1、會計學(xué)1有限元原理及其應(yīng)用有限元原理及其應(yīng)用2021-11-302第2章 預(yù)備知識 第3節(jié) 內(nèi)積空間 第2節(jié) 線性空間 第4節(jié) 索伯列夫空間HK Institute of Mechanical Engineering and Automation第6節(jié) 小結(jié) 第1節(jié) 概述 第5節(jié) Galerkin變分原理和Ritz變分原理 第1頁/共46頁2021-11-303第1節(jié) 概 述 本章介紹關(guān)于有限元方法的一些數(shù)學(xué)概念和結(jié)論，目的在于對于有限元解的收斂性以及單元精度問題能有確切的了解。對于有限元方法的數(shù)學(xué)研究，目前已進(jìn)行得相當(dāng)充分，對這方面有興趣的讀者可進(jìn)一步查閱有關(guān)的專著1,2。實際上有限元解是有

2、限元插值函數(shù)的線性組合，因此，有限元解空間為函數(shù)空間(即某種函數(shù)的集合)。 相關(guān)的概念可以從泛函分析書籍中了解3。概述Institute of Mechanical Engineering and Automation1李開泰,黃艾香, 黃慶懷. 有限元方法及其應(yīng)用M. 西安:西安交通大學(xué)出版社, 1992.2陳傳淼, 黃云清. 有限元高精度理論M. 長沙: 湖南科學(xué)技術(shù)出版社, 19953李廣民, 劉三陽. 應(yīng)用泛函分析原理M. 西安: 西安電子科技大學(xué)出版社, 2003第2頁/共46頁2021-11-304第2節(jié) 線性空間線性空間的定義 Institute of Mechanical En

3、gineering and Automation第3頁/共46頁2021-11-305第2節(jié) 線性空間線性空間的定義 Institute of Mechanical Engineering and Automation第4頁/共46頁2021-11-306第2節(jié) 線性空間線性空間的維數(shù) Institute of Mechanical Engineering and Automation第5頁/共46頁2021-11-307第2節(jié) 線性空間線性空間的維數(shù) Institute of Mechanical Engineering and Automation第6頁/共46頁2021-11-308第2

4、節(jié) 線性空間線性空間的模/范數(shù) Institute of Mechanical Engineering and Automation第7頁/共46頁2021-11-309第2節(jié) 線性空間線性空間的模 /范數(shù) Institute of Mechanical Engineering and Automation第8頁/共46頁2021-11-3010第2節(jié) 線性空間線性空間的模/范數(shù) Institute of Mechanical Engineering and Automation第9頁/共46頁2021-11-3011第2節(jié) 線性空間線性空間的模/范數(shù) Institute of Mechani

5、cal Engineering and Automation第10頁/共46頁2021-11-3012第3節(jié) 內(nèi)積空間內(nèi)積Institute of Mechanical Engineering and Automation第11頁/共46頁2021-11-3013內(nèi)積模/范數(shù)Institute of Mechanical Engineering and Automation第3節(jié) 內(nèi)積空間第12頁/共46頁2021-11-3014正交性Institute of Mechanical Engineering and Automation第3節(jié) 內(nèi)積空間第13頁/共46頁2021-11-3015正

6、交性Institute of Mechanical Engineering and Automation第3節(jié) 內(nèi)積空間第14頁/共46頁2021-11-3016許瓦茲不等式Institute of Mechanical Engineering and Automation第3節(jié) 內(nèi)積空間第15頁/共46頁2021-11-3017收斂性與完備性Institute of Mechanical Engineering and Automation第3節(jié) 內(nèi)積空間第16頁/共46頁2021-11-3018收斂性與完備性Institute of Mechanical Engineering and A

7、utomation第3節(jié) 內(nèi)積空間第17頁/共46頁2021-11-3019Sobolev空間HK定義Institute of Mechanical Engineering and Automation第4節(jié)索伯列夫空間HK 第18頁/共46頁2021-11-3020Sobolev空間HK定義Institute of Mechanical Engineering and Automation第4節(jié)索伯列夫空間HK 第19頁/共46頁2021-11-3021Sobolev空間HK定義Institute of Mechanical Engineering and Automation第4節(jié)索伯列夫

8、空間HK 第20頁/共46頁2021-11-3022Sobolev空間HK定義Institute of Mechanical Engineering and Automation第4節(jié)索伯列夫空間HK 第21頁/共46頁2021-11-3023Sobolev空間HK的模/范數(shù)Institute of Mechanical Engineering and Automation第4節(jié)索伯列夫空間HK 第22頁/共46頁2021-11-3024Sobolev空間HK的半模/范數(shù)Institute of Mechanical Engineering and Automation第4節(jié)索伯列夫空間HK

