1、第三章連續(xù)型隨機變量一、 教學目的與要求1掌握分布函數(shù)的定義和性質(zhì)；2掌握連續(xù)型隨機變量的概率密度，特別是均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布的概率密度；二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度和邊際密度。3掌握連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望、方差。4掌握表示隨機變量相互關系的數(shù)字特征：協(xié)方差、相關系數(shù)，隨機變量的不相關與獨立的異同。5掌握連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布密度的求法，掌握卷積公式。二、 教學重點與難點教學重點是分布函數(shù)與連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)，期望、方差的有關概念。教學難點是協(xié)方差、相關系數(shù)的有關計算，及卷積公式的應用。第三章 連續(xù)型隨機變量§3.1隨機變量及分布函數(shù)一、分布函數(shù)的概念定義：設定

2、義在樣本空間上的隨機變量x,，對于任意實數(shù)是隨機變量的概率分布函數(shù)，簡稱為分的概率。 布函數(shù)或分布。分布函數(shù)實質(zhì)上就是事件二、分布函數(shù)的性質(zhì)由概率的性質(zhì)可知：1）非負性：2）單調(diào)性： 若3）若4）極限性證都存在，又由概率的完全可加性有進一步則5）左連續(xù)性證： 是單調(diào)有界函數(shù)，其任意一點的左極限必存在，為證明其左連續(xù)性，只要對某一列單調(diào)上升的數(shù)列證明成立即可。這時有由此可得2）、4）、5）是分布函數(shù)的三個基本性質(zhì)，反過來還可以證明任一個滿足這三個性質(zhì)的函數(shù)，一定可以作為某個隨機變量的分布函數(shù)。知道了隨機變量的分布函數(shù)，不僅可以求出的概率而且還可以計算下述概率由此可以看出，上述這些事件的概率都可以

3、由面地描述了隨機變量算出來，因此全的統(tǒng)計規(guī)律，既然分布函數(shù)能夠全面地描述一般的隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律，因而分布函數(shù)這個概念比分布列更重要。三、離散型隨機變量的分布函數(shù)則的分布函數(shù)為對離散型隨機變量，用得較多的還是分布列。例1、 若服從退化分布即則的分布函數(shù)為例2求的分布函數(shù)F（x）。解： 當當當時，時， 例3、。求的分布函數(shù)解： 當當 當當時，時， 于是從上面例子可以看到，處有跳躍，其躍度為在例4、 等可能的向區(qū)間解：設為任一實數(shù)，當當 是一階梯狀的左連續(xù)函數(shù)，在處的概率。 上投擲質(zhì)點，求質(zhì)點坐標的分布函數(shù)。 時，顯然有 時，由幾何概型可知當 從而例5設隨機變量的分布函數(shù)為求1）常數(shù)A，B ； 2

4、）P（ 。解：1）由極限性于是2）得從而解例6設隨機變量的分布函數(shù)為求： 1）常數(shù)A ； 2）落在解：1）左連續(xù)， 故 ， 上的概率。于是2）由例5，例6可知求分布函數(shù)中的待定常數(shù)，主要是利用分布函數(shù)的極限性及左連續(xù)性。§3.2 連續(xù)型隨機變量一、連續(xù)型隨機變量的概念1、定義 定義：設是隨機變量，是它的分布函數(shù)，如果存在可能函數(shù)，則稱是為連續(xù)型隨機變量，相應的使得為對任意的，有連續(xù)型分布函數(shù)，同時稱2、密度函數(shù)的性質(zhì) 的概率密度函數(shù)或稱為密度。由分布函數(shù)的性質(zhì)，可以驗證任一連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)下列性質(zhì)：1）非負性：2）規(guī)范性： 必具備反過來，定義在R上的函數(shù)分布函數(shù)。 ，如果具有

