1、集合形式的概念： 1、 圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合； 2、圓的外部：可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合； 3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合軌跡形式的概念： 1、圓：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓；圓的表示方法：以點(diǎn)為圓心的圓，記作“”，讀作“圓”。圓具有的特性：（1） 圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)的距離都等于定長(zhǎng)（2） 到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上注意：（1）根據(jù)圓的概念可以知道“圓”指的是“圓周”（一條封閉的曲線），而不是圓面。（2）確定一個(gè)圓取決于兩個(gè)因素：圓心和半徑，圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。 （3）利用圓

2、具有的特性，我們可以來(lái)判斷一個(gè)多邊形的各個(gè)頂點(diǎn)是否在同一個(gè)圓上。例1：通過(guò)下列條件，能確定圓的為（ ） A、已知點(diǎn)O為圓心 B、點(diǎn)O為圓心，2cm為半徑C、以2cm為半徑 D、經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A，且半徑為2cm2：如圖，點(diǎn)A 、D、G、M在半圓O上，四邊形ABOC，DEOF，HMNO均為矩形，設(shè)BC=a,EF=b,NH=c,則下列各式正確的是（ ）A. abc B. bca C. cab D. a=b=c知識(shí)點(diǎn)二：圓的有關(guān)概念弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，例：直徑：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑，如圖“直徑AB”注意：直徑是圓中最長(zhǎng)弦，但弦不一定是直徑弧、半圓、劣弧、優(yōu)弧：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)

3、稱(chēng)弧。圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，用三個(gè)字母表示，如： ；小于半圓的弧叫做劣弧，用兩個(gè)字母表示，如：注意：半圓是弧，但弧不一定是半圓等圓：能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓，容易看出：半徑相等的兩個(gè)圓是等圓；反過(guò)來(lái)，同圓或等圓的半徑相等注意：等圓只和半徑大小有關(guān)，和圓心的位置無(wú)關(guān)等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧注意：長(zhǎng)度相等的弧不一定是等弧例3：有以下結(jié)論： 直徑是弦；弦是直徑；半圓是弧，但弧不一定是半圓；半徑相等的兩個(gè)半圓是等?。婚L(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧A、1個(gè) B、2個(gè) C、3個(gè) D、4個(gè)點(diǎn)撥：只有在同圓或等圓中才存在等弧，在大小不

4、等的兩個(gè)圓中不存在等弧。在判斷等弧時(shí)，首先要看兩弧所在的圓是否為同圓或等圓，然后再看弧的長(zhǎng)度是否相等。知識(shí)點(diǎn)三：圓的對(duì)稱(chēng)性1、 軸對(duì)稱(chēng)性：圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，任何一條直徑所在的直線都是圓的對(duì)稱(chēng)軸。2、 旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性：圓具有旋轉(zhuǎn)不變性，它繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度都能與它本身重合，因此圓也是中心對(duì)稱(chēng)圖形，圓心是對(duì)稱(chēng)中心。例4：下列圖形中，既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的有（ ） 等邊三角形； 平行四邊形； 等腰梯形； 圓知識(shí)點(diǎn)三：垂直于弦的直徑（重點(diǎn)）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的弧。圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱(chēng)軸推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦

5、所對(duì)的兩條?。?（2）弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧； （3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧5個(gè)結(jié)論中，只要知道其中2個(gè)即可推出其它3個(gè)結(jié)論，即： 是直徑 弧弧 弧弧中任意2個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論。例5、如圖，AB為O的直徑，弦CDAB，垂足為點(diǎn)E，連接OC，若OC=5，CD=8，則AE=（ ）。 （6） （5） 例6：如圖，AB是半圓的直徑，O是圓心，C是半圓上一點(diǎn)，E是弧 AC的中點(diǎn)，OE交弦AC于D若AC=8cm，DE=2cm，則OD的長(zhǎng) 為_(kāi) 練習(xí)：1下面四個(gè)命題中正確的一個(gè)是（ ）A平分一條直徑的弦必垂直于這條直徑 B平分一條弧的直線垂

