1、D92偏導(dǎo)數(shù)PPT課件第二節(jié)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、一、 偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法二二 、高階偏導(dǎo)數(shù)、高階偏導(dǎo)數(shù) 偏 導(dǎo) 數(shù) 第九章 D92偏導(dǎo)數(shù)PPT課件定義定義1.),(yxfz 在點(diǎn)), (), (lim000yfyfx存在,xyxyxfz對(duì)在點(diǎn)),(),(00的偏導(dǎo)數(shù)，記為;),(00yxxz),(00yx的某鄰域內(nèi);),(00yxxfxx00 x則稱此極限為函數(shù)極限設(shè)函數(shù))(0 xf)()(00 xfxxfx0limxx; ),(00yxfx;),(00yxxz0ddxxxy. ),(001yxf 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyxfyxx

2、fx),(),(lim000000),(dd0 xxyxfx),(00yxfx注意注意:一、一、 偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法D92偏導(dǎo)數(shù)PPT課件0),(dd0yyyxfy同樣可定義對(duì) y 的偏導(dǎo)數(shù) lim0y),(00yxfy若函數(shù) z = f ( x , y ) 在區(qū)域 D 內(nèi)每一點(diǎn) ( x , y ) 處對(duì) x,xzxfxz則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù), 也簡(jiǎn)稱為偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) ,),(, ),(1yxfyxfx),(, ),(2yxfyxfy) ,(0 xf),(0 xfy記為yy00y機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 或 y 偏導(dǎo)數(shù)存在 ,yzyfyzD92偏導(dǎo)數(shù)PPT課

3、件),(zyxfx例如例如, 三元函數(shù) u = f (x , y , z) 在點(diǎn) (x , y , z) 處對(duì) x 的偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù) . lim0 x), (zyf),(zyfxxx?),(zyxfy?),(zyxfzx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 偏導(dǎo)數(shù)定義為(請(qǐng)自己寫出)D92偏導(dǎo)數(shù)PPT課件例例1 . 求223yyxxz解法解法1:xz)2, 1 (xz解法解法2:) 2, 1(xz在點(diǎn)(1 , 2) 處的偏導(dǎo)數(shù).) 2, 1(yz,32yx yzyx23 ,82312)2, 1 (yz72213462xx1)62(xx81xz231yy 2)23(yy72y

4、z機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D92偏導(dǎo)數(shù)PPT課件例例2. 設(shè)，）且1, 0(xxxzyzyzxxzyx2ln1 證證:xzyzxxzyxln1 例例3. 求222zyxr的偏導(dǎo)數(shù) . (P65 例4)解解:xryryyxx yz求證,1yxyxxylnz22222zyxx2rxrzzr,ry機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D92偏導(dǎo)數(shù)PPT課件偏導(dǎo)數(shù)記號(hào)是一個(gè)例例4. 已知理想氣體的狀態(tài)方程求證:1pTTVVpTRVp證證:,VTRp ,pTRV ,RVpT pTTVVp說明說明:(R 為常數(shù)) , Vp2VTRTVpRpTRVVpTR1不能看作分子與分母的商 !此例表明,機(jī)動(dòng)

5、 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 整體記號(hào),D92偏導(dǎo)數(shù)PPT課件二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:00),(dd00 xxyxfxxfxxyy0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy是曲線0),(xxyxfzyTM0在點(diǎn) M0 處的切線對(duì) x 軸的斜率.在點(diǎn)M0 處的切線斜率.是曲線yxz0 xyToxT0y0M機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對(duì) y 軸的D92偏導(dǎo)數(shù)PPT課件函數(shù)在某點(diǎn)各偏導(dǎo)數(shù)都存在,顯然例如例如, ,0,00,),(222222yxyxyxyxyxfz0)0,(dd)0, 0(xxfxfx0), 0(dd)0, 0(yyfy

6、fy00注意：注意：但在該點(diǎn)不一定連續(xù)不一定連續(xù).上節(jié)例 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D92偏導(dǎo)數(shù)PPT課件二、高階偏導(dǎo)數(shù)二、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè) z = f (x , y)在區(qū)域 D 內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)),(, ),(yxfyzyxfxzyx若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，)(xz)(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy則稱它們是z = f ( x , y ) 的二階偏導(dǎo)數(shù) . 按求導(dǎo)順序不同, 有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù):D92偏導(dǎo)數(shù)PPT課件類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如

7、，例如，z = f (x , y) 關(guān)于 x 的三階偏導(dǎo)數(shù)為3322)(xzxzxz = f (x , y) 關(guān)于 x 的 n 1 階偏導(dǎo)數(shù) , 再關(guān)于 y 的一階) (yyxznn1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 偏導(dǎo)數(shù)為11nnxzD92偏導(dǎo)數(shù)PPT課件yxe22例例5. 求函數(shù)yxez2.23xyz解解 :xz22xz) ( 223xyzxxyzyzxyz2yxz2 22 yz注意注意: :此處,22xyzyxz但這一結(jié)論并不總成立.yxe2yxe22yxe2yxe22yxe22yxe24機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的二階偏導(dǎo)數(shù)及 D92偏導(dǎo)數(shù)PPT課件0,)(4222224

8、224yxyxyyxxxyfyfxxy)0, 0(), 0(lim0),(yxfy例如例如,),(yxfx)0 , 0(yxfxfxffyyxxy)0, 0()0,(lim)0 , 0(0二者不等yyy0lim1xxx0lim1),(yxf0, 022 yx0,)(4222224224yxyxyyxxy0,022 yx0,222222yxyxyxyx0, 022 yx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D92偏導(dǎo)數(shù)PPT課件,),()()(00連續(xù)都在點(diǎn)和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx則證明 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理.例如例如, 對(duì)三元函數(shù)

9、 u = f (x , y , z) ,),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx說明說明:本定理對(duì) n 元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的 , 故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù) ,當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn) (x , y , z) 連續(xù)連續(xù)時(shí), 有而初等(證明略) D92偏導(dǎo)數(shù)PPT課件例例6. 證明函數(shù)222,1zyxrru滿足拉普拉斯0222222zuyuxu證：證：xu22xu利用對(duì)稱性 , 有,3152322ryryu222222zuyuxuu方程

10、xrr21rxr2131rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D92偏導(dǎo)數(shù)PPT課件內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論 定義; 記號(hào); 幾何意義 函數(shù)在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù) 混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)與求導(dǎo)順序無關(guān)2. 偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法 求一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)的方法先代后求先求后代利用定義 求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法逐次求導(dǎo)法(與求導(dǎo)順序無關(guān)時(shí), 應(yīng)選擇方便的求導(dǎo)順序)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D92偏導(dǎo)數(shù)PPT課件思考與練習(xí)思考與練習(xí)解答提示: P130 題 5，時(shí)當(dāng)022 yx222),(yxyxxyxfx222),(yxyxyyxfy,022 yx當(dāng)0)0 ,(dd)0 , 0(xxfxfx0), 0(dd)0 , 0(yyfyfy00P130 題 5 , 62223)(2yxyx222222)()(yxyxx即 xy0 時(shí),機(jī)動(dòng) 目錄 上