1、2.3變量間的相互關(guān)系（一）、（二）問題提出1. 函數(shù)是研究兩個變量之間的依存關(guān)系的一種數(shù)量形式.對于兩個變量，如果當(dāng)一個變量的取值一定時，另一個變量的取值被惟一確定，則這兩個變量之間的關(guān)系就是一個函數(shù)關(guān)系.2. 在中學(xué)校園里，有這樣一種說法：“如果你的數(shù)學(xué)成績好，那么你的物理學(xué)習(xí)就不會有什么大問題.”按照這種說法，似乎學(xué)生的物理成績與數(shù)學(xué)成績之間存在著某種關(guān)系，我們把數(shù)學(xué)成績和物理成績看成是兩個變量，那么這兩個變量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？3. 這兩個變量是有一定關(guān)系的，它們之間是一種不確定性的關(guān)系.類似于這樣的兩個變量之間的關(guān)系，有必要從理論上作些探討，如果能通過數(shù)學(xué)成績對物理成績進行合理估

2、計，將有著非常重要的現(xiàn)實意義.知識探究（一）：變量之間的相關(guān)關(guān)系思考1：考察下列問題中兩個變量之間的關(guān)系，想一想這些問題中兩個變量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？（1）商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費；（2）糧食產(chǎn)量與施肥量；（3）人體內(nèi)的脂肪含量與年齡.思考2：“名師出高徒”可以解釋為教師的水平越高，學(xué)生的水平就越高，那么學(xué)生的學(xué)業(yè)成績與教師的教學(xué)水平之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？你能舉出類似的描述生活中兩個變量之間的這種關(guān)系的成語嗎？思考3：上述兩個變量之間的關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，稱之為相關(guān)關(guān)系，那么相關(guān)關(guān)系的含義如何？自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關(guān)系，叫做相關(guān)關(guān)系.思考4：

3、函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系之間的區(qū)別與聯(lián)系.1. 函數(shù)關(guān)系中的兩個變量間是一種確定性關(guān)系；相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系.2. 函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系.3. 函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系之間有著密切聯(lián)系，在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化.例1 在下列兩個變量的關(guān)系中，哪些是相關(guān)關(guān)系？正方形邊長與面積之間的關(guān)系；作文水平與課外閱讀量之間的關(guān)系；人的身高與年齡之間的關(guān)系；降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系.練習(xí)1.已知下列變量，它們之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系的有 ，是相關(guān)關(guān)系的有 .已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c，其中a、c是已知常數(shù)，取b為自變量，因變量是這個函數(shù)的判別式=b24ac;

4、光照時間和果樹畝產(chǎn)量；每畝施用肥料量和糧食產(chǎn)量.知識探究（二）：散點圖 【問題】在一次對人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)： 其中各年齡對應(yīng)的脂肪數(shù)據(jù)是這個年齡人群脂肪含量的樣本平均數(shù).思考1：觀察上表中的數(shù)據(jù)，大體上看，隨著年齡的增加，人體脂肪含量怎樣變化？思考2：以x軸表示年齡，y軸表示脂肪含量，你能在直角坐標(biāo)系中描出樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)的圖形嗎？ 思考3：上圖叫做散點圖，你能描述一下散點圖的含義嗎？ 在平面直角坐標(biāo)系中，表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的一組數(shù)據(jù)圖形，稱為散點圖.思考4：觀察散點圖的大致趨勢，人的年齡的與人體脂肪含量具有什么相關(guān)關(guān)系？思考5：在上面的散點圖中，這

5、些點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān).一般地，如果兩個變量成正相關(guān)，那么這兩個變量的變化趨勢如何？思考6：如果兩個變量成負相關(guān)，從整體上看這兩個變量的變化趨勢如何？其散點圖有什么特點？ 一個變量隨另一個變量的變大而變小，散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域思考7：你能列舉一些生活中的變量成正相關(guān)或負相關(guān)的實例嗎?例2 以下是某地搜集到的新房屋的銷售價格和房屋的面積的數(shù)據(jù)：畫出數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點圖，并指出銷售價格與房屋面積這兩個變量是正相關(guān)還是負相關(guān). 練習(xí)2. 今有一組試驗數(shù)據(jù)如下表所示：現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接

