1、D12函數(shù)的極限利用圓內(nèi)接正多邊形來推算圓面積利用圓內(nèi)接正多邊形來推算圓面積 割圓術割圓術: :R圓內(nèi)接正六邊形面積圓內(nèi)接正六邊形面積1A圓內(nèi)接正十二邊形面積圓內(nèi)接正十二邊形面積2A, , 26 1nnA邊邊形形面面積積圓圓內(nèi)內(nèi)接接正正 ,321nAAAA圓內(nèi)接正二十四邊形的面積圓內(nèi)接正二十四邊形的面積3A面積值構成一列有次序的數(shù)面積值構成一列有次序的數(shù)一、數(shù)列極限的定義1.問題的引入D12函數(shù)的極限 , 越大越大當當n內(nèi)接正多邊形與圓的差別越小內(nèi)接正多邊形與圓的差別越小, , , 如何大如何大但是無論但是無論 n , 只只是是多多邊邊形形的的面面積積nA , )( nn無限增大時無限增大時當

2、當 內(nèi)接正多邊形無限內(nèi)接正多邊形無限接近于圓接近于圓, , ),( 即圓的面積即圓的面積數(shù)值數(shù)值無限接近于某一確定的無限接近于某一確定的nA. , 321極極限限時時的的當當數(shù)數(shù)為為在在數(shù)數(shù)學學上上稱稱這這個個確確定定的的 nAAAAnD12函數(shù)的極限例如例如;,21,81,41,21n;21 n2.數(shù)列的定義 . , , , ,N , 21nnnnxxxxnxxn簡簡記記為為數(shù)數(shù)列列叫叫做做數(shù)數(shù)列列就就序序列列從從小小到到大大排排列列得得到到一一個個按按照照下下標標這這些些實實數(shù)數(shù)著著一一個個確確定定的的實實數(shù)數(shù)對對應應對對每每一一個個如如果果按按照照某某一一法法則則 . ,叫叫做做數(shù)數(shù)列列

3、的的一一般般項項項項第第數(shù)數(shù)列列的的項項數(shù)數(shù)列列中中的的每每一一個個數(shù)數(shù)叫叫做做nxnD12函數(shù)的極限;,)1( , 1 , 1, 11 n;)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn ;)1(1 nnn,333,33, 3 .31nnxx 從幾何上看從幾何上看, ,數(shù)列對應著數(shù)軸上一個點列數(shù)列對應著數(shù)軸上一個點列. . 可看作一動點可看作一動點在數(shù)軸上依次取在數(shù)軸上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx數(shù)列是自變量取正整數(shù)的函數(shù)數(shù)列是自變量取正整數(shù)的函數(shù)).N( )( nnfxnD12函數(shù)的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn觀察重點觀察重點:? ,

4、 數(shù)數(shù)個確定的常個確定的常否接近于一否接近于一是是大時大時無限增無限增當當nxn3.數(shù)列極限(sequence limit)的定義1020304050 x12yn50OD12函數(shù)的極限. 1)1(1,1無無限限接接近近于于無無限限增增大大時時當當nxnnn 問題問題: :“無限接近無限接近”意味著什么意味著什么? ?如何用數(shù)學語言刻劃如何用數(shù)學語言刻劃它它. . 1 nx因為因為,11)1(1nnn 方法方法: : 兩數(shù)之間的接近程度可以用兩數(shù)之差的絕兩數(shù)之間的接近程度可以用兩數(shù)之差的絕對值對值( (即距離即距離) )來表示來表示. . ,)1(1 1 nn對對數(shù)數(shù)列列D12函數(shù)的極限,100

5、1給定給定,10011 n由由于于,100時時故故只只要要 n,10011 nx有有,10001給定給定,1000時時只要只要 n,10117 nx有有,1017給定給定,107時時只要只要 n,100011 nx有有, 0 給給定定,1時時只只要要 Nn.1成成立立有有 nx . 1 , 數(shù)數(shù)可以小于任意給定的正可以小于任意給定的正足夠大足夠大只要只要nnD12函數(shù)的極限數(shù)列極限的定義數(shù)列極限的定義. ) ( lim, , , , , , ) ( , , naxaxaxxaaxNnNaxnnnnnnn當當或或記為記為收斂于收斂于或稱數(shù)列或稱數(shù)列的極限的極限是數(shù)列是數(shù)列么就稱常數(shù)么就稱常數(shù)那那

6、都成立都成立不等式不等式時時使得當使得當總存在正數(shù)總存在正數(shù)不論它多么小不論它多么小意給定的正數(shù)意給定的正數(shù)對于任對于任如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)為一數(shù)列為一數(shù)列設設 . lim , , , 不存在不存在習慣上也說習慣上也說是發(fā)散的是發(fā)散的或者說數(shù)列或者說數(shù)列有極限有極限沒沒就稱數(shù)列就稱數(shù)列如果不存在這樣的常數(shù)如果不存在這樣的常數(shù)nnnnxxxa D12函數(shù)的極限例如例如,1,43,32,21nn1nnxn)(1n,) 1(,43,34,21,21nnnnnxnn1) 1()(1n,2,8,4,2nnnx2)(n,) 1( ,1,1,11n1) 1(nnx趨勢不定收 斂發(fā) 散D12函數(shù)的極限;

