1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計綜合復(fù)習(xí)資料、填空題1、一個盒子中有10個球，其中有3個紅球，2個黑子5個白球，從中取球兩次，每次取一個(無放回)，則：第二次取到黑球的概率為 ;取到的兩只球至少有一個黑球的概率為。2、的概率密度為(3、已知隨機(jī)變量Z 2X Y 5,則 EX ；DX。)，則 DX 。且 與 相互獨(dú)立，設(shè)隨機(jī)變量4、已知隨機(jī)變量X的分布列為-1020.40.2 p則：EX = ;= 。5、設(shè)與獨(dú)立同分布，且X N(2 ,22),則 (6、設(shè)對于事件 、有 0-1，P(ABC) -12P(AB) P(BC) P(AC)都不發(fā)生的概率為7、批產(chǎn)品中一、二、三等品各占60%、30%、10%,從中任取一

2、件，結(jié)果不是三等品，則取到的是二等品的概率為 8、相互獨(dú)立，且概率分布分別為f(x) 1 e(x1)2 (1/2, 1 y 3)(y)0,其它則：E(X Y)= ； E(2X 3Y2)= 9、已知工廠生產(chǎn)產(chǎn)品的次品率分別為 2%和1%,現(xiàn)從由工廠分別占30%和70%的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，發(fā)現(xiàn)是次品，則該產(chǎn)品是B工廠的概率為 10、設(shè)X、Y的概率分布分別為1/4, 1 x 5(x)；0, 其它則：E(X 2Y) 二;E(X2 4Y )=二、選擇題1、設(shè)X和Y相互獨(dú)立,且分別服從N(1,22)和 N(1, 1),則. PX Y2、已知 P(A) 0.4 ,10P(B)1/21/2.PX Y 0

3、. PX Y 1P(B | A) 0.5 ,則 P(A1/21/2B)A. 13、設(shè)某人進(jìn)行射擊，每次擊中的概率為1/3,今獨(dú)立重復(fù)射擊 10次，則恰好擊中3次的概率A.（孑守B. C130 (3)3(-3)7C.Ci3o(1)7 (2)3334、甲、乙兩人獨(dú)立的對同一目標(biāo)各射擊一次, 其命中率分別為0.6和0.5,現(xiàn)已知目標(biāo)被命中,則它是甲射中的概率是()0.6()5/11()0.75()6/115、設(shè)事件滿足AB則下列結(jié)論正確的是6、設(shè) DX 4 ,DY0.6,則 D(3X 2Y)=(A) 40(B) 34(C) 25.6(D ) 17.67、設(shè)為來自總體X的一個樣本，X為樣本均值，EX未

4、知，則總體方差DX的無偏估計量為8、設(shè)每次試驗成功的概率為2/3,則在三次獨(dú)立重復(fù)試驗中至少失敗一次的概率為)(2/3)3( ) 1 (2/3)3 (C)(1/3)3( )1 (1/3)39、設(shè)是隨機(jī)變量,常數(shù)），對任意常數(shù)，則必有)E(X C)2 E(X )2三、解答題1 、設(shè) 的分布函數(shù)為F（x）0，x 01 / 3，0 x1，求：1 / 2，1x 21，x 21） 的概率分布； 2）2、設(shè)有一箱同類產(chǎn)品是由三家工廠生產(chǎn)的，其中1/2 是第一家工廠生產(chǎn)的，其余兩家各生產(chǎn)1/4 ，又知第一、二家工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品有2%的次品，第三家工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品有4%的次品，現(xiàn)從箱中任取一件，求：（ 1）取到的

5、是次品的概率；（ 2）若已知取到的是次品, 它是第一家工廠生產(chǎn)的概率。3、設(shè)隨機(jī)向量（X,Y）的概率密度為求： （ 1）常數(shù)C ；（ 2）關(guān)于X、 Y 的邊緣概率密度，并判斷X 與 Y 是否相互獨(dú)立。224、已知、 分別服從正態(tài)分布N （0 , 32 ） 和 N （2, 42） ，且與 的相關(guān)系數(shù)，設(shè)，求：（ 1）數(shù)學(xué)期望，方差；（ 2）與 的相關(guān)系數(shù)。5、設(shè)XX2,L ,Xn為X的一個樣本，其中1為未知參數(shù)，求的極大似然法估計量。6、 已知工廠生產(chǎn)產(chǎn)品的次品率分別為1%和 2%， 現(xiàn)從由的產(chǎn)品分別占60%和 40%的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，求：（ 1）該產(chǎn)品是次品的概率；（ 2）若取到的是次

