1、212013061022年亮男數(shù)學（2013）2、煉油廠將 A、B、C 三種原料加工成甲乙丙三種汽油。一桶原油加工成汽油的費用為 4 元，每天至多能加工汽油 14，000 桶。原油的買入價、買入量、辛烷值、硫含量，及汽油的賣出價、 需求量、辛烷值、硫含量由下表給出。 問如何安排生產(chǎn)計劃， 在滿足需求的條件下使利潤最大？一般來說，作廣告可以增加銷售，估計一天向一種汽油投入一元廣告費，可以使這種汽油日銷量增加 10 桶。問如何安排生產(chǎn)計劃和廣告計劃使利潤最大？原油類別買入價（元/買入量（桶 /辛烷值（） 硫含量（）桶）天）A455000120.5B35500062.0C25500083.0汽油類別

2、賣出價（元 /需求量（桶 /辛烷值（） 硫含量（）桶）天）甲703000101.0乙60200081丙50100061.0符號說明：X1,X2,X3分別為 A類原油生產(chǎn)成甲，乙，丙三種汽油的量。Y1,Y2,Y3分別為 B類原油生產(chǎn)成甲，乙，丙三種汽油的量Z1,Z2,Z3 分別為 C類原油生產(chǎn)成甲，乙，丙三種汽油的量PA,PB,PC分別為甲，乙，丙三種汽油中投入廣告的花費一、 不考慮廣告投入時的模型求解：由以上述條件可知：PA=PB=PC=0;總利潤為：70*3000+60*2000+50*1000-45*(X1+X2+X3)-35*(Y1+Y2+Y3)-25*(Z1+Z2+Z3)-4*(X1+

3、X2+X3+Y1+Y2+Y3+Z1+Z2+Z3)針對買入量與總產(chǎn)量得條件：X1+X2+X3+Y1+Y2+Y3+Z1+Z2+Z314000;X1+X2+X35000;Y1+Y2+Y35000;Z1+Z2+Z35000;針對需求量得條件：X1+Y1+Z13000;X2+Y2+Z22000;X3+Y3+Z31000;針對辛烷值得條件：12%*X1+6%*Y1+8%*Z110%*(X1+Y1+Z1);12%*X2+6%*Y2+8%*Z22%*(X2+Y2+Z2);12%*X3+6%*Y3+8%*Z36%*(X3+Y3+Z3);針對硫含量得條件：0.5%*X1+2.0%*Y1+3.0%*Z11.0%*(

4、X1+Y1+Z1);0.5%*X2+2.0%*Y2+3.0%*Z20.8%*(X2+Y2+Z2);0.5%*X3+2.0%*Y3+3.0%*Z31.0%*(X3+Y3+Z3);X1,X2,X3，Y1,Y2,Y3,Z1,Z2,Z3均為非負整數(shù)；結(jié)果分析與檢驗利用 LING0 9.0 求解在上述四條件下利潤的最大值得：不考慮廣告投入時用LINGO 9.0 求解利潤最大值所用程序：max=70*3000+60*2000+50*1000-45*(X1+X2+X3)-35*(Y1+Y2+Y3)-25*(Z1+Z2+Z3)-4*(X1+X2+X3+Y1+Y2+Y3+Z1+Z2+Z3);X1+X2+X3+Y

5、1+Y2+Y3+Z1+Z2+Z3<=14000;X1+X2+X3<=5000;Y1+Y2+Y3<=5000;Z1+Z2+Z3<=5000;X1+Y1+Z1>=3000;X2+Y2+Z2>=2000;X3+Y3+Z3>=1000;0.12*X1+0.06*Y1+0.08*Z1>=0.10*(X1+Y1+Z1);0.12*X2+0.06*Y2+0.08*Z2>=0.02*(X2+Y2+Z2);0.12*X3+0.06*Y3+0.08*Z3>=0.06*(X3+Y3+Z3);0.005*X1+0.02*Y1+0.03*Z1<=0.01

6、*(X1+Y1+Z1);0.005*X2+0.02*Y2+0.03*Z2<=0.008*(X2+Y2+Z2);0.005*X3+0.02*Y3+0.03*Z3<=0.01*(X3+Y3+Z3);gin(X1);gin(X2);gin(X3);gin(Y1);gin(Y2);gin(Y3);gin(Z 1);gin(Z2);gin(Z3);直接求解結(jié)果：Global optimal solution found.Objective value: 110000.0Total solver iterations: 6Variable Value Reduced Cost X1 2400.

