間變化率；（2） 通過極板中如圖所示的正方形回路abcda區(qū)間的位移電流大小；（3） 環(huán)繞此正方形回路的的大小。解：（1）（2）（3）？13電磁波簡介一、磁波的形成變化的電場產(chǎn)生變化的磁場，變化的磁場產(chǎn)生變化的電場。二、磁波的性質(zhì)研究表明，電磁波的性質(zhì)主要有如下幾點：1、電磁波是橫波，也就是電磁波強度與磁場強度的振動方向與電磁波的傳播方向（單位矢量）垂直，即：， 。2、電場強度與磁場強度垂直，即3、與隨時

24、間的變化是同步的（以后將介紹這種情況稱為同位相），并且電磁波的傳播方向就是的方向。圖示意了平面電磁波某一時刻的波形情況。4、與幅值成比例令，代表與的幅值，理論計算表明，和的關(guān)系位5、電磁波的傳播速度計算表明，電磁波在介質(zhì)只傳播速度的大小為如果在真空中傳播，電磁波的速度為即真空中電磁波的傳播速度，正好等于光在真空中的傳播首都。麥克斯韋根據(jù)這一事實，預(yù)言光波就是一種電磁波。第十二章 機械振動§12-1簡諧振動1、彈簧振子運動如圖所取坐標(biāo)，原點O在m平衡位置?，F(xiàn)將m略向右移到A，然后放開，此時，由于彈簧伸長而出現(xiàn)指向平衡位置的彈性力。在彈性力作用下，物體向左運動，當(dāng)通過位置O時，作用在m上

25、彈性力等于0，但是由于慣性作用，m將繼續(xù)向O左邊運動，使彈簧壓縮。此時，由于彈簧被壓縮，而出現(xiàn)了指向平衡位置的彈性力并將阻止物體向左運動，使m速率減小，直至物體靜止于B（瞬時靜止），之后物體在彈性力作用下改變方向，向右運動。這樣在彈性力作用下物體左右往復(fù)運動，即作機械振動。 圖12-12、簡諧振動運動方程由上分析知，m位移為x（相對平衡點O）時，它受到彈性力為（胡克定律）： (12-1)式中： 當(dāng)即位移沿+x時，F(xiàn)沿-x，即當(dāng)即位移沿-x時，F(xiàn)沿+x，即為彈簧的倔強系數(shù)，“”號表示力F與位移x（相對O點）反向。定義：物體受力與位移正比反向時的振動稱為簡諧振動。由定義知，彈簧振子做諧振動。由牛頓

26、第二定律知，加速度為 （為物體質(zhì)量） 、均大于0 可令 可有： (12-2)式(12-2)是諧振動物體的微分方程。它是一個常系數(shù)的齊次二階的線性微分方程，它的解為 (12-3)或 (12-4)式(12-3)(12-4)是簡諧振動的運動方程。因此，我們也可以說位移是時間的正弦或余弦函數(shù)的運動是簡諧運動。本書中用余弦形式表示諧振動方程。3、諧振動的速度和加速度物體位移：速度： (12-5)加速度： (12-6)可知：、曲線如下圖12-2圖12-3說明：（1）是諧振動的動力學(xué)特征；（2）是諧振動的運動學(xué)特征；（3）做諧振動的物體通常稱為諧振子。§12-2 諧振動的振幅 角頻率 位相上節(jié)我們

27、得出了諧振動的運動方程，現(xiàn)在來說明式中各量意義。1、振幅做諧振動的物體離開平衡位置最大位移的絕對值稱為振幅，記做。反映了振動的強弱。2、角頻率（圓頻率）為了定義角頻率。首先定義周期和頻率。物體作一次完全振動所經(jīng)歷的時間叫做振動的周期，用表示；在單位時間內(nèi)物體所作的完全振動次數(shù)叫做頻率，用表示。由上可知： 或 為周期，從時刻經(jīng)過1個周期時，物體又首次回到原來時刻狀態(tài)，（余弦函數(shù)周期為） 可見：表示在秒內(nèi)物體所做的完全振動次數(shù)，稱為角頻率（圓頻率） 對于給定的彈簧振子，、都是一定的，所以、完全由彈簧振子本身的性質(zhì)所決定，與其它因素?zé)o關(guān)。因此，這種周期和頻率又稱為固有周期和固有頻率。3、位相在力學(xué)中