7、, )1(可以任意給定非常重要可以任意給定非常重要所以所以接近接近的無限的無限與與刻劃了刻劃了因為不等式因為不等式 axaxnn . , )2(而而選選定定的的給給定定它它隨隨著著有有關關與與任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) N關于定義的說明關于定義的說明: :(3) 幾何解釋幾何解釋: :x1x2x2 Nx1 Nx3x 2 a aa .) ( ,),( , 落落在在其其外外個個至至多多只只有有只只有有有有限限個個內(nèi)內(nèi)都都落落在在所所有有的的點點時時當當NaaxNnn D12函數(shù)的極限 : 定定義義數(shù)數(shù)列列極極限限的的N ,對對于于每每一一個個或或對對于于任任意意給給定定的的表表示示 . 存存在在

8、或或至至少少有有一一個個表表示示 . , , , 0lim axNnNaxnnn有有時時當當正正整整數(shù)數(shù)(4) 極限概念的簡寫形式極限概念的簡寫形式(5) 數(shù)列極限的定義未給出如何求數(shù)列的極限數(shù)列極限的定義未給出如何求數(shù)列的極限.D12函數(shù)的極限例例1. 1)1(lim1 nnnn證明證明證證axn 1)1(1 nnn,1n , 0 ,1 nx若要若要,1 n只要只要,1 n或或,1 N于于是是取取,時時則當則當Nn ,1)1(1 nnn就有就有. 1)1(lim1 nnnn即即D12函數(shù)的極限例例20. , , , , 1 , 1 12極極限限是是證證明明等等比比數(shù)數(shù)列列設設 nqqqq證證

9、 ),1 ( 0 設設 0 nx因因為為01 nq,1 nq , 1 nq要要使使 ,lnln)1( qn取對數(shù)得取對數(shù)得 , 1 q因因為為, 0ln q ,lnln1qn 所以所以,lnln1 qN 取取,時時則當則當Nn ,01 nq就就有有. 0lim1 nnq即即D12函數(shù)的極限注意注意: : . , , 0 , NN小小的的但但不不需需要要尋尋找找最最確確實實存存在在指指出出在在于于關關鍵鍵列列的的極極限限時時利利用用定定義義證證明明某某數(shù)數(shù)是是數(shù)數(shù) D12函數(shù)的極限23baab22abnabax二、收斂數(shù)列的性質二、收斂數(shù)列的性質證證: 用反證法.axnnlim及,limbxnn

10、且. ba 取,2ab因,limaxnn故存在 N1 , ,2abnax從而2banx同理, 因,limbxnn故存在 N2 , 使當 n N2 時, 有2banx1. 收斂數(shù)列的極限唯一收斂數(shù)列的極限唯一.使當 n N1 時, 2ba2ab2ab假設22abnabbxnbax223ab,2abnbx從而2banx矛盾.因此收斂數(shù)列的極限必唯一.則當 n N 時, ,max21NNN 取故假設不真 !nx滿足的不等式D12函數(shù)的極限例例4. 證明數(shù)列),2, 1() 1(1nxnn是發(fā)散的. 證證: 用反證法.假設數(shù)列nx收斂 , 則有唯一極限 a 存在 .取,21則存在 N ,2121axa

11、n但因nx交替取值 1 與1 , ),(2121aa內(nèi),而此二數(shù)不可能同時落在21a21aa長度為 1 的開區(qū)間 使當 n N 時 , 有因此該數(shù)列發(fā)散 .D12函數(shù)的極限2. 收斂數(shù)列一定有界收斂數(shù)列一定有界.證證: 設,limaxnn取,1,N則當Nn 時, 從而有nxaaxna1取 ,max21NxxxMa1則有. ),2,1(nMxn由此證明收斂數(shù)列必有界.說明說明: 此性質反過來不一定成立 . 例如,1)1(n雖有界但不收斂 .aaxn)(, 1axn有數(shù)列D12函數(shù)的極限3. 收斂數(shù)列的保號性收斂數(shù)列的保號性.若,limaxnn且0a,NN則Nn 當時, 有0nx, )0(. )0

12、(證證: 對 a 0 , 取,2a,NN則,時當Nn axn2anx02aaax2a2a推論推論: 若數(shù)列從某項起0nx,limaxnn且0a則)0(. )0(用反證法證明)D12函數(shù)的極限*,axkn4. 收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限 .證證: 設數(shù)列knx是數(shù)列nx的任一子數(shù)列 .若,limaxnn則,0,N當 Nn 時, 有axn現(xiàn)取正整數(shù) K , 使,NnK于是當Kk 時, 有knKnN從而有由此證明 .limaxknk*NKnNxKnxD12函數(shù)的極限由此性質可知 , 若數(shù)列有兩個子數(shù)列收斂于不同的極限 ,例如， ),2, 1() 1(1nxnn; 1lim12kkx1lim2kkx發(fā)散 !則原數(shù)列一定發(fā)散 .說明說明: D12函數(shù)的極限五、小結數(shù)列數(shù)列: :研究其變化規(guī)律研究其變化規(guī)律;數(shù)列極限數(shù)列極限: :極限思想、精確定義、幾何意義極限思想、精確定義、幾何意義;收斂數(shù)列的性質收斂數(shù)列的性質: :有界性、唯一性、子數(shù)列的收斂性有界性、唯一性、子數(shù)列的收斂性.D12