1、導數(shù)的應(yīng)用與分類討論由于導數(shù)內(nèi)容對大學數(shù)學與中學數(shù)學的銜接具有重大的作用，所以自從導數(shù)進入高考后，立即得到普遍地重視，在全國各地的數(shù)學高考試卷中占有相當重的份額，許多試題放在較后的位置，且有一定的難度.利用導數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性和極值問題，經(jīng)常需要進行分類討論所以導數(shù)與分類討論結(jié)下了不解之緣，要想獲 得數(shù)學高考的高分，必須占領(lǐng)這塊“陣地”【例1】 設(shè)函數(shù) f (x) =2x3-3 (a+1) x2+6ax+8，其中 a R.(I)若f (x)在x=3處取得極值，求常數(shù) a的值；(H)若f (x)在(-g，0 )上為增函數(shù)，求 a的取值范圍.解： (I) f '( x) =6x2-6 (a

2、+1) x+6a=6 (x-a ) (x-1 ).v f (x)在x=3處取得極值，f '(3)=12(3 -a) =0， a=3，檢驗知成立.(H) 由 f '( x) =6 (x-a ) (x-1 ) =0 得 x1=a 或 x2=1.若 a<1，則當 x(g，a) U( 1，+®)時，f '( x) >0，所以 f (乂)在(一®， a)和(1，+ g)上為增函數(shù)，而f (x)在(g，0 )上為增函數(shù)，所以O(shè)wa<1 ；若 a> 1，則當 x(g，1)U( a，+s)時，f '( x) >0，所以 f (x

3、)在G(®，1)和(a，+ s)上為增函數(shù)，f (x)在(g，0 )上也為增函數(shù)綜上，所求a的取值范圍為0，+).【點評】(H)中對a的值進行分類討論，當 a<1時很容易忽視a>0這個條件，注意這時f (x)在(®，0 )上為增函數(shù)，必須有 a> 0.【例2】 設(shè)函數(shù)y=ax5-bx3+c (c工0)在x= ± 1時有極值，且極大值為4，極小值為0.求a、b、c的值.解： 令 y ' =5ax4-3bx2=0，x2 ( 5ax2-3b ) =0.所以極值點可能是 0 和土 1.因為函數(shù) x=± 1 時有極值，所以 5a=3b，y

4、' =5ax 2( x 2 -1 ) =5ax 2( x+1) (x-1 ).若a>0，當x變化時，函數(shù)遞增與遞減及極值情況如下表：若a<0，用同樣的方法得 a=-3， b=-5，c=2.【點評】 這里實施的是一個二級分類討論，使用表格簡明清晰；在“0”處，為什么沒有極值，要深入 理解.【例3】 函數(shù)y=f (x)在區(qū)間(0，+)內(nèi)可導，導函數(shù)f '( x)是減函數(shù)，且f '( x)>0 .設(shè)xO( 0，+) ，y=kx+m是曲線y=f ( x)在點(x0，f (xO)處的切線方程，并設(shè)函數(shù) g (x) =kx+m.(I) 用 x0，f (x0)，f

5、'(x0)表示 m；(H)證明：當 x0 (0，+)時，g (x) > f (x)；(山)若關(guān)于x的不等式x2+1 >ax+b>在0，+)上恒成立，其中a、b為實數(shù)，求b的取值范圍及a與b所滿足的關(guān)系式.解： (I)易知 m=f (x0)-x0f '(x0).(H)令 h(x) =g (x) -f(x )，_則 h'( x)=g'( x)-f '( x) = f '( x0)-f '( x)，且 h '( x0)=0./ f ' (x)是減函數(shù)，h ' ( x)是增函數(shù)，則當x>x0時，h

