1、會計學(xué)1第1頁/共32頁第2頁/共32頁3) ,數(shù)一定可以選取為二次型函數(shù)的形式。第3頁/共32頁第4頁/共32頁4.3.1 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性定常連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析第5頁/共32頁證明過程為：證明過程為：已知滿足矩陣方程PA+AP=-Q的正定矩陣P存在,故令V(x)=xPx.由于V(x)為正定函數(shù),而且V(x)沿軌線對時間t的全導(dǎo)數(shù)為V(x)=(xPx)=xPx+xPx=(Ax)Px+xPAx=x(PA+AP)x=-xQx而Q為正定矩陣,故V(x)為負(fù)定函數(shù)第6頁/共32頁q上述定理給出了一個判別線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性的簡便方法,該方法不需尋找李雅普諾夫函數(shù),不需求解系統(tǒng)

2、矩陣A的特征值,只需解一個矩陣代數(shù)方程即可,計算簡便。該矩陣方程又稱為李雅普諾夫矩陣代數(shù)方程。第7頁/共32頁n,P諾夫代數(shù)方程:PA+AP=-I求解,然后根據(jù)P的正定性來判定系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。第8頁/共32頁21211110 xxxxq解 設(shè)選取的李雅普諾夫函數(shù)為V(x)=xPx由定理4-7可知,上式中的正定矩陣P滿足李雅普諾夫方程PA+AP=-I.第9頁/共32頁于是,令對稱矩陣P為22121211ppppP1001111011102212121122121211pppppppp展開后得,有:1001222221222121122121112ppppppppp第10頁/共32頁因此,得如下

3、聯(lián)立方程組:122012221222121112pppppp解出p11,p12和p22,得21132122121211ppppP第11頁/共32頁由于變換后的對角線矩陣的對角線上的元素都大于零,故矩陣P為正定的。因此,系統(tǒng)為大范圍漸近穩(wěn)定的。此時,系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)和它沿狀態(tài)軌線對時間t的全導(dǎo)數(shù)分別為500961211321)2(3/ ) 1 ()2()2(3/ ) 1 ()2(行列P01001)(0211321)(xxxxxxxxxxQVPV第12頁/共32頁q解解 由圖可寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程為32132110120010 xxxkxxx第13頁/共32頁000000001Q 只在原點(diǎn)處才恒

4、為零,其他非零狀態(tài)軌跡不恒為零。 因此,對上述非負(fù)定的Q,李雅普諾夫代數(shù)方程和相應(yīng)結(jié)論依然成立。第14頁/共32頁1112131112131222231222231323331323330001000012002100001101001ppppppkppppppkpppppp 求得212601632(6)06kkkPkkkkk 為使原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的,矩陣P須為正定。第15頁/共32頁222(1) (2) 2(1)(3) (2)/3(3)(1) (2) 2(1)(3) (2)/3(3)1260000063030300606006/3kkkkkkkkkkkkkk 行行列列 從而得

5、到P為正定矩陣的條件1220,30,6/30kkk即0k0)負(fù)定(0)半負(fù)定(0)且不恒為0(對任意非零的初始狀態(tài)的解)該平衡態(tài)漸近穩(wěn)定正定(0)半負(fù)定(0)且恒為0(對某一非零的初始狀態(tài)的解)該平衡態(tài)穩(wěn)定但非漸近穩(wěn)定正定(0)正定(0)該平衡態(tài)不穩(wěn)定正定(0)半正定(0)且不恒為0(對任意非零的初始狀態(tài)的解)該平衡態(tài)不穩(wěn)定第24頁/共32頁存在一個正定矩陣P為李雅普諾夫矩陣代數(shù)方程GPG-P=-Q的解,并且正定函數(shù)Vx(k)=x(k)Px(k)即為系統(tǒng)的一個李雅普諾夫函數(shù)。第25頁/共32頁)()1(kGxkx QPPGGT 且系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)是：且系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)是： )()()(

6、kPxkxkxVT ：代替，則有：的導(dǎo)數(shù)用對于線性離散時間系統(tǒng))()(,kxVkxV )()()()()()()()()()()1()1()()1()(kQxkxkxPPGGkxkPxkxkPGxkGxkPxkxkPxkxkxVkxVkxVTTTTTTT 第26頁/共32頁第27頁/共32頁試用李氏第二法確定系統(tǒng)在平衡點(diǎn)試用李氏第二法確定系統(tǒng)在平衡點(diǎn) 為漸近穩(wěn)定的為漸近穩(wěn)定的k值范圍。值范圍。0 ex根據(jù)根據(jù) 得：得：IQ QPPGGT ?。喝。?100010001020100010010201000332313232212131211332313232212131211pppppppppkpppppppppk：已知線性離散時間系統(tǒng)狀態(tài)方程為：已知線性離散時間系統(tǒng)狀態(tài)方程為：)()1(kGxkx 其中：其中：0,020100010 kkG第28頁/共32頁根據(jù)賽爾維斯特法則：如果根據(jù)賽爾維斯特法則：如果P正定，則正定，則 ，即：，即： k2，所以系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的，所以系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的k值范圍為值范圍為0k2 222)2/(13000)2/(1)2/(200