1、第11頁，共11頁2019-2020學(xué)年南陽市高三(上)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)題號(hào)一-二二三總分得分、選擇題(本大題共12小題，共60.0 分)1. 已知集合. - ：! :，B=XX 0則 A B=（）A. x0vx 3 B. x0 3C. x1vx 3D. x1vXV32. 設(shè)復(fù)數(shù)Z= （i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)Z的虛部為（）3. 在一個(gè)不透明的容器中有 6個(gè)小球，其中有4個(gè)黃球，2個(gè)紅球，它們除顏色外完全相同，如果一次隨機(jī)取出2個(gè)球，那么至少有1個(gè)紅球的概率為()?14. 已知函數(shù)f (x) =2sin ( x+1)( > 0)的最小正周期為 則下列選項(xiàng)正確的是( )A. 函數(shù)f (X

2、)的圖象關(guān)于點(diǎn)(，0)對(duì)稱非IB. 函數(shù)f (x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-遼,0)對(duì)稱C. 函數(shù)f (x)的圖象關(guān)于直線 X=對(duì)稱D. 函數(shù)f (X)的圖象關(guān)于直線 x=-對(duì)稱5. 甲、乙兩類水果的質(zhì)量(單位：kg)分別服從正態(tài)分布 N ( , 2), N ( , 2),其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，則下列說法錯(cuò)誤的是()A. 甲類水果的平均質(zhì)量1=0.4kgB. 甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右C. 甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小D. 乙類水果的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù)=1.996. 函數(shù)f (x) =|x-1|+e|lnx|的大致圖象為()7. 已知 U E （Ob A

3、X=Ioga （2a）, y=loga+a,=°町十扌（2a）,則（）D. ZV yv XA. X V yv ZB. yv XV ZC. XV ZV y8. 在如圖算法框圖中，若 a=6 ,程序運(yùn)行的結(jié)果 S為二項(xiàng)式（2+x）5的展開式中X3的系數(shù)的3倍，那么判斷 框中應(yīng)填入的關(guān)于k的判斷條件是（）A. k V 3B. k> 3C. kV 4D. k > 4LSX49. 已知Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S7V SioV S8,設(shè)bn = anan+ian+2 ,則數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)和Tn取最大值時(shí)n的值為（）A. 6B. 7C. 8D. 910. 十八世紀(jì)，函數(shù)y=

4、X （X表示不超過X的最大整數(shù)）被“數(shù)學(xué)王子”高斯采用,因此得名為高斯函數(shù)，結(jié)合定義的表述，人們習(xí)慣稱為“取整函數(shù)”，根據(jù)上述定義，則方程2019x2-2020=0的所有實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為A. 0B. 1C. 211. 某三棱錐的三視圖如圖所示，其中主視圖是等邊三角形，則該三棱錐外接球的表面積為（）A. 23 B. ID. 3)C. 64 12. 已知函數(shù)f (x) =1+x冷+¥+.”_缶+詁，若函數(shù)f (X)的零點(diǎn)均在區(qū)間a,b (avb, a, bZ)內(nèi)，貝U b-a的最小值是()A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空題(本大題共 4小題，共20.0分) 13已知向量y I)，;

5、 Wx若吩丄(： + ?，則實(shí)數(shù)的值為14. 學(xué)校準(zhǔn)備將5名同學(xué)全部分配到運(yùn)動(dòng)會(huì)的田徑、拔河和球類3個(gè)不同項(xiàng)目比賽做志愿者，每個(gè)項(xiàng)目至少1名，則不同的分配方案有 種(用數(shù)字作答)15. 已知雙曲線一，一 1 ：i ' f的左右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1, F2, A, B為其左、右兩個(gè)頂點(diǎn)，以線段 F1F2為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為 且ZAMB=30° ,則該雙曲線的離心率為 .16.a為常數(shù))有三個(gè)已知函數(shù)f (x) = (x2-ax) ex-ax+a2 (e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，aR, 不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍為 .三、解答題(本大題共 7小題，共82.0分