6、' ( x) >0；當x<x0時，h'( x) <0.所以x0是h (x)惟一的極值點，且為最小值點，那么h (x)的最小值為 0,則得 h (x)>0, 即 g (x )> f (x).(山)將x=0代入題設(shè)不等式中，得 0w bw 1，則“ a>0，且0w bw 1”是不等式成立的必要條件.下面在a>0,且0 w bw 1的條件下求a與b所滿足的關(guān)系式及 b的取值范圍.x2+1 >ax+b x2-ax+ (1-b) > 0，對任意 x 0,+)成立的充要條件是 x2-ax+ (1-b )在0，+) 上的最小值1 b- &

7、gt;0，即aw2令S (x) =ax+b-，則對于任意 x 0,+)不等式 ax+b> 恒成立S (x)> 0.由 S'( x) =a- =0 得 x=a-3，則當 0<x<a-3 時，S'( x) <0;當 x>a-3 時，S'( x) >0,所以當 x=a-3 時，S( x)取得最小值.因此S( x)>0的充要條件是S( a-3 )> 0,即a?a-3+b- >0,解得a> .故a、b所滿足的關(guān)系式為 < a< 2 .解不等式 < 2 ,得< b< ，這就是所求的b的取

8、值范圍.【點評】 在(H)中判斷“ x0是h (x)惟一的極值點”，在(山)中求S( x)的最小值，都用到了分類 討論.分類討論是一種重要的數(shù)學思想方法，當問題的對象不能進行統(tǒng)一研究時，就需要對研究的對象進行分類，然后對每一類分別研究，給出每一類的結(jié)果，最終綜合各類結(jié)果得到整個問題的解答；同時，分 類討論是一種邏輯方法，在中學數(shù)學中有極廣泛的應(yīng)用。根據(jù)不同標準可以有不同的分類方法，但分類必 須從同一標準出發(fā)，做到不重復，不遺漏，包含各種情況，同時要有利于問題研究。以下本人就這一思想在導數(shù)的應(yīng)用，談?wù)勛约旱目捶āＳ嘘P(guān)分類討論的導數(shù)數(shù)學問題需要運用分類討論思想來解決，引起分類討論的原因大致可歸為

9、以下四種：1、因為未知數(shù)的系數(shù)與0的關(guān)系不定而引起的分類；2、在求極值點的過程中，涉及到二次方程 問題時，與0的關(guān)系不定而引起的分類；3、極值點的大小關(guān)系不定而引起的分類；4、極值點與區(qū)間的關(guān)系不定而引起分類。幾種類型都圍繞著解方程展開，函數(shù)解析式都帶有參數(shù)，能否解決問題主要是看能否 準確的找到分點，對參數(shù)進行準確的分類。以下就如何準確的找到以上四種類型的分點進行分析和探討。一、未知數(shù)的系數(shù)與零的關(guān)系不定：這一類問題的特點是，求出導函數(shù)之后導函數(shù)中自變量的系數(shù)有參數(shù)。其值可能為零，因此必須分為等于零和不等于零兩種，分點為零(如果是二次方程應(yīng)該更具體的分為三種：a=0,a>0,a<0

10、)例如：1。設(shè)函數(shù)f(x)=ax-( a+1)ln( x+1)，其中a -1 ,求f(x)的單調(diào)區(qū)間。分析：求導得：令則 ax 1=0要想解此方程，必須分 a=0和 a工0,否則無法解方程。因此分點為0解析如下：由已知得函數(shù)的定義域為，且(1) 當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，(2) 當時，由解得 、隨的變化情況如下表 0+極小值/從上表可知 當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減. 當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增.綜上所述：當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減.當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增二、在求極值點的過程中，涉及到二次方程問題時，與0的關(guān)系不定而引起的分類；這一類問題的特點是導函數(shù)是二次函數(shù)或者與二次函數(shù)有關(guān)，相應(yīng)方程是