28、，物體在某一時刻的運動狀態(tài)由位置坐標(biāo)和速度來決定，振動中，當(dāng)、給定后，物體的位置和速度取決于，稱為位相（或周相、相位）。由上可見，位相是決定振動物體運動狀態(tài)的物理量。是時的位相，稱為初相。4、的確定對于給定的系統(tǒng)，已知，初始條件給定后可求出、。初始條件：時 由、表達(dá)式有 即即 （12-6） （12-7）值所在象限：1），：在第象限2），：在第象限3），：在第象限4），：在第象限5、兩個諧振動物體在同一時刻位相差設(shè)物體1和2的諧振動方程為 圖 12-4任意時刻二者位相差為：2的位相比1超前：2、1同位相：2的位相比1落后例12-1：如圖所示，一彈簧振子在光滑水平面上，已知，試求下列情況下的振動方

29、程。（1）將從平衡位置向右移到處由靜止釋放；（2）將從平衡位置向右移到處并給以向左的速率為。解：（1）的運動方程為由題意知：初始條件：時，可得： 2） 初始條件：時， 可見：對于給定的系統(tǒng)，如果初始條件不同，則振幅和初相就有相應(yīng)的改變。例12-2：如圖所示，一根不可以伸長的細(xì)繩上端固定，下端系一小球，使小球稍偏離平衡位置釋放，小球即在鉛直面內(nèi)平衡位置附近做振動，這一系統(tǒng)稱為單擺。(1)證明：當(dāng)擺角很小時小球做諧振動；(2)求小球振動周期。證：（1）設(shè)擺長為，小球質(zhì)量為，某時刻小球懸線與鉛直線夾角為，選懸線在平衡位置右側(cè)時，角位移為正，由轉(zhuǎn)動定律： 有 圖12-6 即 很小。 這是諧振動的微分方

30、程（或與正比反向）小球在做諧振動。（2）（注意做諧振動時條件，即很?。?#167;12-3 表示諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量方法在中學(xué)中，為了更直觀更方便地研究三角函數(shù)，引進(jìn)了單位圓的圖示法，同樣，在此為了更直觀更方便地研究簡諧振動，來引進(jìn)旋轉(zhuǎn)矢量的圖示法。一、旋轉(zhuǎn)矢量自ox軸的原點o作一矢量，其模為簡諧振動的振幅，并使在圖面內(nèi)繞o點逆時針轉(zhuǎn)動，角速度大小為諧振動角頻率，矢量稱為旋轉(zhuǎn)矢量。二、簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法 圖12-7（1）旋轉(zhuǎn)矢量的矢端M在x軸上投影坐標(biāo)可表示為x軸上的諧振動，振幅為（2）旋轉(zhuǎn)矢量以角速度旋轉(zhuǎn)一周，相當(dāng)于諧振動物體在x軸上作一次完全振動，即旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)一周，所用時間與諧振動的周

31、期相同。（3）時刻，旋轉(zhuǎn)矢量與x軸夾角為諧振動的初相，時刻旋轉(zhuǎn)矢量與x軸夾角為時刻諧振動的位相。說明：（1）旋轉(zhuǎn)矢量是研究諧振動的一種直觀、簡便方法。（2）必須注意，旋轉(zhuǎn)矢量本身并不在作諧振動，而是它矢端在x軸上的投影點在x軸上做諧振動。旋轉(zhuǎn)矢量與諧振動曲線的對應(yīng)關(guān)系（設(shè)） 圖12-8三、旋轉(zhuǎn)矢量法應(yīng)用舉例例12-3： 一物體沿x軸作簡諧振動，振幅為，周期為。時，位移為，且向x軸正向運動。（1）求物體振動方程；（2）設(shè)時刻為物體第一次運動到處，試求物體從時刻運動到平衡位置所用最短時間。解：（1）設(shè)物體諧振動方程為由題意知 方法一用數(shù)學(xué)公式求, 圖12-9方法二用旋轉(zhuǎn)矢量法求根據(jù)題意，有如左圖所