6、)17. 如圖，在ABC中，角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c,(Sin B+cosB).(1) 求ZACB的大?。?2) 若 ZABC=ZACB , D 為 ABC 外一點(diǎn)，DB=2, DC=1 ,邊形ABDC面積的最大值.18. 如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA底面ABCD , ： T二1丄，PA=2, E是PC上的一點(diǎn)，PE=2EC .(I )證明：PC 平面BED ;( )設(shè)二面角A-PB-C為90°求PD與平面PBC所成角的大小.19. 設(shè)直線l與拋物線x2=2y交于A, B兩點(diǎn)，與橢圓交于C D兩點(diǎn)，設(shè)直線OA, OB, 0C, OD (O為坐

7、標(biāo)原點(diǎn))的斜率分別為 k1, k2, k3, k4,若OAIOB.(1) 證明：直線I過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；(2) 是否存在常數(shù) 滿足k1+k2= ( k3+k4)?并說明理由.20. 已知函數(shù)f (x)=.(1)若函數(shù)y=f (x) -k有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) k的取值范圍;(2)若關(guān)于X的方程f (x) =m-有兩個(gè)不等實(shí)根x1, 2,證明:> 2.21. 種擲硬幣走跳棋的游戲：在棋盤上標(biāo)有第1站、第2站、第3站、第100站,共100站，設(shè)棋子跳到第n站的概率為Pn, 一枚棋子開始在第1站，棋手每擲一次 硬幣，棋子向前跳動(dòng)一次若硬幣的正面向上，棋子向前跳一站；若硬幣的反面向上，棋子

8、向前跳兩站，直到棋子跳到第99站(失敗)或者第100站(獲勝)時(shí)，游戲結(jié)束.(1) 求 Pi, P2, P3;(2) 求證：數(shù)列Pn+i-Pn (n=l , 2, 3, 98)為等比數(shù)列；(3) 求玩該游戲獲勝的概率.22. 在直角坐標(biāo)系Xoy中，曲線Ci的參數(shù)方程為 f = rsina( 為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為：令，且曲線Ci與C2恰有一個(gè)公共點(diǎn).(I )求曲線Ci的極坐標(biāo)方程；()已知曲Ci上兩點(diǎn)，A, B滿足,求AOB面積的最大值.23. 若關(guān)于X的不等式x-i-x+4 +i有解，記實(shí)數(shù)t的最大值為 T(1) 求T的值；(2)

9、若正數(shù)a, b, C滿足a+2b+c=T,求的最小值.答案1. 【答案】A2. 【答案】C3. 【答案】B4. 【答案】B5. 【答案】D6. 【答案】D7. 【答案】B8. 【答案】C9. 【答案】D10. 【答案】C11. 【答案】D12. 【答案】A13. 【答案】14. 【答案】15015. 【答案】:16. 【答案】（J 0）17. 【答案】解：（1 ）在厶 ABC 中，. a=c （SinB+cosB）, . SinA=sinC （SinB+cosB）,（ 1 分）. Sin （ B-C） =SinC （SinB+cosB）,.Sin （B+C） =SinC （SinB+cosB）

10、,（ 2分）.SinBcosC+cosBsinC=SinBsinC+sinCcosB,（ 3 分）.cosCsinB=SinBsinC,又. B （ 0, ,故 SinB 0 （4 分）.COSC=SinC,艮卩 tanC=1.（ 5 分）又 C（ 0, ,.C=I.（ 6 分）（2）在厶 BCD 中，DB=2 , DC=1 ,.BC2=12+22-2 ×>2 ×cosD=5-4cosD . （ 7 分）制又 ABC= ACB ,由（1）可知 ACB=,. ABC為等腰直角三角形，（8分）LI O 5.SABC=E×BC×,×BC=BC

11、=I-CoSD,（ 9 分） 又T S BDC= XBD XDC ×SinD=SinD, （ 10 分）.S四邊形 ABDC= I-COSD+sinD=,+2sin ( DP ) .( 11 分).當(dāng)D斗時(shí)，四邊形ABDC的面積有最大值，最大值為 冷 .( 12 分)【解析】(1)利用正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知可得COSCSinB=sinBsinC,結(jié)合SinC0可求tanACB=1 ,結(jié)合范圍ZACB (0, ,即可求得 ZACB的值.(2)由已知利用余弦定理可得BC2=i2+22-2 × ×2 >CosD=5-4cosD ,由已知及(1)可

