1、1第二節(jié)第二節(jié)兩條直線的位置關(guān)系兩條直線的位置關(guān)系最新考綱1.能根據(jù)兩條直線的斜率判斷這兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo).3.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、 點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩平行直線間的距離1兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線平行對(duì)于兩條不重合的直線 l1，l2，若其斜率分別為 k1，k2，則有 l1l2k1k2當(dāng)直線 l1，l2不重合且斜率都不存在時(shí)，l1l2.(2)兩條直線垂直如果兩條直線 l1，l2的斜率存在，設(shè)為 k1，k2，則有 l1l2k1k21當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為 0 時(shí)，l1l2.2兩條直線的交點(diǎn)的求法直線 l

2、1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20(a1，b1，c1，a2，b2，c2為常數(shù))，則 l1與 l2的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組a1xb1yc10，a2xb2yc20的解3三種距離公式(1)平面上的兩點(diǎn) p1(x1，y1)，p2(x2，y2)間的距離公式|p1p2|（x1x2）2（y1y2）2特別地，原點(diǎn) o(0，0)與任一點(diǎn) p(x，y)的距離|op| x2y2(2)點(diǎn) p(x0，y0)到直線 l：axbyc0 的距離 d|ax0by0c|a2b2(3)兩條平行線 axbyc10 與 axbyc20 間的距離為 d|c1c2|a2b2常用結(jié)論由一般式方程確定兩直線位置關(guān)系的方法2直線方程

3、l1與 l2l1：a1xb1yc10(a21b210)l2：a2xb2yc20(a22b220)垂直的充要條件a1a2b1b20平行的充分條件a1a2b1b2c1c2(a2b2c20)相交的充分條件a1a2b1b2(a2b20)重合的充分條件a1a2b1b2c1c2(a2b2c20)一、思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)當(dāng)直線 l1和 l2斜率都存在時(shí)，一定有 k1k2l1l2.()(2)如果兩條直線 l1與 l2垂直，則它們的斜率之積一定等于1.()(3) 若兩直線的方程組成的方程組有唯一解，則兩直線相交()(4) 直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離()答案(1

4、)(2)(3) (4)二、教材改編1已知點(diǎn)(a，2)(a0)到直線 l：xy30 的距離為 1，則 a 等于()a. 2b2 2c. 21d. 21c由題意得|a23|21，即|a1| 2，又 a0，a 21.2已知 p(2，m)，q(m，4)，且直線 pq 垂直于直線 xy10，則 m_1由題意知m42m1，所以 m42m，所以 m1.3若三條直線 y2x，xy3，mx2y50 相交于同一點(diǎn)，則 m 的值為3_9由y2x，xy3，得x1，y2.所以點(diǎn)(1，2)滿足方程 mx2y50，即 m12250，所以 m9.4已知直線 3x4y30 與直線 6xmy140 平行，則它們之間的距離是_2由

5、兩直線平行可知364m，即 m8.兩直線方程分別為 3x4y30 和 3x4y70，則它們之間的距離 d|73|9162.考點(diǎn) 1兩條直線的位置關(guān)系解決兩直線平行與垂直的參數(shù)問題要“前思后想”1.設(shè) ar，則“a1”是“直線 l1：ax2y10 與直線 l2：x(a1)y40 平行”的()a充分不必要條件b必要不充分條件c充要條件d既不充分也不必要條件a當(dāng) a1 時(shí)，顯然 l1l2，若 l1l2，則 a(a1)210，所以 a1 或 a2.所以 a1 是直線 l1與直線 l2平行的充分不必要條件2若直線 l1：(a1)xy10 和直線 l2：3xay20 垂直，則實(shí)數(shù) a的值為()4a.12b

6、.32c.14d.34d由已知得 3(a1)a0，解得 a34.3已知三條直線 l1：2x3y10，l2：4x3y50，l3：mxy10不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù) m 的取值集合為()a.43，23b.43，23c.43，23，43d.43，23，23d三條直線不能構(gòu)成一個(gè)三角形，當(dāng) l1l3時(shí)，m23；當(dāng) l2l3時(shí)，m43；當(dāng) l1，l2，l3交于一點(diǎn)時(shí)，也不能構(gòu)成一個(gè)三角形，由2x3y10，4x3y50，得交點(diǎn)為1，13 ，代入 mxy10，得 m23.故選 d.直接運(yùn)用“直線 a1xb1yc10，a2xb2yc20 平行與垂直的充要條件解題”可有效避免不必要的參數(shù)討論考點(diǎn) 2兩條直線的交點(diǎn)