6、品，那么該產(chǎn)品是B 工廠的概率。7、設(shè)X、Y的概率分布為求：E（X Y）和 E（2X 3Y2）。8 、一口袋中裝有四只球，分別標(biāo)有數(shù)字1， 2， 2， 3?，F(xiàn)從袋中任取一球后不放回，再從袋中（1） X和Y的聯(lián)合概率任取一球，以X 、 Y 分別表示第一次、第二次取得球上標(biāo)有的數(shù)字。求：分布；（2）關(guān)于X和關(guān)于Y邊緣概率分布。9、設(shè)總體的分布列為為的一個|樣本，求的極大似然估計。10、設(shè)一電路由三個相互獨(dú)立且串聯(lián)的電子元件構(gòu)成，它們分別以0.03、0.04、0.06的概率被損壞而發(fā)生斷路，求電路發(fā)生斷路的概率。11、設(shè)隨機(jī)地在1,2, 3中任取一值，隨機(jī)地在1中任取一整數(shù)值，求：(1)的分布律；(

7、2)關(guān)于和的邊緣分布律。12 、設(shè)為 的一個樣本，且的概率分布為其中 為未知參數(shù)，為常數(shù)，求 的極大似然估計。13、在某公共汽車站甲、乙、丙三人分別獨(dú)立地等1, 2, 3路汽車，設(shè)每個人等車時間(單位:分鐘)均服從0, 5上的均勻分布，求三人中至少有兩個人等車時間不超過2分鐘的概率。14、一個盒子中有三只乒乓球，分別標(biāo)有數(shù)字1, 2, 2?，F(xiàn)從袋中任意取球二次，每次取一只(有放回)，以X、Y分別表示第一次、第二次取得球上標(biāo)有的數(shù)字。求：(1) X和Y的聯(lián)合概率分布；(2) 關(guān)于X和Y邊緣分布；(3) X和Y是否相互獨(dú)立？為什么？15、設(shè) X1,X2, X3為來自總體X N( ,2)的一個樣本，

8、且存在，驗證統(tǒng)計量(1)、(2)都是的無偏估計，并指出哪一個更好。/、 1(1) -X151(2) 1X136X216 、設(shè)隨機(jī)變量(X , Y )具有概率密度f (x, y)Ce (x y), x 0, y0, 其它求(1)(2)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布密度。17、設(shè)X a(X1 2X2)2 b(3X3 4X4)2,其中Xi, X2, X3, X4是來自總體N(0,22)的簡單隨機(jī)樣本。試問當(dāng) a、b各為何值時，統(tǒng)計量X服從2分布，并指出其自由度。一、填空題1. 1/517/452. 1/23. 054. 0.41.845. 526. 13/247. 1/38. 3 -119. 7/131

9、110. 3-923二、選擇題1. . C2. C3. B4. C5. B6. C7. A8. B9. A三、解答題1、設(shè)的分布函數(shù)為求：（1） 的概率分布；（2）解：（1）的概率分布列為0121/3 1/6 1/22、設(shè)有一箱同類產(chǎn)品是由三家工廠生產(chǎn)的，其中 1/2是第一家工廠生產(chǎn)的，其余兩家各生產(chǎn)1/4 ,又知第一、二家工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品有2%勺次品，第三家工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品有4%勺次品，現(xiàn)從箱中任取一件，求：（1）取到的是次品的概率；（2）解：設(shè)事件 表示：“取到的產(chǎn)品是次品”已知取到的是次品，它是第一家工廠生產(chǎn)的概率。；事件A表示：“取到的產(chǎn)品是第家工廠生產(chǎn)的”）。則，且（1）由全概率公式得（

10、2）由貝葉斯公式得兩兩互不相容。P(A)P(A|A1)3P(Aj)P(A| Aj) j 1122 WO 0.4 0.0253、設(shè)隨機(jī)向量（X,Y）的概率密度為 求：（1）常數(shù)C ；（2）關(guān)于X、Y的邊緣概率密度，并判斷 X與Y是否相互獨(dú)立。解：（1）利用歸一性知：f（x,y）dxdy 1 C 1(2)fx xf x, y dy ,當(dāng)0 x 1時，有fX x2xf x, y dy ° dy 2x ;其他情況時，fX x 0綜合知fX x2x,0 x 10,其他同理fY y10,其他由于 f (x, y) fX xfY y知X與Y不相互獨(dú)立。4、已知分別服從正態(tài)分布N（0, 32）和N（

11、2, 42）,且 與 的相關(guān)系數(shù)，設(shè)，求：（1）數(shù)學(xué)期望，方差 ；（2）與 的相關(guān)系數(shù)解：（1）由數(shù)學(xué)期望、方差的性質(zhì)及相關(guān)系數(shù)的定義得從而有 與的相關(guān)系數(shù)5、為X的一個樣本,其中1為未知參數(shù)，求的極大似然法估計量。解:觀測值,則構(gòu)造似然函數(shù)解的的極大似然估計量為1 3ln Xi i 16、已知工廠生產(chǎn)產(chǎn)品的次品率分別為1嗨口 2%現(xiàn)從由的產(chǎn)品分另1J占60%F口 40%的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，求：（1）該產(chǎn)品是次品的概率;(2)若取到的是次品，那么該產(chǎn)品是 B工廠的概率解：設(shè)C表示“取到的產(chǎn)品是次品” ；A “取到的產(chǎn)品是工廠的”；“取到的產(chǎn)品是 B工廠的”。則取到的產(chǎn)品是次品的概率為(2

