1、1.定積分定義定積分定義4.定積分的性質定積分的性質(1)分割分割,iniixf 10)(lim 2.定積分的思想和方法：定積分的思想和方法：曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積曲邊梯形面積的負值曲邊梯形面積的負值3.定積分的幾何意義定積分的幾何意義 baxxf d)(1)0)( xf當當時，時，A(2)0)( xf當當時，時，A 表示各部分表示各部分面積的代數(shù)和，面積的代數(shù)和，；0d)( aaxxf.d )(d)( xxfxxfabba 復習復習近似近似, 取和取和,求極限求極限.x軸上方的取正號，軸上方的取正號，x軸下方的取負號軸下方的取負號. baxxf d)(3)當當)(xf在在a,b上有正有

2、負時，上有正有負時， baxxf d)( baxxf d)(2)那那么么)(ba )(ba 那那么么設設M及及m分別是函數(shù)分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上上的最大值及最小值，的最大值及最小值，可加性：可加性：(3)假設假設),()(xgxf (5)(估值定理估值定理)(6)延續(xù)，延續(xù)，則在積分區(qū)間則在積分區(qū)間 ba,上至少存在一點上至少存在一點， 使使)(ba (7)定積分中值公式定積分中值公式如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a,b上上.d)(d)( babaxxgxxf).(d)()( abMxxfabmba ).( )(d)( abfxxfba .d)(d)(d)( baba

3、bauufttfxxf baxxf d)( caxxf d)( bcxxf d)(5-2微積分基本公式微積分基本公式一、變上限的定積分一、變上限的定積分即即則稱之為積分變上限函數(shù)則稱之為積分變上限函數(shù).就一定有一個數(shù)就一定有一個數(shù)與之對應與之對應.即得一個新函數(shù)即得一個新函數(shù))(bxa 若函數(shù)若函數(shù))(xfy 在在上連續(xù)，上連續(xù)，,ba那那么么)(xf在在上可積，上可積，,ba,bax xxfxad )( xatfx)()(dtabxyo)(x x二、積分上限函數(shù)的性質：二、積分上限函數(shù)的性質：定理定理1：則積分上限函數(shù)則積分上限函數(shù)是是)(bxa 并且它的導數(shù)并且它的導數(shù)證證當當)(x 從從

4、x變到變到x 時，時，)(x 的改變量為：的改變量為：)()(xxx 如果如果f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上連續(xù)，上連續(xù)， xatfx)()(dt在在上具有導數(shù)，上具有導數(shù)，,ba ttfxxad )( ttfxxxa d)(dd)()(xf ttfxad )( abxyo)(x xxx 由積分中值定理得由積分中值定理得,xxx , 0 x),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx 即即 )(x xxxxattfttf d)(d )(,d)( xxxttfx ，xf )( xattfx d)(d d xaxxattfttf d)(d)( xattf d)( abxyo)(x

5、xxx )(xf 解解 )(xF解解,sin)(xxF 4sin)4( xxF.22 解解).12cos( x例例1求求,dcos)( 0 2ttxFx 知知).(xF 例例2知知,dsin)( 3 xttxF求求).4( F 例例3求求 xtxF)12cos()(知知).(xF dt, d)12cos()(xttxF xtt d)12cos( ttxxdcos dd 0 2.cos2x求求)(xF 解解令令，ux 2那那么么 )(xFxuuF )()2(sin xu( )fx 2sin() ()uux 1sin .2x解解xuuxtt)2()dsin( 3 例例4知知,dsin)(2 3 t

6、txFx ,dsin)( 3 uttuF例例5設設22( )sin()d ,xf xttt ( ).fx 求求 )2(2sinxx.2sin2x1sin2xxx 2sin()()xxx ,xu 令令 2 2sin()d ()uutttx 解解 )(xF )arctan(22xx例例6知知,darctan)(sin 2ttxFxx 求求).(xF 0 2 darctanxttdarctansin 0 xtt.cos)arctan(sinxx darctansin 2 xxtt darctan2 0 xttdarctansin 0 xtt )(arctan22xx)(sin)arctan(sin

7、xx解解)(cos2cos xex,sin2cos xex xexxx2sinlim2cos0 .21e 分析：分析：00這是這是 型不定式，型不定式， texxtddd1 cos 2求求應用洛必達法則應用洛必達法則.d lim21 cos 02xtextx 21 cos 0d lim2xtextxtexxtdddcos 1 2 例例7310( )d = ,xf tt x 例例8 8設設 f(x)f(x)在在a,ba,b上連續(xù)，上連續(xù)，且且那么那么(7)_ .f 解解對所給條件兩邊關于對所給條件兩邊關于x求導得，求導得，233(1)1,x f x 令令2,x 得得1(7).12f 11288年

8、考研題年考研題例例9 9計算計算202dcosd .dxxttx 解解220220cosdcosd ,xxxttxtt 202dcosddxxttx 220d(cosd )dxxttx 22240cosd2cos.xttxx 95年考研題年考研題證證)(2)(xfxF , 1)( xf)(xF在在1 , 0上上為為單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù).1) 0 ( F, 0 所所以以0)( xF即即原原方方程程在在1 , 0上上只只有有一一個個解解., 1d )(2)( 0 ttfxxFx令令ttfFd )(1)1(1 0 設設)(xf在在 1 , 0上連續(xù)，上連續(xù)， 且且. 1)( xf證明：證明：1d

