1、數(shù)學(xué)分析題庫（1-22章）五證明題1設(shè)A，B為R中的非空數(shù)集，且滿足下述條件：（1）對任何有；（2）對任何，存在，使得.證明：證 由（1）可得.為了證，用反證法.若，設(shè)，使得.2.設(shè)A，B是非空數(shù)集，記，證明：（1）；（2）證（1）若A，B中有一集合無上界，不妨設(shè)A無上界，則S也是無上界數(shù)集，于是，結(jié)論成立.若A，B都是有上界數(shù)集，且，現(xiàn)設(shè)法證明（），無論或，有（）于是同理可證（2）.3. 按定義證明證 （n>4），取，當(dāng)n>N時，<.注 擴(kuò)大分式是采用擴(kuò)大分子或縮小分母的方法.這里先限定n>4，擴(kuò)大之后的分式仍是無窮小數(shù)列.4.如何用-N方法給出的正面陳述？并驗證|和

2、|是發(fā)散數(shù)列.答 的正面陳述：>0，N，使得|數(shù)列發(fā)散，.（1），=，只要取，便可使，于是為發(fā)散數(shù)列.（2）. 若a=1，=1，取為任何奇數(shù)時，有>.若a=-1，=1，取為任何偶數(shù)時，有>. 若a1，=，對任何n，有|. 故|為發(fā)散數(shù)列.5.用方法驗證：.解 （1）消去分式分子、分母中當(dāng)時的零化因子（x-1）：.（2）把化為，其中為x的分式：，其中.（3）確定的鄰域0<|x-1|<，并估計在此鄰域內(nèi)的上界：取，當(dāng)0<|x-1|<時，可得，于是.（4）要使，只要取.于是應(yīng)取，當(dāng)0<|x-1|<時，.6 用方法驗證：.解 注意到當(dāng)時，上式可以充

3、分小，但是直接解不等式，希望由此得到x<-M，整個過程相當(dāng)繁復(fù)，現(xiàn)用放大法簡化求M的過程.因為由，便可求得，考慮到所需要的是.于是，當(dāng)x<-M時，.7 設(shè)，在某鄰域內(nèi)，又證明. （1）解 由，時，.又因為，故對上述（不妨?。?，當(dāng)時，.由此可得：當(dāng)時，即.注 稱（1）為復(fù)合求極限法，（1）不僅對型的極限成立，且對于都成立.8.設(shè)在點的鄰域內(nèi)有定義.試證：若對任何滿足下述條件的數(shù)列， （2）都有，則.分析 由歸結(jié)原則可知：上述結(jié)論不僅是充分的，而且是必要的.本題可看作函數(shù)極限歸結(jié)原則的加強(qiáng)形式，即子列只要滿足（2）的加強(qiáng)條件就可以了.注意下面證明中選子列的方法.證 用反證法.若，則，使

4、得.取，使得.取，使得；取，使得與相矛盾.所以成立.9. 證明函數(shù)在處連續(xù)，但是在處不連續(xù).證 時，因為，于是，即在x=0處連續(xù).時，在中取為有理數(shù)，取為無理數(shù)，于是.由函數(shù)極限柯西準(zhǔn)則的否定形式可知在點處極限不存在，這樣在點處不連續(xù).時可類似地證明.10.設(shè)在（0，1）內(nèi)有定義，且函數(shù)與在（0，1）內(nèi)是遞增的，試證在（0，1）內(nèi)連續(xù).需證在點連續(xù)，即.因為在（0，1）內(nèi)的遞增性保證了在（0，1）內(nèi)是遞減的，所以為了證明的存在性，很自然地想到利用函數(shù)極限的單調(diào)有界定理.證 因為在（0，1）內(nèi)遞增，所以在（0，1）內(nèi)遞減.，首先來證明=.當(dāng)時，由函數(shù)極限的單調(diào)有界定理存在.又由函數(shù)極限保不等式性