6、直于這條弧所對(duì)的弦C弦的垂線必過(guò)這條弦所在圓的圓心 D在一個(gè)圓內(nèi)平分一條弧和它所對(duì)弦的直線必過(guò)這個(gè)圓的圓心2下列命題中，正確的是（）A過(guò)弦的中點(diǎn)的直線平分弦所對(duì)的弧 B過(guò)弦的中點(diǎn)的直線必過(guò)圓心C 弦所對(duì)的兩條弧的中點(diǎn)連線垂直平分弦，且過(guò)圓心 D弦的垂線平分弦所對(duì)的弧3、在直徑為52cm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所示，如果油的最大深度為16cm，那么油面寬度AB是_cm.4、在直徑為52cm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，如果油面寬度是48cm，那么油的最大深度為_(kāi)cm.5、如圖，已知在中，弦，且，垂足為，于，于.（1）求證：四邊形是正方形.（2）若，求圓心到弦和的距離.6、已知：ABC內(nèi)

7、接于O，AB=AC，半徑OB=5cm，圓心O到BC的距離為3cm，求AB的長(zhǎng)7、如圖，F(xiàn)是以O(shè)為圓心，BC為直徑的半圓上任意一點(diǎn)，A是的中點(diǎn)，ADBC于D，求證：AD=BF.垂徑定理典型例題總結(jié)1如圖1，O的直徑為10，圓心O到弦AB的距離OM的長(zhǎng)為3，那么弦AB的長(zhǎng)是（ ）A4 B6 C7 D82如圖，O的半徑為5，弦AB的長(zhǎng)為8，M是弦AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線段OM長(zhǎng)的最小值為（）A2 B3 C4 D53過(guò)O內(nèi)一點(diǎn)M的最長(zhǎng)弦為10 cm，最短弦長(zhǎng)為8cm，則OM的長(zhǎng)為（ ）A9cm B6cm C3cm D4如圖，小明同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)測(cè)量圓直徑的工具，標(biāo)有刻度的尺子OA、OB在O點(diǎn)釘在

8、一起，并使它們保持垂直，在測(cè)直徑時(shí)，把O點(diǎn)靠在圓周上，讀得刻度OE=8個(gè)單位，OF=6個(gè)單位，則圓的直徑為（ ）A12個(gè)單位 B10個(gè)單位 C1個(gè)單位 D15個(gè)單位1已知AB是O的弦，AB8cm，OCAB與C，OC=3cm，則O的半徑為cm2在直徑為10cm的圓中，弦的長(zhǎng)為8cm，則它的弦心距為cm3在半徑為10的圓中有一條長(zhǎng)為16的弦，那么這條弦的弦心距等于4已知AB是O的弦，AB8cm，OCAB與C，OC=3cm，則O的半徑為cm5如圖，O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，若COD120°，OE3厘米，則CD厘米6半徑為6cm的圓中，垂直平分半徑OA的弦長(zhǎng)為cm.7過(guò)O內(nèi)一點(diǎn)M的

9、最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)為，最短的弦長(zhǎng)為，則OM的長(zhǎng)等于cm8已知AB是O的直徑，弦CDAB，E為垂足，CD=8，OE=1，則AB=_9如圖，AB為O的弦，O的半徑為5，OCAB于點(diǎn)D，交O于點(diǎn)C， 且CDl，則弦AB的長(zhǎng)是10某蔬菜基地的圓弧形蔬菜大棚的剖面如圖所示，已知AB16m，半徑OA10m，則中間柱CD的高度為m1已知O的弦AB長(zhǎng)為10，半徑長(zhǎng)R為7，OC是弦AB的弦心距，求OC的長(zhǎng)2已知O的半徑長(zhǎng)為50cm，弦AB長(zhǎng)50cm.求：（1）點(diǎn)O到AB的距離；（2）AOB的大小3如圖，直徑是50cm圓柱形油槽裝入油后，油深CD為15cm，求油面寬度AB4如圖，已知O的半徑長(zhǎng)為R=5，弦AB 與弦CD平

