1、1 / 7 第二章函數 3 函數的單調性和最值 第 1 課時 函數的單調性 課后篇鞏固提升鞏固提升 必備知識基礎練 1.(多選題)下列函數在區(qū)間(0,+)上單調遞增的是( ) a.y=2x+1 b.y=x2+1 c.y=3-x d.y=x2+2x+1 解析函數 y=3-x 在區(qū)間(0,+)上單調遞減. 答案 abd 2.函數 f(x)=-x2+2x+3 的單調遞減區(qū)間是( ) a.(-,1) b.(1,+) c.(-,2) d.(2,+) 解析易知函數 f(x)=-x2+2x+3 是圖象開口向下的二次函數,其對稱軸為 x=1,所以其單調遞減區(qū)間是(1,+). 答案 b 3.已知函數 f(x)=

2、1+2x-x2,則下列結論正確的是( ) a.f(x)在區(qū)間(-,1上單調遞增 b.f(x)在區(qū)間-1,+)上單調遞增 c.f(x)在區(qū)間(-,1上單調遞減 d.f(x)在區(qū)間-1,+)上單調遞減 解析 f(x)=-(x-1)2+2,對稱軸為 x=1,由題意可知函數拋物線開口向下,則 f(x)在(-,1上單調遞增,在1,+)上單調遞減,故選 a. 答案 a 4.已知函數 f(x)在區(qū)間(-,+)上是減函數,若 ar,則( ) a.f(a)f(2a) b.f(a2)f(a) c.f(a2+a)f(a) d.f(a2+1)a,f(x)在區(qū)間(-,+)上是減函數,所以 f(a2+1)f(a).而在其

3、他選項中,當 a=0時,自變量均是 0,應取等號.故選 d. 答案 d 5.(2020 山西大同第四中學高一期中)已知函數 y=f(x)在定義域(-1,1)上是減函數,且 f(2a-1)f(1-a),則實數 a 的取值范圍是( ) 2 / 7 a.23,+ b.23,1 c.(0,2) d.(0,+) 解析因為函數 y=f(x)在定義域(-1,1)上是減函數,且 f(2a-1) 1-,-1 2-1 1,-1 1- 1,解得23a1,所以實數 a的取值范圍是23,1 .故選 b. 答案 b 6.(2020 安徽高二學業(yè)考試)函數 y=f(x)(x-4,4)的圖象如圖所示,則函數 f(x)的單調遞

4、增區(qū)間為( ) a.-4,-2 b.-2,1 c.1,4 d.-4,-21,4 答案 b 7.(多選題)下列命題是假命題的有( ) a.定義在區(qū)間(a,b)上的函數 f(x),如果有無數個 x1,x2(a,b),當 x1x2時,有 f(x1)f(x2),那么 f(x)在區(qū)間(a,b)上為增函數 b.如果函數 f(x)在區(qū)間 i1上單調遞減,在區(qū)間 i2上也單調遞減,那么 f(x)在區(qū)間 i1i2上就一定單調遞減 c.任取 x1,x2(a,b),且 x1x2,當(1)-(2)1-20 時,函數 f(x)在區(qū)間(a,b)上單調遞增 解析 a是假命題,“無數個”不能代表“所有”“任意”; 以 f(x

5、)=1為例,知 b 是假命題; (1)-(2)1-20(x1x2)等價于f(x1)-f(x2) (x1-x2) 0,1-2 0或(1)-(2) 0,即(1) (2),1 2或(1) 2, f(x)在區(qū)間(a,b)上單調遞減,c 是真命題,同理可得 d也是真命題. 答案 ab 8.若函數 y=ax與 y=-在區(qū)間(0,+)上都單調遞減,則函數 y=ax2+bx在區(qū)間(0,+)上( ) a.單調遞增 b.單調遞減 c.先增后減 d.先減后增 3 / 7 解析由于函數 y=ax與 y=-在區(qū)間(0,+)上都單調遞減,所以 a0,即 a0,b0.因為拋物線y=ax2+bx的對稱軸為 x=-20,且拋物

6、線開口向下,所以函數 y=ax2+bx在區(qū)間(0,+)上單調遞減. 答案 b 9.已知函數 f(x)=2x2-mx+3,當 x-2,+)時,f(x)單調遞增,當 x(-,-2時,f(x)單調遞減,則m= ,f(1)= . 解析函數 f(x)在區(qū)間(-,-2上單調遞減,在區(qū)間-2,+)上單調遞增,x=-2=4=-2, m=-8,即 f(x)=2x2+8x+3.f(1)=13. 答案-8 13 10.(2021 福建福州高一期末)已知函數 f(x)=2-(-1) + 2,且 f(1)=3. (1)求實數 a的值; (2)判斷 f(x)在區(qū)間(-,0上的單調性并用定義證明. 解(1)由 f(1)=3

7、,得 1-(a-1)+2a=3, 解得 a=1. (2)由(1)知 f(x)=2+ 2,其定義域為 r,f(x)在區(qū)間(-,0上單調遞減. 證明如下: 任取 x1,x2(-,0,且 x1x2, f(x1)-f(x2)=12+ 2 22+ 2 =(12+2-22+2)(12+2+22+2)12+2+22+2 =(12+2)-(22+2)12+2+22+2 =12-2212+2+22+2 =(1-2)(1+2)12+2+22+2. 因為 x10,x20,且 x1x2, 所以 x1+x20,x1-x20, 則 f(x1)-f(x2)0,所以 f(x1)f(x2), 故 f(x)在區(qū)間(-,0上單調遞