9、 )(2 0 ttfxx在在 1 , 0上只有一個解上只有一個解.例例1010, 0 , 0 所以，該函數(shù)在所以，該函數(shù)在0,1上至多有一個根上至多有一個根.由零點定理知，該方程在由零點定理知，該方程在0,1內(nèi)至少有一個根內(nèi)至少有一個根.定理定理2原函數(shù)存在定理）原函數(shù)存在定理）定理的重要意義：定理的重要意義：（1肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.（2初步揭示了積分學中的定積分與原函數(shù)初步揭示了積分學中的定積分與原函數(shù)假設假設)(xf在在,ba上連續(xù)，上連續(xù)， 則積分上限函數(shù)則積分上限函數(shù) xatfx)()(dt,ba就是就是)(xf上的一個原函數(shù)上的一個原函數(shù).在

10、在之間的聯(lián)系之間的聯(lián)系. )(x)(xf dxd dt xatf )(實例：實例：變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系:變速直線運動中路程為變速直線運動中路程為另一方面這段路程可表示為另一方面這段路程可表示為);()(12TsTs ).()(tvts 設某物體作直線運動，設某物體作直線運動， 已知速度已知速度)(tvv 是時間間隔是時間間隔,21TT上上t 的一個連續(xù)函數(shù)，的一個連續(xù)函數(shù)， 且且，0)( tv求物體在這求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程.;d )(21 ttvTT 21 d)(TTttv其中：其中：).()(12TsTs

11、三、牛頓三、牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式定理定理 3微積分基本公式）微積分基本公式）一個原函數(shù)，一個原函數(shù)， 那那么么證證),()(xfxF ,)()(CxxF 即即 CxxF)()(,bax 當當ax 時，時，)(aFC 那那么么當當bx 時，時，故有：故有：假設假設)(xF是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間上的任意上的任意,ba).()(d )( aFbFxxfba )()()(aFtfxFxa dt)()()(aFtfbFba dt).()(d )( aFbFxxfba ，)(xf dxd xattf d)(dt， xaCtf )(牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式( )( )d ,

12、xaxf tt 令令 )(x那那么么 baxF)( baxF)( 微積分基本公式表明：微積分基本公式表明：留意：留意：求定積分的問題轉化為求原函數(shù)的問題求定積分的問題轉化為求原函數(shù)的問題.)()()(aFbFxfba dx一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間a,b上的定積分，上的定積分， 等于它的等于它的任意一個原函數(shù)在區(qū)間任意一個原函數(shù)在區(qū)間a,b上的增量上的增量.當當ab時，時，)()()(aFbFxfba dx仍成立仍成立. abbaxfxf )()(dxdx)()(bFaF )()(aFbF 求下列定積分求下列定積分 (1)原式原式10 xe101.eee 解解11arctan x (

13、2)原式原式arctan1arctan( 1) 10(1)d ;xex 121d(2).1xx 例例1.244 解解 21arcsin12102x例例2 210211xx求求dx.原式原式 )1 ()1 (212210212xx ddx 21021 xxdx 210211x210arcsinx.4221 解解 12|ln x 2ln1ln解解xyo 0 cos x . 2 求求 .112 xdx當當x0時，時，x1的一個原函數(shù)是的一個原函數(shù)是,lnx 121xdx面圖形的面積面圖形的面積.面積面積xxAdsin 0 . 2ln 例例3計算曲線計算曲線xysin 在在, 0 上與上與x軸所圍成的

14、平軸所圍成的平例例4解解 022cos22 x. 424 例例5 求求 22cos1 xdx.原式原式 2222sin2 xdx2sin222x dx 022sin2 xdx留意：留意： 所給函數(shù)與積分區(qū)間的關系所給函數(shù)與積分區(qū)間的關系.dx 202sin2 x20)2cos22( x )122(22)221(22解解. 6 闡明闡明:， 215102)(xxxxf 20)(xf例例6設設求求dx. 1020)()( xfxfdxdx在在2 , 1 上規(guī)定當上規(guī)定當x=1時，時，, 5)( xf原式原式= 102152 xdxdx)(xf在在,ba上分段連續(xù)，上分段連續(xù)， 即有有即有有限個第一

15、類間斷點時，限個第一類間斷點時， 牛頓萊布尼茲公式仍成立，牛頓萊布尼茲公式仍成立，但需可加性但需可加性. 若是第二類間斷點，若是第二類間斷點， 該公式不成立該公式不成立.如如: 1121xdxxyo12dx 21)(xf111 x. 211 顯然錯誤顯然錯誤. .解解時時，當當21 x 21 )1(2110 )(2xxxxxF， )21 (21) 10(2)(xxxxf xtfxF0)()(例例7設設求求dt. 時，時，當當10 x xt110212 dtdt xtfxF0)()( dtdt xt02 ，202xtx xtfxF0)()(dt).1(21 x例例8設設,d521)( 0 2tt

16、ttxfx )(xf求求在在0,10,1上的最大上的最大 值和最小值值和最小值. .解解 ttttxfxd521)( 0 2 5212xxx4)1(12 xx當當1 , 0 x時，時，4)1(1)(2 xxxf, 0 那么那么)(xf在在0,1上是單調(diào)遞增，上是單調(diào)遞增， 則最小值為則最小值為 )0(f, 0最大值為最大值為 ttttfd521)1(1 0 21 0 252ln21 xx 5ln8ln21.58ln21 1 0 2252)52d(21tttt例例9 9一汽車以每小時一汽車以每小時36公里的速度行駛，公里的速度行駛， 到某處需要到某處需要減速停車，減速停車， 設汽車以等加速度設汽車以等加速度a = -5m/2s剎車剎車.問從問從開始剎車到停車，開始剎車到停車， 汽車駛過多少距離？汽車駛過多少距離？解解 當當t=0時，時，汽車速度為汽車速度為360 vkm/h103600100036 m/s.剎車后汽車減速行駛，剎車后汽車減速行駛， 其速度為其速度為 atvtv0)(汽車停住時，汽車停住時，0)( tv那那么么，0510)( ttv得得).s ( 2510 t則汽車行駛的距離為則汽車行駛