10、行，他們之間距離為7，AB=6求：弦CD的長(zhǎng)OCADB5如圖，已知AB是O的直徑，CDAB，垂足為點(diǎn)E，如果BE=OE，AB=12m，求ACD的周長(zhǎng)OCDABE6如圖，已知C是弧AB的中點(diǎn)，OC交弦AB于點(diǎn)DAOB=120°，AD=8求OA的長(zhǎng)ODACBABCDEO7已知：如圖，AD是O的直徑，BC是O的弦，ADBC，垂足為點(diǎn)E，BC=8，AD=10求：（1）OE的長(zhǎng)；（2）B的正弦值8如圖所示，破殘的圓形輪片上，弦AB的垂直平分線交弧AB于點(diǎn)C，交弦AB于點(diǎn)D。已知：AB=24cm，CD=8cm（1）求作此殘片所在的圓（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；（2）求（1）中所作圓的半徑.1如圖

11、，AB是O的弦（非直徑），C、D是AB上的兩點(diǎn)，并且AC=BD。求證：OC=OD2如圖，是的弦，點(diǎn)D是弧AB中點(diǎn)，過(guò)B作AB的垂線交AD的延長(zhǎng)線于C求證：ADDC·3已知：如圖所示：是兩個(gè)同心圓，大圓的弦AB交小圓于CD，求證：AC=BD4如圖，AB、CD是O的弦，且AB=CD，OMAB，ONCD，垂足分別是點(diǎn)M、N， BA、DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P 求證：PA=PC5已知：如圖，點(diǎn)P是O外的一點(diǎn)，PB與O相交于點(diǎn)A、B，PD與O相交于C、D，AB=CD求證：（1）PO平分BPD；（2）PA=PC OPBACD6已知：如圖所示，點(diǎn)P是O外的一點(diǎn)，PB與O相交于點(diǎn)A、B，PD與O相交于C、

12、D，AB=CD.求證：（1）PA=PC；（2）ODCPAB知識(shí)點(diǎn)五：弧、弦、圓心角的關(guān)系（難點(diǎn)）圓心角：我們把頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角（拓展：圓心角的度數(shù)與所對(duì)弧的度數(shù)相等）如圖：哪個(gè)是圓心角？圓心角有什么主要特征？（7）（5）（4）弧、弦、圓心角之間的關(guān)系：定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等。結(jié)論：1、在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等。2、在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的優(yōu)弧相等、劣弧相等注意：不能忽略“在同圓或等圓中”這個(gè)前提條件，如果丟掉了這個(gè)前提條件，即使圓心角相等，所對(duì)的弧、弦也不一定相

13、等，例：環(huán)形規(guī)律總結(jié)：在同圓或等圓中，兩條?。ㄒ话阃瑸閮?yōu)弧或劣弧）、兩條弦、兩個(gè)圓心角中，只要有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量也分別相等例7：如圖所示,AB是圓O的弦,C、D為弦AB上的兩點(diǎn)，且OC=OD,延長(zhǎng)OC、OD分別交圓O于點(diǎn)E、F。 求證：弧AE=弧BF知識(shí)點(diǎn)六：圓周角（重點(diǎn)）（1） 圓周角必須具備兩個(gè)特征：第一，頂點(diǎn)在圓上；第二，兩邊都與圓相交。（2） 同一條弧所對(duì)的圓周角有無(wú)數(shù)個(gè)。圓心角與圓周角的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：圓心角：頂點(diǎn)在圓心，在同圓中，一條弧所對(duì)的圓心角是唯一的 圓周角：頂點(diǎn)在圓上，在同圓中，一條弧所對(duì)的圓周角有無(wú)數(shù)個(gè)聯(lián)系：兩邊都和圓相交知識(shí)點(diǎn)七：圓周角定理及其推論