6、近的一個是( C )A. y=log2x B. y=2x C. y=(x21)/2 D. y=2x2問題提出1. 兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系的含義如何？成正相關(guān)和負相關(guān)的兩個相關(guān)變量的散點圖分別有什么特點？自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關(guān)系.正相關(guān)的散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，負相關(guān)的散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域 2. 觀察人體的脂肪含量百分比和年齡的樣本數(shù)據(jù)的散點圖，這兩個相關(guān)變量成正相關(guān).我們需要進一步考慮的問題是，當(dāng)人的年齡增加時，體內(nèi)脂肪含量到底是以什么方式增加呢？對此，我們從理論上作些研究.知識探究（三）：回歸直線 思考1：一組樣本

7、數(shù)據(jù)的平均數(shù)是樣本數(shù)據(jù)的中心，那么散點圖中樣本點的中心如何確定？它一定是散點圖中的點嗎？ 思考2：在各種各樣的散點圖中，有些散點圖中的點是雜亂分布的，有些散點圖中的點的分布有一定的規(guī)律性，年齡和人體脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)的散點圖中的點的分布有什么特點？這些點大致分布在一條直線附近.思考3：對一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù)，你認為其回歸直線是一條還是幾條？思考4：在樣本數(shù)據(jù)的散點圖中，能否用直尺準(zhǔn)確畫出回歸直線？借助計算機怎樣畫出回歸直線？知識探究（四）：回歸方程 在直角坐標(biāo)系中，任何一條直線都有相應(yīng)的方程，回歸直線的方程稱為回歸方程.對一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù)，如果能夠求出它的回歸方程，那么

8、我們就可以比較具體、清楚地了解兩個相關(guān)變量的內(nèi)在聯(lián)系，并根據(jù)回歸方程對總體進行估計. 思考1：回歸直線與散點圖中各點的位置應(yīng)具有怎樣的關(guān)系？ 整體上最接近 思考2：對于求回歸直線方程，你有哪些想法？思考3：對一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù)：(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，設(shè)其回歸方程為可以用哪些數(shù)量關(guān)系來刻畫各樣本點與回歸直線的接近程度？ 思考4：為了從整體上反映n個樣本數(shù)據(jù)與回歸直線的接近程度，你認為選用哪個數(shù)量關(guān)系來刻畫比較合適？ 思考5：根據(jù)有關(guān)數(shù)學(xué)原理分析，當(dāng) 時，總體偏差 為最小，這樣就得到了回歸方程，這種求回歸方程的方法叫做最小二乘法.回歸方程中，a，b的幾何意義分

9、別是什么？思考6：利用計算器或計算機可求得年齡和人體脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)的回歸方程為 ，由此我們可以根據(jù)一個人個年齡預(yù)測其體內(nèi)脂肪含量的百分比的回歸值.若某人37歲，則其體內(nèi)脂肪含量的百分比約為多少？20.9%練習(xí) 3.F表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗Y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對照數(shù)據(jù)x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖； (2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，崩最小二乘法求出Y關(guān)于x的線性回歸方程Y=bx+a； (3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤試根據(jù)(2)求出的線性同歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤? (參考數(shù)值：3×25+4×3+5×4+6×45=66.5) 解：（1）如圖（2）由對照數(shù)據(jù)，計算得： ; 所求的回歸方程為 (3) , 噸, 預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低(噸)課堂小結(jié)1. 求樣本數(shù)據(jù)的線性回歸方程，可按下列步驟進行：第一步，計算平均數(shù) 第二步，求和 第三步，計算第四步，寫出回歸方程 2. 回歸方程被樣本數(shù)據(jù)惟一確定，各樣本點大致分布在回歸直線附近.對同一個總體，不同的樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)不同