1、1 / 9 4.5 函數(shù)的應(yīng)用(二) 4.5.1 函數(shù)的零點與方程的解函數(shù)的零點與方程的解 課程標(biāo)準(zhǔn) 核心素養(yǎng) 1結(jié)合學(xué)過的函數(shù)圖象，了解函數(shù)零點與方程解的關(guān)系 2結(jié)合具體連續(xù)函數(shù)及其圖象的特點，了解函數(shù)零點存在定理. 通過對函數(shù)的零點與方程的解的學(xué)習(xí)，提升“數(shù)學(xué)抽象”、“邏輯推理”、“數(shù)學(xué)運算”的核心素養(yǎng). 對應(yīng)學(xué)生用書 p71 知識點 1 函數(shù)的零點 1對于函數(shù) yf(x)，把使 f(x)0的實數(shù) x 叫做函數(shù) yf(x)的零點 2函數(shù)的零點與方程的根的聯(lián)系：方程 f(x)0 有實數(shù)解函數(shù) yf(x)有零點函數(shù)yf(x)的圖象與 x 軸有公共交點 微思考 函數(shù)的零點是函數(shù)與 x軸的交點嗎？

2、 提示：不是函數(shù)的零點不是個點，而是一個數(shù)，該數(shù)是函數(shù)圖象與 x 軸交點的橫坐標(biāo) 微體驗 1函數(shù) y2x1的零點是( ) a12 b12，0 c0，12 d2 a 由 2x10得 x12. 2二次函數(shù) yax2bxc 中，a c0 得二次函數(shù) yax2bxc 有兩個零點 答案 兩 知識點 2 函數(shù)零點存在性定理 如果函數(shù) yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有 f(a) f(b)0，那么，函數(shù) yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個零點，即存在 c(a，b)，使得 f(c)0. 這個 c也就是方程 f(x)0的解 微思考 該定理具備哪些條件？ 提示：定理要求具備兩條：函數(shù)在區(qū)

3、間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線；2 / 9 f(a) f(b)0. 微體驗 1思考辨析 (1)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)的曲線 yf(x)，若 f(a) f(b)0，則函數(shù) yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)僅有一個零點( ) (2)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)的曲線 yf(x)，若 f(a) f(b)0，則函數(shù) yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)沒有一個零點( ) 答案 (1) (2) 2函數(shù) f(x)3x4的零點所在區(qū)間為( ) a(0,1) b(1,0) c(2,3) d(1,2) d 由 f(1)3410 得 f(x)的零點所在區(qū)間為(1,2) 對應(yīng)學(xué)生用書 p71 探究一 求函數(shù)的零點 (1)求函數(shù) f

4、(x) x22x3，x0，2ln x，x0的零點； (2)已知函數(shù) f(x)axb(a0)的零點為 3，求函數(shù) g(x)bx2ax的零點. 解 (1)當(dāng) x0 時，令 x22x30，解得 x3； 當(dāng) x0時，令2ln x0，解得 xe2. 所以函數(shù) f(x) x22x3，x0，2ln x，x0的零點為3 和 e2. (2)由已知得 f(3)0即 3ab0，即 b3a. 故 g(x)3ax2axax(3x1) 令 g(x)0，即 ax(3x1)0，解得 x0或 x13. 所以函數(shù) g(x)的零點為 0和13. 方法總結(jié) 函數(shù)零點的求法 (1)代數(shù)法：求方程 f(x)0 的實數(shù)根； (2)幾何法：

5、與函數(shù) yf(x)的圖象聯(lián)系起來，圖象與 x 軸的交點的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點 跟蹤訓(xùn)練 1 判斷下列函數(shù)是否存在零點，如果存在，請求出 (1)f(x)x24x4； 3 / 9 (2)f(x)(x1)(x24x3)x3；來源: (3)f(x)4x5；來源:zxxk. (4)f(x)log3(x1) 解 (1)令x24x40，解得 x2. 所以函數(shù)的零點為 x2. (2)令(x1)(x24x3)x30，解得 x1. 所以函數(shù)的零點為 x1. (3)令 4x50，則 4x50，顯然函數(shù) f(x)是單調(diào)函數(shù)，有且只有一個零點，則函數(shù) f(x)的零點在區(qū)間(0,1)上，所以方程 exx2 的解在區(qū)間(0