5、上述兩個性質(zhì)，即可定義一個密度函數(shù)除了上述兩條特征性質(zhì)外，還有如下一些重要性質(zhì)：3）在R上連續(xù)，且在的連續(xù)點處，有，對連續(xù)型隨機變量，分布函數(shù)和密度函數(shù)可以相互確定，因此密度函數(shù)也完全刻畫了連續(xù)型隨機變量的分布規(guī)律。4）設為連續(xù)型隨機變量，則對任意實數(shù)，有 這表明連續(xù)型隨機變量取個別值的概率為0，這與離散型隨機變量有本質(zhì)的區(qū)別，順便指出5）對任意并不意味著是不可能事件。這一個結果從幾何上來講，落在區(qū)間中的概率恰好等于在區(qū)間上曲線y=p(x)的曲邊梯形的面積。同時也可以發(fā)現(xiàn)，整個曲線y=p(x)與x軸所圍成的圖形面積為1。例1、設隨機變量的密度函數(shù)為試求1）常數(shù)c ； 2)的分布函數(shù) ； 3）解

6、：1）由密度函數(shù)的性質(zhì)可知于是密度函數(shù)為2）即 。3）例2、設隨機變量的密度函數(shù)為試求1）常數(shù)c ； 2）分布函數(shù)F（x）； 3）解：1）由密度函數(shù)的性質(zhì)。于是2）當當于是3）例3、設連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為求它的密度函數(shù)解：因為。 ， 所以二、幾種常用分布1、均勻分布設隨機變量的密度函數(shù)為則稱服從區(qū)間向區(qū)間上的均勻分布，記作 。 ， 上均勻投擲隨機點，則隨機點的坐標服從上的均勻分布。在實際問題中，還有很多均勻分布的例子，例如乘客在公共汽車站的候車時間，近似計算中的舍入誤差等。 設隨機變量則有，則對任意滿足， 內(nèi)任一小區(qū)間的位置無關，這這表明，落在上取值的概率與該小區(qū)間的長度成正比，而與小區(qū)

7、間就是均勻分布的概率意義，實際上均勻分布描述了幾何概型的隨機試驗。2、指數(shù)分布若隨機變量的密度函數(shù)參數(shù)為的指數(shù)分布，記作為：。 ，則稱服從指數(shù)分布是一種應用廣泛的連續(xù)型分布，它常被用來描述各種“壽命”的分布，例如無線電元件的壽命、電話問題中的通話時間等都可以認為服從指數(shù)分布。 例4、假定打一次電話所用的時間（單位：分）服從參數(shù)的指數(shù)分布，試求在排隊打電話的人中，后一個人等待前一個人的時間（1）超過10分鐘；（2）10分鐘到20分鐘之間的概率。 解：由題設知1）2）3、正態(tài)分布 ，故所求概率為若隨機變量的密度函數(shù)為稱服從參數(shù)為的正態(tài)分布，記為。 密度曲線呈倒鐘形，稱為位置參數(shù)，稱為形狀參數(shù)。 由

8、數(shù)學分析知識可知從而當 時，正態(tài)分布N（0，1）稱之為標準正態(tài)分布，其密度函數(shù)為分布函數(shù)對于設一般地設從而，若例5，設解：求1）可以查正態(tài)分布表 即，則， 則 2） 3） ，。 。例6、設，求。 解：一般地這個概率與無關。4、分布設隨機變量的密度函數(shù)為常數(shù)其中特別的當，時， ，稱服從參數(shù)為為兩個的分布。 隨機變量的密度函數(shù)為：稱服從自由度為n的分布，記作。 這是數(shù)理統(tǒng)計中的一個重要分布。 特別地，當時，就為參數(shù)為的指數(shù)分布。§3.3多維連續(xù)型隨機變量及其分布一、多維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)1、定義定義1、設是定義在同一個樣本空間上的隨機變量，則n維隨機向量是樣本空間上的n維隨機變量或n

9、維隨機向量，并稱n元函數(shù)是n維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)，稱為聯(lián)合分布或分布，聯(lián)合分布函數(shù)描述了多維隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律。下面著重討論二維隨機變量，若么影部分的概率。2、聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì) 顯然 表示笛卡兒平面上的點的坐標，那這表示點落在圖中陰為的聯(lián)合分布函數(shù)，1）對x或y都是單調(diào)不減的；2）對x和y都是左連續(xù)的，即3）對任意x和y，有4）對任意5）和（，其中 有反過來還可以證明，任意一個具有上述四個性質(zhì)的二元函數(shù)必定可以作為某個二維隨機變量的分布函數(shù)，因而滿足這四個條件的二元函數(shù)通常稱為二元聯(lián)合分布函數(shù)。3、邊緣（邊際）分布函數(shù) 設為為二維隨機變量，那么它的分量的分布函數(shù)稱為邊際分布函數(shù)，記。設二

