1、上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology一、函數(shù)的延續(xù)性二、函數(shù)的延續(xù)點(diǎn)1.8 函數(shù)的延續(xù)性與延續(xù)點(diǎn)上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology一、函數(shù)的延續(xù)性v變量的增量 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一個鄰域U(x0)內(nèi)有定義稱Dy=f(x0+Dx)-f(x0)函數(shù)y的增量為 在鄰域U(x0)內(nèi) 假設(shè)自變量x從初值x0變到終值x1 那么稱Dx=x1-x0為自變量x的增量 DxDy上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technologyv函

2、數(shù)的延續(xù)性定義提示:設(shè)x=x0+Dx 那么當(dāng)Dx0時 xx0 因此 設(shè)函數(shù) y=f(x) 在點(diǎn)x0的某一個鄰域內(nèi)有定義 假設(shè)那么就稱函數(shù) y=f(x) 在點(diǎn)x0處延續(xù) Dy=f(x0+Dx)-f(x0) 0lim0=DDyx 或0lim0=DDyx 或)()(lim00 xfxfxx= 0lim0=DDyx0lim0=DDyx0)()(lim00=-xfxfxx0)()(lim00=-xfxfxx)()(lim00 xfxfxx= 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology討論: 如何用e-d 言語表達(dá)函數(shù)的延續(xù)性定義？ e 0 d 0

3、當(dāng)|x-x0|d 有|f(x)-f(x0)|e 提示:v函數(shù)的延續(xù)性定義 設(shè)函數(shù) y=f(x) 在點(diǎn)x0的某一個鄰域內(nèi)有定義 假設(shè)那么就稱函數(shù) y=f(x) 在點(diǎn)x0處延續(xù) 0lim0=DDyx 或0lim0=DDyx 或)()(lim00 xfxfxx= )()(lim00 xfxfxx= 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology左延續(xù)與右延續(xù)結(jié)論 函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處延續(xù)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處左延續(xù)且右延續(xù) v函數(shù)的延續(xù)性定義 設(shè)函數(shù) y=f(x) 在點(diǎn)x0的某一個鄰域內(nèi)有定義 假設(shè)那么就稱函數(shù) y=f(x) 在點(diǎn)x0處延

4、續(xù) 0lim0=DDyx 或0lim0=DDyx 或)()(lim00 xfxfxx= 如果)()(lim00 xfxfxx=- 則稱 y=f(x)在點(diǎn)0 x處左連續(xù) 如果)()(lim00 xfxfxx=+ 則稱 y=f(x)在點(diǎn)0 x處右連續(xù) 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology注:v延續(xù)函數(shù) 在區(qū)間上每一點(diǎn)都延續(xù)的函數(shù) 叫做在該區(qū)間上的延續(xù)函數(shù) 或者說函數(shù)在該區(qū)間上延續(xù)延續(xù)函數(shù)舉例 1 多項(xiàng)式函數(shù)P(x)在區(qū)間(- +)內(nèi)是延續(xù)的 這是由于 函數(shù)P(x)在(- +)內(nèi)恣意一點(diǎn) x0處有定義 并且 假設(shè)區(qū)間包括端點(diǎn) 那么函數(shù)在右

5、端點(diǎn)延續(xù)是指左延續(xù) 在左端點(diǎn)延續(xù)是指右延續(xù) )()(lim00 xPxPxx= 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 2 函數(shù) y=sin x 在區(qū)間(- +)內(nèi)是延續(xù)的 這是由于 函數(shù)y=sin x在(- +)內(nèi)恣意一點(diǎn)x處有定義 并且v延續(xù)函數(shù) 在區(qū)間上每一點(diǎn)都延續(xù)的函數(shù) 叫做在該區(qū)間上的延續(xù)函數(shù) 或者說函數(shù)在該區(qū)間上延續(xù)延續(xù)函數(shù)舉例sin)sin(limlim00 xxxyxx-D+=DDD0)2cos(2sin2lim0=D+D=Dxxxx 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Tec

