1、數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計第五章第五章 數(shù)理統(tǒng)計的根底知識數(shù)理統(tǒng)計的根底知識第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)理統(tǒng)計的根本概念數(shù)理統(tǒng)計的根本概念第二節(jié)第二節(jié) 常用統(tǒng)計分布常用統(tǒng)計分布第三節(jié)第三節(jié) 抽樣分布抽樣分布數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計對隨機景象進展觀測、實驗，以獲得有代表性對隨機景象進展觀測、實驗，以獲得有代表性的觀測值的觀測值, ,并對已獲得的數(shù)據(jù)進展歸納整理、畫并對已獲得的數(shù)據(jù)進展歸納整理、畫出統(tǒng)計圖表，來反映研討對象的數(shù)據(jù)分布特征出統(tǒng)計圖表，來反映研討對象的數(shù)據(jù)分布特征. .對已獲得的觀測值進展整理、分析對已獲得的觀測值進展整理、分析, ,作出推斷、作出推斷、決策決策, ,從而找出所研討的對象的規(guī)律性從而

2、找出所研討的對象的規(guī)律性. .數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計計的的分分類類描畫統(tǒng)計學描畫統(tǒng)計學推斷統(tǒng)計學推斷統(tǒng)計學數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計 客觀上客觀上, 只允許我們對隨機景象進展次數(shù)不多的察看實只允許我們對隨機景象進展次數(shù)不多的察看實驗驗, 我們只能獲得部分察看資料我們只能獲得部分察看資料. 在數(shù)理統(tǒng)計中在數(shù)理統(tǒng)計中, 不是對所研討的對象全體不是對所研討的對象全體 (稱為總體稱為總體)進進展察看展察看, 而是抽取其中的部分而是抽取其中的部分(稱為樣本稱為樣本)進展察看獲得數(shù)據(jù)進展察看獲得數(shù)據(jù)(抽樣抽樣), 并經(jīng)過這些數(shù)據(jù)對總體進展推斷并經(jīng)過這些數(shù)據(jù)對總體進展推斷.數(shù)理統(tǒng)計方法具有數(shù)理統(tǒng)計方法具有“部分推斷整體的特征

3、部分推斷整體的特征 . 數(shù)理統(tǒng)計學是一門運用性很強的學科數(shù)理統(tǒng)計學是一門運用性很強的學科. 它是研討怎樣以有效的方式搜集、它是研討怎樣以有效的方式搜集、 整理和分析帶有隨機整理和分析帶有隨機性的數(shù)據(jù)性的數(shù)據(jù), 以便對所調(diào)查的問題作出推斷和預測以便對所調(diào)查的問題作出推斷和預測.數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)理統(tǒng)計的根本概念數(shù)理統(tǒng)計的根本概念總體和樣本總體和樣本簡單隨機抽樣簡單隨機抽樣樣本函數(shù)樣本函數(shù)統(tǒng)計量統(tǒng)計量數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計某批某批燈泡的壽命燈泡的壽命該批燈泡壽命的全該批燈泡壽命的全體就是總體體就是總體國產(chǎn)轎車每公里國產(chǎn)轎車每公里的耗油量的耗油量國產(chǎn)轎車每公里耗油量國產(chǎn)轎車每公里耗油量的全體

4、就是總體的全體就是總體每個具有的數(shù)量目的的全體就是總體每個具有的數(shù)量目的的全體就是總體(population). 每個數(shù)量目的就是個體每個數(shù)量目的就是個體.人們往往研討有關(guān)對象的某一項人們往往研討有關(guān)對象的某一項(或幾項或幾項)數(shù)量目的數(shù)量目的; 為此為此, 對這一目的進展隨機實驗對這一目的進展隨機實驗, 察看實驗結(jié)果全部察察看實驗結(jié)果全部察看值看值, 從而調(diào)查該數(shù)量目的的分布情況從而調(diào)查該數(shù)量目的的分布情況. 數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計1. 總體總體研討對象全體元素組成的集合研討對象全體元素組成的集合.一、總體和樣本一、總體和樣本所研討的對象的某個所研討的對象的某個(或某些或某些)數(shù)量目的的全體數(shù)量目

