1、2022屆高三下學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試卷B（新高考專用）及答案 絕密考試結(jié)束前 2022屆高三下學(xué)期開學(xué)摸底考試卷B新高考專用 數(shù)學(xué) (滿分150分) 一、選擇題本大題共8小題，每題5分，共40分，在每題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1.設(shè)集合，Z為整數(shù)集，則集合中元素的個數(shù)是 A. 3B. 4C. 5D. 6 【答案】A 【解析】解：集合，Z為整數(shù)集， 集合， 集合中元素的個數(shù)是3個 應(yīng)選： 2.復(fù)數(shù)z滿足：為虛數(shù)單位，為復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，則以下說法正確的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：由，得， ， ， 應(yīng)選： 3.最早的測雨器記載見于南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著

2、的數(shù)書九章年該書第二章為“天時類，收錄了有關(guān)降水量計算的四個例子，分別是“天池測雨、“圓罌測雨、“峻積驗雪和“竹器驗雪其中“天池測雨法是下雨時用一個圓臺形的天池盆收集雨水來測量平地降雨量盆中水的體積與盆口面積之比已知天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸當(dāng)盆中積水深九寸注：1尺寸時，平地降雨量是 A. 9寸B. 7寸C. 8寸D. 3寸 【答案】D 【解析】解：如圖所示，由題意知天池盆上底面半徑為14寸，下底面半徑為6寸，高為18寸；由積水深9寸， 所以水面半徑為寸， 則盆中水的體積為立方寸 所以平地降雨量等于寸 應(yīng)選： 4.設(shè)函數(shù)?的最小正周期為，則以下說法正確的是 A.

3、 函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱 B. 函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱 C. 函數(shù)在上單調(diào)遞減 D. 將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到的新函數(shù)是偶函數(shù) 【答案】D 【解析】 解：函數(shù)?的最小正周期為， ，解得，則， 關(guān)于當(dāng)時，函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，故A不正確； 關(guān)于當(dāng)時，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故 B不正確； 關(guān)于的單調(diào)遞減區(qū)間滿足：， 解得，時不符合，故C不正確； 關(guān)于將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到新函數(shù)為， 是偶函數(shù)，故D正確. 應(yīng)選 5.已知點P是橢圓上一點，點、是橢圓C的左、右焦點，假設(shè)的內(nèi)切圓半徑的最大值為，則橢圓C的離心率為 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 解：由題意，的內(nèi)切圓半徑最

4、大，則的面積最大， 因為，故點P在短軸端點時，P到的距離最大，即高最大，即的面積最大， 此時， 又的內(nèi)切圓半徑的最大值為， 由橢圓定義可知， 即， 所以， 所以，解之得 應(yīng)選? 6.如圖所示，隔河可以看到對岸兩目標(biāo)A，B，但不能到達(dá)，現(xiàn)在岸邊取相距4 km的C，D兩點，測得，在同一平面內(nèi)，則兩目標(biāo)A，B間的距離為 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 解：由已知，中，可得， 由正弦定理，得， 所以； 中，可得， 由正弦定理，得， 所以； 中，由余弦定理，得 ， 解得：， 則兩目標(biāo)A，B間的距離為 應(yīng)選：? 7.老張?zhí)焯?7：00下班回家，通常步行5分鐘后乘坐公交車再步行到家，公交車有A

5、，B兩條線路可以選擇乘坐線路A所必須時間單位：分鐘服從正態(tài)分布，下車后步行到家要5分鐘；乘坐線路B所必須時間單位：分鐘服從正態(tài)分布，下車后步行到家要12分鐘以下說法從統(tǒng)計角度認(rèn)為合理的是 參照數(shù)據(jù)：，則， A. 假設(shè)乘坐線路B，前一定能到家 B. 乘坐線路A和乘坐線路B在前到家的可能性一樣 C. 乘坐線路B比乘坐線路A在前到家的可能性更大 D. 假設(shè)乘坐線路A，則在前到家的可能性不超過 【答案】C 【解析】 解：由已知，設(shè)乘坐線路A所必須時間為單位：分鐘，則滿足條件：，到家所必須時間為分鐘， 乘坐線路B所必須時間為單位：分鐘，則滿足條件：，到家所必須時間為分鐘. 關(guān)于A，假設(shè)乘坐線路B，則到家

