1、【中考展望】閱讀理解型問(wèn)題在近幾年的全國(guó)中考試題中頻頻“亮相”，應(yīng)該特別引起我們的重視. 它由兩部分組成：一是閱讀材料；二是考查內(nèi)容它要求學(xué)生根據(jù)閱讀獲取的信息回答問(wèn)題提供的閱讀材料主要包括：一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念的形成和應(yīng)用過(guò)程，或一個(gè)新的數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)與應(yīng)用，或提供新聞背景材料等考查內(nèi)容既有考查基礎(chǔ)的，又有考查自學(xué)能力和探索能力等綜合素質(zhì)的這類問(wèn)題一般文字?jǐn)⑹鲚^長(zhǎng)，信息量較大，內(nèi)容豐富，超越常規(guī)，源于課本，又高于課本，各種關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，不僅能考查同學(xué)們閱讀題中文字獲取信息的能力，還能考查同學(xué)們獲取信息后的抽象概括能力、建模能力、決策判斷能力等.同時(shí)，更能夠綜合考查同學(xué)們的數(shù)學(xué)意識(shí)和數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用能

2、力.【方法點(diǎn)撥】題型特點(diǎn)：先給出一段材料，讓學(xué)生理解，再設(shè)立新的數(shù)學(xué)概念，新概念的解答可以借鑒前面材料的結(jié)論或思想方法解題策略：從給的材料入手，通過(guò)理解分析本材料的內(nèi)容，捕捉已知材料的信息，靈活應(yīng)用這些信息解決新材料的問(wèn)題解決閱讀理解問(wèn)題的關(guān)鍵是要認(rèn)真仔細(xì)地閱讀給定的材料，弄清材料中隱含了什么新的數(shù)學(xué)知識(shí)、結(jié)論，或揭示了什么數(shù)學(xué)規(guī)律，或暗示了什么新的解題方法，然后依題意進(jìn)行分析、比較、綜合、抽象和概括，或用歸納、演繹、類比等進(jìn)行計(jì)算或推理論證，并能準(zhǔn)確地運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言闡述自己的思想、方法、觀點(diǎn)展開(kāi)聯(lián)想，將獲得的新信息、新知識(shí)、新方法進(jìn)行遷移，建模應(yīng)用，解決題目中提出的問(wèn)題. 閱讀理解題一般可分為

3、如下幾種類型： (1)方法模擬型通過(guò)閱讀理解，模擬提供材料中所述的過(guò)程方法，去解決類似的相關(guān)問(wèn)題； (2)判斷推理型通過(guò)閱讀理解，對(duì)提供的材料進(jìn)行歸納概括；按照對(duì)材料本質(zhì)的理解進(jìn)行推理，作出解答； (3)遷移發(fā)展型從提供的材料中，通過(guò)閱讀，理解其采用的思想方法，將其概括抽象成數(shù)學(xué)模型去解決類同或更高層次的另一個(gè)相關(guān)命題【典型例題】類型一、閱讀試題提供新定義、新定理，解決新問(wèn)題1閱讀材料：例：說(shuō)明代數(shù)式的幾何意義，并求它的最小值解：=，如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)P（x，0）是x軸上一點(diǎn)，則可以看成點(diǎn)P與點(diǎn)A（0，1）的距離，可以看成點(diǎn)P與點(diǎn)B（3，2）的距離，所以原代數(shù)式的值可以看成線段PA與

4、PB長(zhǎng)度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A，則PA=PA，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA+PB的最小值，而點(diǎn)A、B間的直線段距離最短，所以PA+PB的最小值為線段AB的長(zhǎng)度為此，構(gòu)造直角ACB，因?yàn)锳C=3，CB=3，所以AB=3，即原式的最小值為3根據(jù)以上閱讀材料，解答下列問(wèn)題：（1）代數(shù)式的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P（x，0）與點(diǎn)A（1，1）、點(diǎn)B的距離之和（填寫(xiě)點(diǎn)B的坐標(biāo)）（2）代數(shù)式的最小值為【思路點(diǎn)撥】（1）先把原式化為的形式，再根據(jù)題中所給的例子即可得出結(jié)論；（2）先把原式化為的形式，故得出所求代數(shù)式的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P（x，0