5、的的全體,它是一個隨機變量它是一個隨機變量(或多維隨機變量或多維隨機變量), 記為記為 X. 總體有三層含義總體有三層含義: 研討對象的全體研討對象的全體;全部數(shù)據(jù)全部數(shù)據(jù); 分布分布.2. 個體個體組成總體的每一個元素組成總體的每一個元素.即某個數(shù)量目的的全體中的一個即某個數(shù)量目的的全體中的一個, 可看作隨機變量可看作隨機變量 X 的某個取值的某個取值, 用用 Xi 表示表示. 總體中所包含的個體的個數(shù)稱為總體的容量總體中所包含的個體的個數(shù)稱為總體的容量.總體總體有限總體有限總體無限總體無限總體 數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計例例1: 研討某批燈泡的壽命時研討某批燈泡的壽命時, 關(guān)懷的數(shù)量目的就是壽命關(guān)懷

6、的數(shù)量目的就是壽命, 那么那么, 此總體就可以用隨機變量此總體就可以用隨機變量 X 表示表示, 或用其分布函數(shù)或用其分布函數(shù) F (x) 表示表示.某批某批燈泡的壽命燈泡的壽命總體總體壽命壽命 X 可用概率可用概率(指數(shù)指數(shù))分布來刻劃分布來刻劃常用隨機變量或用其分布函數(shù)表示總體常用隨機變量或用其分布函數(shù)表示總體, 比如說總體比如說總體 X 或總體或總體 F (x) .體體壽壽命命總總體體是是指指數(shù)數(shù)分分布布總總數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計統(tǒng)計中統(tǒng)計中, 總體這個概念的要旨是總體這個概念的要旨是:總體就是一個概率分布總體就是一個概率分布.類似地類似地, 在研討某地域中學生的營養(yǎng)情況時在研討某地域中學生的營

7、養(yǎng)情況時, 假設關(guān)懷的數(shù)量目的是身高和體重假設關(guān)懷的數(shù)量目的是身高和體重,我們用我們用 X 和和 Y 分別表示身高和體重分別表示身高和體重, 那么此總體就可用二維隨機變量那么此總體就可用二維隨機變量 (X, Y) 或其結(jié)合分布函數(shù)或其結(jié)合分布函數(shù) F (x, y)來表示來表示.數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計從總體中抽取容量為從總體中抽取容量為n的樣本的樣本, 就是對就是對代表總體的隨機變量隨機地、獨立地進展代表總體的隨機變量隨機地、獨立地進展n次實驗次實驗(觀觀測測), 每次實驗的結(jié)果可以看作是一個隨機變量每次實驗的結(jié)果可以看作是一個隨機變量,n次實驗的結(jié)果就是次實驗的結(jié)果就是n個隨機變量個隨機變量 X1,

8、 X2, Xn.這些隨機變量相互獨立這些隨機變量相互獨立, 并且與總體服從一樣的分布并且與總體服從一樣的分布.設得到的樣本觀測值分別是設得到的樣本觀測值分別是 x1, x2, , xn,那么可以以為抽樣的結(jié)果是發(fā)生了那么可以以為抽樣的結(jié)果是發(fā)生了n個相互獨立的事個相互獨立的事件件: X1=x1, X2=x2, , Xn=xn.樣本中所包含的個體數(shù)目稱為樣本容量樣本中所包含的個體數(shù)目稱為樣本容量.3. 樣本樣本從總體中抽取的部分個體從總體中抽取的部分個體.數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計例例2: 2: 檢驗一批燈泡的壽命檢驗一批燈泡的壽命, ,從中選擇從中選擇100100只只, ,那那么么: :總體總體: :

9、這批燈泡這批燈泡( (有限總體有限總體) )個體個體: : 這批燈泡中的每一只這批燈泡中的每一只 樣本樣本: : 抽取的抽取的100100只燈泡只燈泡樣本容量樣本容量: 100: 100樣本值樣本值: x1, x2, x100: x1, x2, x100數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計1. 假設從總體假設從總體 X 中抽取樣本中抽取樣本 X1, X2, Xn，滿足滿足:1) 代表性代表性:總體中每一個個體都有同等時機被選入總體中每一個個體都有同等時機被選入, 即樣本即樣本 Xi 與總體與總體 X 有一樣的分布有一樣的分布;2) 獨立性獨立性:樣本中每一樣品的取值不影響其它樣品的取樣本中每一樣品的取值不影響其它