6、,1)上 方法總結(jié) 1確定函數(shù)零點所在區(qū)間的方法 確定函數(shù)的零點、方程的根所在的區(qū)間時，通常利用零點存在性定理，轉(zhuǎn)化為判斷區(qū)間兩端點對應(yīng)的函數(shù)值的符號是否相反 2判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的三個步驟來源:zxxk. (1)代：將區(qū)間端點代入函數(shù)求出函數(shù)的值 (2)判：把所得函數(shù)值相乘，并進行符號判斷 (3)結(jié)：若符號為正且函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則在該區(qū)間內(nèi)無零點，若符號為負(fù)且函數(shù)連續(xù)，則在該區(qū)間內(nèi)至少有一個零點 跟蹤訓(xùn)練 2 (1)使得函數(shù) f(x)ln x12x2 有零點的一個區(qū)間是( ) 4 / 9 a(0,1) b(1,2) c(2,3) d(3,4) c 函數(shù) f(x)的圖象在(0，)上

7、連續(xù)不斷，且 f(2)ln 21ln e12120，f(2) f(3)0. (2)若函數(shù) f(x)xax(ar)在區(qū)間(1,2)上有零點，則 a 的值可能是( ) a2 b0 c1 d3 a f(x)xax(ar)的圖象在(1,2)上是連續(xù)不斷的，逐個選項代入驗證，當(dāng) a2時，f(1)1210.故 f(x)在區(qū)間(1,2)上有零點，同理，其他選項不符合 探究三 函數(shù)零點的個數(shù) 判斷函數(shù) f(x)2xlg(x1)2 的零點個數(shù) 解 方法一：f(0)10210， f(x)在(0,2)上必定存在零點 又 f(x)2xlg(x1)2在(0，)上為增函數(shù)， 故 f(x)有且只有一個零點 方法二：在同一坐

8、標(biāo)系下作出 h(x)22x和 g(x)lg(x1)的草圖，如圖所示 由圖象知 g(x)lg(x1)的圖象和 h(x)22x的圖象有且只有一個交點， 即 f(x)2xlg(x1)2有且只有一個零點 變式探究 將本例中函數(shù)解析式改為 f(x)x3ln x 呢？ 解 方法一：令 f(x)x3ln x0，則 ln x3x. 在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù) yln x與 yx3的圖象，如圖所示 由圖可知函數(shù) yln x，yx3 的圖象只有一個交點，即函數(shù) f(x)x3ln x 只有一個零點 5 / 9 方法二：因為 f(3)ln 30，f(2)1ln 2ln2e0，所以 f(3) f(2)0，說明函數(shù)

9、f(x)x3ln x在區(qū)間(2,3)內(nèi)有零點 又 f(x)x3ln x 在(0，)上是增函數(shù)，所以函數(shù)只有一個零點 方法總結(jié) 判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法 方法一：直接求出函數(shù)的零點進行判斷； 方法二：結(jié)合函數(shù)圖象進行判斷； 方法三：借助函數(shù)的單調(diào)性進行判斷若函數(shù) f(x)在區(qū)間a，b上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且在區(qū)間(a，b)上單調(diào)，滿足 f(a) f(b)0，則函數(shù) f(x)在區(qū)間(a，b)上有且僅有一個零點，如圖所示 對應(yīng)學(xué)生用書 p73 1方程 f(x)g(x)的根是函數(shù) f(x)與 g(x)的圖象交點的橫坐標(biāo)，也是函數(shù) yf(x)g(x)的圖象與 x 軸交點的橫坐標(biāo) 2在函數(shù)零點存在性

10、定理中，要注意三點 (1)函數(shù)是連續(xù)的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一個零點 3解決函數(shù)的零點存在性問題常用的辦法有三種 (1)用定理；(2)解方程；(3)用圖象 4函數(shù)與方程有著密切的聯(lián)系，有些方程問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題求解，同樣，函數(shù)問題有時化為方程問題求解，這正是函數(shù)與方程思想的基礎(chǔ) 課時作業(yè)(二十九) 函數(shù)的零點與方程的解 見課時作業(yè)(二十九)p172 1若函數(shù) f(x)x22xa沒有零點，則實數(shù) a 的取值范圍是( ) aa1 ba1 ca1 da1來源: b 由題意知，44a0，a1. 2對于函數(shù) f(x)，若 f(1) f(3)0，則( ) a方程 f(x)0一定有實數(shù)解 b