6、所必須時間大于17分鐘，“前一定能到家是隨機事件，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，所以A錯誤； 關(guān)于B，由，知，由，知， 因為， ， 可見，所以乘坐線路A在前到家的可能性小于乘坐線路B在前到家的可能性，所以B錯誤； 關(guān)于C，由，知，由，知， 因為， 可見， 所以乘坐線路B比乘坐線路A在前到家的可能性更大，所以C正確； 關(guān)于D，由，知：，因為， 所以， 所以假設(shè)乘坐線路A，則在前到家的可能性大于，所以D錯誤. 應(yīng)選 8.假設(shè)關(guān)于x的不等式在上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 解：令，易得在R上恒成立， 所以在R上單調(diào)遞增， 不等式， 即在上恒成立， 即在上恒成立

7、，即在上恒成立， 即在上恒成立， 令，則， 令，解得，令，解得， 故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 所以所以實數(shù)a的取值范圍是 二、多項選擇題本大題共4小題，每題5分，共20分，在每題所給出的四個選項中，每題有兩項或兩項以上的正確答案，選對得5分，漏選得2分，不選或錯選得0分 9.某中學(xué)在學(xué)校藝術(shù)節(jié)舉行“三獨比賽獨唱、獨奏、獨舞，由于疫情防控原因，比賽現(xiàn)場只有9名教師評委給每位參賽選手評分，全校4000名同學(xué)通過在線直播觀看并網(wǎng)絡(luò)評分，比賽評分采用10分制某選手比賽后，現(xiàn)場9名教師原始評分中去掉一個最高分和一個最低分，得到7個有效評分如下表對同學(xué)網(wǎng)絡(luò)評分按分成三組，其頻率分布直方圖如圖所示 教師

8、評委 A B C D E F G 有效評分 則以下說法正確的是 A. 現(xiàn)場教師評委7個有效評分與9個原始評分的中位數(shù)相同 B. 估計全校有1200名同學(xué)的網(wǎng)絡(luò)評分在區(qū)間內(nèi) C. 在去掉最高分和最低分之前，9名教師評委原始評分的極差一定大于 D. 從同學(xué)觀眾中隨機抽取10人，用頻率估計概率，X表示評分不小于9分的人數(shù)，則 【答案】ABD 【解析】 解：去掉9個原始評分中的一個最高分和一個最低分，不會改變該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)， A正確； 因為同學(xué)網(wǎng)絡(luò)評分在區(qū)間內(nèi)的頻率為，同學(xué)總?cè)藬?shù)為4000，則網(wǎng)絡(luò)評分在區(qū)間內(nèi)的同學(xué)估計有人， B正確； 假設(shè)去掉的一個最高分為，去掉的一個最低分為，則9名教師原始評分的

9、極差等于， C錯誤； 同學(xué)網(wǎng)絡(luò)評分在區(qū)間內(nèi)的頻率為，則，所以， D正確； 選 10.如圖，點A是單位圓O與x軸正半軸的交點，點P是圓O上第一象限內(nèi)的動點，將點P繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)至點Q，則的值可能為 A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 解：由題可知，設(shè)， 將點P繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)至點Q，故， ， 則， 由，可知，故， 結(jié)合選項可知的值可能為， 應(yīng)選? 11.已知雙曲線C：，假設(shè)圓與雙曲線C的漸近線相切，則 A. 雙曲線C的實軸長為6 B. 雙曲線C的離心率 C. 點P為雙曲線C上任意一點，假設(shè)點P到C的兩條漸近線的距離分別為，則 D. 直線與C交于A，B兩點，點D為弦AB的中點，