5、）與點(diǎn)A（0，7）、點(diǎn)B（6，1）的距離之和，然后在坐標(biāo)系內(nèi)描出各點(diǎn)，利用勾股定理得出結(jié)論即可【答案與解析】解：（1）原式化為的形式，代數(shù)式的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P（x，0）與點(diǎn)A（1，1）、點(diǎn)B（2，3）的距離之和，故答案為（2，3）；（2）原式化為的形式，所求代數(shù)式的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P（x，0）與點(diǎn)A（0，7）、點(diǎn)B（6，1）的距離之和，如圖所示：設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A，則PA=PA，PA+PB的最小值，只需求PA+PB的最小值，而點(diǎn)A、B間的直線段距離最短，PA+PB的最小值為線段AB的長(zhǎng)度，A（0，7），B（6，1）A（0，-7），AC=6，BC=8，AB=10

6、，故答案為：10【總結(jié)升華】本題考查的是軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題中所給給的材料畫(huà)出圖形，再利用數(shù)形結(jié)合求解類型二、閱讀試題信息，歸納總結(jié)提煉數(shù)學(xué)思想方法2閱讀材料：（1）對(duì)于任意兩個(gè)數(shù)a、b的大小比較，有下面的方法：當(dāng)a-b0時(shí)，一定有ab；當(dāng)a-b=0時(shí)，一定有a=b；當(dāng)a-b0時(shí)，一定有ab反過(guò)來(lái)也成立因此，我們把這種比較兩個(gè)數(shù)大小的方法叫做“求差法”（2）對(duì)于比較兩個(gè)正數(shù)a、b的大小時(shí)，我們還可以用它們的平方進(jìn)行比較：a2-b2=（a+b）（a-b），a+b0，（a2-b2）與（a-b）的符號(hào)相同.當(dāng)a2-b20時(shí)，a-b0，得ab；當(dāng)a2-b2=0時(shí)，a-b=0，得a

7、=b；當(dāng)a2-b20時(shí)，a-b0，得ab.解決下列實(shí)際問(wèn)題：（1）課堂上，老師讓同學(xué)們制作幾種幾何體，張麗同學(xué)用了3張A4紙，7張B5紙；李明同學(xué)用了2張A4紙，8張B5紙?jiān)O(shè)每張A4紙的面積為x，每張B5紙的面積為y，且xy，張麗同學(xué)的用紙總面積為W1，李明同學(xué)的用紙總面積為W2回答下列問(wèn)題：W1=（用x、y的式子表示）；W2=（用x、y的式子表示）；請(qǐng)你分析誰(shuí)用的紙面積更大（2）如圖1所示，要在燃?xì)夤艿纋上修建一個(gè)泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣，已知A、B到l的距離分別是3km、4km（即AC=3km，BE=4km），AB=xkm，現(xiàn)設(shè)計(jì)兩種方案：方案一：如圖2所示，APl于點(diǎn)P，泵站修建在點(diǎn)P

8、處，該方案中管道長(zhǎng)度a1=AB+AP方案二：如圖3所示，點(diǎn)A與點(diǎn)A關(guān)于l對(duì)稱，AB與l相交于點(diǎn)P，泵站修建在點(diǎn)P處，該方案中管道長(zhǎng)度a2=AP+BP在方案一中，a1=km（用含x的式子表示）；在方案二中，a2=km（用含x的式子表示）；請(qǐng)你分析要使鋪設(shè)的輸氣管道較短，應(yīng)選擇方案一還是方案二【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)題意得出3x+7y和2x+8y，即得出答案；求出W1-W2=x-y，根據(jù)x和y的大小比較即可；（2）把AB和AP的值代入即可；過(guò)B作BMAC于M，求出AM，根據(jù)勾股定理求出BM再根據(jù)勾股定理求出BA，即可得出答案；求出a12-a22=6x-39，分別求出6x-390，6x-39=0，6x

9、-390，即可得出答案【答案與解析】（1）解：W1=3x+7y，W2=2x+8y，故答案為：3x+7y，2x+8y       解：W1-W2=（3x+7y）-（2x+8y）=x-y，xy，x-y0，W1-W20，得W1W2，所以張麗同學(xué)用紙的總面積更大 （2）解：a1=AB+AP=x+3，故答案為：x+3          解：過(guò)B作BMAC于M， 則AM=4-3=1，在ABM中，由勾股定理得：BM2=AB2-12