32、示結(jié)果 由上可見，方法二簡單（2）方法一用數(shù)學(xué)式子求由題意有： （） 或 此時 設(shè)時刻物體從時刻運動后首次到達(dá)平衡位置，有： 或 （） 方法二用旋轉(zhuǎn)矢量法求由題意知，有左圖所示結(jié)果，M1為時刻末端位置，M2為時刻 末端位置。從內(nèi)轉(zhuǎn)角為 顯然方法二簡單。 圖12-10例12-4：圖為某質(zhì)點做諧振動的曲線。求振動方程。 解：設(shè)質(zhì)點的振動方程為由圖知： 圖12-11用旋轉(zhuǎn)矢量法（見上頁圖）可知， （或 ） 例12-5：彈簧振子在光滑的水平面上做諧振動，為振幅，時刻情況如圖所示。O 為原點。試求各種情況下初相。 圖12-12§12-4 諧振動的能量對于彈簧振子，系統(tǒng)的能量=（物體動能）+（彈

33、簧勢能）已知： 物體位移 物體速度 （11-8）說明：（1）雖然、均隨時間變化，但總能量且為常數(shù)。原因是系統(tǒng)只有保守力作功，機械能要守恒。（2）與互相轉(zhuǎn)化。當(dāng)時，。在處，。例12-6：一物體連在彈簧一端在水平面上做諧振動，振幅為。試求的位置。解：設(shè)彈簧的倔強系數(shù)為，系統(tǒng)總能量為在時，有 例12-7：如圖所示系統(tǒng)，彈簧的倔強系數(shù)，物塊，物塊，與間最大靜摩擦系數(shù)為，與地面間是光滑的?，F(xiàn)將物塊拉離平衡位置，然后任其自由振動，使在振動中不致從上滑落，問系統(tǒng)所能具有的最大振動能量是多少。解：系統(tǒng)的總能量為（此時）不致從上滑落時，須有 圖12-13 極限情況 即 §12-5 同方向同頻率兩諧振動

34、合成一個物體可以同時參與兩個或兩個以上的振動。如：在有彈簧支撐的車廂中，人坐在車廂的彈簧墊子上，當(dāng)車廂振動時，人便參與兩個振動，一個為人對車廂的振動，另一個為車廂對地的振動。又如：兩個聲源發(fā)出的聲波同時傳播到空氣中某點時，由于每一聲波都在該點引起一個振動，所以該質(zhì)點同時參與兩個振動。在此，我們考慮一質(zhì)點同時參與兩個在同一直線的同頻率的振動。取振動所在直線為x軸，平衡位置為原點。振動方程為、分別表示第一個振動和第二個振動的振幅；、分別表示第一個振動和第二個振動的初相。是兩振動的角頻率。由于、表示同一直線上距同一平衡位置的位移，所以合成振動的位移在同一直線上，而且等于上述兩分振動位移的代數(shù)和，即為

35、簡單起見，用旋轉(zhuǎn)矢量法求分振動。 圖12-14 圖12-15如圖所示，時，兩振動對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量為、，合矢量為。、以相同角速度轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動過程中與間夾角不變，可知大小不變，并且也以轉(zhuǎn)動。任意時刻，矢端在x軸上的投影為：因此，合矢量即為合振動對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量，為合振動振幅，為合振動初相。合振動方程為：（仍為諧振動）由圖中三角形知： （12-9） 由圖中三角形知： （12-10）討論：（1） 時（稱為位相相同） （2） 時（稱為位相相反） 例12-8：有兩個同方向同頻率的諧振動，其合成振動的振幅為，位相與第一振動的位相差為，若第一振動的振幅為，用振幅矢量法求第二振動的振幅及第一、第二兩振動位相差。解：（

