1、實驗三用雙線性變換法設(shè)計IIR 濾波器一、實驗?zāi)康?、了解兩種工程上最常用的變換方法：脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法。2、掌握雙線性變換法設(shè)計 IIR 濾波器的原理及具體設(shè)計方法，熟悉雙線性法設(shè)計低通、帶通和高通 IIR 濾波器的計算機(jī)程序。3、觀察用雙線性變換法設(shè)計的濾波器的品與特性，并與脈沖響應(yīng)不變法相比較，了解雙線性變換法的特點。4、熟悉用雙線性變換法涉及數(shù)字Butterworth 和 Chebyshev 濾波器的全過程。5、了解多項式呈幾何多項式乘方運算的計算機(jī)變成方法。二、實驗原理與方法從模擬濾波器設(shè)計 IIR 數(shù)字濾波器具有四種方法：微分差分變換法、脈沖響應(yīng)不變法、雙線性變換法、匹配

2、 Z 變換法：在工程上常用的是其中兩種：脈沖響應(yīng)不變法、雙線性變換法。脈沖響應(yīng)不變法需要經(jīng)歷如下步驟：由已知系統(tǒng)傳輸函數(shù) H ( s) 計算系統(tǒng)沖激響應(yīng) h(t) ：對 h(t) 進(jìn)行等間隔取樣得到h(t)h(nT ) ,由 h(t) 獲得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)響應(yīng)H ( z) 。這種方法非常直觀，其算法宗旨是保證所設(shè)計的 IIR 濾波器的脈沖響應(yīng)和響應(yīng)模擬濾波器的沖激響應(yīng)在采樣個點上完全一致。而雙線性變換法的設(shè)計準(zhǔn)則是使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與參考模擬濾波器的頻率響應(yīng)相似。脈沖響應(yīng)不變法一個重要的特點是頻率坐標(biāo)的變換式現(xiàn)行的，其缺點是有頻譜的周期延拓效應(yīng)，存在頻譜混淆的現(xiàn)象。為了克服脈沖響應(yīng)不變法可

3、能產(chǎn)生的頻譜混淆，提出了雙線性變換法，它依靠雙線性變換式：s1z 1 , z1s其中， sj, z re jw1z 11s建立起 s 平面和 z 平面的單值映射關(guān)系，數(shù)字頻域和模擬頻域之間的關(guān)系：tg (w 2), w2arctg（31）由上面的關(guān)系式可知 ,當(dāng)時， w 中止在折疊頻率 w處，整個 j周單值的對應(yīng)于單位圓的一周。因此雙線性變換法不同于脈沖響應(yīng)不變法，不存在頻譜混淆的問題。從式（31）還可以看出， 兩者的頻率不是線性關(guān)系。 這種非線性關(guān)系似的通帶截止頻率、過渡帶的邊緣頻率的相對位置都發(fā)生了非線性畸變。 這種頻率的畸變可以通過預(yù)畸來矯正。用雙線性變換法設(shè)計數(shù)字濾波器時， 一般總是先

4、將數(shù)字濾波器的各臨界頻率經(jīng)過式 （31）的頻率預(yù)畸，球的響應(yīng)參考模擬濾波器的各臨界頻率，然后設(shè)計參考模擬濾波器的傳遞參數(shù)，最后通過雙線性變換式求得數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)。這樣通過雙線性變換，正好將這些頻率點映射到我們所需要的位置上。參考模擬濾波器的設(shè)計，可以按照一般模擬濾波器的設(shè)計方法，利用已經(jīng)成熟的一整套計算公式和大量的歸一化設(shè)計表格和曲線， 這些公式、表格主要是用于歸一化低通原型的。通過原型變換，可以完成實際的低通、帶通和高通濾波器的設(shè)計。在用雙線性變換法設(shè)計濾波器的過程中，我們業(yè)可以通過原型變換，直接求得歸一化參考模擬濾波器原型參數(shù)，從而使得設(shè)計更加簡化。下表是 IIR 低通、帶通、高通濾

5、波器設(shè)計雙線性原型變換公式的總結(jié)。變換模型變換關(guān)系式參考模擬原型頻率備注確定低通變換s= 1z 1tg ()2 fT ：模擬頻率1z 12s= 1z 1T：采樣周期高通變換ctg ()sin(2 )1z 12cos10sins=sin 12cos 0cos帶通變換z22z cos 01sinz211 、2 ：帶通的上下邊帶臨界頻率在本實驗中，我們只涉及Butterworth和 Chebyshev 種濾波器的設(shè)計，相應(yīng)的這兩種參考濾波器的設(shè)計公式如下表類型巴特沃斯切比雪夫lg100.1ap1100.1as1階數(shù)100.1as1Nch1ch1(p)N=lg(p )100. 1ap1ssNH a (

6、 s)pNN傳遞函數(shù)H a ( s)N1c2N 1sp shxk sin ykjchx k cos yk(ssk )k1k01 sh 1 1 , yk2k 1xk2NN3db 頻率cs1波紋系數(shù)(100.1as有關(guān)參數(shù)1)2N100.1ap1cp1(100.1as1) 2N備注通帶臨界頻率p 及衰減p ，阻帶臨界頻率s 及衰減s綜上所述，以巴特沃斯低通數(shù)字濾波器設(shè)計為例，可以將雙向法設(shè)計濾波器的步驟歸納如下：1、確定數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)。這些指標(biāo)包括：通帶、阻帶臨界頻率f p 、 f s ；通帶內(nèi)的最大衰減p ；阻帶內(nèi)的最小衰減s ；采樣周期 T 。2、確定相應(yīng)的數(shù)字頻率，p2 f pT ,s