5、質(zhì)，有=.另外，由于在（0，1）內(nèi)遞增，因此當(dāng)時，令，有即=，由在（0，1）中的任意性，可得在（0，1）內(nèi)連續(xù).說明 其中應(yīng)用了基本初等函數(shù)的連續(xù)性.11 . 試證函數(shù)，在上是不一致連續(xù)的.分析 需確定，可找到滿足，但.由于在任意閉區(qū)間（a>0）上一致連續(xù)，因此當(dāng)很小時，必須在中尋找，這是證明中的困難之處.現(xiàn)不妨取，當(dāng)n充分大時，能滿足，但1.證 ，取，當(dāng)時，使，但，即在上不一致連續(xù).12. 設(shè)函數(shù)在（a,b）內(nèi)連續(xù)，且=0，證明在（a,b）內(nèi)有最大值或最小值.分析 因為=0，于是可把延拓成a,b上的連續(xù)函數(shù)，然后可以應(yīng)用連續(xù)函數(shù)的最大、最小值定理.證人 先把函數(shù)延拓成a,b上的函數(shù)F(

6、x)，設(shè)易知為a,b上的連續(xù)函數(shù)，這是因為=0=，=0=.在a,b上對應(yīng)用連續(xù)函數(shù)的最大、最小值定理，即，在，分別取得最大值和最小值.若，則在（a,b）內(nèi)恒為零，顯然在（a,b）內(nèi)同樣能取得最大值和最小值；若，中有一個數(shù)在（a,b）內(nèi)，則在（a,b）內(nèi)取得最大值或最小值.13. 證明：若在有限區(qū)間（a,b）內(nèi)單調(diào)有界函數(shù)是連續(xù)的，則此函數(shù)在（a,b）內(nèi)是一致連續(xù)的.分析 因為是（a,b）內(nèi)的單調(diào)有界函數(shù)，所以由函數(shù)極限的單調(diào)有界定理，可得存在，.證明本題的合理途徑是把延拓成閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)在a,b上應(yīng)用一致連續(xù)性定理.證 因為是（a,b）內(nèi)的單調(diào)有界函數(shù)，所以由函數(shù)極限的單調(diào)有界定理，

7、與都存在，應(yīng)用范例1中的方法，可把延拓為a,b上的連續(xù)函數(shù)，即由一致連續(xù)性定理，可得在a,b上一致連續(xù)，于是為（a,b）內(nèi)的一致連續(xù)函數(shù).14. 證明：若在點a處可導(dǎo)，f（x）在點a處可導(dǎo).分析 一般情況下，若在點處可導(dǎo)，在點處不一定可導(dǎo).例如處可導(dǎo)，但在點0處不可導(dǎo)，反之，若在點處可導(dǎo)，一般也不能推得f（x）在點x0處可導(dǎo).例如處可導(dǎo)，但處不連續(xù)，因而不可導(dǎo)，然而，若在點a處連續(xù)，則由在點a處可導(dǎo)就可保證f（x）在點a處可導(dǎo).若，由連續(xù)函數(shù)局部保號性，在其中保持定號，因而由在點處可導(dǎo)可推得在點a處也可導(dǎo).若，且在點a處可導(dǎo)，因為點a為的極值點，所以應(yīng)用費(fèi)馬定理可以得到，再由此又可證得.證 若

8、，由連續(xù)函數(shù)局部保號性，在中保持定號，于是在點a處可導(dǎo)，即為在點a處可導(dǎo).若，則點a函數(shù)的極小值點，因在點a處可導(dǎo)，由費(fèi)馬定理有即 因為，所以于是.15. 設(shè)函數(shù)內(nèi)可導(dǎo)，在a,b上連續(xù)，且導(dǎo)函數(shù)嚴(yán)格遞增，若證明，對一切均有證： 用反證法，若在區(qū)間上分別應(yīng)用拉格朗日中值定理，使得這與為嚴(yán)格遞增相矛盾.16. 設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，并且，試證：若當(dāng)時，有則存在唯一的使得，又若把條件減弱為，所述結(jié)論是否成立？分析 因為，若可以找到某點，使得則由的嚴(yán)格遞增性，并應(yīng)用連續(xù)函數(shù)的介值定理便可證明存在唯一的，使得證 在上應(yīng)用拉格朗日中值定理，使得于是由于，因此當(dāng)x充分大時總可使得不妨設(shè)，所以上嚴(yán)格遞增；在上應(yīng)用連