36、1）（2） 圖12-16例11-9：一質(zhì)點同時參與三個同方向同頻率的諧振動，他們的振動方程分別為，試用振幅矢量方法求合振動方程。解：如左圖，（、構(gòu)成一等腰梯形） 圖12-17第十三章 機械波§13-1 機械波的產(chǎn)生和傳播一、常見機械波現(xiàn)象1、水面波。把一塊石頭投在靜止的水面上，可見到石頭落水處水發(fā)生振動，此處振動引起附近水的振動，附近水的振動又引起更遠(yuǎn)處水的振動，這樣水的振動就從石頭落點處向外傳播開了，形成了水面波。2、繩波。繩的一端固定，另一端用手拉緊并使之上下振動，這端的振動引起鄰近點振動，鄰近點的振動又引起更遠(yuǎn)點的振動，這樣振動就由繩的一端向另一端傳播，形成了繩波。3、聲波。當(dāng)

37、音叉振動時，它的振動引起附近空氣的振動，附近空氣的振動又引起更遠(yuǎn)處空氣的振動，這樣振動就在空氣中傳播，形成了聲波。二、機械波產(chǎn)生的條件兩個條件 1、波源。如上述水面波波源是石頭落水處的水；繩波波源是手拉繩的振動端；聲波波源是音叉。2、傳播介質(zhì)。如：水面波的傳播介質(zhì)是水；繩波的傳播介質(zhì)是繩；聲波的傳播介質(zhì)是空氣。說明：波動不是物質(zhì)的傳播而是振動狀態(tài)的傳播。三、橫波與縱波1、橫波：振動方向與波動傳播方向垂直。如 繩波。2、縱波：(1)氣體、液體內(nèi)只能傳播縱波，而固體內(nèi)既能傳播縱波又能傳播橫波。(2)水面波是一種復(fù)雜的波，使振動質(zhì)點回復(fù)到平衡位置的力不是一般彈性力，而是重力和表面張力。(3）一般復(fù)雜

38、的波可以分解成橫波和縱波一起研究。四、關(guān)于波動的幾個概念1、波線：沿波傳播方向帶箭頭的線。2、同相面（波面）：振動位相相同點連成的曲面。同一時刻，同相面有任意多個。3、波陣面（或波前）：某一時刻，波源最初振動狀態(tài)傳播到的各點連成的面稱為波陣面或波前，顯然它是同相面的一個特例，它是離波源最遠(yuǎn)的那個同相面，任一時刻只有一個波陣面。（或：傳播在最前面的那個同相面）4、平面波與球面波(1)平面波：波陣面為平面。(2)球面波：波陣面為球面。 圖13-1 *：在各向同性的介質(zhì)中波線與波陣面垂直。§13-2 波長、波的周期和頻率 波速波長、波的周期、波的頻率、波速是波動過程中的重要物理量，分述如下

39、：一、波長波長:同一波線上位相差為的二質(zhì)點間的距離（即一完整波的長度）。在橫波情況下，波長可用相鄰波峰或相鄰波谷之間的距離表示。如下圖。在縱波情況下，波長可用相鄰的密集部分中心或相鄰的稀疏部分中心之間的距離表示。二、波的周期 圖13-2 波的周期: 波前進(jìn)一個波長距離所用的時間（或一個完整波形通過波線上某點所需要的時間）波動頻率：單位時間內(nèi)前進(jìn)的距離中包含的完整波形數(shù)目?？捎?（13-1）說明：由波的形成過程可知，振源振動時，經(jīng)過一個振動周期，波沿波線傳出一個完整的波形，所以，波的傳播周期（或頻率）=波源的振動周期（或頻率）。由此可知，波在不同的介質(zhì)中其傳播周期（或頻率）不變。三、波速波速：某

