1、“等時(shí)圓”模型的規(guī)律及應(yīng)用一、等時(shí)圓模型（如圖所示）二、等時(shí)圓規(guī)律：1、小球從圓的頂端沿光滑弦軌道靜止滑下，滑到弦軌道與圓的交點(diǎn)的時(shí)間相等。（如圖 a）2、小球從圓上的各個(gè)位置沿光滑弦軌道靜止滑下，滑到圓的底端的時(shí)間相等。（如圖 b）3、沿不同的弦軌道運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，都等于小球沿豎直直徑（d ）自由落體的時(shí)間，即t02d4R2 R（式中 R為圓的半徑。）ggg三、等時(shí)性的證明設(shè)某一條弦與水平方向的夾角為，圓的直徑為 d （如右圖）。根據(jù)物體沿光滑弦作初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為 a g sin，位移為 sd sin ，所以運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2s2d sin2dt0g singa即沿各條弦運(yùn)動(dòng)具

2、有等時(shí)性，運(yùn)動(dòng)時(shí)間與弦的傾角、長(zhǎng)短無(wú)關(guān)。四、應(yīng)用等時(shí)圓模型解典型例題例 1：如圖 1，通過(guò)空間任一點(diǎn)A 可作無(wú)限多個(gè)斜面，若將若干個(gè)小物體從點(diǎn)A 分別沿這些傾角各不相同的光滑斜面同時(shí)滑下，那么在同一時(shí)刻這些小物體所在位置所構(gòu)成的面是（）A.球面B.拋物面C.水平面D.無(wú)法確定【解析】：由“等時(shí)圓” 可知，同一時(shí)刻這些小物體應(yīng)在同一 “等時(shí)圓” 上，所以 A 正確。例 2：如圖 2，在斜坡上有一根旗桿長(zhǎng)為 L，現(xiàn)有一個(gè)小環(huán)從旗桿頂部沿一根光滑鋼絲 AB滑至斜坡底部，又知OB=L。求小環(huán)從 A 滑到 B 的時(shí)間?！窘馕觥浚?可以以 O為圓心，以 L 為半徑畫一個(gè)圓。根據(jù)“等時(shí)圓”的規(guī)律可知，從 A

3、 滑到 B 的時(shí)間等于從 A 點(diǎn)沿直徑到底端 D 的時(shí)間，所以有t ABt AD2d4LLgg2g例 3 ：如圖 5所示，在同一豎直線上有 A、B兩點(diǎn)，相距為 h ， B點(diǎn)離地高度為 H，現(xiàn)在要在地面上尋找一點(diǎn) P，使得從 A、 B兩點(diǎn)分別向點(diǎn) P安放的光滑木板，滿足物體從靜止開始分別由A和 B沿木板下滑到P點(diǎn)的時(shí)間相等，求O、 P兩點(diǎn)之間的距離OP 。解析 ：由“等時(shí)圓”特征可知，當(dāng)A、 B 處于等時(shí)圓周上，且P 點(diǎn)處于等時(shí)圓的最低點(diǎn)時(shí)，即能滿足題設(shè)要求。如圖 6所示，此時(shí)等時(shí)圓的半徑為：RO1PHh2所以O(shè)PR2( h )2H ( H h)2例 4：如圖 7， AB 是一傾角為的輸送帶，P

4、處為原料輸入口，為避免粉塵飛揚(yáng)，在P與 AB輸送帶間建立一管道（假使光滑），使原料從P處以最短的時(shí)間到達(dá)輸送帶上，則管道與豎直方向的夾角應(yīng)為多大？解析： 借助“等時(shí)圓”，可以過(guò)P 點(diǎn)的豎直線為半徑作圓，要求該圓與輸送帶AB相切，如圖所示， C 為切點(diǎn)， O為圓心。顯然，沿著PC弦建立管道，原料從P 處到達(dá) C 點(diǎn)處的時(shí)間與沿其他弦到達(dá) “等時(shí)圓”的圓周上所用時(shí)間相等。因而，要使原料從P 處到達(dá)輸送帶上所用時(shí)間最短，需沿著PC建立管道。由幾何關(guān)系可得：PC與豎直方向間的夾角等于/ 2 。三、“形似質(zhì)異”問(wèn)題的區(qū)分1、還是如圖1 的圓周，如果各條軌道不光滑，它們的摩擦因數(shù)均為，小滑環(huán)分別從a、 b

5、、 c 處釋放（初速為0）到達(dá)圓環(huán)底部的時(shí)間還等不等？解析： bd 的長(zhǎng)為2Rcos， bd 面上物體下滑的加速度為a=gcos - gsin ， t bd=4R cosR=2?？梢?jiàn) t 與有關(guān)。g cosg singg tan2、如圖 9，圓柱體的倉(cāng)庫(kù)內(nèi)有三塊長(zhǎng)度不同的滑板aO、 bO、 cO，其下端都固定于底部圓心 O，而上端則擱在倉(cāng)庫(kù)側(cè)壁，三塊滑塊與水平面的夾角依次為300、450、 600。若有三個(gè)小孩同時(shí)從a、 b、 c 處開始下滑（忽略阻力），則（）A、 a 處小孩最先到O點(diǎn)B、b 處小孩最先到O點(diǎn)C、 c 處小孩最先到O點(diǎn)D、a、 c 處小孩同時(shí)到O點(diǎn)解析： 三塊滑塊雖然都從同一