9、第23頁/共46頁2021-11-3025能量模/范數(shù)和能量內(nèi)積Institute of Mechanical Engineering and Automation第4節(jié)索伯列夫空間HK 第24頁/共46頁2021-11-3026能量模/范數(shù)和能量內(nèi)積Institute of Mechanical Engineering and Automation第4節(jié)索伯列夫空間HK 第25頁/共46頁2021-11-3027能量模/范數(shù)和能量內(nèi)積Institute of Mechanical Engineering and Automation第4節(jié)索伯列夫空間HK 第26頁/共46頁2021-11-3

10、028能量模/范數(shù)和能量內(nèi)積Institute of Mechanical Engineering and Automation第4節(jié)索伯列夫空間HK 第27頁/共46頁2021-11-3029Institute of Mechanical Engineering and Automation第5節(jié) Galerkin-Ritz變分原理 橢圓型PDEs實例考察具有定解的橢圓型偏微分方程邊值問題) 1 (),(),(),( 0 ),( ),(),(),( 21yxguyxnuyxpuyxyxfyuyxpyxuyxpx 其中p ( x, y)一階連續(xù)可導(dǎo)，且p ( x, y) p00, ( x, y

11、) 0且連續(xù)，n是的外法線方向，是R2中的連通區(qū)域，它的邊界= 1 2分段光滑。記C1()和C2()分別為上一切一階和二階連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)的全體。 如果函數(shù)u ( x, y) C2()，并且具有一直到邊界上的一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，同時u ( x, y) 在內(nèi)和邊界上滿足偏微分方程，那么u ( x, y) 稱為該方程的古典解。絕大多數(shù)PDEs求不出第28頁/共46頁2021-11-3030Institute of Mechanical Engineering and Automation第5節(jié) Galerkin-Ritz變分原理 橢圓型PDEs實例(2) dd)( 2222, 1yxuuuuyx 古典解要求

12、過嚴(yán)，為解出方程，必須擴(kuò)大解的范圍，為此，在線性解空間中引入范數(shù) 完備化C1()所得到的空間為H1()，在該空間中定義內(nèi)積(3) dd)(, 1yxvuvuvuvuyyxx 則H1()亦為Hilbert空間。 記D ()為上一切無限可微且支集在內(nèi)函數(shù)的全體，將D ()賦予范數(shù)和內(nèi)積，得到的空間記為H10( )。第29頁/共46頁2021-11-3031Institute of Mechanical Engineering and Automation第5節(jié) Galerkin-Ritz變分原理 橢圓型PDEs實例在內(nèi)分片一階光滑，,中賦予范數(shù)，完備化得到的空間等價于：(4) 0|),(|11uH

13、uuV在V中引入內(nèi)積，則V也是一個Hilbert空間，且： )( )(110HVH引入雙線性泛函(5) )(, d dd)(),(12HvusuvyxvpuvpuvuByyxx所謂雙線性泛函，即固定u時，B(u,v)是v的線性泛函，而固定v時，則是u的線性泛函。換言之，若1,1, 2,2為任意常數(shù)，則第30頁/共46頁2021-11-3032第5節(jié) Galerkin-Ritz變分原理 橢圓型PDEs實例Institute of Mechanical Engineering and Automation(6) )(, , ),(),(),(),(),(1212122221212212111112

14、2112211HvvuuvuB vuB vuB vuB vvuuB可以證明B(u,v)具有以下性質(zhì)：(1)對稱性(7) ),(),(uvBvuB(2)在VV上連續(xù)，即存在一個常數(shù)M0，使得(8) , ),(1,1,VvuvuMvuB(3)在V上具有強(qiáng)制性/正定性，即存在一個常數(shù)0，使得(9) ),(21,VuuuuB(8a) , ),(VvuvuMvuB(9a) ),(2VuuuuB式(8a)(9a)表示有界性和強(qiáng)制性對任意引入的范數(shù)|均成立。有界性第31頁/共46頁2021-11-3033Institute of Mechanical Engineering and Automation第5

15、節(jié) Galerkin-Ritz變分原理 橢圓型PDEs實例再作v的連續(xù)線性泛函：(10) ddd)(2sgvyxfvvf式(1)相應(yīng)的變分問題就是：求uV，使得(11) )(),(VvvfvuB 滿足式(11)的解u稱為原橢圓型偏微分方程的弱解，將弱解所在的空間稱為容許空間/試函數(shù)空間。同時由于式(11)必須對V中任一元素v都成立，故V稱為檢驗空間。上述問題其容許空間和檢驗空間取同一個Hilbert空間V，這時V又稱為能量空間。第32頁/共46頁2021-11-3034Institute of Mechanical Engineering and Automation第5節(jié) Galerkin-