11、方程 f(x)0 一定無實數(shù)解 6 / 9 c方程 f(x)0 一定有兩實根 d方程 f(x)0可能無實數(shù)解 d 函數(shù) f(x)的圖象在(1,3)上未必連續(xù)，故盡管 f(1)f(3)0，但方程 f(x)0在(1,3)上可能無實數(shù)解 3已知函數(shù) f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下的 x，f(x)對應(yīng)值表： x 1 2 3 4 5 6 7 f(x) 123.5 21.5 7.82 11.57 53.7 126.7 129.6 那么函數(shù) f(x)在區(qū)間1,6上的零點至少有( ) a2 個 b3 個 c4 個 d5 個 b 由表可知 f(2) f(3)0，f(3) f(4)0，f(4) f(5)0.

12、f(x)在1,6上至少有 3 個零點 4已知 x0是函數(shù) f(x)2xlog13 x的零點，若 0 x10 bf(x1)0與 f(x1)0均有可能 b 由于 f(x)在(0，)上是增函數(shù)，所以 f(x1)0，且 a1)有兩個零點，則 實數(shù) a 的取值范圍是_ 解析 函數(shù) f(x)的零點的個數(shù)就是函數(shù) yax與函數(shù) yxa 交點的個數(shù)，由函數(shù)的圖象可知 a1時兩函數(shù)圖象有兩個交點，0a1. 答案 (1，) 9已知函數(shù) f(x)loga(1x)loga(x3)(0a1) (1)求函數(shù) f(x)的定義域； (2)求函數(shù) f(x)的零點 解 (1)要使函數(shù)有意義，則有 1x0，x30， 解得3x1，

13、所以函數(shù)的定義域為(3,1) (2)函數(shù)可化為 f(x)loga(1x)(x3)loga(x22x3)，由 f(x)0，得x22x31， 即 x22x20，解得 x1 3. 因為1 3(3,1)，所以 f(x)的零點是1 3. 10已知函數(shù) f(x)3x22xm1. (1)當(dāng) m 為何值時，函數(shù)有兩個零點、一個零點、無零點？ (2)若函數(shù)恰有一個零點在原點處，求 m 的值 解 (1)函數(shù)有兩個零點，則對應(yīng)方程3x22xm10 有兩個不相等的實數(shù)根，易知 0， 即 412(1m)0，可解得 m43. 8 / 9 由 0，可解得 m43； 由 0，可解得 m43. 故當(dāng) m43時，函數(shù)有兩個零點；

14、 當(dāng) m43時，函數(shù)有一個零點； 當(dāng) m43時，函數(shù)無零點 (2)因為 0 是對應(yīng)方程的根，所以有 1m0，解得 m1. 來源:z.xx.k. 1已知 f(x)(xa)(xb)2，并且 ， 是函數(shù) f(x)的兩個零點，則實數(shù) a，b，的大小關(guān)系可能是( ) aab bab cab dab c 因為 ， 是函數(shù) f(x)的兩個零點，所以 f()f()0. 又 f(a)f(b)20，結(jié)合二次函數(shù)的圖象，如圖所示 可知 a，b 必在 ，之間 2若函數(shù) f(x)的定義域為(，0)(0，)，且 f(x)為偶函數(shù)，又 f(x)在(0，)上是減函數(shù)，f(2)0，則函數(shù) f(x)的零點有( ) a一個 b兩個 c至少兩個 d無法判斷 b 依據(jù)給出的函數(shù)性質(zhì)，易知 f(2)0，畫出函數(shù)的大致圖象如圖：可知 f(x)有兩個零點 3設(shè) x0是方程 ln xx4的解，且 x0(k, k1)，kz，則 k_. 解析 令 f(x)ln xx4，且 f(x)在(0，)上遞增，因為 f(2)ln 2240. 所以 f(x)在(2,3)內(nèi)有解，所以 k2. 答案 2 4(拓廣探索)已知函數(shù) f(x)x2(k2)xk23k5有兩個零點 (1)若函數(shù)的兩個零點是1 和3，求 k 的值； 9 / 9 (2)若函