7、2 fsT 。3、計算經(jīng)過頻率預(yù)畸的相應(yīng)參考模擬低通原型的頻率ptg (p ),stg (s ) 。224、計算低通原型階數(shù)N，計算 3db 歸一化頻率c ，從而求得低通原型的傳遞函數(shù)H a (s) 。1z5、用上表中所列變換公式s1zH (z) = H a ( s) |1z1。s1z111 ，代入 H a (s) ，求得數(shù)字濾波器傳遞函數(shù)6、分析濾波器頻域特性，檢查其指標(biāo)是否滿足要求。三、實驗內(nèi)容及步驟（一）編制實驗用主程序及子程序1、實驗前復(fù)習(xí)數(shù)字信號處理課程中濾波器設(shè)計有關(guān)內(nèi)容的知識，認(rèn)真閱讀本實驗的原理部分，讀懂濾波器相關(guān)算法。2、編制一個雙線性變換法設(shè)計IIR 數(shù)字 Butterwo

8、rth 和 Chebyshev 濾波器的通用程序。采樣周期、通帶和阻帶臨界頻率以及相應(yīng)的衰減等參數(shù)在程序運行時輸入；根據(jù)這些輸入?yún)?shù)，計算階數(shù)N 、傳遞函數(shù) H a (s) ；輸出 H a (s) 分子分母系數(shù)； 繪制 H (e jw ) 幅頻特性曲線， 繪制點數(shù)為 50，（0）。（二）上機(jī)實驗內(nèi)容1、采樣頻率為1HZ ，設(shè)計一個 Chebyshev 高通數(shù)字濾波器其中通帶臨界頻率fp=0.3HZ, 通帶內(nèi)衰減小于 0.8db(p =0.8db), 阻帶臨界頻率 fs=0.2HZ, 阻帶內(nèi)衰減大于 20db( s =20db) 。求這個數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)H(z) ，輸出它的幅頻特性，觀察其通

9、帶衰減和阻帶衰減是否滿足要求。高通數(shù)字濾波器的設(shè)計>> f=1; fp=3/10; fs=2/10; Rp=0.8; Rs=20;>> n,Wn=cheb1ord(2*fp/f,2*fs/f,Rp,Rs);>> b,a=cheby1(n,Rp,Wn, 'high' );>> freqz(b,a,512,1)b =0.0262-0.10470.1570-0.10470.0262a =1.00001.52891.65370.94520.2796n =4Wn =0.60002、采樣頻率為1HZ ，設(shè)計一個數(shù)字低通濾波器，要求其通帶臨界頻

10、率fp=0.2HZ ，通帶內(nèi)衰減小于1db( p1db), 阻帶臨界頻率fs=0.3HZ, 阻帶內(nèi)衰減 25db( s 25db ) 。求這個數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù) H(z) ，輸出它的幅頻特性曲線。低通數(shù)字濾波器的設(shè)計>> f=1; fp=2/10;fs=3/10; Rp=1; Rs=25;>> n,Wn=cheb1ord(2*fp/f,2*fs/f,Rp,Rs);>> b,a=cheby1(n,Rp,Wn);>> freqz(b,a,512,1) ; b,a,n,Wn;b =0.02430.09700.14560.09700.0243a =1.

11、0000-1.59771.7459-1.02000.3074n =4Wn =0.40003、設(shè)計butterworth帶通數(shù)字濾波器，其上下邊帶1db處的通帶臨界頻率分別為20kHz和30kHz(fp1=20kHz,fp2=30kHz,p1db)，當(dāng)頻率低于15kHz時，衰減要大于40db(fs=15kHz,s40db ),采樣周期為10s ，求這個數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)H(z) ，輸出它的幅頻特性曲線，觀察其通帶衰減和阻帶衰減是否滿足要求。帶通數(shù)字濾波器的設(shè)計>> f=105; fs=15000,35000; fp=20000,30000; Rs=40; Rp=1;>>

12、 n,Wn=buttord(2*fp/f,2*fs/f,Rp,Rs);>> b,a=butter(n,Wn);>> freqz(b,a,512,1);>> b,a,n,Wnb=0.00020-0.001400.00420-0.007100.00710 -0.004200.00140 -0.0002a=1.0000-0.00003.7738-0.00006.56140.00006.65180.00004.20300.00001.64370.00000.36660.00000.0359n =7Wn =0.38540.6146四思考題雙線性變換和脈沖響應(yīng)不變法相比較。有哪些優(yōu)點和缺點？為什么？答：雙線性變換：主要優(yōu)點是s 平面與z 平面式單值的一一對應(yīng)關(guān)系。整個j 軸是單值的對應(yīng)于單位圓一周，即 =tg(。當(dāng) 時， 終止于折疊頻率 =處，因而雙線性變換就不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象。但雙線性變換法的優(yōu)點是靠頻譜的嚴(yán)重非線性關(guān)系而得到的，這種 與 的非線性關(guān)系使數(shù)字濾波器與模擬濾波器