1、數列全國卷五年考情圖解高考命題規(guī)律把握1. 考查形式本章在高考中一般命制2 道小題或者1 道解答題，分值占10 12 分2. 考查內容(1) 高考對小題的考查一般以等差、等比數列的基本量運算，等差、等比數列的性質為主(2) 解答題一般以數列遞推關系為載體，考查數列通項公式的求法，等差、等比數列的證明， 數列求和的方法等.數列的概念與簡單表示法考試要求 1. 了解數列的概念和幾種簡單的表示方法( 列表、圖象、通項公式).2. 了解數列是自變量為正整數的一類特殊函數1. 數列的定義按照一定順序排列的一列數叫做數列，數列中的每一個數叫做這個數列的項2. 數列的分類分類原則類型滿足條件有窮數列項數有限

2、9按項數分類按項與項間的大小關系分類3. 數列的通項公式無窮數列項數無限遞增數列an 1 an遞減數列an 1 an常數列an 1 an其中 nn *如果數列 an 的第 n 項 an 與序號 n 之間的關系可以用一個函數式an f (n)來表示， 那么這個公式叫做這個數列的通項公式4. 數列的遞推公式式5 an 與 sn 的關系若數列 an 的前 n 項和為 sn ， s1， n1，則 ansn sn 1， n 2.特別地，若a1 滿足 ansn sn 1(n 2)，則不需要分段一、易錯易誤辨析(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)相同的一組數按不同順序排列時都表示同一個數列()(

3、2)1,1,1,1，不能構成一個數列()(3)任何一個數列都有唯一的通項公式()(4)如果數列 an 的前 n 項和為 sn，那么對任意n n*，都有an1 sn 1 sn.()答案 (1)×(2) ×(3) ×(4) 二、教材習題衍生1數列 1， 11112， ，345的一個通項公式為()a an ±1nb an (1) n·1nc an ( 1)n1 1nd an 1nb由 a1 1 ，代入檢驗可知選b.2在數列 an 中，已知a1 4， an 1 1 an，則 a3 (11)a 3b 2c 5da2 1 1 5， a3 1 1 1 134

4、d 54.如果已知數列的第1 項(或前幾項 )，且從第 2 項( 或某一項 )開始的任一項an 與它的前一項 an 1(或前幾項 )間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公a1a2553. 已知數列 an 的前 n 項和 sn n2 1，則 an .2， n 1， 當 n 1 時， a1 s1 2.2n 1， n 2， n n*當 n 2 時，an snsn 1 n2 1 (n 1)2 1 2n 1，故 an2， n 1，2n 1， n 2， nn*.4. 根據下面的圖形及相應的點數，寫出點數構成的數列的一個通項公式an .5n 4由 a1 1 5×14， a

5、2 6 5×2 4，a3 11 5×3 4，歸納 an 5n 4.考點一由 an 與 sn 的關系求通項公式已知 sn 求 an 的三個步驟(1)利用 a1 s1 求出 a1.(2) 當 n2 時，利用an sn sn 1(n 2)求出 an 的表達式(3) 看 a1 是否符合n 2 時 an 的表達式，如果符合，那么可以把數列的通項公式合寫；否則應寫成分段的形式，即ans1， n 1， sn sn 1， n 2.典例 1(1) 已知數列 an 的前 n 項和 sn 2n2 3n，則 an . (2)已知數列 an 滿足 a1 2a23a3 nan 2n，則 an .(1)

6、4n 5(2)2， n 1，2n 1n ， n2(1) a1 s1 2 3 1，當 n 2 時， an sn sn 1 (2n2 3n) 2( n 1)2 3(n 1) 4n5， 由于 a1 也適合此等式， an 4n5.(2) 當 n1 時，a1212，a1 2a2 3a3nan 2n，故 a1 2a2 3a3 ( n 1)an 1 2n1 (n 2)，由得nan 2n 2n1 2n1，an2n 1n(n 2)顯然當 n1 時不滿足上式，an2，n 1，2n1n，n 2.點評： sn 與 an 關系問題的求解思路要根據所求結果的不同要求，將問題向不同的兩個方向轉化(1) 利用 an sn s

7、n 1(n 2)轉化為只含sn， sn 1 的關系式(2) 利用 sn sn 1 an(n 2)轉化為只含an， an 1 的關系式，再求解提醒： 利用 an sn sn 1 求通項時，應注意n 2 這一前提條件，易忽視驗證n 1 致誤跟進訓練 已知正項數列 an 中，a1a2an n n 12a an nb an n2，則數列 an 的通項公式為()nn2c an 2d an 2b a1 a2an n n 12， a1a2an 1n n 12(n 2)，兩式相減得ann n12n n 12 n(n 2)，an n2(n2)，又當 n 1 時，a11× 221， a1 1，適合式，a

