1、第4章 線性微分方程1了解n階線性微分方程的概念，知道n階線性微分方程與一階線性微分方程組的關系，了解n階線性微分方程解的存在唯一性定理（1）在n階線性微分方程y(n) + p1(x)y(n-1) + + pn-1(x)y+ pn(x)y = f (x) (4.5)中，令y= y1，y= y2，y(n-1) = yn-1，(4.5)式就可以化成一階方程組 (4.7)(4.7)可以寫成向量形式 (4.8)（2）n階線性微分方程與一階線性微分方程組的關系：方程(4.5)與方程組(4.7)是等價的，即若y=(x)是方程(4.5)在區(qū)間I上的解，則y=(x)，y1=(x)，yn-1 = (n-1)(x

2、)是方程組(4.7)在區(qū)間I上的解；反之，若y=(x)，y1=1(x)，yn-1=n-1(x)是方程組(4.7)在區(qū)間I上的解，則y=(x)是方程(4.5)在區(qū)間I上的解.（3）n階線性微分方程解的存在唯一性定理：條件：方程 的系數（k= 1,2,，n）及其右端函數f (x)在區(qū)間I上有定義且連續(xù)；結論：對于I上的任一及任意給定的，方程的滿足初始條件的解在I上存在且唯一.2理解n階線性齊次微分方程解的結構和通解基本定理，了解n階線性齊次微分方程的基本解組，掌握劉維爾公式（1）朗斯基(Wronski)行列式定義：設函數組1(x)，2(x)，n(x) 中每一個函數k(x)(k=1,2,n)均有n-

3、1階導數，我們稱行列式為已知函數組的朗斯基(Wronski)行列式.（2）n階齊次方程的解的線性無關性判別定理：齊次方程的n個解，在其定義區(qū)間I上線性無關（相關）的充要條件是在I上存在點x0，使得它們的朗斯基行列式W(x0)0 （W(x0) 0）.（3）n階線性齊次微分方程解的結構和通解基本定理：如果，是齊次方程的n個線性無關解，則y = +是方程的通解，其中為n個任意常數.（4）基本解組定義： 方程的定義在區(qū)間I上的n個線性無關解稱為該方程的基本解組.（5）n階齊次方程的線性無關解的個數不超過n個.（6）n階齊次方程總存在定義在區(qū)間I上的基本解組. （7）劉維爾(Liouville)公式：

4、設，是方程的任意n個解，W(x)是它們朗斯基行列式，則對區(qū)間I上的任一x0有W(x)=W(x0)上述關系式稱為劉維爾(Liouville)公式. 朗斯基行列式的兩個重要性質：性質方程解的朗斯基行列式W(x)在區(qū)間I上某一點為零，則在整個區(qū)間I上恒等于零.性質 方程解的朗斯斯行列式W(x)在區(qū)間I上某一點不等于零，則在整個區(qū)間I上恒不為零.3理解n階線性非齊次微分方程的通解定理，掌握n階線性非齊次微分方程用常數變易法法求通解的方法 通解定理: n階線性非齊次方程 的通解等于它的對應齊次方程的通解與它本身的一個特解之和. 4了解n階常系數線性齊次方程的概念，熟練掌握n階常系數線性齊次方程的單特征根

5、的待定指數函數解法及重特征根的待定指數函數解法常系數線性齊次方程y(n)+a1y(n-1) + + an-1y+any = 0 （4.21）其中a1，a2，an為實常數. 稱P()=n+a1n-1+an+an = 0 （4.25）為方程(4.21)的特征方程，它的根稱為特征根.單特征根的基本解組定理： 若特征方程(4.25)有n個互異根1，2，n，則 （4.26）是方程(4.21)的一個基本解組. 重特征根的基本解組定理：如果方程(4.21)有互異的特征根1，2，p，它們的重數分別為m1，m2，mp，mi1，且m1m2mpn，則與它們對應的(4.21)的特解是 (4.30)且(4.30)構成(

