1、4.3平面向量的數(shù)量積及向量的應用典例精析題型一利用平面向量數(shù)量積解決模、夾角問題來源:【例1】 已知a，b夾角為120°，且|a|4，|b|2，求：(1)|ab|；(2)(a2b) ·(ab)；(3)a與(ab)的夾角.【解析】(1)(ab)2a2b22a·b1642×4×2×12，所以|ab|2.來源:(2)(a2b) ·(ab)a23a·b2b2163×4×2×2×412.(3)a·(ab)a2a·b164×2×12.所以cos

2、，所以.【點撥】利用向量數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運算律可以解決向量的模、夾角等問題.【變式訓練1】已知向量a，b，c滿足：|a|1，|b|2，cab，且ca，則a與b的夾角大小是.【解析】由cac·a0a2a·b0，所以cos ，所以120°.題型二利用數(shù)量積來解決垂直與平行的問題【例2】 在abc中，(2，3)， (1，k)，且abc的一個內(nèi)角為直角，求k的值.【解析】當a90°時，有·0，來源:所以2×13·k0，所以k；當b90°時，有·0，又(12，k3)(1，k3)，所以2×(1)3

3、15;(k3)0k；當c90°時，有·0，所以1k·(k3)0，所以k23k10k.來源:所以k的取值為，或.【點撥】因為哪個角是直角尚未確定，故必須分類討論.在三角形中計算兩向量的數(shù)量積，應注意方向及兩向量的夾角.【變式訓練2】abc中，ab4，bc5，ac6，求···.【解析】因為2·2·2·(··)(··)(··)·()·()·()···42625277.來源:數(shù)理化網(wǎng)所以

4、3;··.題型三平面向量的數(shù)量積的綜合問題【例3】數(shù)軸ox，oy交于點o，且xoy，構(gòu)成一個平面斜坐標系，e1，e2分別是與ox，oy同向的單位向量，設(shè)p為坐標平面內(nèi)一點，且xe1ye2，則點p的坐標為(x，y)，已知q(1，2).(1)求|的值及與ox的夾角；(2)過點q的直線loq，求l的直線方程(在斜坐標系中).【解析】(1)依題意知，e1·e2，且e12e2，所以2(e12e2)2144e1·e23.所以|.又·e1(e12e2) ·e1e2e1e20.所以e1，即與ox成90°角.(2)設(shè)l上動點p(x，y)，即x

5、e1ye2，又l，故，來源:即(x1)e1(y2)e2 ·(e12e2)0.所以(x1)(x1)(y2) ·2(y2)0，所以y2，即為所求直線l的方程.【點撥】綜合利用向量線性運算與數(shù)量積的運算，并且與不等式、函數(shù)、方程、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等相交匯，體現(xiàn)以能力立意的命題原則是近年來高考的命題趨勢.【變式訓練3】在平面直角坐標系xoy中，點a(5，0).對于某個正實數(shù)k，存在函數(shù)f(x)ax2(a0)，使得 ()(為常數(shù))，其中點p，q的坐標分別為(1，f(1)，(k，f(k)，則k的取值范圍為()a.(2，)b.(3，)c.(4，)d.(8，)【解析】如圖所示，設(shè)，則.因為p(1，a)，q(k，ak2)，(1，0)，(，)，(1，)，則直線og的方程為yx，又，所以p(1，a)在直線og上，所以a，所以a21.因為|1，所以10，所以k2. 故選a.總結(jié)提高1.本節(jié)是平面向量這一章的重要內(nèi)容，要準確理解兩個向量數(shù)量積的定義及幾何意義，熟練掌握向量數(shù)量積的性質(zhì)及運算律；數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即(a·b) ·ca·(b·c)；數(shù)量積不滿足消去律，即a·ba·c推不出bc.2.通過向量的數(shù)量積，可以計算向量的長度，平面內(nèi)兩點間的距離，兩個向量的夾角，判斷