10、=x2-1，在AMB中，由勾股定理得：AP+BP=AB=，故答案為：解：a12-a22=（x+3）2-（）2=x2+6x+9-（x2+48）=6x-39，當(dāng)a12-a220（即a1-a20，a1a2）時(shí)，6x-390，解得x6.5，當(dāng)a12-a22=0（即a1-a2=0，a1=a2）時(shí)，6x-39=0，解得x=6.5，當(dāng)a12-a220（即a1-a20，a1a2）時(shí)，6x-390，解得x6.5，綜上所述，當(dāng)x6.5時(shí)，選擇方案二，輸氣管道較短，當(dāng)x=6.5時(shí)，兩種方案一樣，當(dāng)0x6.5時(shí)，選擇方案一，輸氣管道較短【總結(jié)升華】本題考查了勾股定理，軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題，整式的運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，通過(guò)

11、做此題培養(yǎng)了學(xué)生的計(jì)算能力和閱讀能力，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目舉一反三：【變式】如圖所示，正方形ABCD和正方形EFGH的邊長(zhǎng)分別為和，對(duì)角線BD、FH都在直線上，O1、O2分別是正方形的中心，線段O1O2的長(zhǎng)叫做兩個(gè)正方形的中心距當(dāng)中心O在直線 上平移時(shí)，正方形 EFGH也隨之平移，在平移時(shí)正方形EFGH的形狀、大小沒(méi)有改變（1）計(jì)算：O1D=_，O2F=_；（2）當(dāng)中心O2在直線 上平移到兩個(gè)正方形只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，中心距O1 O2 =_.（3）隨著中心 O2在直線 上的平移，兩個(gè)正方形的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)還有哪些變化？并求出相對(duì)應(yīng)的中心距的值或取值范圍（不必寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程）【答案

12、】（1）O1D=2，O2F=1；（2）O1 O2 =3；（3）當(dāng)O1 O23或0O1 O21時(shí)，兩個(gè)正方形無(wú)公共點(diǎn)；當(dāng)O1 O2=1時(shí)，兩個(gè)正方形有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)1O1 O23時(shí)，兩個(gè)正方形有2個(gè)公共點(diǎn)類型三、閱讀相關(guān)信息，通過(guò)歸納探索，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論3（2016無(wú)錫一模）已知：如圖正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AB和BC上的點(diǎn)，且滿足BE=CF（1）不用圓規(guī)，請(qǐng)只用不帶刻度的直尺作圖：在邊CD和DA上分別作出點(diǎn)G和點(diǎn)H，使DG=AH=BE=CF（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）（2）在（1）的條件下，當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上的何處時(shí)，能使S四邊形EFGH：S四邊形ABCD=5：8，并說(shuō)明理由（

13、3）如圖：正六邊形ABCDEF中，點(diǎn)A、B、C、D、E、F分別是邊AB、BC、CD、DE、EF、FA上的點(diǎn)，且AA=BB=CC=DD=EE=FF設(shè)AA：AB=1：3，則S六邊形ABCDEF：S六邊形ABCDEF=；設(shè)AA：AB=k，求S六邊形ABCDEF：S六邊形ABCDEF的值（用含k的代數(shù)式表示）【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)正方形是中心對(duì)稱圖形作圖即可；（2）設(shè)BE=CF=x，根據(jù)勾股定理表示出EF，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可；（3）作BHAB交AB的延長(zhǎng)線于H，設(shè)AA=a，根據(jù)題意表示出AB，利用三角函數(shù)的定義表示出BH和BH，根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)計(jì)算即可；

14、設(shè)AA=k，利用的思路進(jìn)行解答即可【答案與解析】解：（1）如圖1所示：DG=AH=BE=CF；（2）設(shè)BE=CF=x，BC=y，則BF=yx，由勾股定理得，EF2=BE2+BF2=x2+（yx）2=2x22xy+y2，S四邊形EFGH：S四邊形ABCD=5：8，（2x22xy+y2）：（y2）=5：8，則2（）22×+=0，解得，=，=，當(dāng)BE=AB或BE=AB時(shí)，S四邊形EFGH：S四邊形ABCD=5：8；（3）如圖3，作BHAB交AB的延長(zhǎng)線于H，設(shè)AA=a，則AB=3a，AB=4a，BB=a，六邊形ABCDEF為正六邊形，ABC=120°，BBH=60°，B