12、知ZACB= 利用三角形面積公式可求SABC, SBDC ,從而可求 S四邊形，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解四邊形 ABDC面積的最大值.本題主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面積公式及三角恒等變換等基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng) 用，考查了運(yùn)算求解能力，考查了化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，屬于中檔題18. 【答案】解：(I)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如 圖空間直角坐標(biāo)系 A-Xyz,設(shè) D (, b, 0),貝U C (2詞，0, 0), P (0,0, 2), E (豈 0, £), B (Q -b, 0)T C= (2 2, 0, -2),疔(£, b, ), % =(£,-b,

13、)PC IBE, PCIDE , BE DE=EB(ii ) = ( 0, 0 , 2),取和=(b, 2, 0)Jrl= (X, y, z),則r" =2a = 0m AP, = '2-by = 0Lm ABM= ( P, q, r),則"= 2¾-2r= 0IIPC _* f 農(nóng) I J IE f=W -b, O)設(shè)平面PAB的法向量為設(shè)平面PBC的法向量為PC 平面 BED.平面 PAB平面 PBC, 9j=b=0.故 b=j2 = (1,-1, %?), w= (-2,品,2)*1 T b'j>f I 1 COSV 彌,H> =

14、 j=2H fi IJTI設(shè)PD與平面PBC所成角為, 0 ,引,則Sin 亍. =30 °PD與平面PBC所成角的大小為30 °【解析】(I)先由已知建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè) D C , b , 0),從而寫出相關(guān)點(diǎn)和相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用向量垂直的充要條件，證明PCBE , PC DE ,從而利用線面垂直的判定定理證明結(jié)論即可；(II)先求平面PAB的法向量，再求平面 PBC的法向量，利用兩平面垂直的性質(zhì)，即 可求得b的值，最后利用空間向量夾角公式即可求得線面角的正弦值，進(jìn)而求得線面角本題主要考查了利用空間直角坐標(biāo)系和空間向量解決立體幾何問題的一般方法，線面垂直的判定定理，

15、空間線面角的求法，有一定的運(yùn)算量，屬中檔題19. 【答案】解：(1)證明：由題知，直線的斜率存在且不過原點(diǎn)，故設(shè) y=kx+b(b0 ， A(x, y), B(x', y'),聯(lián)立直線 I 與拋物線的方程整理得：x2-2kx-2b=0, +x'=2k, xx'=-2b,yy'=二=b2,OA IOB . =0, b2-2b=0 ,解得 b=2,所以直線I的方程為：y=kx+2故直線恒過定點(diǎn)(0, 2).(2)由(1)知 x+x'=2k. xx'=-4 *1+k2仝十?=血* 八=2k+T -=k；設(shè)C (m, n), D ( a, t),

16、聯(lián)立直線與橢圓的方程整理得：(1+2k2) x2+8kx+4=0,'m+a , ma=R7 ,I I Tl F Jrnj 4 1 肪 F J *(砸 Hn) Ik3+k4=2k+=-2k, 'k1 + k2- ( k3+k4),即存在常數(shù)=滿足條件.【解析】(1)設(shè)直線I的方程與拋物線聯(lián)立求出兩根之和兩根之積，由OAOB,求出過定點(diǎn)，(2)由(1)得與拋物線聯(lián)立的方程，求出兩根之和兩根之積，進(jìn)而求出k1+k2 ,同理聯(lián)立與橢圓的方程，求出兩根之和及兩根之積，求出k3+k4 ,從而得出存在常數(shù)滿足條件.考查直線與拋物線及橢圓的綜合應(yīng)用，屬于中檔題20. 【答案】解：(1)由題知，

17、y=f (X)與y=k有兩個(gè)交點(diǎn)，(町=二廠(XAIo),由 f,( x)> 0 得 0v XV e；由 f'( X)V 0 得 x> e, (x)在(0, e)上單增，在(e, +)上單減，又 f(1) = 0l FW) = ,且當(dāng) x>e 時(shí)，f (x)> 0 ,故e(0,；(2)證明：方程孑何=機(jī)一!可化為膠=】TtU ,令(x) = I #'(£)= 一下， 所以g (x)在(0, 1)上單增，在(1, +)上單減，又#() = 0不妨設(shè) x1v X2.則-<X1< KX2 ,要證明 x1+x2>2,只需證 x2>