40、一振動狀態(tài)在單位時間內(nèi)傳播的距離（單位時間內(nèi)波傳播的距離）?？捎?（13-2）對彈性波而言，波的傳播速度決定于介質(zhì)的慣性和彈性，具體地說，就是決定于介質(zhì)的質(zhì)量密度和彈性模量，而與波源無關(guān)。橫波在固體中傳播速度為：縱波速度為：（液、氣、固體中）對大多數(shù)金屬，式中 ：固體切變彈性模量：介質(zhì)的體積彈性模量：楊氏彈性模量：介質(zhì)質(zhì)量密度說明：波動速度與質(zhì)點振動速度是不同的物理量。§13-3 平面簡諧波的波動方程一、簡諧波及波動方程1、 簡諧波：當(dāng)波源作諧振動時，介質(zhì)中各點也都作諧振動，此時形成的波稱為簡諧波。又叫余弦波或正弦波。一般地說，介質(zhì)中各質(zhì)點振動是很復(fù)雜的，所以由此產(chǎn)生的波動也是很復(fù)雜

41、的，但是可以證明，任何復(fù)雜的波都可以看作是由若干個簡諧波迭加而成的。因此，討論簡諧波就有著特別重要的意義。2、 簡諧波的波動方程：設(shè)任一質(zhì)點坐標(biāo)為，時刻位移為，則關(guān)系即為波動方程。二、波動方程建立如圖所示，諧振動沿+x方向傳播，與x軸垂直的平面均為同相面，任一個同相面上質(zhì)點的振動狀態(tài)可用該平面與x軸交點處的質(zhì)點振動狀態(tài)來描述，因此整個介質(zhì)中質(zhì)點的振動研究可簡化成只研究x軸上質(zhì)點的振動就行了，設(shè)原點處的質(zhì)點振動方程為式中，為振幅，為角頻率，稱為初相。圖13-3設(shè)振動傳播過程中振幅不變（即介質(zhì)是均勻無限大，無吸收的）為了找出波動過程中任一質(zhì)點任意時刻的位移，我們在ox軸上任取一點p，坐標(biāo)為，顯然，

42、當(dāng)振動從o處傳播到p處時，p處質(zhì)點將重復(fù)o處質(zhì)點振動。振動從o傳播到p所用時間為，所以，p點在時刻的位移與o點在時刻的位移相等，由此時刻p處質(zhì)點位移為 （13-3）同理，當(dāng)波沿-x方向傳播時，時刻p處質(zhì)點位移為 （13-4）利用 由式（13-3）、（13-4）有 （13-5）式（13-5）中，“-”表示波沿+x方向傳播；“+”表示波沿-x方向傳播。（為方便，下標(biāo)省略）。式（13-5）稱為平面簡諧波方程。根據(jù)位相（或）關(guān)系，式（13-5）又可化為 （13-6）注意：（1）原點處質(zhì)點的振動初相不一定為0；（2）波源不一定在原點，因為坐標(biāo)是任取的。三、波動方程的物理意義1、均變化時，表示波線上各個質(zhì)

43、點在不同時刻的位移。為波動方程。2、時，表示處質(zhì)點在任意時刻位移。波動方程變成了處質(zhì)點振動方程。3、時，表示時刻波線上各個質(zhì)點位移。波動方程變成了時刻的波形方程。4、均一定，表示時刻坐標(biāo)為處質(zhì)點位移。例13-1：橫波在弦上傳播，波動方程為 (SI)求：（1）（2）畫出時波形圖。解：（1） 此題波動方程可化為由上比較知： 另外：求可從物理意義上求（a）=同一波線上位相差為的二質(zhì)點間距離設(shè)二質(zhì)點坐標(biāo)為x1、x2（設(shè)x2> x1），有，得（b）=某一振動狀態(tài)在單位時間內(nèi)傳播的距離。設(shè)時刻某振動狀態(tài)在處，時刻該振動狀態(tài)傳到處，有，得（2）一種方法由波形方程來作圖（描點法），這樣做麻煩。此題可這樣