16、Ritz變分原理 古典解和弱解的關(guān)系 作二次泛函古典解和弱解的關(guān)系：若u C2()是橢圓偏微分方程式(1)的古典解，則u必為變分方程式(11)的弱解。反之，若變分方程式(11)的解為u，且u C2() ，則u也是式(1)的古典解。 注：該關(guān)系具有嚴(yán)格的證明，證明可見1。1李開泰,黃艾香, 黃慶懷. 有限元方法及其應(yīng)用M. 西安:西安交通大學(xué)出版社, 1992. 式(12)稱為橢圓偏微分方程邊值問題式(1)的Galerkin變分形式，其解的存在性由Lax-Milgram定理1保證。(12) )(-),(21)(vfvvBvJJ(v)的極小值問題就是求u V,使得(13) )( min)(vJuJ

17、Vv第33頁/共46頁2021-11-3035Institute of Mechanical Engineering and Automation第5節(jié) Galerkin-Ritz變分原理 Galerkin和Ritz解關(guān)系式(13)稱為橢圓偏微分方程式(1)的Ritz變分形式。 設(shè)V是Hilbert空間，B(u,v)是V V上滿足條件式(7)、式(8a)、式 (9a)的雙線性泛函，f是V上線性連續(xù)泛函，J(v)為式(12)所定義的二次泛函，那么，Galerkin變分形式(11)和Ritz變分形式(13)兩個問題中(1) 任何一個問題有解，則解多于一個(2) 任一個問題的解，必式另一個問題的解G

18、alerkin變分形式和Ritz變分形式解及其關(guān)系定理：下面給出該定理的詳細(xì)證明第34頁/共46頁2021-11-3036Institute of Mechanical Engineering and Automation第5節(jié) Galerkin-Ritz變分原理 Galerkin和Ritz解關(guān)系第35頁/共46頁2021-11-3037Institute of Mechanical Engineering and Automation第5節(jié) Galerkin-Ritz變分原理 Galerkin和Ritz解關(guān)系第36頁/共46頁2021-11-3038Institute of Mechanic

19、al Engineering and Automation第5節(jié) Galerkin-Ritz變分原理 Galerkin和Ritz解關(guān)系第37頁/共46頁2021-11-3039Institute of Mechanical Engineering and Automation第5節(jié) Galerkin-Ritz變分原理 Galerkin和Ritz解關(guān)系(3) 由于Galerkin解具有唯一性，則Ritz解唯一性由Galerkin解和Ritz解的等價性得到。 證畢。第38頁/共46頁2021-11-3040Institute of Mechanical Engineering and Automa

20、tion第5節(jié) Galerkin-Ritz變分原理 Galerkin和Ritz解關(guān)系 相當(dāng)廣泛的一類橢圓偏微分方程邊值問題，都存在與之對應(yīng)的對稱、連續(xù)、有界、強(qiáng)制的雙線性泛函，使得邊值問題的弱解，對應(yīng)一個Hilbert空間上的抽象變分。對于這一類問題的研究是從事有限元研究的應(yīng)用/計算數(shù)學(xué)研究者主要工作，即推導(dǎo)出方程的計算格式。第39頁/共46頁2021-11-3041Institute of Mechanical Engineering and Automation第5節(jié) Galerkin-Ritz變分原理 Galerkin逼近解推導(dǎo) 有限元數(shù)值分析方法的任務(wù)就是將工程實踐中抽象出來的PDEs

21、離散為代數(shù)方程，即將無窮維空間中的問題轉(zhuǎn)化到有限維子空間中來，然后求其近似解。 以本節(jié)給出的橢圓型偏微分方程為例，推導(dǎo)其Galerkin逼近解。 設(shè)Vh是V的有限維子空間，當(dāng)h0時， Vh的維數(shù)無限增加，直到充滿V為止。那么，Galerkin變分問題式(11)逼近解uhVh，使得(14) )(),( VvvfvuBhh設(shè)Vh的基函數(shù)系為nii1第40頁/共46頁2021-11-3042Institute of Mechanical Engineering and Automation第5節(jié) Galerkin-Ritz變分原理 Galerkin逼近解推導(dǎo) 設(shè)Vh是V的有限維子空間，當(dāng)h0時， V

22、h的維數(shù)無限增加，直到充滿V為止。那么，Galerkin變分問題式(11)逼近解uhVh，使得(15) 11iniiiniihbvau其中，ai,bi Rn。將式(15)代入式(14)，得)(),()(),(111111iniiijnjjniiiniiiniijnjjfbBabbfbaB第41頁/共46頁2021-11-3043Institute of Mechanical Engineering and Automation第5節(jié) Galerkin-Ritz變分原理 Galerkin逼近解推導(dǎo)由bi的任意性，可得0)(),(11iijnjjniifBab)16( 321 )(),(1,n, ifBaiijnjj令)17( )( ),(iiijijfFBK)18( 321 1,n, iFaKijnjij則 式(18)是對應(yīng)于Galerkin變分形式的線性代數(shù)方程組，求解可得Galerkin逼近解。第42頁/共46頁2021-11-3044Institute of Mechanical Engineering and A