1、 直線和圓的位置關(guān)系教學(xué)設(shè)計課 題: 三角函數(shù)模型簡單應(yīng)用設(shè)計者:學(xué) 院: 數(shù)學(xué)學(xué)院時 間: 2015-9-24三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用一、教學(xué)目標(biāo)1、知識與技能:a 通過對三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用的學(xué)習(xí),使學(xué)生初步學(xué)會 由圖象求解析式的方法; b 根據(jù)解析式作出圖象并研究性質(zhì); c 體驗實際 問題抽象為三角函數(shù)模型問題的過程; d 體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn) 象的重要函數(shù)模型.2、 過程與方法:讓學(xué)生體驗一些具有周期性變化規(guī)律的實際問題的數(shù)學(xué) “建 模” 思想 , 從而培養(yǎng)學(xué)生的建模、 分析問題、 數(shù)形結(jié)合、 抽象概括等能力. 3、情感態(tài)度價值觀:讓學(xué)生切身感受數(shù)學(xué)建模的過程,體驗數(shù)學(xué)在解決實

2、 際問題中的價值和作用,讓學(xué)生切身感受數(shù)學(xué)建模的過程,體驗數(shù)學(xué)在 解決實際問題中的價值和作用從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)鍥而不舍 的鉆研精神;培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、勤于思考的精神。二、教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):用三角函數(shù)模型解決一些具有周期變化規(guī)律的實際問題。教學(xué)難點(diǎn):分析、整理、利用信息,從實際問題中抽取基本的三角函數(shù)關(guān)系 來建立數(shù)學(xué)模型,并運(yùn)用相關(guān)學(xué)科的知識來解決問題.三、教學(xué)過程1. 情景展示,新課導(dǎo)入【師】 經(jīng)過前面的學(xué)習(xí), 大家知道, 在客觀現(xiàn)實世界中存在著大量的周期性變化現(xiàn)象, 而要定量地去刻畫這些現(xiàn)象, 我們通常需要借助于三角函數(shù)這一重要數(shù)學(xué)模型。 這節(jié)課我們 將來學(xué)習(xí)三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)

3、用。【師】 老師想問大家一個問題:若干年后, 如果在座的各位有機(jī)會當(dāng)上船長的話, 當(dāng) 你的船只要到某個港口去 ,你作為船長,你希望知道關(guān)于那個港口的一些什么情況?【生】水深情況?！編煛?是的, 我們要到一個陌生的港口時, 是非常想得到一張有關(guān)那個港口的水深與 時間的對應(yīng)關(guān)系數(shù)值表。那么這張表格是如何產(chǎn)生的呢?請同學(xué)們看下面這個問題。問題探究 1:如圖所示,下面是某港口在某季節(jié)每天的時間與水深關(guān)系表:時刻 水深 /米 時刻 水深 /米 時刻 水深 /米 3:00 7.5 12:00 5.0 21:00 2.5 【師】請同學(xué)們仔細(xì)觀察表格中的數(shù)據(jù),你能夠從中得到一些什么信息?【生】(思考中發(fā)現(xiàn)水深

4、的最大值是 7.5米,最小值是 2.5米。【師】水的深度變化有什么特點(diǎn)嗎?【生】水的深度開始由 5.0米增加到 7.5米,后逐漸減少一直減少到 2.5,又開始逐漸 變深,增加到 7.5米后,又開始減少。【師】 大家發(fā)現(xiàn),水深變化并不市雜亂無章, 而是呈現(xiàn)一種周期性變化規(guī)律,為了更加 直觀明了地觀察出這種周期性變化規(guī)律,我們需要做什么工作呢?【生】需要畫圖?！編煛?非常好, 下面大家拿出一張白紙, 以時間為橫坐標(biāo),以水深為縱坐標(biāo)建立平面直 角坐標(biāo)系,將上面表格中的數(shù)據(jù)對應(yīng)點(diǎn)描在平面直角坐標(biāo)系中去。(學(xué)生活動:作圖 【師】 (電腦呈現(xiàn)作圖結(jié)果 大家可以發(fā)現(xiàn)如果我們用平滑的曲線將上面所描各點(diǎn)連起 來