7、與距離問題(1)求過兩直線交點(diǎn)的直線方程， 先解方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程(2)點(diǎn)到直線、兩平行線間的距離公式的使用條件求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，應(yīng)先化直線方程為一般式求兩平行線之間的距離時(shí)，應(yīng)先將方程化為一般式且 x，y 的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等(1)求經(jīng)過兩條直線 l1：xy40 和 l2：xy20 的交點(diǎn)，且與直線 2xy10 垂直的直線方程為_5(2)直線 l 過點(diǎn) p(1，2)且到點(diǎn) a(2，3)和點(diǎn) b(4，5)的距離相等，則直線l 的方程為_(1)x2y70(2)x3y50 或 x1(1)由xy40，xy20，得x1，y3，l1與 l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，3)設(shè)與直線

8、2xy10 垂直的直線方程為 x2yc0，則 123c0，c7.所求直線方程為 x2y70.(2)當(dāng)直線 l 的斜率存在時(shí)，設(shè)直線 l 的方程為 y2k(x1)，即 kxyk20.由題意知|2k3k2|k21|4k5k2|k21，即|3k1|3k3|，k13，直線 l 的方程為 y213(x1)，即 x3y50.當(dāng)直線 l 的斜率不存在時(shí)，直線 l 的方程為 x1，也符合題意1.直線系方程的常見類型(1)過定點(diǎn) p(x0，y0)的直線系方程是：yy0k(xx0)(k 是參數(shù)，直線系中未包括直線 xx0)，也就是平常所提到的直線的點(diǎn)斜式方程；(2)平行于已知直線 axbyc0 的直線系方程是：a

9、xby0(是參數(shù)且c)；(3)垂直于已知直線 axbyc0 的直線系方程是：bxay0(是參數(shù))；(4)過兩條已知直線 l1：a1xb1yc10 和 l2：a2xb2yc20 的交點(diǎn)的直線系方程是：a1xb1yc1(a2xb2yc2)0(r，但不包括 l2)2動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離相等，一般不直接利用兩點(diǎn)間距離公式處理，而是轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)在以兩定點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的垂直平分線上，從而簡化計(jì)算教師備選例題1已知三角形三邊所在的直線方程分別為：2xy40，xy70，2x67y140，求邊 2x7y140 上的高所在的直線方程解設(shè)所求高所在的直線方程為 2xy4(xy7)0，即(2)x(1)y(47)0，可得(2

10、)2(1)(7)0，解得115，所以所求高所在的直線方程為 7x2y190.2求過直線 2x7y40 與 7x21y10 的交點(diǎn)，且和 a(3，1)，b(5，7)等距離的直線方程解設(shè)所求直線方程為 2x7y4(7x21y1)0，即(27)x(721)y(4)0，由點(diǎn) a(3，1)，b(5，7)到所求直線等距離，可得|（27）（3）（721）14|（27）2（721）2|（27）5（721）74|（27）2（721）2，整理可得|433|11355|，解得2935或13，所以所求的直線方程為 21x28y130 或 x1.1.當(dāng) 0k12時(shí)，直線 l1：kxyk1 與直線 l2：kyx2k 的交

11、點(diǎn)在()a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限b由kxyk1，kyx2k得xkk1，y2k1k1.又0k12，xkk10，故直線 l1：kxyk1 與直線 l2：kyx2k 的交點(diǎn)在第二象限2 若 p， q 分別為直線 3x4y120 與 6x8y50 上任意一點(diǎn)， 則|pq|的最小值為()7a.95b.185c.2910d.295c因?yàn)?648125，所以兩直線平行，將直線 3x4y120 化為 6x8y240， 由題意可知|pq|的最小值為這兩條平行直線間的距離， 即|245|62822910，所以|pq|的最小值為2910.考點(diǎn) 3對(duì)稱問題中心對(duì)稱問題中心對(duì)稱問題的解法(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)：