15、H=a，BH=a，AB=a，=，S六邊形ABCDEF：S六邊形ABCDEF=13：16，故答案為：13：16；AA：AB=k，設(shè)AA=k，則AB=1，則BH=k，BH=k，AB=，AB=1+k，S六邊形ABCDEF：S六邊形ABCDEF=（）2=【總結(jié)升華】本題考查的是正方形和正六邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握正方形是中心對(duì)稱圖形、正確求出正六邊形的內(nèi)角的度數(shù)、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵舉一反三：【變式】（2015秋鄒城市期中）閱讀材料大數(shù)學(xué)家高新在上學(xué)時(shí)，曾經(jīng)研究過(guò)這樣一個(gè)問(wèn)題：1+2+3+4+5+100=？經(jīng)過(guò)研究，這個(gè)問(wèn)題的一般性結(jié)論是：1+2+3+4+5+n=n（n

16、+1），其中n是正整數(shù)現(xiàn)在我們來(lái)研究一個(gè)類似的問(wèn)題：1×2+2×3+3×4+4×5×+n（n+1）=？觀察下面三個(gè)特殊的等式：1×2=2×3×如果將這三個(gè)等式的兩邊相加，你會(huì)有怎樣的發(fā)現(xiàn)呢？解決問(wèn)題要求：直接在橫線上寫(xiě)出結(jié)果（式子或數(shù)值），不必寫(xiě)過(guò)程（1）將材料中的三個(gè)特殊的等式兩邊相加，可以得到：1×2+2×3+3×4=；（2）探究并計(jì)算：1×2+2×3+3×4+4×5+20×21=；1×2+2×3+3×

17、4+4×5+n（n+1）= .【答案】解：（1）三式相加得：1×2+2×3+3×4=（1×2×30×1×2+2×3×41×2×3+3×4×52×3×4）=×3×4×5；（2）歸納總結(jié)得：原式=×20×21×22；原式=n（n+1）（n+2）故答案為：（1）×3×4×5；（2）×20×21×22；n（n+1）（n+2）類

18、型四、閱讀試題信息，借助已有數(shù)學(xué)思想方法解決新問(wèn)題4已知：如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90°，AD=2，BC=6，AB=3E為BC邊上一點(diǎn)，以BE為邊作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同側(cè)（1）當(dāng)正方形的頂點(diǎn)F恰好落在對(duì)角線AC上時(shí)，求BE的長(zhǎng)；（2）將（1）問(wèn)中的正方形BEFG沿BC向右平移，記平移中的正方形BEFC為正方形BEFG，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)停止平移設(shè)平移的距離為t，正方形BEFG的邊EF與AC交于點(diǎn)M，連接BD，BM，DM，是否存在這樣的t，使BDM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在（2）問(wèn)的平移過(guò)程中，

19、設(shè)正方形BEFG與ADC重疊部分的面積為S，請(qǐng)直接寫(xiě)出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式以及自變量t的取值范圍【思路點(diǎn)撥】（1）首先設(shè)正方形BEFG的邊長(zhǎng)為x，易得AGFABC，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得BE的長(zhǎng)；（2）首先利用MECABC與勾股定理，求得BM，DM與BD的平方，然后分別從若DBM=90°，則DM2=BM2+BD2，若DBM=90°，則DM2=BM2+BD2，若BDM=90°，則BM2=BD2+DM2去分析，即可得到方程，解方程即可求得答案；（3）分別從當(dāng)0t時(shí)，當(dāng)t2時(shí)，當(dāng)2t時(shí)，當(dāng)t4時(shí)去分析求解即可求得答案【答案與解析】解：（1）如圖，設(shè)正方

20、形BEFG的邊長(zhǎng)為x， 則BE=FG=BG=x，AB=3，BC=6，AG=AB-BG=3-x，GFBE，AGFABC，即，解得：x=2，即BE=2.（2）存在滿足條件的t，理由：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DHBC于H，則BH=AD=2，DH=AB=3，由題意得：BB=HE=t，HB=|t-2|，EC=4-t，EFAB，MECABC，即，ME=2-t，在RtBME中，BM2=ME2+BE2=22+（2-t）2=t2-2t+8，在RtDHB中，BD2=DH2+BH2=32+（t-2）2=t2-4t+13，過(guò)點(diǎn)M作MNDH于N，則MN=HE=t，NH=ME=2-t，DN=DH-NH=3-（2-t）=t+1，在R