14、（難點(diǎn)）定理：在同圓或等圓中，一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半推論：（1）同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等注意：“同弧或等弧”改為“同弦或等弦結(jié)論就不成立了，因?yàn)橐粭l弦所對(duì)的圓周角有兩個(gè)，它們相等或互補(bǔ)”（3） 半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑（此性質(zhì)介紹了一種常見(jiàn)的引輔助線的方法：有直徑，通常作直徑所對(duì)的圓周角；反過(guò)來(lái)，有90°的圓周角，通常作直徑）例8、O的半徑為1，AB是O的一條弦，且AB=，則弦AB所對(duì)圓周角為（ ）A、30° B、60° C、30°或150° D、60°或120&#

15、176;規(guī)律總結(jié)：（1）求一條弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)時(shí)，應(yīng)注意一條弦所對(duì)的圓周角有兩種情況。（2）在同圓或等圓中，一條弦兩側(cè)所對(duì)兩個(gè)圓周角的度數(shù)之和為180°。經(jīng)典例題：【例1】用直角鋼尺檢查某一工件是否恰好是半圓環(huán)形，根據(jù)圖形3-3-19所表示的情形，四個(gè)工件哪一個(gè)肯定是半圓環(huán)形？【例2】如圖，已知O中，AB為直徑，AB=10cm，弦AC=6cm，ACB的平分線交O于D，求BC、AD和BD的長(zhǎng)【例3】如圖所示，已知AB為O的直徑，AC為弦，ODBC，交AC于D，BC=4cm（1）求證：ACOD； （2）求OD的長(zhǎng)； （3）若2sinA1=0，求O的直徑【例4】四邊形ABCD中，ABD

16、C，BC=b，AB=AC=AD=a，如圖，求BD的長(zhǎng)【例5】如圖1，AB是半O的直徑，過(guò)A、B兩點(diǎn)作半O的弦，當(dāng)兩弦交點(diǎn)恰好落在半O上C點(diǎn)時(shí)，則有AC·ACBC·BC=AB2（1）如圖2，若兩弦交于點(diǎn)P在半O內(nèi)，則AP·ACBP·BD=AB2是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由（2）如圖3，若兩弦AC、BD的延長(zhǎng)線交于P點(diǎn)，則AB2=參照（1）填寫(xiě)相應(yīng)結(jié)論，并證明你填寫(xiě)結(jié)論的正確性鞏固練習(xí)：一、選擇題1下列說(shuō)法正確的是（ ） A、頂點(diǎn)在圓上的角是圓周角 B、兩邊都和圓相交的角是圓周角 C、圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)的一半 D、圓心角是圓周角的2倍2如圖2，A、B、C

17、三點(diǎn)都在O上，點(diǎn)D是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AOC=，則CBD的度數(shù)為（ ） A、 B、 C、 D、3在同圓中，同弦所對(duì)的圓周角（ ） A相等 B、互補(bǔ) C、相等或互補(bǔ) D、互余4銳角三角形ABC內(nèi)接于O，若OBC=，則A的度數(shù)為（ ） A、 B、 C、 D、5在O中，半徑為r=1，弦AB=，弦AC=，則BAC為（ ） A、 B、 C、或 D、或6如圖3，已知A、B、C、D、Q五點(diǎn)在O上，BD的度數(shù)為，則P+AQC等于（ ） A、 B、 C、 D、D·QBPACO圖3·OADBC圖2二、解答題1如圖所示，BC為直徑，G為半圓上任一點(diǎn)，A為弧BG中點(diǎn)，APBC于P，求證：AE=BE=EF·ABPEFGCO2.已知:如圖所示A、B、C、D、E為O上的點(diǎn)，且AB=BC=CD，求AED的度數(shù)·ABCDEO課后練習(xí)：一選擇題1如圖所示，內(nèi)接于O，AB=AC，弦AD和底邊BC交于點(diǎn)E，AC=6，AE=4，則AD等于（ ） A、10 B、9 C、8 D、2如圖3、一副三角板ABC和DEF的頂點(diǎn)都在同一圓上，則DA與EFC的度數(shù)·ABCD