12、 點(diǎn) p(x， y)關(guān)于點(diǎn) q(a， b)的對(duì)稱點(diǎn) p(x， y)滿足x2ax，y2by.(2)線關(guān)于點(diǎn)：直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題來解決過點(diǎn) p(0，1)作直線 l，使它被直線 l1：2xy80 和 l2：x3y100 截得的線段被點(diǎn) p 平分，則直線 l 的方程為_x4y40設(shè) l1與 l 的交點(diǎn)為 a(a，82a)，則由題意知，點(diǎn) a 關(guān)于點(diǎn) p的對(duì)稱點(diǎn) b(a，2a6)在 l2上，代入 l2的方程得a3(2a6)100，解得 a4，即點(diǎn) a(4，0)在直線 l 上，所以直線 l 的方程為 x4y40.點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題常常轉(zhuǎn)化為中心對(duì)稱問題，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解若直線

13、l1：yk(x4)與直線 l2關(guān)于點(diǎn)(2，1)對(duì)稱，則直線 l2恒過定點(diǎn)()a(0，4)b(0，2)c(2，4)d(4，2)b直線 l1： yk(x4)恒過定點(diǎn)(4， 0)， 其關(guān)于點(diǎn)(2， 1)對(duì)稱的點(diǎn)為(0， 2) 又由于直線 l1：yk(x4)與直線 l2關(guān)于點(diǎn)(2，1)對(duì)稱，故直線 l2恒過定點(diǎn)(0，2)軸對(duì)稱問題軸對(duì)稱問題的解法(1)點(diǎn)關(guān)于線：點(diǎn) a(a，b)關(guān)于直線 axbyc0(b0)的對(duì)稱點(diǎn) a(m，n)，8則有nbmaab 1，aam2bbn2c0.(2)線關(guān)于線：直線關(guān)于直線的對(duì)稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題來解決(1)已知直線 y2x 是abc 中角 c 的平分線所在的直

14、線，若點(diǎn) a，b 的坐標(biāo)分別是(4，2)，(3，1)，則點(diǎn) c 的坐標(biāo)為()a(2，4)b(2，4)c(2，4)d(2，4)(2)已知入射光線經(jīng)過點(diǎn) m(3，4)，被直線 l：xy30 反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn) n(2，6)，則反射光線所在直線的方程為_(1)c(2)6xy60(1)設(shè) a(4，2)關(guān)于直線 y2x 的對(duì)稱點(diǎn)為(x，y)，則y2x421，y2224x2，解得x4，y2，bc 所在直線方程為 y12143(x3)，即 3xy100.聯(lián)立3xy100，y2x，解得x2，y4，則 c(2，4)(2)設(shè)點(diǎn) m(3，4)關(guān)于直線 l：xy30 的對(duì)稱點(diǎn)為 m(a，b)，則反射光線所在直線過點(diǎn)

15、 m，所以b4a（3）11，3a2b4230，解得 a1，b0.即 m (1，0)又反射光線經(jīng)過點(diǎn) n(2，6)，所以所求直線的方程為y060 x121，即 6xy60.在求對(duì)稱點(diǎn)時(shí)，關(guān)鍵是抓住兩點(diǎn)：一是兩對(duì)稱點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸垂直；二是兩對(duì)稱點(diǎn)的中心在對(duì)稱軸上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一9個(gè)方程，由“平分”列出一個(gè)方程，聯(lián)立求解1.若將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(diǎn)(0，2)與點(diǎn)(4，0)重合，點(diǎn)(7，3)與點(diǎn)(m，n)重合，則 mn_345由題意可知紙的折痕應(yīng)是點(diǎn)(0，2)與點(diǎn)(4，0)連線的中垂線，即直線 y2x3，它也是點(diǎn)(7，3)與點(diǎn)(m，n)連線的中垂線，于是3n227m23，

16、n3m712，解得m35，n315，故 mn345.2已知直線 l：2x3y10，點(diǎn) a(1，2)求：(1)點(diǎn) a 關(guān)于直線 l 的對(duì)稱點(diǎn) a的坐標(biāo)；(2)直線 m：3x2y60 關(guān)于直線 l 的對(duì)稱直線 m的方程；(3)直線 l 關(guān)于點(diǎn) a 對(duì)稱的直線 l的方程解(1)設(shè) a(x，y)，則y2x1231，2x123y2210，解得x3313，y413，即 a3313，413 .(2)在直線 m 上取一點(diǎn)，如 m(2，0)，則 m(2，0)關(guān)于直線 l 的對(duì)稱點(diǎn)必在 m上設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為 m(a，b)，則2a223b0210，b0a2231，解得a613，b3013，即 m613，3013 .設(shè) m 與 l 的交點(diǎn)為