21、tDMN中，DM2=DN2+MN2=t2+t+1，（）若DBM=90°，則DM2=BM2+BD2，即t2+t+1=（t2-2t+8）+（t2-4t+13），解得：t=，（）若BMD=90°，則BD2=BM2+DM2，即t2-4t+13=（t2-2t+8）+（t2+t+1），解得：t1=-3+，t2=-3-（舍去），t=-3+；（）若BDM=90°，則BM2=BD2+DM2，即：t2-2t+8=（t2-4t+13）+（t2+t+1），此方程無(wú)解，綜上所述，當(dāng)t=或-3+時(shí)，BDM是直角三角形；（3）如圖，當(dāng)F在CD上時(shí)，EF：DH=CE：CH，即2：3=CE：4，C

22、E=，t=BB=BC-BE-EC=6-2-=，ME=2-t，F(xiàn)M=t，當(dāng)0t時(shí)，S=SFMN=×t×t=t2，如圖，當(dāng)G在AC上時(shí)，t=2，EK=ECtanDCB=EC=（4-t）=3-t，F(xiàn)K=2-EK=t-1，NL=AD=，F(xiàn)L=t-，當(dāng)t2時(shí)，S=SFMN-SFKL=t2-（t-）（t-1）=-t2+t-；如圖，當(dāng)G在CD上時(shí)，BC：CH=BG：DH，即BC：4=2：3，解得：BC=，EC=4-t=BC-2=，t=，BN=BC=（6-t）=3-t，GN=GB-BN=t-1，當(dāng)2t時(shí)，S=S梯形GNMF-SFKL=×2×（t-1+t）-（t-）（t-

23、1）=-t2+2t-，如圖，當(dāng)t4時(shí)，BL=BC=（6-t），EK=EC=（4-t），BN=BC=（6-t）EM=EC=（4-t），S=S梯形MNLK=S梯形BEKL-S梯形BEMN=-t+綜上所述：當(dāng)0t時(shí)，S=t2，當(dāng)t2時(shí)，S=-t2+t-；當(dāng)2t時(shí)，S=-t2+2t-，當(dāng)t4時(shí)，S=-t+【總結(jié)升華】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、直角梯形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)此題難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想、方程思想與分類討論思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法5閱讀理解如圖1，ABC中，沿BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重復(fù)部分；將余

24、下部分沿BnAnC的平分線AnBn+1折疊，點(diǎn)Bn與點(diǎn)C重合，無(wú)論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，BAC是ABC的好角小麗展示了確定BAC是ABC的好角的兩種情形情形一：如圖2，沿等腰三角形ABC頂角BAC的平分線AB1折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合；情形二：如圖3，沿BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿B1A1C的平分線A1B2折疊，此時(shí)點(diǎn)B1與點(diǎn)C重合探究發(fā)現(xiàn):（1）ABC中，B=2C，經(jīng)過(guò)兩次折疊，BAC是不是ABC的好角？（填“是”或“不是”）（2）小麗經(jīng)過(guò)三次折疊發(fā)現(xiàn)了BAC是ABC的好角，請(qǐng)?zhí)骄緽與C（不妨設(shè)BC）之間的等量關(guān)系根據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過(guò)n次折疊BAC是ABC

25、的好角，則B與C（不妨設(shè)BC）之間的等量關(guān)系為應(yīng)用提升（3）小麗找到一個(gè)三角形，三個(gè)角分別為15°、60°、105°，發(fā)現(xiàn)60°和105°的兩個(gè)角都是此三角形的好角請(qǐng)你完成，如果一個(gè)三角形的最小角是4°，試求出三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)，使該三角形的三個(gè)角均是此三角形的好角【思路點(diǎn)撥】（1）在小麗展示的情形二中，如圖3，根據(jù)三角形的外角定理、折疊的性質(zhì)推知B=2C；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)、根據(jù)三角形的外角定理知A1A2B2=C+A2B2C=2C；根據(jù)四邊形的外角定理知BAC+2B-2C=180°，根據(jù)三角形ABC的內(nèi)角和定理知BA

26、C+B+C=180°，由可以求得B=3C；利用數(shù)學(xué)歸納法，根據(jù)小麗展示的三種情形得出結(jié)論：B=nC；（3）利用（2）的結(jié)論知B=nC，BAC是ABC的好角，C=nA，ABC是ABC的好角，A=nB，BCA是ABC的好角；然后三角形內(nèi)角和定理可以求得另外兩個(gè)角的度數(shù)可以是88°、88°【答案與解析】解：（1）ABC中，B=2C，經(jīng)過(guò)兩次折疊，BAC是ABC的好角；理由如下：小麗展示的情形二中，如圖3，沿BAC的平分線AB1折疊，B=AA1B1；又將余下部分沿B1A1C的平分線A1B2折疊，此時(shí)點(diǎn)B1與點(diǎn)C重合，A1B1C=C；AA1B1=C+A1B1C（外角定理），