7、000 0.000000 X2 1600.000 0.000000 X3 800.0000 0.000000 Y1 0.000000 2.000000 Y2 0.000000 2.000000 Y3 0.000000 2.000000 Z1 600.0000 0.000000 Z2 400.0000 0.000000 Z3 200.0000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price 1 110000.0 1.000000 2 80 00.000 0.000000 3 200.0000 0.000000 4 5000.000 0.000000 5 3 800

8、.000 0.000000 6 0.000000 -45.00000 7 0.000000 -45.00000 8 0.000000 -45.00000 9 36.00000 0.000000 10 184.0000 0.000000 11 52.00000 0.000000 12 0.000000 800.0000 13 0.000000 800.0000 14 0.000000 800.0000當 X1=2400,X2=1600, X3=800,Z1=600,Z2=400,Z3=200, 其余變量值為 0；即用 A 類原油生產(chǎn) 2400 桶甲類汽油，生產(chǎn) 1600 桶乙類石油，生產(chǎn) 800

9、 桶丙類石油，用 C類原油生產(chǎn) 600 桶甲類汽油，用 C類原油生產(chǎn) 400 桶乙類汽油，用 C類原油生產(chǎn) 200 桶丙類汽油時， 總利潤達到最大值為 110000 元。二、考慮廣告投入時的模型求解：對甲、乙、丙三種汽油的廣告投入分別設(shè)為PA、PB、PC.總利潤變 :70*(3000+10*PA)+60*(2000+10*PB)+50*(1000+10*PC)-45*(X1+X2+X3)-35*(Y1+Y2+Y3)-25*(Z1+Z2+Z3)- 4*(X1+X2+X3+Y1+Y2+Y3+Z1+Z2+Z3)-PA-PB-PC;針對需求量得到的條件變?yōu)椋篨1+Y1+Z13000+10*PA;X2+

10、Y2+Z22000+10*PB;X3+Y3+Z31000+10*PC;其余條件與不考慮廣告投入時相同.結(jié)果分析與檢驗利用 LING0 9.0 求解在上述條件下利潤的最大值得：考慮廣告投入時利用LINGO 9.0 求解利潤最大值所用程序：max=70*(3000+10*PA)+60*(2000+10*PB)+50*(1000+10*PC)-45 *(X1+X2+X3)-35*(Y1+Y2+Y3)-25*(Z1+Z2+Z3)- 4*(X1+X2+X3+Y1+Y2+Y3+Z1+Z2+Z3)-PA-PB-PC;X1+X2+X3+Y1+Y2+Y3+Z1+Z2+Z3<=14000;X1+X2+X3&

11、lt;=5000;Y1+Y2+Y3<=5000;Z1+Z2+Z3<=5000;X1+Y1+Z1>=3000+10*PA;X2+Y2+Z2>=2000+10*PB;X3+Y3+Z3>=1000+10*PC;0.12*X1+0.06*Y1+0.08*Z1>=0.10*(X1+Y1+Z1);0.12*X2+0.06*Y2+0.08*Z2>=0.02*(X2+Y2+Z2);0.12*X3+0.06*Y3+0.08*Z3>=0.06*(X3+Y3+Z3);0.005*X1+0.02*Y1+0.03*Z1<=0.01*(X1+Y1+Z1);0.005*

12、X2+0.02*Y2+0.03*Z2<=0.008*(X2+Y2+Z2);0.005*X3+0.02*Y3+0.03*Z3<=0.01*(X3+Y3+Z3);gin(X1);gin(X2);gin(X3);gin(Y1);gin(Y2);gin(Y3);gin(Z 1);gin(Z2);gin(Z3);直接求解結(jié)果：Global optimal solution found.Objective value: 129959.1Extended solver steps: 0Total solver iterations: 18Variable Value Reduced Cost P

13、A 109.9000 0.000000 PB 0.00 0000 0.000000 PC 0.000000 0.000000 X1 2733.000 -20.90000 X2 1600.000 -10.90000 X3 667.0000 -0.9000000 Y1 1366.000 -30.90000 Y2 400.0000 -20.90000 Y3 333.0000 -10.90000 Z1 0.000000 -40.90000 Z2 0.000000 -30.90000 Z3 0.000000 -20.90000Row Slack or Surplus Dual Price 1 12995

14、9.1 1.000000 2 69 01.000 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 2901.000 0.000000 5 5 000.000 0.000000 6 0.000000 -69.90000當 PA=109,PB=0,PC=0,X1=2733,X2=1600,X3=667,Y1=1366,Y2=400, Y3=333,即對甲類汽油投入廣告費 109 元，對乙 , 丙類汽油不投入廣告費，同時用 A 類原油生產(chǎn)甲類汽油 2733 桶，生產(chǎn)乙類汽油 1600 桶，生產(chǎn)丙汽油 667 桶，用 B 類原油生產(chǎn)甲類汽油 1366 桶，生產(chǎn)乙類汽油 400 桶，生產(chǎn)丙