6、4.21)在區(qū)間(，)上的基本解組.5了解n階常系數線性非齊次方程的概念，熟練掌握第一類、第二類非齊次項n階常系數線性非齊次方程的特解的待定系數法本章重點：n階線性微分方程解的存在唯一性定理，通解基本定理，n階常系數線性方程的解法。 例1 填空題 （1）階線性齊次微分方程線性無關解的個數最多為 個 應該填寫：n （2）方程的基本解組是 應該填寫：， （3）方程的基本解組是 應該填寫：（4）方程的基本解組是 應該填寫：（5）若是二階線性齊次微分方程的基本解組，則它們 共同零點 應該填寫：沒有 （6）階線性齊次微分方程的所有解構成一個 維線性空間 應該填寫：n （7）函數組在區(qū)間I上線性無關的 條

7、件是它們的朗斯基行列式在區(qū)間I上不恒等于零應該填寫： 充分 （8）若函數組在區(qū)間上線性相關，則它們的朗斯基行列式在區(qū)間上 應該填寫：恒等于零 （9）函數組的朗斯基行列式是 應該填寫： （10）在方程中，如果，在上連續(xù)，那么它的任一非零解在平面上 與軸相切 應該填寫：不能 例2 單項選擇題（1）若是二階線性齊次微分方程的兩個線性無關解，則在其定義的區(qū)間上，它們（ ）（A）可以有共同零點 （B）可在處有共同零點 （C）沒有共同零點 （D）可在處有共同零點 正確答案：C （2）方程的任一非零解在平面上（ ）與軸橫截相交 （A）可以 （B）不可以 （C）只能在處可以 （D）只能在處可以 正確答案：A

8、（3）階線性齊次微分方程基本解組中解的個數恰好是（ ）個 （A）-1 （B） （C）+1 （D）+2 正確答案：B （4）階線性齊次方程的所有解構成一個（ ）維線性空間（A） （B） （C） （D） 正確答案：C （5）若，是一階線性非齊次微分方程的兩個不同特解，則該方程的通解可用這兩個解表示為（ ） （A） （B） （C） （D） 正確答案：D （6）方程的任一非零解在空間中（ ） （A）不能與t軸相交 （B）可以與t軸相交 （C）可以與t軸橫解相交 （D）可以與t軸相切 正確答案：A 例3 求下列方程的通解： （1） （2） （3） （4） （5） 解 （1）對應齊次方程的的通解為 令非齊

9、次方程的特解為 滿足 解得 積分，得 ，原方程通解為 （2）對應的齊次方程的特征方程為： 特征根為： 故齊次方程的通解為： 因為是單特征根所以，設非齊次方程的特解為 代入原方程，有 ， 可解出 故原方程的通解為 （3） 對應的齊次方程的特征方程為 ，特征根為 ， 故齊次方程的通解為 因為不是特征根。所以，設非齊次方程的特解為 代入原方程，得 即 ， 故原方程的通解為 （4） 對應齊次方程的特征方程為，特征根為， 齊次方程的通解為 因為是特征根。所以，設非齊次方程的特解為 代入原方程，比較系數確定出， 原方程的通解為 （5） 對應齊次方程的特征方程是 特征根為，齊次方程的通解為 因為是一重特征根

10、故非齊次方程有形如 的特解，代入原方程，得 ， 故原方程的通解為 例4 設，是方程的解，且滿足=0，這里在上連續(xù)，試證明：存在常數C使得=C證明 設，是方程的兩個解，則它們在上有定義，其朗斯基行列式為 由已知條件，得 故這兩個解是線性相關的 由線性相關定義，存在不全為零的常數，使得， 由于，可知否則，若，則有，而，則，這與，線性相關矛盾故 例5 在方程中，已知，在上連續(xù)求證：該方程的任一非零解在平面上不能與x軸相切 證明 由已知條件可知，該方程滿足解的存在惟一及解的延展定理條件，且任一解的存在區(qū)間都是 顯然，該方程有零解 假設該方程的任一非零解在x軸上某點處與x軸相切，即有= 0，那么由解的惟一性及該方程有零解可知，這是因為零解也滿足初值條件= 0，于是由解的惟一性，有 這與是非零解矛盾 例6 在方程中，已知在上連續(xù)試證明：若存在使方程的兩個解，同在處取極值，則，不能是方程的基本解組 證明 由已知條件，該方程的任一解都在區(qū)間上存在 若在處取極值，則必有