27、B=2C；故答案是：是； （2）B=3C；如圖所示，在ABC中，沿BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重復(fù)部分，將余下部分沿B2A2C的平分線A2B3折疊，點(diǎn)B2與點(diǎn)C重合，則BAC是ABC的好角證明如下：根據(jù)折疊的性質(zhì)知，B=AA1B1，C=A2B2C，A1 B1C=A1A2B2，根據(jù)三角形的外角定理知，A1A2B2=C+A2B2C=2C；根據(jù)四邊形的外角定理知，BAC+B+AA1B1-A1 B1C=BAC+2B-2C=180°，根據(jù)三角形ABC的內(nèi)角和定理知，BAC+B+C=180°，B=3C；由小

28、麗展示的情形一知，當(dāng)B=C時(shí)，BAC是ABC的好角；由小麗展示的情形二知，當(dāng)B=2C時(shí)，BAC是ABC的好角；由小麗展示的情形三知，當(dāng)B=3C時(shí)，BAC是ABC的好角；故若經(jīng)過(guò)n次折疊BAC是ABC的好角，則B與C（不妨設(shè)BC）之間的等量關(guān)系為B=nC；（3）由（2）知，B=nC，BAC是ABC的好角，C=nA，ABC是ABC的好角，A=nB，BCA是ABC的好角，如果一個(gè)三角形的最小角是4°，三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°【總結(jié)升華】本題考查了翻折變換（折疊問(wèn)題）解答此題時(shí)，充分利用了三角形內(nèi)角和定理、

29、三角形外角定理以及折疊的性質(zhì),難度較大舉一反三：【高清課堂：閱讀理解型問(wèn)題 例3】【變式】閱讀以下短文，然后解決下列問(wèn)題：如果一個(gè)三角形和一個(gè)矩形滿足條件：三角形的一邊與矩形的一邊重合，且三角形的這邊所對(duì)的頂點(diǎn)在矩形這邊的對(duì)邊上，則稱這樣的矩形為三角形的“友好矩形”. 如圖8所示，矩形ABEF即為ABC的“友好矩形”.顯然，當(dāng)ABC是鈍角三角形時(shí)，其“友好矩形”只有一個(gè).(1) 仿照以上敘述，說(shuō)明什么是一個(gè)三角形的“友好平行四邊形”；(2) 如圖，若ABC為直角三角形，且C=90°，在圖中畫(huà)出ABC的所有“友好矩形”，并比較這些矩形面積的大?。?3) 若ABC是銳角三角形，且BCAC

30、AB，在圖中畫(huà)出ABC的所有“友好矩形”，指出其中周長(zhǎng)最小的矩形并加以證明.【答案】(1) 如果一個(gè)三角形和一個(gè)平行四邊形滿足條件：三角形的一邊與平行四邊形的一邊重合，三角形這邊所對(duì)的頂點(diǎn)在平行四邊形這邊的對(duì)邊上，則稱這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四邊形”. (2) 此時(shí)共有2個(gè)友好矩形，如圖中的矩形BCAD、ABEF.易知，矩形BCAD、ABEF的面積都等于ABC面積的2倍，ABC的“友好矩形”的面積相等. (3) 此時(shí)共有3個(gè)友好矩形，如圖的矩形BCDE、CAFG及ABHK，其中矩形ABHK的周長(zhǎng)最小 . 證明如下：易知，這三個(gè)矩形的面積相等，令其為S. 設(shè)矩形BCDE、CAFG及A

31、BHK的周長(zhǎng)分別為L(zhǎng)1，L2，L3，ABC的邊長(zhǎng)BC=a，CA=b，AB=c，則L1=+2a，L2=+2b，L3=+2c .L1-L2=(+2a)-(+2b)=2(a-b)，而abS，ab，L1-L20，即L1L2 .同理可得，L2L3 .L3最小，即矩形ABHK的周長(zhǎng)最小.【鞏固練習(xí)】一、選擇題1.（2016江西模擬）已知二次函數(shù)y=x2（m1）xm，其中m0，它的圖象與x軸從左到右交于R和Q兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)P，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)下列判斷中不正確的是（）A方程x2（m1）xm=0一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B點(diǎn)R的坐標(biāo)一定是（1，0）CPOQ是等腰直角三角形D該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸在直線x=1的左