18、;2-X1, X2, 2-X1 ( 1, +)且 g (X)在(1 , +)上單減，所以證 g (X1) =g (X2)V g (2-X1),令ftW = (x)-ff(2-X)F 工Ec 1),皿 iflt2-t(1-I)L + (liJJrLt(2-=JSy則 h3 = ffx) + 0(2-巧=當(dāng)工 EG 1)時(shí)，lnxv 0, ln1- (x-1) 2 V 0,h'( x)> 0,即 h (x)在 G 1)單增，又 h (1) =0,.g (X)V g (2-x)對(duì)工1)恒成立，即 g (x) =g (X2)v g (2-xi)成立，即 +2> 2成立；由得 左+

19、“)+#+勺)；.2(巧十可)，即+x2>2 ,命題得證.【解析】(1)依題意，y=f (x)與y=k有兩個(gè)交點(diǎn)，求出函數(shù)的單調(diào)性及圖象走勢情況 即可得解；(2)問題轉(zhuǎn)化為證明 x2>2-xi ,即證g (xi) =g (X2)v g (2-xi),構(gòu)造函數(shù) h(x)=甘茂)9(2-Xh X E G 1)即可得證；利用的結(jié)論容易得證.本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值及最值，考查極值點(diǎn)偏移問題，考查邏 輯推理能力，屬于中檔題21. 【答案】解：(1)棋子開始在第1站是必然事件，Pi=I ;棋子跳到第2站，只有一種情況，第一次擲硬幣正面向上，其概率為I，IlP2= ；棋子跳到

20、第3站，有兩種情況， 第一次擲硬幣反面向上，其概率為：； 前兩次擲硬幣都是正面向上，其概率為IX ,IT s P3=.=；(2) 證明：棋子跳到第 n+2站(1n 97 ,有兩種情況： 棋子先跳到第站，又?jǐn)S硬幣反面向上，其概率為*Pn； 棋子先跳到第n+1站，又?jǐn)S硬幣正面向上，其概率為P+i 故 P+2= LPn+1+ Pn;Pn+2十 L=-j ( Pn+1-Pn)； 又 P2-Pi=-盤,數(shù)列是以-為首項(xiàng)，-為公比的等比數(shù)列，(3) 由(2) 得 P+i-P= (- ) n;.P99= ( P99-P98)+ ( P2-Pi) +Pi=(-)98+ (J) 97+ + ()+1= UT=廣

21、帀,所以獲勝的概率為1-P99= -【解析】(1)棋子在O站是一個(gè)必然事件，得到發(fā)生的概率等于1,擲出朝上的點(diǎn)數(shù)為1或2 ,棋子向前跳一站；若擲出其余點(diǎn)數(shù)，則棋子向前跳兩站，根據(jù)正方體各個(gè)面 出現(xiàn)的概率得到結(jié)果.(2) 由題意知連續(xù)三項(xiàng)之間的關(guān)系，根據(jù)得到的關(guān)系式，仿寫一個(gè)關(guān)系式，兩個(gè)式子 相減，構(gòu)造一個(gè)新數(shù)列是連續(xù)兩項(xiàng)之比是一個(gè)常數(shù)，得到等比數(shù)列.(3) 寫出所有的式子，把所有的式子相加，禾U用累加的方法消去中間項(xiàng)得到首項(xiàng)和末 項(xiàng)之間的關(guān)系，得到玩該游戲獲勝的概率.本題考查概率的實(shí)際應(yīng)用，是一個(gè)中檔題目，題目涉及到概率的計(jì)算，本題解題的關(guān)鍵 是看出題目中要利用累加的方法.22. 【答案】解：(I)曲線C2的極坐標(biāo)方程為 P Sirn +) =3 , 可得C2的直角坐標(biāo)方程為：x+ ； -6=0 ,即曲線C2為直線.曲線Ci是圓心為(2, 0),半徑為IrI的圓.2=l因?yàn)閳ACI與直