9、續(xù)函數(shù)的介值定理，則,且是唯一的.假設(shè)滿足，結(jié)論可能不成立，例如函數(shù)，滿足，但因恒小于0，故在中不存在，使得=017. 證明不等式證 令, ,且 當(dāng)時有，所以嚴(yán)格遞增，又在處連續(xù)，所以, 所以嚴(yán)格遞增, 又在處連續(xù),所以, , 即 . 18. 設(shè)為上的連續(xù)函數(shù)，對所有，且，證明必能取到最大值. 證 由題設(shè), 取, 由, . 又在上連續(xù), 由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大、最小值定理知, 在能取到最大值, 且此最大值為在上的最大值. 19.若函數(shù)在上二階可導(dǎo), 且，則存在使得.證法一： , 把在0, 1兩點處分別進(jìn)行泰勒展開到二階余項, 有 , 上兩式相減, 有.記,則有, 即存在使得. 證法二： 在上

10、對應(yīng)用拉格朗日中值定理有 ，. 當(dāng)時，在上對應(yīng)用拉格朗日中值定理有，. 當(dāng)時，在上對應(yīng)用拉格朗日中值定理有，. 綜上證明知存在使得. 20.應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性證明 證明：設(shè) 則 ， 而函數(shù)單調(diào)性定理知在上分別為嚴(yán)格遞增和嚴(yán)格遞減函數(shù)，再由結(jié)論知函數(shù)在也分別為嚴(yán)格遞增和嚴(yán)格遞減函數(shù). 由于所以有，有 從而有21.設(shè)函數(shù) （為實數(shù)），試問：（1）等于何值時，在連續(xù)；（2）等于何值時，在可導(dǎo)； （3）等于何值時，在連續(xù)；解：(1)要使函數(shù)在點連續(xù)，即需， 而當(dāng)時，有， 從而，即函數(shù)在點連續(xù). (2) 當(dāng)時， 由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得，即時函數(shù)在點可導(dǎo). (3)由（2）的求解過程可知要使在點連續(xù)，首先要求

11、，此時要使在的極限存在并且等于，即需要， 類似于(1)中的證明需要，即當(dāng)時，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在點連續(xù).3分22.設(shè)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足條件，其中都是非負(fù)常數(shù)，是內(nèi)的任一點，證明證因在上具有二階導(dǎo)數(shù)，故存在使得 同理存在使得 將上面的兩個等式兩邊分別作差，得 即因此 而，故23. 設(shè)函數(shù)上連續(xù)，在（a,b）內(nèi)二階可導(dǎo)，則存在使得分析 本題可以利用柯西中值定理證明，設(shè)兩個函數(shù)F，G為有然后在a,b上對F,G應(yīng)用柯西中值定理，本題也可用拉格朗日中值定理證明，下面分別給出兩種證法.證證法一 設(shè)有F（x），G(x)在a,b上連續(xù)，在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，不同時為零，于是可以應(yīng)用柯西中值定理，使得再在應(yīng)用格朗

12、日中值定理，使得于是有證法二 作輔助函數(shù)于是在上對應(yīng)用拉格朗日中值定理，使得=再在上對應(yīng)用拉格朗日中值定理， ，使得=注 所證等式在計算方法課程的差分格式中是一個基本公式24.若在點的某個領(lǐng)域上有階連續(xù)導(dǎo)函數(shù),試由泰勒公式的拉格朗日型余項推導(dǎo)佩亞諾型余項公式.證因為具有階連續(xù)導(dǎo)函數(shù),由泰勒公式,有.因為導(dǎo)函數(shù)在點的某個領(lǐng)域上連續(xù),所以,當(dāng)時,.由此可得,于是有,即 .上面推導(dǎo)說明,當(dāng)導(dǎo)函數(shù)在點的某個閉領(lǐng)域內(nèi)外連續(xù)時,可以得到,這與佩亞諾型余項的結(jié)論是一致的.25.用泰勒公式證明:設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)二階可導(dǎo),則存在,使得.分析需證等式中出現(xiàn)二階導(dǎo)數(shù)與在,的函數(shù)值,試用展開到二階導(dǎo)數(shù)的泰勒公式是