6、圓柱面上下滑，但a、 b、 c 三點(diǎn)不可能在同一豎直圓周上，所以下滑時(shí)間不一定相等。設(shè)圓柱底面半徑為 R，則R= 1 gsin t 2， t 2=4Rcos2g sin 2=300 和 600 時(shí)， sin2 的值相等。，當(dāng) =450 時(shí)， t 最小，當(dāng)例 3：如圖 3，在設(shè)計(jì)三角形的屋頂時(shí)，為了使雨水能盡快地從屋頂流下，并認(rèn)為雨水是從靜止開始由屋頂無(wú)摩擦地流動(dòng)。試分析和解：在屋頂寬度（ 2L）一定的條件下，屋頂?shù)膬A角應(yīng)該多大？雨水流下的最短時(shí)間是多少？【解析】：L= 1 gsin t 2 ， t 2=4L，當(dāng) =450 時(shí)， t 最小cos2g sin 2訓(xùn)練1、如圖所示 ,oa 、ob、

7、oc 是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿,O、 a、b、c、d 位于同一圓周上 ,d 點(diǎn)為圓周的最高點(diǎn),c 點(diǎn)為最低點(diǎn) . 每根桿上都套著一個(gè)小滑環(huán) ( 圖中未畫出 ), 三個(gè)滑環(huán)都從o 點(diǎn)無(wú)初速釋放 , 用、依次表示滑環(huán)到達(dá) a、 b、 c 所用的時(shí)間 , 則()A.B.C.D.答案詳解 D 解 : 以 O點(diǎn)為最高點(diǎn) , 取合適的豎直直徑oe 作等時(shí)圓 , 交 ob 于 b, 如圖所示 , 顯然 o 到 f 、 b、 g、e 才是等時(shí)的 , 比較圖示位移,故推得, 選項(xiàng) ABC錯(cuò)誤 ,D 正確 .2、身體素質(zhì)拓展訓(xùn)練中，人從豎直墻壁的頂點(diǎn)A 沿光滑桿自由下滑傾斜的木板上（人可看做質(zhì)點(diǎn)），若木板的傾

8、斜角不同，人沿著三條不同路徑AB、AC、AD滑到木板上的時(shí)間分別為t 1、t 2、t 3，若已知 AB、AC、AD與板的夾角分別為70°、90°和 105°，則（）A. t 1>t 2>t 3B. t 1<t 2<t 3C. t 1=t 2=t 3D. 不能確定 t 1、t 2、 t 3 之間的關(guān)系解析：若以 OA為直徑畫圓，如圖，則 AB 交圓周與 E 點(diǎn)， C 點(diǎn)正好在圓周上， D 點(diǎn)在圓周之內(nèi)， AD的延長(zhǎng)線交圓周與 F 點(diǎn)，設(shè) AC與 AO的夾角為，根據(jù)牛頓第二定律得人做初速為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度為：a=gcos 由圖中的直角

9、三角形可知，人的位移為：S=AOcos則可知人從A 到 C 得時(shí)間為：，可知與斜面的傾角無(wú)關(guān)，即人從A 帶你滑到ECF的時(shí)間是相等的，則可知人從A 點(diǎn)滑到BCD的時(shí)間關(guān)系t 1>t 2>t 3，故 A 正確；故選： A3、豎直正方形框內(nèi)有三條光滑軌道 OB、 OC和 OD，三軌道交于 O點(diǎn)，且與水平方向的夾角分別為 30o 、45o 和 60o ?，F(xiàn)將甲、乙、丙三個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的小球同時(shí)從 O點(diǎn)靜止釋放，分別沿 OB、OC和 OD運(yùn)動(dòng)到達(dá)斜面底端。則三小球到達(dá)斜面底端的先后次序是A.甲、乙、丙B.丙、乙、甲C.甲、丙同時(shí)到達(dá)，乙后到達(dá)D. 不能確定三者到達(dá)的順序4、如圖所示 , 地面

10、上有一固定的球面, 球半徑為R,球面的斜上方P 處有一質(zhì)點(diǎn) (P 與球心 O 在同一豎直平面內(nèi) ). 已知 P 到球心 O的距離為 L,P 到地面的垂直距離為 H,現(xiàn)要使此質(zhì)點(diǎn)從靜止開始沿一光滑斜直軌道在最短時(shí)間內(nèi)滑到球面上 , 求所需的最短時(shí)間.解 :(1) 求證 : 如圖所示小球從豎直平面的半徑為R' 的圓的頂點(diǎn) , 沿光滑軌道運(yùn)動(dòng)到任何方向圓外邊緣,任取一條軌道PQ,PQ與水平面的夾角為,由三角關(guān)系得PQ的長(zhǎng)度為 :由牛頓第二定律得, 沿光滑斜面下滑的加速度為:由位移時(shí)間公式得, 運(yùn)動(dòng)時(shí)間 :即運(yùn)動(dòng)時(shí)間與角度無(wú)關(guān), 故對(duì)應(yīng)任何軌道的時(shí)間均相同.(2) 作圖 : 以 P 為頂點(diǎn)作一半徑為