10、樣品的取值值, 即即 X1, X2, Xn 相互獨立相互獨立;二、簡單隨機抽樣二、簡單隨機抽樣這種隨機的、獨立的抽樣方法稱為簡單隨機抽樣。這種隨機的、獨立的抽樣方法稱為簡單隨機抽樣。簡單隨機樣本是運用中最常見的情形，簡單隨機樣本是運用中最常見的情形，今后，假設不特別闡明，就指簡單隨機樣本今后，假設不特別闡明，就指簡單隨機樣本. .由簡單隨機抽樣得到的樣本稱為簡單隨機樣本。由簡單隨機抽樣得到的樣本稱為簡單隨機樣本。數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計設總體設總體X的分布為的分布為F(x)，那么簡單隨機樣本的結(jié)合分布，那么簡單隨機樣本的結(jié)合分布為為:121122(,)(,)nnnF x xxP Xx XxXx 112

11、2() ()()nnP XxP XxP Xx 121()()()()nniiF x F xF xF x (1) 當總體當總體X是離散型時是離散型時, 其分布律為其分布律為:()()(1,2,)iiP Xxp xi 樣本的結(jié)合分布律為樣本的結(jié)合分布律為:1211221122(,)(,)() ()()nnnnnp xxxP XxXxXxP Xx P XxP Xx1()niip x (2) 當總體當總體X是延續(xù)型時是延續(xù)型時, X f (x), 那么樣本的結(jié)合概率密度為那么樣本的結(jié)合概率密度為:121(,)()nniif x xxf x 簡單隨機樣本簡單隨機樣本 X1, X2, Xn可以看成是可以看

12、成是 n 個獨立同分布個獨立同分布(iid )的隨機變量的隨機變量, 其共同分布即為總體分布其共同分布即為總體分布.2. 簡單隨機樣本的結(jié)合分布函數(shù)簡單隨機樣本的結(jié)合分布函數(shù)(independent, identically distributed)數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計例例3: 設設2( ,),XN (X1,X2,Xn)為為X的一個樣本的一個樣本，求求 (X1,X2,Xn)的密度。的密度。 解解: (X1,X2,Xn) 為為X的一個樣本，故的一個樣本，故:2( ,)iXN 121(,)()nniif xxxf x 22()2112ixnie 2211()212niinxe 1,2,in 數(shù)理統(tǒng)計數(shù)

13、理統(tǒng)計例例4: 某商場每天客流量某商場每天客流量 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布，的泊松分布， 求其樣本求其樣本 (X1, X2, , Xn) 的結(jié)合分布律。的結(jié)合分布律。(),!xP Xxex 0,1,2,x 11221(,)()nnniiP XtXtXtP Xt 1!itniiet 112!niitnnettt 解解:數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計例例5: 5: 設某批產(chǎn)品共有設某批產(chǎn)品共有N N個個, ,其中的次品數(shù)為其中的次品數(shù)為M,M, 其次品率為其次品率為: p=M/N, : p=M/N, 假設假設 p p是未知的是未知的, ,那么可用抽樣方法來估計那么可用抽樣方法來估計它它. .1,0,

14、X 所所取取的的產(chǎn)產(chǎn)品品是是次次品品所所取取的的產(chǎn)產(chǎn)品品不不是是次次品品X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 p 的的 0-1分布分布,可用如下表示方法可用如下表示方法:1( )(1),0,1xxP Xxf xppx 從這批產(chǎn)品中任取一個產(chǎn)品從這批產(chǎn)品中任取一個產(chǎn)品, ,用隨機變量用隨機變量 X X 來描畫它能否是次品來描畫它能否是次品: :數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計設有放回地抽取一個容量為設有放回地抽取一個容量為n n的樣本的樣本: (X1, X2, , Xn): (X1, X2, , Xn)(X1, X2, , Xn) 的結(jié)合分布律為的結(jié)合分布律為:111211(,)()(1)nniiiinnxnxniiiii