10、假設(shè)為坐標(biāo)原點的斜率為，則 【答案】BCD 【解析】 解：由題意知C的漸近線方程為， 所以，解得：，所以半焦距，所以，故A錯誤，B正確； 設(shè)，由知：，所以， 所以故C正確； 設(shè)， 則，相減得：， 則， 則，則，故D正確. 應(yīng)選? 12.在矩形ABCD中，沿對角線AC將矩形折成一個大小為的二面角，假設(shè)，則 A. 四面體ABCD外接球的表面積為 B. 點B與點D之間的距離為 C. 四面體ABCD的體積為 D. 異面直線AC與BD所成的角為 【答案】ACD 【解析】 解：如圖，因為和都是以AC為斜邊的直角三角形， 則AC為四面體ABCD外接球的直徑 因為，則， 所以四面體ABCD外接球的表面積為，A

11、正確； 分別作，垂足為E，F(xiàn)，則， 由已知可得， 因為， 則 ，所以，B錯誤； 因為，則 同理， 又，BD、平面ABD，則平面ABD， 所以，C正確； 由已知可得， 則 ， 則，得， 所以異面直線AC與BD所成的角為，D正確， 應(yīng)選? 三、填空題本大題共4小題，共20.0分 13.的展開式中的系數(shù)為_用數(shù)字填寫答案 【答案】20 【解析】 解：二項式中， 當(dāng)中取x時，這一項為，所以， 當(dāng)中取y時，這一項為，所以， 所以展開式中的系數(shù)為 故答案為? 14.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的最大值為_. 【答案】 【解析】 解：函數(shù)的定義域為R， 且函數(shù)為奇函數(shù)， 故， 解得，經(jīng)檢驗，滿足題意，

12、所以， 又函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)， 所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為， 故答案為? 15.點P為拋物線上的動點，過點P作圓M：的一條切線，切點為A，則的最小值為_. 【答案】 【解析】 解：解：由已知易得， 設(shè)點，則， 當(dāng)時，取得最小值 故答案為? 16.復(fù)印紙幅面規(guī)格采納A系列，其幅面規(guī)格為：所有規(guī)格的紙張的幅寬以x表示和長度以y表示的比例關(guān)系都為；將紙張沿長度方向?qū)﹂_成兩等分，便成為規(guī)格；紙張沿長度方向?qū)﹂_成兩等分，便成為規(guī)格；如此對開至規(guī)格，現(xiàn)有紙各一張，假設(shè)紙的幅寬為，則紙的面積為_，這9張紙的面積之和等于_ 【答案】 【解析】 解：依據(jù)題意，的長、寬分別為是；的長、寬分別為； 的長、寬分別為

13、；的長、寬分別為；的長、寬分別為 紙的面積為； ，紙張的面積構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列， 則這9張紙的面積和為 故答案為：；? 四、解答題本大題共6小題，共70分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證實過程或演算步驟 17. 已知在各項均為正數(shù)的等差數(shù)列中，且，構(gòu)成等比數(shù)列的前三項. (1)求數(shù)列，的通項公式； (2)設(shè)數(shù)列_，求數(shù)列的前項和.請在；這三個條件中選擇一個，補充在上面的橫線上，并完成解答. 【解析】(1)依據(jù)題意，因為數(shù)列為各項均為正數(shù)的等差數(shù)列， 所以，即得， 設(shè)公差為，則有， 又因為，構(gòu)成等比數(shù)列的前三項， 所以，即， 解之可得，或舍去， 所以，即得數(shù)列是以

14、3為首項，2為公差的等差數(shù)列， 故可得， 且由題可得， 所以數(shù)列是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，故可得， (2)假設(shè)選，則， 則， 在上式兩邊同時乘以2可得， 可得， 即得； 假設(shè)選，則， 則； 假設(shè)選，則， 則 所以當(dāng)為偶數(shù)時，； 由上可得當(dāng)為奇數(shù)時， 綜上可得， 18. 20xx年初，新型冠狀病毒肆虐，全民開啟防疫防控.冠狀肺炎的感染主要是人與人之間進行傳播，可以通過飛沫以及糞便進行傳染，冠狀肺炎感染人群年齡大多數(shù)是40歲以上的人群.該病毒進入人體后有埋伏期，埋伏期是指病原體侵入人體至最早出現(xiàn)臨床癥狀的這段時間.埋伏期越長，感染到他人的可能性越高，現(xiàn)對200個病例的埋伏期單位：天進行調(diào)查