15、類汽油 333 桶，不用 C類原油時，總利潤可得最大為 129959.1 元.3. 要設(shè)計和發(fā)射一個帶有 X 射線望遠鏡和其他科學儀器的氣球。 對于性能的粗糙的度量方法是以氣球所能到達的高度和所攜帶儀器的重量來表達，很清楚，高度本身是氣球體積的一個函數(shù)。根據(jù)過去的經(jīng)驗作出的結(jié)論，是求極大滿意性能函數(shù)Pf (V ,W )100V0.3V 280W0.2W 2 ，此處 V 是體積，w 是儀器重量。承包項目的預算限額為1040 美元，與體積 v 有關(guān)的費用是 2v，與設(shè)備有關(guān)的費用是4W，為了保證在高度方面的性能與科學設(shè)備方面的性能之間合理平衡，設(shè)計者要滿足約束條件80W100W，找出由體積和設(shè)備重

16、量來表達的最優(yōu)設(shè)計，并用線性化方法求解。解：由題意可以問題的V 和 W 應(yīng)滿足的約束條件為s.t.然后求解目標函數(shù)Pf (V ,W )100V0.3V 280W0.2W 2 的最大值。我們可以用非線性規(guī)劃的線性逼近的方法將目標函數(shù)轉(zhuǎn)化成近似的線性函數(shù)然后用線性規(guī)劃的求解的方法即可得出結(jié)果。根據(jù)題意建立模型：Max f = 100-0.3+80W-0.2s.t.設(shè)置變量為：體積 V：x1設(shè)備重量 W ：x2模型求解的 Matlab 程序如下：（1）建立非線性目標函數(shù)文件functionf=qiqiu01(x)f=0.3*x(1)2-100*x(1)+0.2*x(2)2-80*x(2);(2) 建

17、立主程序求解x0=1;1;A=1,2;5,-4;b=520;0;Aeq=;beq=;vlb=0;0; vub=;x,fval=fmincon('qiqiu01',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);xfval%求出的結(jié)果為：x =148.5714185.7143fval =1.6194e+004由上可知體積 V 為 148.5714，重量為 185,7143 時為最優(yōu)的設(shè)計。4. 某廠向用戶提供發(fā)動機，合同規(guī)定，第一、二、三季度末分別交貨40 臺、 60 臺、 80 臺每季度的生產(chǎn)費用為f ( x)axbx 2 （元），其中 x 是該季生產(chǎn)的臺數(shù)若交貨后有剩余，可用

18、于下季度交貨，但需支付存儲費，每臺每季度 c 元已知工廠每季度最大生產(chǎn)能力為 100臺，第一季度開始時無存貨，設(shè)a=50、b=0.2 、c=4，問工廠應(yīng)如何安排生產(chǎn)計劃，才能既滿足合同又使總費用最低解：分析：問題的關(guān)鍵在于由于工廠的生產(chǎn)能力足以滿足每個季度用戶的需求，但是為了使總費用最少， 那么利用每個季度生產(chǎn)費用的不同，可用利用上個生產(chǎn)費用低的季度多生產(chǎn)來為下個季度進行準備， 前提是本月節(jié)省下的費用減去總的發(fā)動機存儲費用還有剩余， 這樣生產(chǎn)才有價值，才可能滿足合同的同時又能使總費用最低。基本假設(shè)：1 、工廠的生產(chǎn)能力不受外界環(huán)境因素影響。2 、為使總費用最低，又能滿足合同要求，各個季度之間的生產(chǎn)數(shù)量之間是有聯(lián)系的。3 、第一季度開始時無存貨。4 、工廠每季度的生關(guān)費用與本季度生產(chǎn)的發(fā)動機臺數(shù)有關(guān)。5 、生產(chǎn)要按定單的數(shù)量來進行， 生產(chǎn)的數(shù)量應(yīng)和訂單的數(shù)量相同，以避免生產(chǎn)出無用的機器。符號規(guī)定：X1第一季度生產(chǎn)發(fā)動機的數(shù)量X2 第二季度生產(chǎn)發(fā)動機的數(shù)量X3第三季度生產(chǎn)發(fā)動機的數(shù)量建模：1、三個季度發(fā)動機的總的生產(chǎn)量為180 臺。2、每個季度的生產(chǎn)量和庫存機器的數(shù)量