32、側(cè)2若一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角(0°180°)后能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形例如：等邊三角形繞著它的中心旋轉(zhuǎn)120°(如圖所示)能夠與原來(lái)的等邊三角形重合，因而等邊三角形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形顯然，中心對(duì)稱圖形都是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，但旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形不一定是中心對(duì)稱圖形下面圖所示的圖形中，是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的有( )A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)二、填空題3閱讀下列材料 ，并解決后面的問(wèn)題 在銳角ABC中，A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c過(guò)A作ADBC于D(如圖)，則sinB=，sinC=，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，

33、即 同理有， 所以(*)即：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等在銳角三角形中，若已知三個(gè)元素a、b、A，運(yùn)用上述結(jié)論(*)和有關(guān)定理就可以求出其余三個(gè)未知元素c、B、C，請(qǐng)你按照下列步驟填空，完成求解過(guò)程： 第一步：由條件a、b、A B； 第二步：由條件 A、BC；第三步：由條件c4（榆樹(shù)市期末）我們知道，在平面內(nèi)，如果一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度后能與自身重合，那么就稱這個(gè)圖形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，轉(zhuǎn)的這個(gè)角稱為這個(gè)圖形的一個(gè)旋轉(zhuǎn)角例如，正方形繞著它的對(duì)角線的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°后能與自身重合所以正方形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，它有一個(gè)旋轉(zhuǎn)角為90°（1）判斷下列說(shuō)法是否正確（

34、在相應(yīng)橫線里填上“對(duì)”或“錯(cuò)”）正五邊形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，它有一個(gè)旋轉(zhuǎn)角為144°長(zhǎng)方形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，它有一個(gè)旋轉(zhuǎn)角為180°（2）填空：下列圖形中時(shí)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，且有一個(gè)旋轉(zhuǎn)角為120°的是（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）正三角形 正方形 正六邊形 正八邊形（3）寫(xiě)出兩個(gè)多邊形，它們都是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，都有一個(gè)旋轉(zhuǎn)角為72°，其中一個(gè)是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形；另一個(gè)既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形 .（寫(xiě)在橫線上）三、解答題5. 閱讀材料：為解方程，我們可以將看作一個(gè)整體，然后設(shè)，那么原方程可化為，解得y11，y24當(dāng)y1時(shí)，；當(dāng)y4時(shí)，故原方程的解為

35、：，解答問(wèn)題：(1)上述解題過(guò)程，在由原方程得到方程的過(guò)程中，利用_法達(dá)到了解方程的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；(2)請(qǐng)利用以上知識(shí)解方程6閱讀材料，解答問(wèn)題：圖272表示我國(guó)農(nóng)村居民的小康生活水平實(shí)現(xiàn)程度地處西部的某貧困縣，農(nóng)村人口約50萬(wàn)，2002年農(nóng)村小康生活的綜合實(shí)現(xiàn)程度才達(dá)到68，即沒(méi)有達(dá)到小康程度的人口約為（168 ）×50萬(wàn)= 16萬(wàn)（1）假設(shè)該縣計(jì)劃在2002年的基礎(chǔ)上，到2004年底，使沒(méi)有達(dá)到小康程度的16萬(wàn)農(nóng)村人口降至1024萬(wàn)，那么平均每年降低的百分率是多少？（2）如果該計(jì)劃實(shí)現(xiàn)，2004年底該縣農(nóng)村小康進(jìn)程接近圖272中哪一年的水平？（假設(shè)該縣人口2年內(nèi)不變

36、）7. （2016吉林一模）類比平行四邊形，我們學(xué)習(xí)箏形，定義：兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做箏形如圖，若AD=CD，AB=CB，則四邊形ABCD是箏形（1）在同一平面內(nèi)，ABC與ADE按如圖所示放置，其中B=D=90°，AB=AD，BC與DE相交于點(diǎn)F，請(qǐng)你判斷四邊形ABFD是不是箏形，并說(shuō)明理由（2）請(qǐng)你結(jié)合圖，寫(xiě)出一個(gè)箏形的判定方法（定義除外）在四邊形ABCD中，若，則四邊形ABCD是箏形（3）如圖，在等邊三角形OGH中，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1，0），在直線l：y=x上是否存在點(diǎn)P，使得以O(shè)，G，H，P為頂點(diǎn)的四邊形為箏形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由8先閱讀下列