8、減. 關鍵能力提升練 11.若函數 f(x)=-x2+2ax 與 g(x)=+1在區(qū)間1,2上都單調遞減,則 a的取值范圍是( ) a.(-1,0)(0,1) b.(-1,0)(0,1 c.(0,1) d.(0,1 4 / 7 解析 f(x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2, f(x)在區(qū)間1,2上單調遞減,a1. g(x)=+1在區(qū)間1,2上單調遞減, a0,0a1. 答案 d 12.下列有關函數單調性的說法不正確的是( ) a.若 f(x)為增函數,g(x)為增函數,則 f(x)+g(x)為增函數 b.若 f(x)為減函數,g(x)為減函數,則 f(x)+g(x)為減函數 c.若 f

9、(x)為增函數,g(x)為減函數,則 f(x)+g(x)為增函數 d.若 f(x)為減函數,g(x)為增函數,則 f(x)-g(x)為減函數 解析根據不等量的關系,兩個相同單調性的函數相加單調性不變,選項 a,b 正確;對于 d,g(x)為增函數,則-g(x)為減函數,f(x)為減函數,f(x)+(-g(x)為減函數,選項 d正確;對于 c,若 f(x)為增函數,g(x)為減函數,則 f(x)+g(x)的單調性不確定.例如 f(x)=x+2為 r 上的增函數,當 g(x)=-12x 時,f(x)+g(x)=2+2 在 r 上為增函數;當 g(x)=-3x 時,f(x)+g(x)=-2x+2在

10、r 上為減函數,故不能確定 f(x)+g(x)的單調性.故選 c. 答案 c 13.給出下列三個結論: 若函數 y=f(x)的定義域為(0,+),且滿足 f(1)f(2)f(3),則函數 y=f(x)在定義域(0,+)上是增函數; 若函數 y=f(x)在區(qū)間(-,+)上是減函數,則 f(a2+1)a2,又 y=f(x)在區(qū)間(-,+)上是減函數, f(a2+1)f(a2),正確; 取 x1=-1,x2=1,f(-1)=-1,f(1)=1, f(-1) 1是定義域上的減函數,則實數 a的取值范圍為 . 解析由題意可得- 1, x2-2,則 f(x1)f(x2),則實數 a的取值范圍是 . 解析由

11、“若 x1x2-2,則 f(x1)f(x2)”可知函數 f(x)在區(qū)間(-2,+)上單調遞增.而 f(x)=+1+2=a+1-2+2,故有1-2a12,即 a 的取值范圍為(12, + ). 答案(12, + ) 17.(2020 浙江金華高一檢測)函數 f(x)=1(-1)(-2)的定義域為 ;單調遞減區(qū)間為 . 解析函數 f(x)=1(-1)(-2)滿足(x-1)(x-2)0,解得 x2, 函數 f(x)的定義域為(-,1)(2,+); 又 t=(x-1)(x-2)在區(qū)間(-,1)上單調遞減,在區(qū)間(2,+)上單調遞增, 函數 f(x)在區(qū)間(-,1)上單調遞增,在區(qū)間(2,+)上單調遞減

12、, 函數 f(x)的單調遞減區(qū)間為(2,+). 答案(-,1)(2,+) (2,+) 18.已知函數 f(x)=mx+1+12(m,n是常數),且 f(1)=2,f(2)=114. (1)求 m,n的值; (2)當 x1,+)時,判斷 f(x)的單調性并證明; (3)若不等式 f(1+2x2)f(x2-2x+4)成立,求實數 x 的取值范圍. 解(1)f(1)=m+1+12=2,f(2)=2m+12+12=114, = 1, = 2. (2)由(1)得 f(x)=x+12+12. 設 1x1x2,則 f(x1)-f(x2)=x1+121+12 (2+122+12)=(x1-x2) (1-121

13、2) 6 / 7 =(x1-x2)(212-1212). 1x1x2,x1-x21, 2x1x2-11, f(x1)-f(x2)0,即 f(x1)x2-2x+4, x2+2x-30,解得 x1. 即實數 x的取值范圍為(-,-3)(1,+). 學科素養(yǎng)拔高練 19.已知函數 f(x)=x2+(x0,ar),若函數 f(x)在區(qū)間2,+)上單調遞增,則 a的取值范圍為 . 解析任取 x1,x22,+),且 x10,f(x2)-f(x1)=22+2 121=2-112x1x2(x1+x2)-a. 要使函數 f(x)在區(qū)間2,+)上單調遞增,需滿足 f(x2)-f(x1)0 在2,+)上恒成立. x2-x10,x1x240, a4,x1x2(x1+x2)16,a16, 即 a的取值范圍是(-,16. 答案(-,16 20.設 f(x)是定義在 r 上的函數,對任意 m,nr,恒有 f(m+n)=f(m) f(n)(f(m)0,f(n)0),且當 x0時,0f(x)0; (3)求證:f(x)在 r 上是減函數. 證明(1)根據題意,令 m=0,可得 f(0+n)=f(0) f(n), f(n)0,f(0)=1. (2)由題意知,當 x0時,0f(x)0; 當 x0,0f(-x