13、一種可行的途徑.問題在于選取哪些點為展開式中的和,合理的方法是取,為和.證把在點展開到二階導(dǎo)數(shù)項:把上面兩式相加,有.不妨設(shè),于是有.在上對應(yīng)用達(dá)布定理,使得,這樣就證得.注在23題中已應(yīng)用柯西中值定理和拉格朗日中值定理證明了本題,這里應(yīng)用泰勒公式和達(dá)布定理是另一種證明方法.26.設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo),且在上,.證明在上成立.分析本題是用的上界來估計的上界.可以試用展開到二階導(dǎo)數(shù)的泰勒公式尋找之間的聯(lián)系.證,把在點處展開成帶有二階拉格朗日型余項的泰勒公式,有,上面兩式相減后有,再應(yīng)用,可得 ,于是有.說明本題結(jié)論有一個有趣的力學(xué)解釋:在2秒時間內(nèi),哪果運(yùn)行路程和運(yùn)動加速度都不超過1,則在該時間段

14、內(nèi)的運(yùn)動速度決不會超過2.27.設(shè)是開區(qū)間I上的凸函數(shù),則對任何,在上滿足利普希茨(Lipschitz)條件,即存在,對任何,成立.證當(dāng)取定后,因為I是開區(qū)間,必能在I中選取四點滿足應(yīng)用凸函數(shù)充要條件,任取,得到現(xiàn)令則有由于上述常數(shù)L與上滿足利普希茨條件:,使得,.注：由本題也可以推知:開區(qū)間I上的凸函數(shù)必在該區(qū)間的任一內(nèi)閉區(qū)間上連續(xù),于是是I內(nèi)的連續(xù)函數(shù).28. 設(shè)在 上滿足Lipschitz條件：, 證明在 上一致連續(xù).證 分析因為 ， ， ，取，當(dāng)時，.29. 證明：設(shè)，則顯然在上連續(xù)，且，根據(jù)連續(xù)函數(shù)介質(zhì)定理，至少存在一點，使即，也就是可見是原方程的根又因為在內(nèi)恒有，在上嚴(yán)格遞增，故唯

15、一30.設(shè)函數(shù)在點具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，試證明：證明 因為在點處具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，所以在點的某鄰域內(nèi)具有一階導(dǎo)數(shù)，于是由洛必達(dá)法則，分子分母分別對求導(dǎo)，有31. 設(shè)在上可導(dǎo)，且.求證：存在，使.證： 將連續(xù)延拓為閉區(qū)間上的函數(shù)：易知， 在 上滿足羅爾定理的條件. 故存在 ， 使.32. 設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)有階導(dǎo)數(shù)，且存在個點滿足：求證：存在，使. 證 由題設(shè)知，在以下每一區(qū)間上都滿足羅爾定理的條件， 則必有個點使又在每個區(qū)間：上滿足羅爾定理的條件，于是存在 使重復(fù)上述步驟到次后， 可知在區(qū)間 上滿足羅爾定理的條件，故存在， 使.33.設(shè)函數(shù)在點存在左右導(dǎo)數(shù)，試證在點連續(xù).證明 設(shè)函數(shù)在點存在左右

16、導(dǎo)數(shù)，于是從而，即在點左連續(xù).同理可證在點右連續(xù).因而在點連續(xù).34.設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，證明：存在，使得證明 設(shè)，則在上連續(xù)并可導(dǎo)，且，由Rolle定理，存在，使得，從而35應(yīng)用拉格朗日中值定理證明下列不等式：，其中證明 設(shè)，則在上連續(xù)且可導(dǎo)，所以在上滿足Lagrange中值定理的條件，于是，使得，因為，所以，從而.36.證明 設(shè)是有限集,則對任一,因是有限集,故鄰域內(nèi)至多有中的有限個點,故不是的聚點.由的任意性知, 無聚點.37.證明 作閉區(qū)間列,其中.由于,于是有（*）從而.而,從而由知, .所以為閉區(qū)間套.有區(qū)間套定理知, 存在一點,使得,.由(*)有.若數(shù)也滿足,則.兩邊取極限,得到,于