8、n n2， nn*.故選 b.考點二由遞推關系求通項公式由遞推關系求數列的通項公式的常用方法典例 2(1) 設數列 an 滿足 a1 1，且 an 1 an n1( n n *)，則數列 an 的通項公式為 (2) 在數列 an 中， a1 1，an n 1nan 1( n 2， n n*)，則數列 an 的通項公式為*(3) 已知數列 an 滿足 a1 1，an 1 3an 2(n n )，則數列 an 的通項公式為 (1) ann2 n 2(2) an 1(3) an 2·3n1 1(1) 由題意得a2 a1 2， a3 a2 3，nan an 1 n(n 2)以上各式相加，得a

9、n a12 3 nn 12 n2n2 n 22.a1 1，ann2 n2(n 2)當n 1 時也滿足此式， ann2n2.(2)ann1nan 1(n 2)，an 1n 2an 2， an 2n 1n 3an 3，a2n 21a1. 2以上(n 1)個式子相乘得，1 2n 1a11an a1·2·3· · n n n.當 n 1 時， a1 1，符合上式，1nan .(3)an 13an 2，an 1 1 3(an 1)，an 1 1 3， an 1數列 an1 為等比數列，公比q3， 又 a1 1 2，an 1 2·3n1，an 2·

10、;3n 1 1.點評： 由遞推關系求通項公式的關鍵是“ 模型化 ” ，即針對不同的關系選擇不同的方法求解，但要理解如累加(積)法可類比等差(比) 數列通項的求解方式得出，而構造法可結合等差 (比)數列的定義求解跟進訓練 n1n11已知數列 a 中，a 2，a 2an (n n*na 2)，則數列 an 的通項公式an .2 an 1na2an n 2， a1 2，an 0，111111an 1 an 2，即 ，a2an 1n11又 a1 2，則 ，a12111an 是以 2為首項， 2為公差的等差數列111n2n1a a (n 1)× 2 2，an n.2已知數列 an 中， a1

11、1，an 1 2an 2n 1，則數列 an 的通項公式an .n 1naan 1n1 ，兩邊同除以 2n1 ，得an1.2 ·2n 1 2an 22n 1 2n又 a1 1，an2n是以首項為 1，公差為1 的等差數列，an n2211 (n 1)× 1n . 221即 an n 2·2n.考點三數列的性質1. 解決數列周期性問題的方法先根據已知條件求出數列的前幾項，確定數列的周期，再根據周期性求值2. 判斷數列單調性的兩種方法(1)作差 (或商) 法(2)目標函數法：寫出數列對應的函數，利用導數或利用基本初等函數的單調性探求其單調性，再將函數的單調性對應到數列

12、中去3. 求數列中最大(小)項的兩種方法(1)根據數列的單調性判斷(2)利用不等式組an an 1an an 1an an 1或an an 1求出 n 的值，進而求得an 的最值典例 3(1) 已知數列 an 滿足 an 11，若 a11，則 a2 020 ()1 an21a 1b 2c 1d 23(2) 已知數列 an 的通項公式為an n 29a. 8 c.6481n，則數列 an 中的最大項為 () b.23d.125243(3) 若 an n2 kn4 且對于 n n* ，都有 an 1an 成立，則實數 k 的取值范圍是 1(1)b(2) a(3) ( 3， )(1) 由 a12，

13、an 11，得 a21 2，a3 1 1，a41， 1a511an 2，1 a11 a21 a321 a41于是可知數列 an 是以 3 為周期的周期數列，因此a2 020 a3×673 1 a1 2.(2) 法一： (作差比較法 )a2 n 1 n 22 nn2 n，n 1an (n 1) 333·3當 n<2 時， an 1 an>0，即 an 1>an； 當 n 2 時， an 1 an 0，即 an 1 an；當 n>2 時， an 1 an<0，即 an 1<an.所以 a1<a2 a3， a3>a4>a5&g

14、t;>an， 所以數列 an 中的最大項為a2 或 a3，2且 a2 a3 2× 328.故選 a.9法二： (作商比較法 )an 12n 13n 121 1 ，an2 n3nn 3an 1a令>1，解得 n<2；nan 1令 an 1，解得 n 2；an 1a令<1，解得 n>2.n又 an>0 ，故 a1<a2 a3，a3>a4 >a5>>an，所以數列 an 中的最大項為a2 或 a3，2且 a2 a3 2× 328.故選 a.9(3) 由 an1 an 知該數列是一個遞增數列， 又通項公式 an n2

15、 kn4，(n 1)2 k(n1) 4 n2 kn4，即 k 12n，又 nn *，k 3.點評： (1) 當待求的特定項am 中 m 較大時，常考慮數列的周期性(2)數列的單調性常借助作差(商)法求得，這一點有別于函數的單調性，因為數列是離散的，故本例 (3) 在求參數 k 的范圍時務必要小心跟進訓練 91. 數列 an 的通項公式是an( n 2) 10n，那么在此數列中()a a7 a8 最大b a8 a9 最大c有唯一項a8 最大d 有唯一項a7 最大an 1n 39a an×n 210，an 1令 1，即an9 n 310 n 2 1，解得 n 7.當n 7 時，數列 an 遞增，當n7 時，數列 an 遞減， 即 a1 a2 a7a8a9所以 a7 a8 最大，故選a.2. (2020 ·雅禮中學模