5、,得到的圖象形狀,可以用哪個函數(shù)來刻畫呢?【生】跟三角函數(shù)模型 sin( y A wx h =+很象。(師板書 2.5sin 55.50.3(2 6xx +-【師】下面你們能把剛才同學(xué)所給的這個函數(shù)模型給求出來嗎?(學(xué)生活動,求解解析式【生】從數(shù)據(jù)和圖像可以得出:7.52.522.5, 5, 12, 02A h T -= 【師】這樣一來我們就得到了一個近似刻畫水深與時間關(guān)系的三角函數(shù)模型,為 了保 證所選函數(shù)的精確性, 通常還需要一個檢驗過程 (因為時間關(guān)系, 老師事先已經(jīng)幫大家檢驗 過了,這里就不檢驗,同學(xué)們可以下去檢驗下有了這個模型,我們要制定一張一天 24內(nèi) 整時刻的水深表,就是件非常容

6、易的事情了 .【師】 有了水深關(guān)于時間的函數(shù)模型以后, 作為船長考慮的問題還沒有結(jié)束, 因為船只 在進(jìn)出港時, 每艘船只的吃水深度是不一樣, 下面我們就看一看把這兩方面的情況都考慮進(jìn) 去的一個問題:問題探究 2:一艘貨船的吃水深度 (船底與水面的距離 為 4米, 安全條例規(guī)定至少要有 1.5米的安全間隙(船底與洋底的距離,試問:該船何時能夠進(jìn)入港口?在港口能呆多久?【師】貨船能夠進(jìn)入港口所需要滿足的條件是什么? (師生一起分析【師】只有當(dāng)“實際水深 吃水深度 +安全間隙”時,船只才可以進(jìn)去或離開港口。怎 樣用數(shù)學(xué)語言將這一條件給轉(zhuǎn)述出來呢?【生】 2.5sin 41.56x+,即 sin 0.

7、26x,(師生齊分析解三角不等式,通常我們是算去邊界值,然后再確定解的范圍?！編煛苛?sin 0.26x=(學(xué)生活動:操作計算器計算 0.2014, 0.38486xx =,【師】 我們知道三角方程在實數(shù)范圍內(nèi)有解就有無數(shù)個, 那么在 0, 24范圍內(nèi) , 其他一 些解該怎么求呢?我們來看圖象情況。(電腦呈現(xiàn)圖象 發(fā)現(xiàn):在 0, 24范圍內(nèi),方程0.26x =的解共有 4個,從小到大依次記為:那么其他三個值如何求得呢?(學(xué)生思考 【師】 得到了 4個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)值后, 大家結(jié)合圖象說說貨船應(yīng)該選擇什么時間進(jìn)港? 什么時間出港呢?(學(xué)生討論,交流【生】貨船可以在 0時 30分鐘左右進(jìn)港,早晨 5

8、時 30分鐘左右出港;或者是中午 12時 30分鐘左右進(jìn)港,在傍晚 17時 30分鐘左右出港?！旧控洿梢栽?0 時 30 分鐘左右進(jìn)港，可以選擇早晨 5 時 30 分，中午 12 時 30 分， 或者傍晚 17 時 30 分左右出港。 【師】上面兩位同學(xué)分別給出了兩種不同的進(jìn)出港時間方案，同學(xué)們說說看，哪一種情 況更符合實際或者說更安全。 （學(xué)生討論，最后確定方案 1 為安全方案，因為當(dāng)實際水深小 于安全深度時， 貨船盡管沒有行駛， 但是擱淺后船身完全可以餡入淤泥， 即使后來水位上漲， 也很可能船身不再上?。?【師】大家看看剛才整個過程，貨船在進(jìn)港，在港口停留，到后來離開港口，貨船的吃 深