12、)7、設(shè)求：E（X若取到的是次品，那么該產(chǎn)品是B工廠的概率為X、Y的概率分布為Y）和 E（2X 3Y2）。解：由于X在有限區(qū)間1 , 5上服從均勻分布,所以EX5 1 3；又由于Y服從參數(shù)為42一 1的指數(shù)分布，所以EY= 、DY ,16因此由數(shù)學(xué)期望性質(zhì) 2、性質(zhì)3及重要公式得6 3( DY (EY)2)口袋中裝有四只球，分別標(biāo)有數(shù)字1, 2,2,383。5勺。8現(xiàn)從袋中任取一球后不放回，再從袋中（1） X和Y的聯(lián)合概率任取一千以 X、Y分別表示第一次、第二次取得球上標(biāo)有的數(shù)字。求:分布；（2）關(guān)于X和關(guān)于Y邊緣概率分布。解：（1） （X, Y）的所有可能取值為（1, 2）、（1, 3）、（

13、2, 1）、（2, 2）、（2, 3）、（3, 1）、（3 , 2）。由概率乘法公式得同理得P21p22p23p321/6, P311/12。此外X 1, Y 1 , X 3, Y 3,者B是不可能事件,所以）的概率分布表為P11P33阜 (31/12 1/60（2） X的邊緣概率分布為X 123pi1/41/21/4Y的聯(lián)合概率分布為Y 1231/41/21/49、設(shè)總體的分布列為10F一一個樣本，求的極大似然估計。解：設(shè)為觀測值，的分布律為（ ） 于是似然函數(shù)令，解得，因此的極大似然估計為0.03、0.04、0.06的概率被損壞10、設(shè)一電路由三個相互獨(dú)立且串聯(lián)的電子元件構(gòu)成，它們分別以而

14、發(fā)生斷路，求電路發(fā)生斷路的概率。解:設(shè) 表示：“第 個電子元件被損壞” （=1, 2, 3）,則有 P(A1)0.03; P(A2) 0.04；P(A3)0.06。依題意所求概率為11、設(shè) 隨機(jī)地在1,2, 3中任取一值， 隨機(jī)地在1中任取一整數(shù)值，求：（1） 的分布律；（2）關(guān)于 和 的邊緣分布律。解：（1）的概率分布表為123（2）關(guān)于的邊命布律為12關(guān)于的邊緣分布律為1212 、設(shè)X1, X2, , Xn為X的一個樣本，且 X的概率分布為其中為未知參數(shù)，a0為常數(shù)，求 的極大似然估計。解：設(shè)x1, x2, , xn為X1, X2, , Xn觀測值，構(gòu)造似然函數(shù)aXi i 10,因此的極大

15、似然估計為n 一nXiai 113、在某公共汽車站甲、乙、丙三人分別獨(dú)立地等1, 2, 3路汽車，設(shè)每個人等車時間(單位:2分鐘的概率。分鐘)均服從0 , 5上的均勻分布，求三人中至少有兩個人等車時間不超過解：設(shè)X表示每個人等車時間，且 X服從0 , 5上的均勻分布，其概率分布為又設(shè)Y表示等車時間不超2分鐘的人數(shù)，則Y B(3,0.4),所求概率為14、一個盒子中有三只乒乓球，分別標(biāo)有數(shù)字1, 2, 2?，F(xiàn)從袋中任意取球二次，每次取一只X和Y的聯(lián)合概率(有放回)，以X、Y分別表示第一次、第二次取得球上標(biāo)有的數(shù)字。求: 分布；(2)關(guān)于X和Y邊緣分布；(3)X和Y是否相互獨(dú)立?為什么?解：(1)

16、(X,Y)的所有可能取值為(1 ，1)、(1 ，2)、 (2(2,2)。P11PX1, Y 1P21PX2, Y 1132313131929P12p22PXPX1, Y2, Y22132323232949)的概率分布表為1/92/92/94/9(2)關(guān)于X和Y的邊緣概率分布分別為Pi 1/2/31/32/3(3) X和Y相互獨(dú)立。因為 i, j有pipj15、設(shè)Xi, X2, X3為來自總體XN(2)的一個樣本,存在，驗證統(tǒng)計量(1)、(2)都是的無偏估計，并指出哪一個較好。(1)1、，2 二 X3；(2)21 、，1 、，X1 X23 16 22X3。解:由于E?11E(-Xi531、X2X3)102所以?11X 5X1“3是2的無偏估計;E?211E(3X1 6X22X3)所以1 x1 6X21X3是的無偏估計。2 3顯然195016D ?i1D(-X15178 2 5設(shè)隨機(jī)變量（f (x, y)X2X 3 )10219 2501311 5X1 WX2 2X3較好。X , Y ）具有概率密度Ce (x y), x0, 其它0,y 0求（1）常數(shù)C; （2）邊緣分布密度。解：（1）由于所以 =1,即 fx(x)f (x, y)dye (x y)dyx x