11、一元二次方程或者可以轉(zhuǎn)化成一 元二次方程來求解。令=0,求分點。例如：2、已知函數(shù)。(I)設(shè)，討論的單調(diào)性；(H)若對任意恒有，求的取值范圍。分析：求導得：f '(x)= e ax.，令f '(x)=0 則ax +2-a=0，因為未知數(shù)的系數(shù)與0的關(guān)系已經(jīng)定，所以在這 里不需要討論。然而與0的關(guān)系不定，所以必須分為；©> 0即a=2，此時方程有沒有根。 =0即0 v a< 2此時方程有一個根<0即a>2此時方程有兩個不同的根，分點為 a=2.ax解析如下(I )f(x)的定義域為(8 ,1) U (1,+ 8).對f(x)求導數(shù)得f '

12、(x)= e(i )當 a=2時，f '(x)= e 2x, f '(x) 在( 8,0), (0,1) 和(1,+ 8)均大于 0,所以 f(x)在(8 ,1), (1,+8).為增函數(shù).(ii )當0<a<2時,f '(x)>0, f(x) 在(8 ,1), (1,+8)為增函數(shù).(iii)當 a>2 時,0<<1, 令 f '(x)=0 , 解得 X1= , x 2=.當x變化時，f '(x) 和f(x)的變化情況如下表：x(8 ,)(，)(，1)(1,+ 8)f+'(x)f(x/)f(x)在(8 , )

13、, (,1), (1,+8)為增函數(shù)，f(x)在(,)為減函數(shù).(II )( i )當 Ova < 2時，由(I )知：對任意 x 匕(0,1)恒有 f(x)>f(O)=1.(i )當 a>2時,取 «=匕(0,1),則由(I )知 f(x 0)<f(O)=1(i )當a< 0時，對任意x (0,1),恒有>1且e ax> 1,得f(x)= e ax > >1.綜上當且僅當a ( 8 ,2時，對任意x (0,1)恒有f(x)>1.三、極值點的大小關(guān)系不定而引起的分類；這一類問題的特點是導函數(shù)為零的方程有解，但是幾個根的大小關(guān)

14、系不確定，分不了區(qū)間。因此必須分類討論，令幾個根相等求分點。分析：求導函數(shù)令，則(x a) (ax+1)=0解方程得得到，由于不知道a與0的關(guān)系，兩個根的大小關(guān)系不知道，必須分類，分點為零。例如：已知函數(shù)，其中.，當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.解析如下：由于，以下分兩種情況討論.(1) 當時，令，得到，當變化時，的變化情況如下表：0 0 極小值 / 極大值 所以在區(qū)間，內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù).函數(shù)在處取得極小值，且，函數(shù)在處取得極大值，且.(2) 當時，令，得到，當變化時，的變化情況如下表：0 0/ 極大值 極小值 /所以在區(qū)間，內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù).函數(shù)在處取得極大值，且.函數(shù)

15、在處取得極小值，且.四、極值點與區(qū)間的關(guān)系不定而引起分類：這一類問題的特點是求岀極值點后，極值點與定義域的關(guān)系不明確，所以必須分類。通過令極值點等于定義域端點值求分點。例如：設(shè)函數(shù)f(x) = (x+ 1)ln( x+ 1)，若對所有的x>0,都有f(x) >ax成立，求實數(shù)a的取值范圍.分析：令 g(x) = (x + 1)ln( x + 1) ax,對函數(shù) g(x)求導數(shù)：g' (x) = ln( x + 1) + 1 -a 令g' (x) = 0,解得x = ea-1 1，令e " 1=0得a=1所以分點為1。分為兩類。解析如下：令 g(x) = (

16、x+ 1)ln( x+ 1) ax，對函數(shù) g(x)求導數(shù)：g' (x) = ln( x + 1) + 1 a令 g' (x) = 0，解得 x = e " 1，(i)當a<1時，對所有x > 0, g' (x) > 0，所以g(x)在0)上是增函數(shù)，又 g(0) =0，所以對 x>0,都有 g(x) >g(0),即當a< 1時，對于所有x> 0，都有f (x) >ax.(ii )當 a> 1 時，對于 0v xvea1 1, g' (x) <0，所以 g(x)在(0 , ea1 1)是減函數(shù)