15、，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)埋伏期中位數(shù)為5，平均數(shù)為7.1，方差為5.06.如果認(rèn)為超過8天的埋伏期屬于“長埋伏期，按照年齡統(tǒng)計樣本，得到下面的列聯(lián)表： 長埋伏期 非長埋伏期 40歲以上 30 110 40歲及40歲以下 20 40 1能否有95%的把握認(rèn)為“長埋伏期與年齡有關(guān)； 2假設(shè)埋伏期服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.現(xiàn)在很多省份對入境旅客一律要求隔離14天，請用概率的知識解釋其合理性； 3以題目中的樣本頻率估計概率，設(shè)1000個病例中恰有個屬于“長埋伏期的概率是，當(dāng)為何值時，取得最大值？ 附：. 0.1 0.05 0.010 2.706 3.841 6.635 假設(shè)隨機變量服從正態(tài)

16、分布，則，. 【解析】 1， 由于，故沒有95%的把握認(rèn)為“長埋伏期與年齡有關(guān)； 2假設(shè)埋伏期， 由， 得知埋伏期超過14天的概率很低，因此隔離14天是合理的； 3由于200個病例中有50個屬于長埋伏期， 假設(shè)以樣本頻率估計概率，一個患者屬于“長埋伏期的概率是， 于是. 則 . 當(dāng)時，； 當(dāng)時，； ，. 故當(dāng)時，取得最大值. 19.已知在平面四邊形ABCD中，DB為的角平分線 假設(shè)，求的面積; 假設(shè)，求CD長. 【解析】解：在三角形ABD中，由得， 由正弦定理可得，即 所以 因為DB為的角平分線，所以， 故 在三角形BCD中由余弦定理得 所以，解得或舍? 所以?； 設(shè)則 在三角形ABD中由余弦

17、定理可得 在三角形CDB中由余弦定理可得， 因為 所以，解得或舍 綜上所述CD的長為 20.如圖，在三棱錐中，O為BD的中點， 證實：平面平面 假設(shè)是邊長為1的等邊三角形，點E在棱AD上，三棱錐的體積為，求平面BCD與平面BCE的夾角的余弦值. 【解析】解：因為，O為BD的中點， 所以，又且，且BD、平面BCD， 所以平面BCD，又平面ABD，所以平面平面BCD?，? ? ? ? ? ? ? ? 又，所以，由平面BCD 故所以 取OD的中點F，因為為正三角形，所以， 過O作與BC交于點M，則，所以O(shè)M，OD，OA兩兩垂直，以點O為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)M，OD，OA為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐

18、標(biāo)系如圖所示， 則， 因為平面BCD，故平面BCD的一個法向量為， 設(shè)平面BCE的法向量為，又， 所以由，得，令，則，故， 所以，所以平面BCD與平面BCE的夾角的余弦值為 21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知中心在坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸上的橢圓C的右焦點為，且離心率，過點且斜率為的直線l交橢圓C于點A，B兩點，D為AB的中點，過作直線l的垂線，直線OD與直線m相交于點 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； 證實：點P在一條定直線上； 當(dāng)最大時，求的面積 【解析】解：橢圓C的右焦點為， 又， 橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 設(shè)，A，B中點為，直線l：， 聯(lián)立方程組化簡得， 可得，代入直線l的方程，得點D的坐標(biāo)為， 所以直線OD的方程為 因為直線過橢圓的右焦點且與直線l垂直， 所以直線m的方程為 解方程組解得 所以點P在定直線上 設(shè)直線的傾斜角為，直線OP的傾斜角為 由可知， 所以 注：也可用向量夾角公式， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時取最大值 此時直線l方程為，點P為 由可得， 所以， 弦長， P到直線l的距離為， 所以， 22.已知函數(shù) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； 假設(shè)函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍； 假設(shè)，且，證實： 【解析】解：函數(shù)定義域為， ， 當(dāng)時，在上恒成立，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 當(dāng)