10、維隨機變量分布函數(shù)可由求得的聯(lián)合分布函數(shù)為，那么它的兩個分量的同理。由此可知，由聯(lián)合分布可以唯一確定邊際分布函數(shù)，反之，不一定成立。 例1、設的聯(lián)合分布函數(shù)為。 ， 求：1）常數(shù)A，B，C ； 2）邊際分布函數(shù)解：1）由解得2）二、二維連續(xù)型隨機變量及其密度函數(shù)1、定義定義2 ：設函數(shù)為一個二維隨機變量，為其聯(lián)合分布函數(shù)，若存在可積，則稱為二維，使對任意的(x,y )有連續(xù)型隨機變量，2、聯(lián)合密度的性質(zhì)由聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)有1）非負性：2）規(guī)范性： 的聯(lián)合分布函數(shù)，簡稱為密度函數(shù)。反過來，具有上述兩個性質(zhì)的二元函數(shù)必定可以作為某個二維連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)。3）若在點（x,y）連續(xù)，是相應的

11、分布函數(shù)則有。4)若G是平面上的某一區(qū)域，則在平面上任一區(qū)域G內(nèi)的概率，可以通過密度函數(shù)3、邊緣密度函數(shù)設二維連續(xù)型隨機變量數(shù)為這表明也是連續(xù)型隨機變量，其邊際密度函數(shù)為這表明取值落在G上的二重積分求得。 的聯(lián)合密度函數(shù)為，則的邊際分布函。 類似地由此可以看出，邊際密度由聯(lián)合密度唯一確定。例2、設的聯(lián)合密度函數(shù)為， 求：1）常數(shù)C ；2）分布函數(shù)F（x,y） ；3）邊際密度函數(shù)4）解：1）由聯(lián)合密度的性質(zhì)及相應的邊際密度； 。解得c=4于是2）3）4）三、兩種常用分布1、均勻分布設G是平面上的一個有界區(qū)域，其面積為A，令則是一個密度函數(shù)，以G上的均勻分布。若 為密度函數(shù)的二維聯(lián)合分布稱為區(qū)域服

12、從區(qū)域G上的均勻分布，則G中的任一（有面積）的子區(qū)域D，有。其中是D的面積。上式表明二維隨機變量落入?yún)^(qū)域D的概率與D的面積成正比，而與在G中的位置與形狀無關，這正是第一章中提過的在平面區(qū)域G中等可能投點試驗，由此可知“均勻”分布的含義就是“等可能”的意思。特別的若服從G上的均勻分布，其聯(lián)合密度函數(shù)為相應的邊際密度由此說明，矩形區(qū)域上的均勻分布其邊際密度是一維的均勻分布。2、 二維正態(tài)分布 設二維隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)為則稱其中習慣上稱為 服從二維正態(tài)分布，記為為參數(shù)。 為二維正態(tài)向量，由， 的聯(lián)合分布可以求得邊際密度函數(shù)分別由此說明二維正態(tài)分布態(tài)分布，分別為如果的兩個邊際分布函數(shù)都是一維正則兩

13、個二維正態(tài)分布是不相同的。但由上面可以知道它們有完全相同的邊際分布，由此例也說明了邊際分布不能唯一確定她們的聯(lián)合分布，此外即使兩個邊際分布都是正態(tài)分布的二維隨機變量，它們的聯(lián)合分布還可以不是二維正態(tài)分布。 例3、設的聯(lián)合密度函數(shù)為，求邊際密度函數(shù)。解：同理即都是標準正態(tài)分布的隨機變量，但卻不是二維正態(tài)分布四、隨機變量的獨立性 定義3、設若對任意的如果度函數(shù)分別為的聯(lián)合分布函數(shù)為有的邊際分布函數(shù)為，成立，則稱隨機變量是相互獨立的。都是連續(xù)型隨機變量，它們的密是二維連續(xù)型隨機變量，則這時容易驗證與相互獨立由此可知，要判斷連續(xù)型隨機變量是否獨立，只需要驗證為例4、設聯(lián)合密度函數(shù)。服從G是否上的均勻分