17、是.即滿足條件的點是唯一的.38.證明 不妨設(shè)為遞增數(shù)列,且為其聚點.設(shè)為任一實數(shù),且,不妨設(shè).取,由聚點定義,中含有的無限項.設(shè),由于為遞增數(shù)列,則當(dāng)時,于是在中,最多有有限項小于,即中最多含有的有限項,于是點不是的聚點,由的任意性知,為的唯一聚點. 假設(shè)不是的上界,則存在,從而當(dāng)時,令,則中最多含有的有限項,這與為的聚點矛盾.于是為的上界.另一方面,對任給的,數(shù)列中必有一項,即.于是.39.證明 由函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)知,使得當(dāng)時,有.考慮開區(qū)間集合,顯然是的一個開覆蓋.于是存在的一個有限子集覆蓋了.記.對任何,必屬于中的某一開區(qū)間.設(shè),則,從而同時成立與.于是.所以在上一致連續(xù).40.證明

18、 由連續(xù)函數(shù)的局部有界性,對每一點,都存在鄰域及正數(shù),使得.考慮開區(qū)間集.顯然是的一個開覆蓋.于是存在的一個有限子集覆蓋了,且存在正數(shù),使得對一切,有.令,則對任何,必屬于某.這就證得在上有界.41.證明 由于函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),于是在上有界.由確界原理, 的值域有上確界,記為.假設(shè)對一切都有.令.函數(shù)在上連續(xù),故在上有界.設(shè)是的一個上界,則.從而.但這與為的上確界矛盾.所以存在,使,即在上有最大值.42.證明 函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)增加,從而當(dāng)時,于是.而,由此為上的增函數(shù).43.令,則.44.證明 不妨設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)遞增,且.不然, ,則在上為常數(shù)函數(shù),顯然可積.對的任一分法,由于單調(diào)增

19、加, 在所屬的每個小區(qū)間上的振幅為,于是.由此可見,任給,只要,就有,所以函數(shù)在閉區(qū)間上可積.45.證明 函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),且不恒等于零,則函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),從而在閉區(qū)間上可積,且不恒等于零,因此,且存在,使.根據(jù)保號性,存在,使,都有.于是.46.證明 .令,則有.于是.47.證明 由于,任給,存在,當(dāng)時,有.又當(dāng)時,所以取,注意到,則當(dāng)時,就有故,即就是.48.證明 函數(shù)和在上可積,于是函數(shù),及在上可積,從而,對任何實數(shù),函數(shù)可積,又,故.即上式右邊是的二次三項式,故其判別式,即 .49.證明 ,函數(shù)為偶函數(shù),于是.從而,于是.50.證明 對上任一確定的,只要,就有.由于函數(shù)在上可積,

20、故有界,可設(shè),.于是,當(dāng)時,就有,而當(dāng)時,就有,由此得到,即證得在點上連續(xù).由的任意性,在上連續(xù).51.證明 不妨設(shè).令,則函數(shù)也是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),且,.于是只需證明存在,使得.記,則,且,從而為非空有界集.有確界原理, 有下確界,記為.因,由連續(xù)函數(shù)的保號性,存在,使得在內(nèi), ,在內(nèi), .由此易見,即.倘若,不妨設(shè),則由局部保號性,存在,使在其內(nèi),特別有,于是這與相矛盾,故必有.52.證明 對上任一確定的,只要,根據(jù)積分中值定理,就有.由于函數(shù)在上連續(xù),故有.由在上的任意性,知.53.證明 因,所以,因此級數(shù)發(fā)散.54.證明 由已知有 .把這個不等式按項相乘后,得到,或者.由于當(dāng)時,等比級