9、深度一直沒有改變， 也就是說貨船的安全深度一直沒有改變， 但是實際情況往往是貨船載 滿貨物進(jìn)港，在港口卸貨，在卸貨的過程中，由物理學(xué)的知識我們知道，隨著船身自身重量 的減小，船身會上浮，換句話說，隨著貨物的卸載，貨船的安全深度不再向開始那樣一直是 一個常數(shù)，現(xiàn)在它也是一個關(guān)于時間的變量，而實際水深也一直在變化，這樣一來當(dāng)兩者都 在改變的時候，我們又改如何選擇進(jìn)出港時間呢？請看下面問題： 問題探究 3：一艘貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為 4 米，安全條例規(guī)定至少要 有 1.5 米的安全間隙（船底與洋底的距離），該船在 2：00 開始卸貨，吃水深度以每小時 0.3 米的速度減少，那么該船在什

10、么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？ 【師】題目中“必須停止卸貨”，是在貨船即將面臨什么危險的時候呢？（學(xué)生討論） 【生】當(dāng)實際水深快要小于或等于安全水深的時候，就必修停止卸貨。 【師】那么我們先把貨船安全需要滿足的條件給寫出來：安全即需要：實際水深 安全 水深 即： 2.5sin px 6 + 5 5.5 - 0.3( x - 2 ， 【師】這樣的不等式大家會解嗎？ 【生】不會 【師】用代數(shù)的方法不會解的時候，我們不妨從幾何的角度來考慮這個問題。 （電腦作 圖并呈現(xiàn)） 通過圖象可以看出，當(dāng)快要到 P 時刻的時候，貨船就要停止卸貨，駛向深水區(qū)。那么 P 點(diǎn)的坐標(biāo)如何求得呢？ （學(xué)生思考，討

11、論，交流） 【師】P 點(diǎn)橫坐標(biāo)即為方程 2.5sin px 6 + 5 = 5.5 - 0.3( x - 2 解，很顯然，精確解我們是無法求得，我們只能是求得其 近似解，同學(xué)們回憶回憶，前面我們在求方程的近似解的時候通常采用什么方法？ 【生】二分法， 【師】如何用二分法求得近似解呢？（師生一道分析） 由圖得點(diǎn) P 在6，7，故我們 只需要算出 6，6.5，7 三個時刻的安全水深與實際水深的數(shù)值表就可以回答上面的問題。 時間 60 65 70 實際水深 5米 42 米 38 米 安全水深 43 米 41 米 40 米 是否安全 安全 較安全 危險 貨船應(yīng)該在 6 時 30 分駛離港口。（可能有的

12、同學(xué)有些異議，可以討論） 【師】從這這個問題可以看出，如果有時候時間控制不當(dāng)，貨船在卸貨的過程中，就會 出現(xiàn)貨還沒有卸完，不得已要暫時駛離港口，進(jìn)入深水區(qū)，等水位上帳后在駛回來。這樣對 老板來說就會造成才力、物力上的巨大浪費(fèi)？這顯然不是老板愿意看到的。那改怎么來做 呢？（學(xué)生討論） 【生】可以加快卸貨速度，也就是加快安全深度下降速度。 【師】看下面這個問題： 問題探究 4：若船的吃水深度為 4 米，安全間隙為 1。5 米，該船在 2：00 開始卸貨，貨物 卸空后吃水深度為 2 米，為了保證進(jìn)入碼頭后一次性卸空貨物，又能安全駛離碼頭，那么每 小時吃水深度至少要以多少速度減少？ （學(xué)生課后探究） 3課時小結(jié)，認(rèn)識深化 （師生一起歸納）3-1 回顧我們整個探究過程，經(jīng)歷了這么幾個階段 第一階段：收集數(shù)據(jù)-畫散點(diǎn)圖（為了更加直觀形象揭示變化規(guī)律） 第二階段：根據(jù)圖象特征-選擇適當(dāng)函數(shù)類型，并求得函數(shù)類型 第三階段：函數(shù)模型在實際問題中的應(yīng)用 3-2 在整個探究過程，我們用到數(shù)學(xué)常見的一些 思想方法： （1）對實際問題處理過程是，首先是挖掘其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題； 體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想； （2）在對一些數(shù)據(jù)處理的過程用到了估算的思想； （3）在用代數(shù)方法