14、布。試問它們是否相互獨立？若G為矩形區(qū)域解：呢？ 的聯(lián)合密度函數(shù)為所以例5、若不相互獨立。 則相互獨立隨機變量的獨立性還可以推廣到多個隨機變量的情形。定義4、設n維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)為為它們的邊際分布函數(shù)，若隨機變量。 若為n維連續(xù)型隨機變量，則其中數(shù)，的邊際密度函數(shù)。 則稱是相互獨立的相互獨立的充要條件為的聯(lián)合密度函§3.4 隨機變量函數(shù)的分布一、一個隨機變量函數(shù)的分布定理1.設為連續(xù)型隨機變量，數(shù)h(y)具有連續(xù)導數(shù)。則為為其密度函數(shù)。又y=f(x)嚴格單調(diào)其反函也是一個連續(xù)型隨機變量，且其密度函數(shù)其中證明：略例1設證： 為單調(diào)函數(shù)。且反函數(shù)h(y)=一般地，若，則也服從正態(tài)

15、分布。 定理1在使用時的確很方便，但它要求的條件“函數(shù)（X）嚴格單調(diào)且反函數(shù)連續(xù)可微”很強，在很多場合下往往不能滿足。事實上這個條件可以減弱為“f(x)逐段單調(diào)，反函數(shù)連續(xù)可微”。這時密度公式應作相應的修改。一般地我們都是先求其分布函數(shù)，然后再求其密度函數(shù)。例2設解： 當y當試求的密度函數(shù)。 上述密度函數(shù)為分布的密度函數(shù)在n=1時的特例，也就是說N(0，1)變量的平方是自由度為1的二、兩個隨機變量函數(shù)的分布 若而變量。 的聯(lián)合密度函數(shù)為p(x,y)，則同上面一樣討論可得到。1、和的分布若而的聯(lián)合密度函數(shù)為p(x,y)則如果與相互獨立時，有，從而因此的密度函數(shù)為也可寫為由上式給出的運算稱為卷積，

16、通常記為例3、設與相互獨立且都服從N（0，1）證明證：由卷積公式。故一般說，若則 是n個相互獨立的服從分布的隨機變量仍然是一個服從正態(tài)分布N的隨機變量，并且參數(shù)這個事實有時也稱為正態(tài)分布具有可加性。在前面已經(jīng)證明了普阿松分布具有可加性，這里也說明了正態(tài)分布具有可加性，其實還有其他一些分布，如分布也具有可加性，即若大家自己證明，由此可知，分布對他的第一個參數(shù)具有可加性。由于分布也具有可加性。 如果例2可知每一個這時由是n個相互獨立的隨機變量，每一個都服從N（0，1），由都服從分布且仍然相互獨立，是服從自由度為n的分布，習為參數(shù)為n的分布，因此分布的可加性并利用歸納法可知分布，即n個相互獨立的N（

17、0，1）的平方和是一個參數(shù)為n的慣上獨立變量的個數(shù)稱為“自由度”。2、商的分布 設是二維連續(xù)型隨機變量，密度函數(shù)為p(x,y)，表示點落在陰影部分的概率。于是密度函數(shù)為例4、設與相互獨立，分別服從自由度為n及m的 分布的隨機變量，試求的密度函數(shù)。解：的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為于是的密度函數(shù)為上式的密度函數(shù)的分布稱為參數(shù)為n,m的F-分布，記作F（n,m）它是數(shù)理統(tǒng)計中最常用的分布之一。在上例中，已知相互獨立，在計算中用到的的相互獨立，當然由相互獨立很快推出的相互獨立。一般的，若也是相互獨立的，這里是n個相互是任意獨立的隨機變量，則的一元波雷爾函數(shù)。例5、設相互獨立，求的密度函數(shù)。 解：三、隨機變