21、數(shù)收斂,根據(jù)比較判別法及上述不等式可知級數(shù)收斂.55.證明 由已知可得對一切,有.從而有,故.由于是常數(shù),根據(jù)比較判別法,當(dāng)級數(shù)收斂時,級數(shù)也收斂.56.證明 由正項級數(shù)收斂知, .于是存在正整數(shù),使得當(dāng)時,.由此可得當(dāng)時,由比較判別法知級數(shù)也收斂.反之不能成立.如收斂,而發(fā)散.57.證明 設(shè),則,從而,級數(shù)收斂,由比較判別法知級數(shù)收斂.58.證明 由于,而級數(shù)與都收斂,于是級數(shù)收斂,根據(jù)比較判別法,級數(shù)也收斂.59.證明 由,知,而級數(shù)絕對收斂,即收斂,根據(jù)比較判別法知級數(shù)也收斂.若只知級數(shù)收斂,不一定推得級數(shù)也收斂.例如.則 .而收斂,級數(shù)發(fā)散.60.證明 此級數(shù)是正項級數(shù),且部分和為由此

22、即知有界,故級數(shù)收斂.61. . 證明在內(nèi), .證 易見 而 在內(nèi)成立.62. 設(shè)數(shù)列單調(diào)收斂于零.試證明:級數(shù)在區(qū)間 上一致收斂.證 在上有 .可見級數(shù)的部分和函數(shù)列在區(qū)間上一致有界 . 取 , . 就有級數(shù)的部分和函數(shù)列在區(qū)間上一致有界, 而函數(shù)列對每一個單調(diào)且一致收斂于零.由Dirichlet判別法,級數(shù)在區(qū)間上一致收斂.其實 , 在數(shù)列單調(diào)收斂于零的條件下, 級數(shù)在不包含的任何區(qū)間上都一致收斂.63. 幾何級數(shù) 在區(qū)間上一致收斂；但在內(nèi)非一致收斂.證 在區(qū)間上 , 有, . 一致收斂 ; 而在區(qū)間內(nèi) , 取, 有, . 非一致收斂. ( 亦可由通項在區(qū)間內(nèi)非一致收斂于零, 非一致收斂.

23、)幾何級數(shù)雖然在區(qū)間內(nèi)非一致收斂 , 但在包含于內(nèi)的任何閉區(qū)間上卻一致收斂 . 我們稱這種情況為“閉一致收斂”. 因此 , 我們說幾何級數(shù)在區(qū)間內(nèi)閉一致收斂 .64. 設(shè)數(shù)列單調(diào)收斂于零 . 證明 : 級數(shù) 在區(qū)間 上一致收斂.證 在上有 .可見級數(shù)的部分和函數(shù)列在區(qū)間上一致有界.取 , . 就有級數(shù)的部分和函數(shù)列在區(qū)間上一致有界, 而函數(shù)列對每一個單調(diào)且一致收斂于零.由Dirichlet判別法,級數(shù)在區(qū)間上一致收斂.其實 , 在數(shù)列單調(diào)收斂于零的條件下, 級數(shù) 在不包含的任何區(qū)間上都一致收斂.65. 證明級數(shù)在R內(nèi)一致收斂 . 證 令=, 則時 對R成立.66. 證明函數(shù)滿足微分方程 .證明

24、 所給冪級數(shù)的收斂域為. , 代入, .67. 設(shè) 證明對存在并求其值.證明 , .時, ,直接驗證可知上式當(dāng)時也成立 . 因此在內(nèi)有 , .函數(shù)作為 的冪級數(shù)的和函數(shù), 對存在 , 且 即 68. 證明：冪級數(shù)的和函數(shù)為,.并求級數(shù)和Leibniz級數(shù)的和.證明 冪級數(shù)的 收斂域為, 設(shè)和函數(shù)為,則在內(nèi)有 ,注意到, 則對有.又在點連續(xù) , 于是在區(qū)間內(nèi)上式成立. 即有 , .取, 有.取, 有.69. 證明：冪級數(shù)的和函數(shù)為 , .并利用該冪級數(shù)的和函數(shù)求冪級數(shù)的和函數(shù)以及數(shù)項級數(shù)的和.證明 該冪級數(shù)的收斂域為. 在內(nèi)設(shè) .現(xiàn)求. 對,有 .由連續(xù) , 有 .因此, , .作代換, 有.