37、材料，再解答后面的問(wèn)題:材料：23=8，此時(shí)，3叫做以2為底8的對(duì)數(shù)，記為一般地，若，則n叫做以為底b的對(duì)數(shù)，記為，則4叫做以3為底81的對(duì)數(shù)，記為問(wèn)題：（1）計(jì)算以下各對(duì)數(shù)的值:. （2）觀察（1）中三數(shù)4、16、64之間滿足怎樣的關(guān)系式？之間又滿足怎樣的關(guān)系式？ （3）由（2）的結(jié)果，你能歸納出一個(gè)一般性的結(jié)論嗎？ 根據(jù)冪的運(yùn)算法則：以及對(duì)數(shù)的含義證明上述結(jié)論9. 某校研究性學(xué)習(xí)小組在研究相似圖形時(shí)，發(fā)現(xiàn)相似三角形的定義、判定及其性質(zhì)，可以拓展到扇形的相似中去例如，可以定義：“圓心角相等且半徑和弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)扇形叫做相似扇形”；相似扇形有性質(zhì)：弧長(zhǎng)比等于半徑比、面積比等于半徑比的平方

38、請(qǐng)你協(xié)助他們探索這個(gè)問(wèn)題（1）寫(xiě)出判定扇形相似的一種方法：若，則兩個(gè)扇形相似；（2）有兩個(gè)圓心角相等的扇形，其中一個(gè)半徑為a、弧長(zhǎng)為m，另一個(gè)半徑為2a，則它的弧長(zhǎng)為；（3）如圖1是一完全打開(kāi)的紙扇，外側(cè)兩竹條AB和AC的夾角為120°，AB為30cm，現(xiàn)要做一個(gè)和它形狀相同、面積是它一半的紙扇（如圖2），求新做紙扇（扇形）的圓心角和半徑10. 閱讀材料，如圖(1)所示，在四邊形ABCD中，對(duì)角線ACBD，垂足為P，求證：證明： 解答問(wèn)題： (1)上述證明得到的性質(zhì)可敘述為_(kāi)(2)已知：如圖(2)所示，等腰梯形ABCD中，ADBC，對(duì)角線ACBD且相交于點(diǎn)P，AD3 cm，BC7 c

39、m，利用上述性質(zhì)求梯形的面積11.閱讀下面的材料：小明在學(xué)習(xí)中遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：若1xm，求二次函數(shù)的最大值他畫(huà)圖研究后發(fā)現(xiàn)，和時(shí)的函數(shù)值相等，于是他認(rèn)為需要對(duì)進(jìn)行分類討論他的解答過(guò)程如下：二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，由對(duì)稱性可知，和時(shí)的函數(shù)值相等若1m5，則時(shí)，的最大值為2；若m5，則時(shí)，的最大值為請(qǐng)你參考小明的思路，解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)x4時(shí)，二次函數(shù)的最大值為_(kāi)；（2）若px2，求二次函數(shù)的最大值；（3）若txt+2時(shí)，二次函數(shù)的最大值為31，則的值為_(kāi)【答案與解析】一、選擇題1.【答案】D；【解析】令y=0得x2（m1）xm=0，則（x+1）（xm）=0，解得：x1=1，x2=mm01，

40、R（1，0）、Q（m，0）方程由兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根A、B正確，與要求不符；當(dāng)x=0，y=m，P（0，m）OP=PQOPQ為等腰直角三角形C正確，與要求不符；拋物線的對(duì)稱軸為x=，m0，xD錯(cuò)誤，與要求相符2.【答案】C；二、填空題3.【答案】, A+B+C=180°，a、A、C或b、B、C，或4.【答案】（1）對(duì)；對(duì)；（2）（3）正五邊形，正十邊形【解析】解：（1）=72°，正五邊形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，它有一個(gè)旋轉(zhuǎn)角為144°，說(shuō)法正確；=90°，長(zhǎng)方形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，它有一個(gè)旋轉(zhuǎn)角為180°，說(shuō)法正確；（2）正三角形的最小旋轉(zhuǎn)角為=120°；正方形的最小旋轉(zhuǎn)角為=90°；正