15、p x xxP Xxf xpp 其樣本值為其樣本值為: ( x1, x2, , xn) : ( x1, x2, , xn) 12(,)0,1,1,2, nix xxxin樣本空間為樣本空間為: :假設抽樣是無放回的假設抽樣是無放回的, ,那么前次抽取結(jié)果會影響后面抽取結(jié)果那么前次抽取結(jié)果會影響后面抽取結(jié)果, ,例如例如: :211(11)1MP XXN 21(10)1MP XXN 所以所以, , 當樣本容量當樣本容量 n n 與總體中個體數(shù)目與總體中個體數(shù)目 N N 相比很小時相比很小時, , 可將無放回抽樣近似地看作放回抽樣可將無放回抽樣近似地看作放回抽樣. .11()1NNpp N 1()

16、1Npp N 數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計總體實際分布總體實際分布 ？ 樣本樣本 樣本值樣本值統(tǒng)計是從手中已有的資料統(tǒng)計是從手中已有的資料樣本值樣本值,去推斷總體的情況去推斷總體的情況總體分布總體分布F (x)的性質(zhì)的性質(zhì).總體分布決議了樣本取值的概率規(guī)律總體分布決議了樣本取值的概率規(guī)律, 也就是樣本取到樣本值的規(guī)律也就是樣本取到樣本值的規(guī)律,因此可以由樣本值去推斷總體因此可以由樣本值去推斷總體. 樣本是聯(lián)絡二者的橋梁樣本是聯(lián)絡二者的橋梁3. 總體、樣本、樣本值的關(guān)系總體、樣本、樣本值的關(guān)系數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計為了經(jīng)過對樣本觀測值的整理、分析、研討為了經(jīng)過對樣本觀測值的整理、分析、研討,對總體對總體 X的某些

17、概率特征作出推斷的某些概率特征作出推斷,往往需求思索各種適用的樣本函數(shù)往往需求思索各種適用的樣本函數(shù) g(X1, X2, Xn).由于一組樣本由于一組樣本 X1, X2, Xn可以看作是可以看作是 一個一個 n維隨機變量維隨機變量 (X1, X2, Xn), 所以樣本函數(shù)所以樣本函數(shù) g(X1, X2, Xn)是是n維隨機變量的函數(shù)維隨機變量的函數(shù), 顯然也是隨機變量顯然也是隨機變量.根據(jù)樣本根據(jù)樣本 X1, X2, Xn的觀測值的觀測值 x1, x2, xn計算得到的函數(shù)值計算得到的函數(shù)值g(x1, x2, xn)就是就是樣本函數(shù)樣本函數(shù)g(X1, X2, Xn)的觀測值的觀測值.三、樣本函

18、數(shù)三、樣本函數(shù)(sample function)數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計四、統(tǒng)計量四、統(tǒng)計量(statistic)12,nXXXX1.1.定定義義：設設是是來來自自總總體體 的的一一個個樣樣本本，12121212,(,)(X ,)nnnnx xxX XXg x xxgXX注注意意：設設是是一一個個樣樣本本的的觀觀察察值值 則則也也是是統(tǒng)統(tǒng)計計量量的的觀觀察察值值. .1212(,),nng XXXXXX是是的的函函數(shù)數(shù)，1212(,)(,).nng XXXg XXX若若中中不不含含未未知知參參數(shù)數(shù)，則則是是一一個個統(tǒng)統(tǒng)計計量量稱稱數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計2. 幾個常見統(tǒng)計量幾個常見統(tǒng)計量:樣本均值樣本均值:它反映了總體均值的信息它反映了總體均值的信息樣本方差樣本方差:它反映了總體方差的信息它反映了總體方差的信息樣本規(guī)范差樣本規(guī)范差: niiXnX11niiXXnS122)(11 niiXnXn12211 niiXXnS12)(11它反映了總體它反映了總體k 階矩的信息階矩的信息樣本樣本 k 階原點矩階原點矩:樣本樣本 k 階中心矩階中心矩:它