18、量的變換若求 的密度函數(shù)為這個密度函數(shù)稱為自由度為n的t-分布。 ， 的分布，這時有(*)顯然，這是最一般的場合，當m=1時，便是隨機向量的函數(shù)的情形，當m=n=1時，得到單個隨機變量的函數(shù)的情形，下面考慮另一個重要的特殊情形，即當與若對且的有一一對應變換關系時，當然這時m=n必須成立。 存唯一的反函數(shù)的密度函數(shù)為，那么比較（*）與（*）可知比行列式。其中J為坐標變換的雅可例6、設與相互獨立的隨機變量，且具有相同的指數(shù)分布密度函數(shù)求的聯(lián)合密度函數(shù)。解：對做變換因此所以可以驗證這里的是相互獨立的，分別具有密度 例7、設與相互獨立，且均服從N（0，1）試證立的。 是相互獨證：（U，V）的聯(lián)合分布函

19、數(shù)為反函數(shù)有兩支當s>0時做變換與考慮到反函數(shù)具有兩支，分別利用兩組變換得對F（u,v ）求導，得（U，V）的聯(lián)合密度為（其余為0）所以U，V兩隨機變量獨立。§3.5隨機變量的數(shù)字特征，契貝曉夫不等式一、數(shù)學期望1、定義定義1、設為一個連續(xù)型隨機變量，密度函數(shù)為的數(shù)學期望(均值)存在，且（關于概率）的平均，這里要求例如:的密度函數(shù)為因為2、幾種常用分布的期望1）均勻分布設2）指數(shù)分布 設3）正態(tài)分布 設, 則 , 事實上當時，稱是的可能取值，的數(shù)學期望道理與離散型隨機變量一樣。 , 所以不存在。 , 則 , 則4）分布 設即的密度函數(shù)為這里用到為再利用布，因而的分布密度函數(shù)，因

20、而有函數(shù)的性質(zhì)。 知道即為參數(shù)為的指數(shù)分3、隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望定理3、若為連續(xù)型隨機變量，密度函數(shù)為p(x)，又f(x)為實變量x的函數(shù)，且定理4、設則 是二維連續(xù)型隨機變量，聯(lián)合密度函數(shù)為p(x,y)又f(x,y)為二元函數(shù)，則隨機變量的數(shù)學期望當然這也要求上述積分絕對收斂。例1、設解：。例2、 過單位圓上一點P作任意弦PA，PA與直徑PB的夾角服從均勻分布，求弦PA的長的數(shù)學期望。 解：由任意的密度函數(shù)為例3、設相互獨立，且都服從N（0，1），求解：聯(lián)合密度函數(shù)為。4、數(shù)學期望的性質(zhì) 性質(zhì)1、若則的數(shù)學期望存在，且若存在且性質(zhì)3、若相互獨立，則存在且性質(zhì)2、對任一二維連續(xù)型隨機變量特別

21、的若。，則Ec=c。都存在，則對任意實數(shù)性質(zhì)2與性質(zhì)3可以推廣到任意有限個情形 對任意n個常數(shù)若二、方差 1、定義定義2、設為一個隨機變量，又的方差，記作D，并稱2、計算公式，有。相互獨立，則存在，則稱是隨機變量是的根方差或標準方差。3、幾種常用分布的方差1）均勻分布設2）指數(shù)分布 設3）正態(tài)分布 設4）分布 設， 則， 則。 。4、契貝曉夫不等式我們知道方差反映了隨機變量離開數(shù)學期望的平均偏離程度，如果隨機變量，數(shù)學期望發(fā)生的概率P（那么P（不等式。定理3、對任意的隨機變量，若。將契貝曉夫不等式給出的估計式中，只須知道方差及數(shù)學期望兩個又存在，則對任意正數(shù)有，方差為，那么對任意大于零的常數(shù)C，事件（）應該與有一定的關系，粗略的說，如果）越大）也會越大，將這個直覺嚴格化，就有下面著名的契貝曉夫數(shù)字特征就夠了，因而使用起來是比較方便的。但因為它沒有完整的用到隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律分布函數(shù)或密度函數(shù)，所以一般說來，它給的估計是比較粗的。利用契貝曉夫不等式可以證明下列事實：隨機變量的方差D=0的充要條件是取某個常數(shù)值的概率為1，即這個結論的充分性