6、hnology二、函數(shù)的延續(xù)點(diǎn)延續(xù)點(diǎn)的定義 設(shè)函數(shù) f(x)在點(diǎn)x0的某去心鄰域內(nèi)有定義 在此前提下 假設(shè)函數(shù) f(x)有以下三種情形之一 (1)在x0沒有定義那么函數(shù) f(x)在點(diǎn)x0不延續(xù) 而點(diǎn)x0稱為函數(shù) f(x)的不延續(xù)點(diǎn)或延續(xù)點(diǎn) (2)雖然在x0有定義 但 f(x)不存在 0limxx (3)雖然在x0有定義且 f(x)存在 但 f(x)f(x0)0limxx0limxx上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology延續(xù)點(diǎn)舉例y=x 例1 正切函數(shù)tan 在2 p=x處沒有定義x所以點(diǎn)2 p=x是函數(shù) tan 的延續(xù)點(diǎn)x故稱2 p=

7、x為函數(shù) tan 的無窮延續(xù)點(diǎn) 因?yàn)?xxtanlim2p 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 函數(shù)xy1sin=在點(diǎn) x=0 沒有定義 例例2 當(dāng)x0時 函數(shù)值在-1與+1之間變動無限多次 所以點(diǎn)x=0是函數(shù)的延續(xù)點(diǎn) 所以點(diǎn)x=0稱為函數(shù)的振蕩延續(xù)點(diǎn) 延續(xù)點(diǎn)舉例xy1sin=上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology所以點(diǎn)x=1是函數(shù)的延續(xù)點(diǎn) 假設(shè)補(bǔ)充定義 令x=1時y=2 那么所給函數(shù)在x=1成為延續(xù) 所以x=1稱為該函數(shù)的可去延續(xù)點(diǎn) 例例3 函數(shù)112-=xxy在 x=

8、1 沒有定義 延續(xù)點(diǎn)舉例112-=xxy 因?yàn)?1lim21-xxx2) 1(lim1=+=xx 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology所以x=1是函數(shù)f(x)的延續(xù)點(diǎn) 假設(shè)改動函數(shù)f(x)在x=1處的定義 令f(1)=1 那么函數(shù)在x=1成為延續(xù) 所以x=1也稱為此函數(shù)的可去延續(xù)點(diǎn) 例例4 延續(xù)點(diǎn)舉例例例 4 設(shè)函數(shù)=1 211 )(xxxxfy 因?yàn)?lim)(lim11=xxfxx21) 1 ( =f21) 1 ( =f ) 1 ()(lim1fxfx 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical

9、 Technology 因函數(shù)f(x)的圖形在x=0處產(chǎn)生騰躍景象 我們稱x=0為函數(shù)f(x)的騰躍延續(xù)點(diǎn) 例例5 延續(xù)點(diǎn)舉例例例 5 設(shè)函數(shù)+=-=0 10 00 1)(xxxxxxf 因?yàn)?) 1(lim)(lim00-=-=-xxfxx 1) 1(lim)(lim00=+=+xxfxx )(lim)(lim00 xfxfxx+- 所以極限)(lim0 xfx不存在 x=0 是函數(shù) f(x)的間斷點(diǎn) 不存在 x=0 是函數(shù) f(x)的間斷點(diǎn) 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 通常把延續(xù)點(diǎn)分成兩類 設(shè) x0是函數(shù)f(x)的延續(xù)點(diǎn) 假設(shè)左極限f(x0-)及右極限f(x0+)都存在 那么x0稱為函數(shù)f(x)的第一類延續(xù)點(diǎn) 不屬于第一類延續(xù)點(diǎn)的延續(xù)點(diǎn) 稱為第二類延續(xù)點(diǎn) 在第一類延續(xù)點(diǎn)中 左、右極限相等者稱為可去延續(xù)點(diǎn) 不相等者稱為騰躍延續(xù)點(diǎn) 無窮延續(xù)點(diǎn)和振蕩延續(xù)點(diǎn)顯然是第二延續(xù)點(diǎn) v延續(xù)點(diǎn)的類型上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology總結(jié)1.函數(shù)在一點(diǎn)延續(xù)必需滿足的三個條件;3.延續(xù)點(diǎn)的分類與判別;2.區(qū)間上的延續(xù)函數(shù);第一類