17、，又 g(0) =0，所以對 0<x< ea 1 1，都有 g( x) < g(0),即當a> 1時，不是對所有的x> 0,都有f (x) >ax成立.綜上，a的取值范圍是(®,1.在導數(shù)中的分類討論問題除了能夠準確的找到分點，進行分類討論之外，還得注意答題順序，先易后難，先討論定義域就是函數(shù)的一個單調(diào)區(qū)間情況即f (x) >0或者f (x).再其它。導數(shù)常作為高考的壓軸題，對考生的能力要求非常高，它不僅要求考生牢固掌握基礎(chǔ)知識、基本技能，還要求考生具有較強的分析能力和計算能力。2010高考數(shù)學全國卷2第22題師生普遍反映抽象晦澀，難于求解.

18、甚至參考答案看起來都一知半解。筆者認為這道題的解法可以優(yōu)化。題目：(22) ( 2010年數(shù)學全國卷2本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)41時，/匕肚/(M=1 昇.()證明：當(H)設(shè)當命題組的參考答案：(I )當Y -.:時,.II <當且僅當1+1，求a的取值范圍.是增函數(shù)；當g(M =聲_工_則_當淪o時, g(x)在og)-1|,11工.1:小是減函數(shù)。于是二：一1在x=0處達到最小值，因而當 | 時，7二.孑二:所以當"-卜:(ii )由題設(shè)齊工0此時0當m弋0時，若x > - ，則<不成立; Ia ax + ax + x,當 a>Q,k(x) =訶 + 畑

19、 _ & 則/ (x) < 一 當且令當 AW<0.ax + l円二時+M+f仞1=”時?7間(i )當 0<a<-時，由(i)知 X5(X + 1)/(或 2_%) 3G)-血+1VW- JW,= (2a -1)/(%) < 0,X:-叮II +03 I是減函數(shù)， A(x)<A(O) = OXx)<.ax+l（ii）當，時，由（I）知' .T ：.； :L：.；l .；： - l!.-.'；：?.-：,2工"-碩 R + 妙（R - /=（2a-l-VW當°宀v 時，叫） 所以施） 加0）二眄 aax +

20、1r i綜上，a的取值范圍是 0.-上述解答初看似乎非常簡單，其實不然。第一問非常簡單，這里就不再敘述。我們來分析第二個問，不妨把按上述 訂I展開，解：（I ）略（II ）由題設(shè)-; |'| - 當a則£丄- 不成立，當a （2畫 +1C2X + 1a 阿令尿X）二甌）+掩）-扎則；當且僅當迴 0.ax + 1妙(盂)二”(畫)+# (x) + f (x) -1 二好(x)迄畝 X)+SF-/W，二(l-gY)(-0X+t2-l) + 0X = £f(LJX-2+l)+£7 - 1此時參考答案立刻分下述情況進行討論（i）當0 <2時，由（丨）知二:-

21、丨-1 .；：,”(x) 5 af(x)-血(x) +災(zāi)+1)/("-/(x)=(21W)<0f, '-'嚇| |片門j是減函數(shù)， A（x）A（0） = 0,BP/W.I處+1（ii ）當盤 1 時，由（）知 xf （z）.北（X）二妙（X）-曲/（M +血22 ”0） 儀”+"（力-JO）上（勿1閔/（力當0宀 g時丿0所瞅；麗0恥）；.a處+1綜上，a的取值范圍是0,-1?2顯然上述解法有些突然， 令人覺得很費解。那么，上面分類討論的理由是什么呢？I為I 2lI 2什么這樣討論？這一點似乎不大好解釋。如果這樣解就很自然。解析：（I）略（ii）由題設(shè)0,此瞄N 6當: ."I-不成立；a tsx +