44、做：畫出時波形圖，根據(jù)波傳播的距離再得出相應(yīng)時刻的波形圖（波形平移）。平移距離圖13-4例13-2：一平面簡諧波沿+x方向傳播，波速為，在傳播路徑的A點處，質(zhì)點振動方程為 (SI)，試以A、B、C為原點，求波動方程。圖13-5解：（1），以A為原點，波動方程為 (SI)（2）以B為原點 (SI)（B處質(zhì)點初相為）波動方程為：即 (SI)（3）以C為原點 (SI)（C處初相為）波動方程為：即 (SI)強調(diào)：（1）建立波動方程的程序（2）位相中加入的含義例13-3：一連續(xù)縱波沿+x方向傳播，頻率為，波線上相鄰密集部分中心之距離為24cm，某質(zhì)點最大位移為3cm。原點取在波源處，且時，波源位移=0，

45、并向+y方向運動。求：（1）波源振動方程；（2）波動方程；（3）時波形方程；（4）處質(zhì)點振動方程；（5）與處質(zhì)點振動的位相差。解：（1）設(shè)波源波動方程為可知： 由旋轉(zhuǎn)矢量知： (SI)（2）波動方程為： (SI)（3）時波形方程為： (SI)（4）處質(zhì)點振動方程為 (SI)（5）所求位相差為：，x1處質(zhì)點位相超前。強調(diào)：（1）波源初相不一定=0（2）的含義例13-4：一平面余弦波在時波形圖如下，（1）畫出時波形圖；（2）求O點振動方程；（3）求波動方程。解：（1）時波形圖即把時波形自-X方向平移個周期即可，見上圖中下面的結(jié)果。（2）設(shè)O處質(zhì)點振動方程為可知： 時，O處質(zhì)點由平衡位置向下振動，由

46、旋轉(zhuǎn)矢量圖知， 圖13-6 （3）波動方程為：即 注意：由波形圖建立波動方程的程序。§13-4波的能量 能流密度波的傳播過程就是振動的傳播過程。波到哪里，哪里的介質(zhì)就要發(fā)生振動，因而具有動能；同時由于介質(zhì)元的變形，因而具有勢能，因此波傳到哪里，哪里就有機械能。這些機械能來自于波源?？梢?，波的傳播過程即是振動的傳播過程，又是能量傳遞過程。在不傳遞介質(zhì)的情況下而傳遞能量是波動的基本性質(zhì)。一、波的能量下面以簡諧縱波在一棒中沿棒長方向傳播為例，推導(dǎo)出波的能量公式。如圖所示，取x軸沿棒長方向，設(shè)波動方程為在波動過程中，棒中每一小段將不斷地壓縮和拉伸。 圖13-7在棒上任取一體積元BC，體積，棒

47、在平衡位置時，B、C坐標(biāo)分別為，即BC長為。設(shè)棒的橫截面積為，質(zhì)量密度為，體積元能量為動能勢能設(shè)時刻，A、B端位移分別為、，體積元伸長量為。設(shè)在體積元端面上由于形變產(chǎn)生的彈性恢復(fù)力大小為，可知，協(xié)強為，協(xié)變?yōu)?，由楊氏彈性模量定義有：（為楊氏彈性模量）按胡克定律，在彈性限度內(nèi)彈性恢復(fù)力值為由上二式有： 應(yīng)寫成，可有 可得 （13-7）討論：（1）任一時刻體積元動能與其勢能總是相等，（2）波動中體積元的能量與單一諧振動系統(tǒng)的能量有著顯著的不同。在單一諧振動的系統(tǒng)中，動能和勢能相互轉(zhuǎn)化，動能最大時，勢能最小，勢能最大時，動能最小，系統(tǒng)機械能守恒。在波動情況下，任一時刻任一體積元的動能與勢能總是隨時間變化的，變化是同步的，值也相等，這說明體積元總能量不能為常數(shù)，即能量不守恒（體積元）（3）波動中體積元能量不守恒原因：每個體積元都不是獨立地做諧振動，它與相鄰的體積元間有著相互作用。因而相鄰體積元間有能量傳遞，沿著波傳播方向，某體積元從前面介質(zhì)獲得能量，又把能量傳遞給后面介質(zhì)，這樣，通過體積元不斷地吸收和不斷