25、.70. 證明冪級數(shù)的和函數(shù)為，并利用該冪級數(shù)的和函數(shù)求數(shù)項級數(shù)的和.證明 該級數(shù)為Leibniz型級數(shù), 因此收斂. 考慮冪級數(shù), 其收斂域為. 設(shè)和函數(shù)為, 在內(nèi)有 , .注意到,對有 , .于是, .71. 設(shè)是以為周期的分段連續(xù)函數(shù), 又 滿足.求證 的Fourier系數(shù) 滿足證明 由Fourier系數(shù)計算公式， 作變量替換，則 于是 類似可證 72. 設(shè)是以為周期的分段連續(xù)函數(shù), 又設(shè) 是偶函數(shù)，且滿足. 求證： 的Fourier系數(shù)證明 由Fourier系數(shù)計算公式及滿足的條件，有 作變換，則 因此, 。73求證函數(shù)系是上的正交函數(shù)系.證明 記則 當(dāng)時， 當(dāng)時， . 所以是上的正交

26、函數(shù)系.74設(shè)是以為周期的連續(xù)的偶函數(shù)。又設(shè)關(guān)于對稱，試證：的傅立葉系數(shù)：.證明 由關(guān)于對稱，故也就是. 令，由是偶函數(shù)，故所以， 75. 設(shè)是以為周期的可微周期函數(shù)，又設(shè)連續(xù)，是的Fourier系數(shù).求證：.證明 由分步積分法，對有 又由連續(xù)，故存在，使當(dāng)時， 從而,.76. 證明極限不存在.證明 因為 二者不等，所以極限不存在. 77. 用極限定義證明： 。證明 對， 要使 . 取，即可. 78. 證明極限不存在。 證明 因為 . 二者不等，所以極限不存在。 79. 設(shè)在 連續(xù)，證明：對在連續(xù).證明 因為在 連續(xù)， 所以當(dāng) 時，有 . 故 對 ,當(dāng)時，, 從而 所以 在連續(xù). 80. 證明

27、：如果在 連續(xù)，且，則對任意,對一切有證明 設(shè)則對取， 因為 在點連續(xù)，所以當(dāng) 時，有 ,所以 ,有 .81. 證明： 在點處連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)不存在。證明 由于在 點連續(xù) , 而 不存在. 且 不存在故兩個偏導(dǎo)數(shù)不存在. 82. 證明； 在點連續(xù)，且不存在.證明 因為所以在 連續(xù)，且 不存在. 83. 證明：在 點處連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在。證明 因為所以，函數(shù)在 連續(xù)，且 , . 即兩個偏導(dǎo)數(shù)均存在. 84. 設(shè) 函數(shù)在的某鄰域內(nèi)存在偏導(dǎo)數(shù)，若屬于該鄰域，則存在和 ， 使得 .證明 由于函數(shù)在的某鄰域內(nèi)存在偏導(dǎo)數(shù)，有 . 用一元函數(shù)的中值定理，存在和 ，使得.85. 證明： 在 點不可微.證明 因為 .

28、有 ，和 而 不存在（令 沿此直線趨近于時，極限隨的變化而變化） 所以函數(shù)在點不可微. 86. 證明: 設(shè)是球面和錐面交線上的任一點,則球面和錐面在該點的法向量為和, 因為,所以對任意常數(shù), 球面與錐面正交.87. 證明: 設(shè)曲線族中任意兩條曲線()相交于點, 則在交點處兩條曲線的法向量為, .由于因此這兩條曲線在交點處互相正交.88. 證明: 由隱函數(shù)定義, 有.上式兩邊對求偏導(dǎo)數(shù), 得繼續(xù)對求二階偏導(dǎo)數(shù), 又得,即把代入, 經(jīng)整理得.再計算于是得證.89. 證明: 當(dāng)時, , 于是可以利用積分號下求導(dǎo)法則,于是, . 因為, 所以.當(dāng)時, 作變換,而, 利用上面的結(jié)論,有90. 證明: 1）(只需證明，使得當(dāng)時，對一切有即可.)對任意作變量代換，可得 （5）由于收斂，故對任給正數(shù)，總存在正數(shù)，使當(dāng)，就有 因為所以,取,則當(dāng)時, 由上式,對一切有又由（5）可得所以原積分在上一致收斂。2）現(xiàn)在證明原積分在內(nèi)不一致收斂。（由一致收斂定義，只要證明：存在某一正數(shù)，使對任何實數(shù)，總相應(yīng)